wst hydraulique souterraine woumeni

HYDRAULIQUE
SOUTERRAINE
Dr. Robert WOUMENI
Version 2013.
AVANT-PROPOS
Dans ce cours, l’objectif porte sur la maîtrise
progressive des notions qui interviennent dans la
résolution des problèmes liés à la circulation de
l’eau dans les sols ou plus généralement dans les
milieux poreux, et que l’on rencontre en :
Génie Civil, Mécanique des sols, Géotechnique,
Géomécanique;
Hydrodynamique, Hydrologie, Hydrogéologie,
Mécanique des fluides.
2
Dr. Robert WOUMENI
SOMMAIRE
•
•
•
Introduction
Propriétés physiques et structurales
Ecoulements en régime permanent
–
–
•
Ecoulements non stationnaires
–
–
•
Equations :Solutions Graphiques et Complexes
Exemples: Barrages, Puits, Ecrans et Drains
Equations : Solutions Analytiques
Exemples: Puits, Drains, Consolidation.
Mesures in situ de perméabilité
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Dr. Robert WOUMENI
1) INTRODUCTION
En Génie Civil (mécanique des sols) il s’agit de :
• Estimer les sous pressions interstitielles dans
les fondations d’un barrage en béton, ou dans
le corps d’un barrage en remblai;
• Evaluer les débits de fuite dans un diagnostic
d’auscultation de barrage;
• Mesurer une perméabilité à partir d’un essai in
situ ou en laboratoire;
• Modéliser par un calcul numérique, l’influence
d’un système de drainage, ou d’un écran
d’étanchéité pour la stabilité d’un ouvrage.
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Dr. Robert WOUMENI
1) INTRODUCTION
En Hydrodynamique des milieux poreux
(hydrogéologie) il s’agit de :
• Maîtriser les rabattements piézométriques sur un
champ captant (ex: Rochefort, …) ou sur un
chantier d’assèchement de fouille;
• Faire un diagnostic sur les performances d’un
forage;
• Mesurer une perméabilité à partir d’un essai in
situ ou en laboratoire;
• Modéliser par un calcul numérique, la circulation
de l’eau dans une nappe phréatique.
5
Dr. Robert WOUMENI
1) INTRODUCTION
Au passage, les notions importantes suivantes devront être maîtrisées:
1)
Loi de Darcy : V= -K . grad(H); Débit = V . Surface(H)
2)
Propriétés des sols (porosité, perméabilité, transmissivité,
coefficient d’emmagasinement, consolidation, masses spécifiques,
anisotropie, homogenéité,…);
3)
Phénomènes de boulance et renardage.
4)
Estimation de la perméabilité d’un sol.
NB: Nous considérons sur l’ensemble de ce cours que le sol est saturé
en eau. De même, pour les problèmes d’écoulement avec une
surface libre, on ne s’intéresse qu’à la partie saturée du sol en
faisant l’approximation de Dupuit.
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-1. Les milieux poreux
2-2. La phase fluide (charge hydraulique).
2-3. La phase solide (porosité, masses volumiques,
granulométrie, texture, perméabilité intrinsèque,…).
2-4. L’ensemble fluide & solide (loi de Darcy,
perméamètres, boulance et renard, perméabilité équivalente).
7
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-1
•
•
Les milieux poreux
Un sol est un milieu poreux, que l’on représente par un système
physique et multi-échelle, ayant au moins deux phases (l’une fluide
et l’autre solide).
On introduit la notion de VER (Volume Elémentaire Représentatif)
qui correspond à une plage d’échelles sur laquelle les propriétés
physiques (densité, porosité,…) seront constantes et pourront être
définies.
8
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-2
La phase fluide
Les propriétés de l’eau sont rappelées ci-après:
-la masse volumique

ML3
-la viscosité cinématique
v 
L2 T 1
NB : Ces propriétés dépendent étroitement des grandeurs thermodynamiques ( P , T ) .
-la pression interstitielle
-la compressibilité de l’eau
P
g
MCE
1 
  .
 P
1 / Pa
NB :la pression atmosphérique est choisie comme référence .
-la charge hydraulique
H
P
z
g
L
V2
NB:le terme cinétique
dans la définition de la charge est négligeable dans les sols.
2g
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-3
Soit :
VV
VS
V  VV  VS
M sec
La phase solide
le volume des vides
le volume des solides
le volume total d’ un échantillon de sol
la masse de l' échantillon de sol sec ;
On définit les propriétés suivantes :
-la porosité n et l' indice des vides e ,
V
V
n
n V
;
e V 
V
VS 1  n
-les masses volumiques du solide et du sol sec,
M
M
 s  sec et
 sec  sec
VS
V
Il est facile de vérifier que:
n  1
 sec
s
ou
 sec  1  n   s
NB : Le matériau sec peut se présenter sous forme consolidée (ie : grès) ou
granulaire (ie : alluvions). On se préoccupera essentiellement de ce dernier cas.
10
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-3
La phase solide
Un sol sera souvent identifié par des analyses en laboratoire. Un
tamisage à l’aide de filtres de mailles croissantes permet
d’obtenir la courbe granulométrique, dont on déduit les diamètres
caractéristiques: d10 et d60.
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-3
La phase solide
La texture d’un sol sera donnée
par les pourcentages en
éléments fins constitutifs:
argile, silt et sables.
Un sol composé de 50% d’argile
(d<0.002mm), 30% de limon
(0.002<d<0.06mm) et 20%
de sable (0.06<d<2mm) aura
ainsi une texture « limonoargileuse ».
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-3
La phase solide
On caractérise alors l' échantillon par les paramètres suivants:
-le diamètre efficace
d10
mm
diamètre pour lequel, la masse cumulée des particules les plus fines correspond
au 1/10 de celle l' échantillon;
-le coefficient d' uniformité
C
d 60
d10
c’est une estimation de l’ étalement de la courbe granulométrique 2  C  8 .
-A partir de la courbe granulométrique d’un Sol, on peut juger s’il est adapté
pour faire office de Filtre laissant passer l’eau, tout en retenant des sols plus fins ou
des substances particulaires.
-La surface spécifique A , définie par le rapport de la surface à la masse d' un
grain est le paramètre déterminant dans les phénomènes de rétention ou d' échanges
6
cm / g 
cationiques. Pour des grains sphériques, on a: A 
 s  d10
2
13
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-3
La phase solide
-la perméabilité intrinsèque k , est le paramètre qui traduit l' aptitude du
squelette solide à transférer un fluide de référence. Plusieurs relations associant ce
paramètre au diamètre effectif (pris égal au d ) sont proposées dans la littérature :
10
k  Ck  d e
2
k  Ck  d e  n
2
3, 3
n3
k  Ck  d e 
(1  n)2
2
mm 2
Hazen
Schlichter
Kozeny
C est un coefficient adimensionnel prenant en compte la forme des grains de sol.
k
Il ne faut pas confondre une perméabilité (propriété de transfert) avec
une porosité (propriété de stockage).
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-3
La phase solide
On introduit également les propriétés suivantes :
-les contraintes totale  et effective  du sol, reliées par la relation de
Terzaghi :     P
kPa
-la résistance au cisaillement du sol 
kPa
-la cohésion du sol c et l’angle de frottement interne 
eff
eff
-la compressibilité du sol sec,
1 d


 d
La relation mécanique suivante :   c    P   tan  montre qu’une augmentation
sec
sec
eff
des pressions interstitielles engendre une diminution de la résistance au cisaillement, et
peut ainsi provoquer des glissements sur des talus instables.
15
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4
L’ensemble fluide & solide
On introduit de nouvelles variables:
Soit : Ve et M e respectivement le volume et la masse de l’ eau dans le sol,
M M
la masse de la phase solide aussi égale à la masse sèche;
V
s e
la saturation en eau du sol
VV
S
sec
Ve
 s  n la teneur volumique en eau du sol
V
M

la teneur en eau pondérale
  e  
MS
sec

- la masse volumique d’un sol saturé
 
sat
s1
MS  Ms
 1  n    S  n    1      sec
V
-pour un terrain humide on a :
 hum  (1  n)   s  s  n  
0 s1
- la masse volumique apparente, d’un sol immergé
M   V
 
     1  n      
Sat
app
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V
sat
S
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide:
Loi de Darcy
Les expériences conduites par Henri Darcy en 1856
ont montré que le débit spécifique q (débit/section)
transitant dans une colonne de sol était
proportionnel à la perte de charge, et inversement
proportionnel à la longueur de filtration L :
q  K
Ham  Hav
 K i
L
(m/s)
i étant le gradient hydraulique.
K
( - )
q
représente la perméabilité du sol,
i
encore appelé conductivité hydraulique.
La relation avec la perméabilité intrinsèque
et l’influence de la température s’expriment ainsi :
K
kg
v
K 20 
KT  vT
v20
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Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4
L’ensemble fluide & solide : sols anisotropes
Une propriété physique (e.g. la porosité) d' un milieu poreux
est homogène lorsque sa distribution spatiale est uniforme. Autrement dit, la valeur est
la même dans tous les Volumes Elémentaires Représentatifs.
Le caractère anisotrope d' une propriété de transfert (e.g. la perméabilité) est obtenu
lorsque sa valeur dépend de la direction considérée dans l' espace.
Les milieux poreux sont en général anisotropes.

Dans un espace à deux dimensions, nous désignerons par s le vecteur unitaire de l’

axe de plus grande perméabilité K1 et par t celui de l’ axe orthogonal correspondant,
auquel on associe une perméabilité K2 .
 
Dans le repère (O, s , t ) des axes privilégiés de l’écoulement, la perméabilité est
représentée par un tenseur diagonal :
 K1
Kp  
 0
0

K2 
La loi de Darcy s’écrit alors :

q   K p  grad  H 
18
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4
L’ensemble fluide & solide : sols anisotropes
On remarque que dans les milieux anisotropes, les vecteurs flux et gradient ne sont
plus colinéaires.
 
Dans le repère (O, x , z ) faisant avec les axes précédents un angle  , la perméabilité
est représentée par un tenseur non diagonal :
 K xx
K 
 K zx
K xz 

K zz 
Kxx  K1 cos2   K2 sin 2 
avec: Kzz  K1 sin 2   K2 cos2 
Kxz  Kzx  ( K1  K2 ) sin  cos 
On remarque alors que le champ de perméabilité est identifié en chaque point par la
connaissance de trois quantités ( K1 , K2 ,  ) .
Les milieux naturels présentent souvent une stratification; cela se traduit par
une anisotropie caractérisée par deux valeurs de perméabilité suivant la verticale et
l’horizontale ( KH , KV ) .
19
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide :
perméamètres de laboratoire
(A) Perméamètre à charge constante
En mesurant les niveaux amont et aval,
puis le débit spécifique on évalue
la perméabilité en utilisant la loi de Darcy:
K
q Q
L
 
i S Ham  Hav
(B) Perméamètre à charge variable
La conservation du volume d'eau
s'écrit sous forme différentielle:
 s  dH  S  K
H 0
s
d (ln H )
 dt  K    L 
L
S
dt
On obtient :
K
L
s
H
  ln( 1 )
t2  t1 S
H2
20
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide :
perméamètres de laboratoire
(C) Perméamètre avec surface libre
En mesurant le débit traversant un échantillon
de sable avec une ligne de saturation (surface libre)
parabolique, on obtient la perméabilité selon
l’expression suivante dûe à DUPUIT :
H12  H 22
Q  K a
2 L
21
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4
L’ensemble fluide & solide : phénomène de boulance
Lorsqu’ on considère un écoulement ascendant à travers une tranche de sol granulaire
de densité apparente d app de section S , et de hauteur L , une situation instable en
regard des particules solides (situées à l’aval) pourra se produire si la charge est trop
importante. En effet les principales forces s’exerçant sur un cube élémentaire de sol
s’écrivent: -le poids apparent pour un sol immergé
 app  g  S  L
-et la poussée hydrodynamique
  g  H  S
l’équilibre mécanique de l’ échantillon requiert:
  H   app  L
Autrement dit, le gradient hydraulique doit être inférieure à un seuil critique ic .



H
i 
 1  n     1
soit : i 
L



app
S
c
22
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide :
phénomène de renard
Si la condition d’équilibre n’est pas remplie,
les contraintes effectives sur les grains solides
s’annulent; l’échantillon perd sa cohésion et
les fines particules sont alors entraînées
dans le mouvement de l’eau. Un objet dense
placé en surface peut ‘couler’ : il y a boulance.
Il se crée souvent par la suite,
une érosion régressive qui emporte
les particules les plus fines et conduit à des
chemins préférentiels pour l' eau.
On parle alors de "renard".
23
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide :
perméabilités équivalentes.
(A) Disposition des couches en parallèle
La perte de charge sur une distance de filtration L ,
est la même dans toutes les couches ;
( H1  H2  H )
le débit total est donné par:
H1
H2
H
 b1  q1  b2  q2  b1  K1 
 b2  K2 
L
L
L
b K b K
d' où: K p  1 1 2 2
b1  b2
(b1  b2 )  K p 
24
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2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide : perméabilités équivalentes.
(B) Disposition des couches en série
Le débit est le même dans les couches.
les distances de filtration s’ identifient
aux épaisseurs de couche;
q1  q2  q
la perte de charge totale est donnée par:
H  H1  H2
q  (b1  b2 )
Ks

q1  b1
K1

q 2  b2
K2
 1
b
b 
 ( 1  2 )
on tire: K s  
 b1  b2 K1 K2 
1
Il en résulte qu’un terrain stratifié (donc non homogène)
peut être remplacé par un terrain homogène
mais anisotrope de perméabilités ( K p , K s ) .
25
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide : perméabilités équivalentes.
(C) Terrains anisotropes
Sur la photo ci-contre, on peut apprécier les axes propres d’anisotropie (O, u , v) d’une
roche métamorphique ayant un couple de perméabilités ( K u , K v ) .
Le débit différentiel dans le système d’axe anisotrope s’écrit :
H 
H 


dQ uv   K u 
  dv   K v 
  du
u 
v 


On va introduire un système d’axes fictifs (O, x, y ) pour lequel on souhaite disposer
d’un milieu isotrope équivalent, ayant une perméabilité arbitraire (K ) . On doit
pour cela considérer la transformation suivante : x  u 
K
Ku
y  v
K
Kv
Il s’agit donc d’une contraction-dilatation du système d’axes propres (O, u , v) .
Le débit différentiel dans le système d’axe isotrope s’écrit :

H 
H 

  dx
dQ   K 
  dy   K 
x 
y 


26
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide : perméabilités équivalentes.
(C) Terrains anisotropes (suite)
On obtient alors la relation suivante pour le débit dans les 2 systèmes de coordonnées:
dQ 
K
 dQ uv
Ku  Kv
Si le débit isotrope peut être calculé facilement dans le système d’axes fictifs, il suffit
alors de choisir K  K u  K v pour obtenir le débit dans le système anisotrope
selon la formule :
 H

H
Q uv  Q   K u  K v  
 dy 
 dx 
y
 x

On souhaite souvent que la transformation du système de coordonnées ne modifie
pas l’axe vertical (pour la conservation des hauteurs et des niveaux d’eau). On doit
dans ce cas choisir K  K v afin que y  v . Il faudra alors pour obtenir le débit
anisotrope à partir du débit isotrope considérer la relation suivante :
Q uv  Q 
Ku
Kv
Signalons toutefois que le choix de (K ) n’affecte pas le résultat final du débit Quv .
27
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4 L’ensemble fluide & solide : réfraction aux interfaces.
A l’interface entre deux terrains de perméabilités différentes, M1:( K1 , 1 ) et
M 2 :( K2 ,  2 ) , l' écoulement sera réfracté et s' écartera de la normale du côté du terrain le
plus perméable.  représentant l'angle avec la normale. A la traversée de l’interface :
-le flux normal est continu:
q q
q  cos   q  cos 
n1
-la charge hydraulique est continue:
n2
H H
1
2
1
1
dH1  dH 2 
On obtient la relation de réfraction de l’écoulement suivante :
2
2
qt1
q
dl  t 2 dl
K1
K2
tan 1 tan  2

K1
K2
28
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
2-4
L’ensemble fluide & solide : Autres propriétés.
Pour les écoulements dans un aquifère en charge (hydrogéologie),
on introduit:
m
 L’épaisseur moyenne:
b
m2 / s 
T  K b
 La transmissivité:
 
 Le coefficient d’emmagasinement :S  S  b  g  b    n    1  n
T
 La diffusivité hydraulique:
m2 / s 
 
NB: Pour les écoulements à surface libre dans lesS nappes phréatiques,
les propriétés pertinentes sont la perméabilité et la porosité effective
de drainage (souvent égale au coefficient d’emmagasinement).
SP
H
Pour les problèmes de consolidation en géotechnique :
 Le coefficient d’emmagasinement spécifique devient: SSP  g    1  n
K
 On obtient pour le coefficient de consolidation : C 
m2 / s 
V
g  1  n   
29
Dr. Robert WOUMENI
2) Propriétés Physiques et
Structurales
L’ensemble fluide & solide : Quelques ordres de grandeur
2-4
sols
de (mm)
Ssp  m1 
K (m / s)
ne
A(m2 / kg )
gravier
sable
sable fin
silt
argile
>2
0,2-2
0,06-0,2
0,002-0,06
<0,002
7,5 104
6,0 104
8,0 104
9,2 104
9,8 104
101
103
105
107
109
0,25
0,30
0,20
0,08
0,02
0,2
2
20
200
2000
N.B. Il faut distinguer la porosité associée au drainage encore appelée
porosité effective (qui ne prend pas en compte l’eau immobile ou liée du sol) de la
porosité totale. Celle-ci varie souvent dans l’ intervalle  0,30  0,45 y compris pour
l’argile.
30
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
L’équation générale des écoulements souterrains (en
milieux poreux saturés) est de la forme suivante
pour le régime permanent :


0  div K  grad H   qi
i
Nous étudierons essentiellement : (1) la méthode
de résolution par intégration directe, (2) la
méthode graphique, (3) et enfin celle par
utilisation des transformations conformes
(méthode du potentiel complexe). On suppose
pour ces méthodes que le sol est homogène, et
les conditions aux limites assez régulières.
31
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-1. La méthode par intégration directe
Sols homogènes, avec/sans surface libre, contours réguliers des C Lim.
3-2. La méthode graphique (dite du réseau)
Sols homogènes, sans surface libre, contours quelconques des C Lim.
3-3. La méthode du potentiel complexe
Sols homogènes, sans surface libre, contours quelconques des C Lim.
32
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
Dans les cas simples (sol homogène et isotrope, contours linéaires ou
circulaires des limites du domaine d’étude), on peut rechercher des
solutions assez précises par intégration mathématique directe des
équations du problème. Les écoulements avec une surface libre étant
traités en faisant l’approximation de Dupuit (ci-après). Il faudra souvent
choisir le système de coordonnées le plus adapté (cartésien, radial,
cylindrique,…..)
Lorsque le sol est homogène et qu’il n’y a pas de terme source, on « attérit »
sur des équations de Laplace.
H  0
Sans surface libre
H  0
2
Avec surface libre
On présentera ci-après quelques solutions courantes en hydraulique
souterraine.
33
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
L’approximation de Dupuit faite pour
les problèmes avec une surface
libre permet de simplifier
énormément les calculs.
Cette approximation suppose que les
pentes de la surface libre (et du
substratum) sont faibles.
On peut alors considérer que la
charge est constante sur la
verticale, et que l’écoulement se
fait uniquement dans le plan
horizontal. La charge hydraulique
se confond alors avec la cote de la
surface libre.
34
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
H  0
3-1
Solutions analytiques :

On a les exemples suivants en coordonnées cartésiennes :
-Equation de Laplace en 1D (écoulement sans surface libre) :
2 H
0
H (0 )  H
H ( L)  H
x 2
la solution est une droite:
1
H ( x)  a  x  b
a
H1  H 2
q

L
K
2
b  H1
-Equation de Dupuit-Forchheimer en 1D (écoulement avec surface libre sans apports
superficiels) :

H
(K  H 
)0
H (0 )  H
H ( L)  H
x
x
la solution est une parabole:
1
H ( x)  a  x  b
2
H 22  H 22
~
Q  K
2L
2
~
H 22  H 22
2Q
a

L
K
b  H 12
formule de Dupuit
m
3
/ s / m
-En prenant en compte les apports superficiels dans l’équation précédente:

H
(K  H 
)  pS  0
x
x
La solution est une ellipse:
Dr. Robert WOUMENI
H 2 ( x)  
pS 2
x ax b
K
35
3) Ecoulements en régime
permanent
3-1
Solutions analytiques :

Les solutions sont quelques peu différentes pour les écoulements plan à
symétrie de révolution.
-L’ équation de Laplace pour un écoulement sans surface libre devient:
1   H 
 r 
0
r r  r 
H (r )  H
P
H ( R)  H
1
0
avec une solution sous la forme :
H R   H r 
Q
r
H (r )  a  ln( )  b
a

b  H R 
R
2  T
R
Ln 
r 
-L’ équation pour les nappes à surface libre sous l’approximation de Dupuit, sans
apports superficiels s’écrit :
P
P
1  
H 
0   K  H  r 
r r 
r 
la solution s’ écrit:
H (r )  H
P
H R   H r
2
H (r )  a  ln(r )  b
a
2
2
P
H ( R)  H
1


Q
 K
0
b  H R 
2
R
Ln 
r 
et lorsque les apports superficiels ne sont pas nuls dans l’équation précédente
1  
H 

1  pS r 2
2
0   K  H  r 

p
on
trouve
:
H
(
r
)

 
  a  ln(r )  b

K  2 2
r r 
r 

P
S
36
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-1
Solutions analytiques :
Pour les problèmes de pompage dans les sols, on préfère souvent raisonner en terme de
rabattement, défini de la manière suivante :
s(r )  H  H (r )
Rappel :
H  H R 
0
représente la charge au repos.
la relation précédente donnant la charge devient alors :
0
s (r ) 
Q
R
 ln 
2  T  r 
On a souvent à faire à un groupe de plusieurs pompages. Le rabattement en un point
M se calcul alors par une superposition des contributions de chaque pompage.
 Pour les nappes captives :
H H 
0
F
2  T
 Pour les nappes libres :
H H 
2
0
2
F
 K
R
F   Q  ln
r
n
avec
i
i 1
i
i
Dr. Robert WOUMENI



37
3) Ecoulements en régime
permanent
3-1
Solutions analytiques :
L’expression de la charge pour les nappes à surface libre vue précédemment, peut être
arrangée d’une façon plus simple en introduisant le rabattement corrigé défini

s 
comme suit :
sc  s   1 

 2  H0 
H  H  H  H    H  H  2  H   2  H  s
Q
 R
Il vient alors :
s 
 ln  en posant T  K  H 0 :
2  T
r
En effet :
2
2
0
0
0
0
0
c
c
Autrement dit, l’expression du rabattement corrigé pour une nappe à surface libre est
comparable à celle du rabattement pour une nappe captive.
Dans le cas des faibles rabattements :
s
 1
2 H
0
Le rabattement corrigé est pratiquement égal au rabattement, et on retrouve
l’expression du rabattement ou du débit valable pour les puits idéaux en nappe
captive.
38
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
H  0
3-2
La méthode du réseau de l’écoulement:
Bien souvent, la zone d’étude aura des contours irréguliers. En
admettant que le sol soit toujours homogène et isotrope, on
dispose dans ces cas de 2 méthodes de résolution: la méthode
graphique (dite du réseau) que l’on met en œuvre par un tracé
« manuelle » et la méthode du potentiel complexe qui repose sur
les transformations conformes.
Nous détaillerons la première méthode dans cette section. Elle
semble approximative mais est assez robuste pour un calcul de
première main.
On commencera toutefois par établir les propriétés générales des
écoulements vérifiant l’équation de Laplace.
39
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-2
La méthode du réseau de l’écoulement:
De tels écoulements présentent en régime permanent
des propriétés particulières qu' il convient d' examiner ci-après en considérant un
terrain homogène et isotrope, dans un repère cartésien.
En définissant le potentiel de l'écoulement par:
  KH
l'équation de Laplace devient dans un système cartésien :
2  2 
0 2  2
x y
et en introduisant la fonction courant  telle que:



 u
x
y



 v
y
x
On a les propriétés suivantes:
2   2 

0 2  2
la fonction  vérifie l' équation de Laplace.
x
y
2  2 
 
 
Démo.
 2  ( ) ( )
2
x
y
x y y x

grad(  ) grad( ) les normales de  et  sont orthogonales.
   
   
Démo.
 

   
x x y y
y x x y
40
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-2
La méthode du réseau de l’écoulement:
Il en résulte que:
 
-les vecteurs déplacements élémentaires ( dl , dl ) tangents aux
courbes d' isovaleurs
sont aussi orthogonaux:

dl  dl  0
-les courbes  et  forment un réseau orthogonal.

les isovaleurs de  sont des lignes de courant


Démo.
u  dx  v  dy 

 dy 
 dx   d  0
y
x

  cte
 est appelée fonction courant.


Q  
 dl  d la formule du débit élémentaire
l 
Démo.
les relations III-3 peuvent s' écrivent de façon condensée en
faisant intervenir les éléments d' arc ( l , l ) :




et,
q
compte tenu de la loi de Darcy
l
l
l

On obtient:
Q  q  dl
Q  
 dl  d
l 
41
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-2
La méthode du réseau de l’écoulement:
L'objectif consiste à tracer manuellement un réseau orthogonal de fonctions 
et  qui soit compatible avec les conditions aux limites.
Une méthode de traçage consiste à procéder selon les étapes suivantes :
1°) Identifier les conditions aux limites : lignes de courant (en bleu) et
équipotentielles (en rouge);
2°) Tracer quelques lignes de courant (3, 4 ou 5) internes au domaine;
les formes doivent être graduellement variées (c’est-à-dire plus resserrées lorsqu’on se
rapproche des singularités);
3°) Tracer des lignes équipotentielles, orthogonales aux lignes de courant en
s’efforçant d’avoir des mailles « carrées » (on peut pour cela tracer des petits cercles
dans chaque maille); On obtient ainsi la première ébauche du réseau;
4°) Faire des retouches si nécessaire et éventuellement reprendre à partir de l’étape 2
ou 3, si le résultant n’est pas satisfaisant.
42
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-2
La méthode du réseau de l’écoulement:
Avant de se mettre à appliquer la méthode graphique, il peut être utile d’observer à
quoi ressemble un réseau presque parfait tracé à l’aide du logiciel SEEP2D.
On peut remarquer que: (1) quelques mailles ne seront pas vraiment carrées, (2) il
y a resserrement près des singularités, (3) les limites étanches sont aussi des
lignes de courant, (4) il faut bien représenter les lignes de charge imposée, (5) on
peut avoir un tracé équivalent avec un nombre de tubes de courant (N) différent
mais un rapport N/M proche (N=5, M=11 dans le cas présent).
43
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-2
La méthode du réseau de
l’écoulement:
Une fois le réseau obtenu, on dénombre:
-n
tubes de courant véhiculant le débit élémentaire Q ,
-m
tranches d'équipotentielles
On a les relations suivantes pour le débit global
Q  n  Q    K 
n
 H
m
et la charge et la pression locales
en un point quelconque j du domaine:
H J  H AM  j 
H
m
 P 

  H J  z J

g

J
0 jm
H  H AM  H AV
la perte de charge élémentaire par tranche d’équipotentielle
valant :
H 
H
m
Mise en œuvre de la méthode graphique.
Dr. Robert WOUMENI
44
3) Ecoulements en régime
permanent
H  0
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Principe de la méthode: Cette méthode assez puissante permet de
résoudre analytiquement un écoulement vérifiant l’équation de
Laplace, dans un domaine aux contours quelconques, à partir d’un
autre écoulement de solution connue, à l’aide de transformations
géométriques conformes.
Une transformation est dite conforme, si elle conserve les angles, les
sens de rotation et les triangles infinitésimaux.
    i 
On introduit le potentiel complexe:
q u iv
Et le flux complexe:
d
  q~
Reliés par la relation suivante:
dz
Dr. Robert WOUMENI
45
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
On distinguera deux écoulements de référence qui serviront de base pour les calculs
ultérieurs.
 l' écoulement uniforme
 z   a  z
aq
  z   a  ln  z 
a
 l' écoulement autour d' un puits de prélèvement
Q
2  b
La mise en oeuvre de la méthode se fera de la manière suivante :
Etant donné un écoulement à résoudre (expressions de  et  ), dont on connaît
les flux ou les potentiels sur les limites du domaine dans le plan z ,
Trouver la transformation géométrique
w  g z 
qui permet de se ramener à un écoulement de référence (i.e. uniforme ou radial);
on passe alors du plan z au plan w .
Il en résulte pour l'expression du potentiel complexe :   f w
soit par composition de fonctions:
  f g  z 
46
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
2 écoulements de référence (linéaire et radial).
 z   a  z
aq
Dr. Robert WOUMENI
 z   a  ln z 
a
Q
2  b
47
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
On donne ci-après une liste non exhaustive de quelques
transformations très utiles en hydraulique souterraine.
 La fonction puissance;
 La transformation de Joukowski;
 La fonction sinus hyperbolique;
 La fonction inverse;
 La transformation de Schwartz-Christoffel;
Ch(i  x )  cos( x )
 …
Sh(i  x )  i  sin( x )
arcsin(i  x )  i  ArgSh( x )
Rappelons également
quelques relations mathématiques:
Dr. Robert WOUMENI
arccos( x )  i  ArgCh( x )

ArgCh( x )  ln x 

 1
ArgSh( x )  ln x  x 2  1
x2
48
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Pour les écoulements dans les coins, la fonction ‘’puissance’’ permet de
ramener le demi plan dans un dièdre d’ouverture  n .
Y
Z  w( z )  z
1
n
X
z  h(Z )  Z n
 Z   a  Z 2
n2
 z   a  z
49
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
La transformation de Joukowski permet « d’aplatir » un cercle de rayon
dans le plan (x,y) en un segment  c,c dans le plan (X,Y).

Y

c
1 
c2 
Z  w( z )    z  
2 
z
X
z  h(Z )  Z  Z 2  C 2

Q
 (Z ) 
 ln Z  Z 2  C 2
2  b

Q
 z  
 ln z 
2  b
50
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Avec la transformation Sinus hyperbolique, on ouvre comme un éventail
q
sur l’axe Oy, les 2 fonctions courant asymptotiques:   
2 K
Y
Z  wz  
h

 ArgShz 
X
 Z 
z  w1 Z   Sh

 h 
 (Z ) 
    Z 
Q
 ln Sh

2  D   h 
Q
 z  
 ln z 
2  b
51
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
La fonction inverse permet de transformer 2 cercles non concentriques de
rayons (a) et (R) distants de (d) dans le plan (X,Y) en cercles
concentriques de rayons (at) et (Rt) dans le plan (x,y) si on a: a  d  R
Muskat a utilisé cette fonction pour calculer le débit d’un puits excentré.
d2
Z  w( z ) 
z
Y
y
x
X
d2
z  w (Z ) 
Z
1
Q  2  K  b 
Dr. Robert WOUMENI
H  H P
 R  d 2 
ln   1  2 
 a  R 
Q  2  K  b 
H  H P
 Rt 
ln  
 at  52
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
•
•
La méthode du potentiel complexe :
La transformation de Schwartz-Cristoffel permet de passer d’ une ligne
brisée dans le plan (x,y), à une ligne droite dans le plan (X,Y). M et N
sont des constantes à ajuster pour que les points A, B et C soient
respectivement les images de a, b et c.
Cette transformation est très utile pour les écoulements de
contournement des écrans.
dZ
z M
N
a
b
c
 Z  A 1    Z  B 1    Z  C 1     

NB: Lorsqu’on multiplie une expression de potentiel complexe par :
cela revient à faire tourner l’écoulement de :
i


2
53
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
A partir des transformations introduites précédemment, on obtient
sans grande difficulté, le potentiel complexe d’un doublet puitspuits (très utile pour le pompage près d’un mur) ou puits-source
(très utile en géothermie et pour le pompage près d’une rivière).

Q
 ( z) 
 ln z 2  a 2
2  D
Dr. Robert WOUMENI

 ( z) 
Q
 z  a
 ln

2  D  z  a 
54
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Les pompages ne se font pas toujours dans
une nappe d’extension infinie. L’influence
des limites doit donc être prise en
compte.
• Un pompage près d’une rivière sera
efficacement représenté par un doublet
puits-source. (la source étant fictive et
correspondant à l’ image du puits réel).
• Pour un pompage entre 2 rivières, il
faudra aussi considérer les images des
puits images pour plus de précision.
55
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Les pompages ne se font pas toujours dans
une nappe d’extension infinie. L’influence
des limites doit donc être prise en
compte.
• Un pompage près d’un mur sera
efficacement représenté par un doublet
puits-puits. (le 2ème puits étant fictif et
correspondant à l’ image du puits réel).
• Pour un pompage près d’un coin, il
faudra aussi considérer les images des
puits images pour plus de précision.
56
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Pour un puits dans une nappe en
écoulement, le potentiel complexe s’écrit:
Q
 ln( z )
2  D
La prise en compte de l’écoulement naturel
induit une dissymétrie. Les lignes de
courant qui aboutissent dans le captage
définissent ce qu’on appelle la zone
d’appel, caractérisée par un point de
stagnation (Ms) et une largeur (ho).
 ( z )  q  z 
D représente la hauteur de la nappe d’eau,
q=K i est la vitesse de Darcy.
57
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe : 

0 
z
Calcul du point de stagnation:

Q


(
x
,
y
)


q

x

 ln x 2  y 2

2  D

 ( x , y )  q  y  Q  arctg  y 
 x

2  D

Q
~
zS 
2  D  q
On peut vérifier que:  ( xS , y S )  0
Sur la limite de la zone d’appel on a:
 2  D  q  y 
y
Q
 y
0  q  y 
 arctg    tg

 x
x
Q


2  D
On obtient 2 asymptotes:

Q
x

 S
2  T  i

 y S  0
x  

Q
y
2 Dq
 2  D  q  y 
x  y  cot g

Q


Ce qui permet de calculer la largeur de la zone d’appel du pompage:
h0 
Q
Q

Dq D K i
58
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel
complexe :
On détaille ci-après les calculs
pour l’écoulement de
contournement d’un écran
ayant une hauteur de fiche
(d).
Le cas de l’écoulement dans les
fondation d’un barrage en
béton de largeur (2c) étant
assez similaire.
59
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
On considère un écran vertical dans un sol homogène et isotrope destiné à retenir
l’eau souterraine. Sa présence provoquera une singularité dans l’écoulement,
se traduisant par un abaissement brutal de la charge hydraulique
d’une hauteur H  H am  H av . Le débit de fuite par mètre linéaire d’écran sera
proportionnel à :
-la perméabilité du terrain K
-et la perte de charge H
On peut donc définir un débit de fuite caractéristique :
L2 T 1
q fc  K  H
La profondeur de la fiche (partie enterrée de l’ écran) sera désignée par d .
Le potentiel complexe sans dimension est obtenu simplement en deux étapes:
-on transforme le segment  d , d  sur l’ axe vertical du plan ( x , y ) en cercle
imperméable de rayon d : w  z  z 2  d 2
(inverse de Joukowski)
-On obtient l’écoulement autour d’ un obstacle circulaire (de la gauche vers la

droite) que l’on doit faire tourner de (  ) pour récupérer l’écoulement radial vers un
2
puits de rayon d .
60
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Ce qui conduit au potentiel complexe suivant :
 w
  i  ln 
d 
ad
z

z


soit :   i  ln     1  ou encore
d

d 


2
ad
i z 
  arcsin

 d 
ad
En introduisant les fonctions courant  et potentiel  que l’on rend adimensionnelles
à l’ aide du débit de fuite caractéristique
q ;
fc
Si on choisit de compter les angles en radians,
il vient :

i z
   i    arcsin

K H
 d 
En séparant les parties réelle et imaginaire:
Dr. Robert WOUMENI
x
   
   
 d   cos K  H   Sh K  H 






 y   sin       Ch   
 d
KH 
K H 
61
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
On obtient ainsi les expressions des équipotentielles et des lignes de courants:
-équipotentielles
y
x
2

    
d

sin



 K  H 

2

2

    
d

cos



 K  H 

2
1
ce sont des hyperboles
-lignes de courant
y
    

 d  Ch K  H 




x
2
2

2
    

d  Sh K  H 



2
1
ce sont des ellipses
L’ évolution de la charge hydraulique sur l’ écran est donnée par :
K H

 y
arcsin 
 

d 

  0

puisque :
z  i  y et
0 yd
on en déduit l’ expression de la charge hydraulique:
H  y 
K H

 y
arcsin 
d 
62
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3

La méthode du potentiel complexe :
Le débit transitant entre l’ écran et une ligne de courant  est tel que:
q      0  
On a vu précédemment que les lignes de courant étaient des ellipses;
le demi petit axe a suivant y (associé à la profondeur), et le demi grand axe
suivant x , s’ écrivent :
b
   
   
a  d  Ch
et
b

d

Sh



K

H
K

H




a

K H
a


q
 ln     1 
d


d 


2
d’ où:
ou bien
q
K H

b

b


 ln     1 
d

d 


2
Pratiquement, c’est le paramètre limitant (profondeur ou distance entre écrans)
qui permettra de sélectionner l’ une de ces deux formules.
Dr. Robert WOUMENI
63
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :

L’ écoulement est ascendant dans la partie aval; il y a donc risque de renard
si la hauteur H est trop importante par rapport à la fiche d . L’écran sera stable si:
«dans une tranche sol d’ épaisseur y , la force due à la la pression de courant
reste inférieure au poids apparent ».
Ce qui se traduit par la relation suivante appliquée à une section horizontale unité:
  g  (H  H )    g  y
  H
 y
soit en posant H   H  H  :
arcsin     y

d 
av
app
av
ou encore:
app
 y
arcsin 

H
d 

d


 y
 
d 
app
N.B. : La fonction de
 y
 
d

qui intervient est croissante dans l’ intervalle 1, 
 2
y
pour   0,1 . La condition pour éviter les renards devient :
 d
d
Dr. Robert WOUMENI
 H


2
app
1
pour
(y  d)
ou
d
 H



app
2
pour
( y  0) 64
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
Le calcul analogue de l’écoulement dans les fondations d’un barrage conduit aux
résultats suivants :

Calcul des sous-pressions sur la base de l’ ouvrage.
Pour
z  x et
K H

 x
arccos 
 

c

  0

 c  x   c il vient :
on en déduit l’ expression de la charge hydraulique:
H ( x) 
 x
 arccos 

c
H
Les sous-pressions exprimées en mètres de colonne d’eau sont données par:
p ( x)
 H ( x)  y  H ( x )
g
soit sous forme adimensionnelle:
p ( x) 
ad
H ( x)  H
1
x
  arccos 
H H

c
av
am
av

Le calcul analytique du débit de fuite transitant entre la base
et une ligne de courant  s’ obtient de la manière suivante :
q      0  
les lignes de courant étant des ellipses de demi axes b associés aux profondeurs:
Dr. Robert WOUMENI
   
b  c  Sh
 d’ où:
K

H


q
K H

b

b
 ln     1 
c

c


2
65
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3 La méthode du potentiel complexe : Ecoulement à travers une digue.
En admettant que la ligne de saturation ait une allure parabolique d’excentricité (e),
on peut écrire le potentiel complexe sous la forme:
 ( z)  K  2  e  z
On va pouvoir calculer les fonctions potentiel et courant
et en déduire le débit qui transite.
66
Dr. Robert WOUMENI
3) Ecoulements en régime
permanent
3-3
La méthode du potentiel complexe :
   2  e  K  x
On a: 

   e  K  y
2
2
   
 

y2  


2

e

x


  
 e  K  
 K 
2
2
   
  
2
y 
   2  e  x    
 e  K  
 K 
Les équipotentielles et
les fonctions courant
sont des paraboles.
Sur la ligne de saturation, la pression est nulle par conséquent :
  K y
Hy
e(e  2  x)  y 2
2
2
2
2
La fonction courant est nulle sur le demi axe ( y  0, x  0)
Et vaut   K  e sur la ligne de saturation. On en déduit le débit de
fuite en fonction de l’excentricité : Q  K  e
On va accéder à l’excentricité de la manière suivante: Le point d’intersection de
la ligne de saturation (parabole de Kozeny) et du plan d’eau se fait au point P
dont le projeté sur l’axe des X est à la distance (d) du collecteur.
2
2
Les propriétés des paraboles homofocales permettent d’écrire: e  H  d  d
Par ailleurs, Casagrande a proposé à partir de ses travaux sur la méthode
graphique, une approche pour estimer pratiquement la distance (d):
d  xm  0,3  ( xn  xm )
On obtient donc le débit de fuite selon:
Dr. Robert WOUMENI
QK

H d d
2
2

67
4) Ecoulements non stationnaires
L’état de saturation en eau du sol peut être variable.
L’équation générale de l’écoulement devient :
C H  
H
 divK H   grad H    sources
t
La saturation ou la teneur en eau devient la
variable principale. Sous certaines conditions, cette
équation peut être transformée pour prendre la
forme suivante (équation parabolique):
  H 
H
H
t
On obtient alors un problème de diffusion de la
teneur en eau, ou de la charge hydraulique, dont
les solutions sont connues pour certaines
conditions à la limite.
Dr. Robert WOUMENI
68
4) Ecoulements non stationnaires
H
  H 
H
t
4-1. Les problèmes de diffusion
4-2. Drainage par une tranchée
4-3. Pompage des eaux souterraines
4-4. Solutions numériques et modélisation
69
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
H
t
Les problèmes de diffusion:
  H 
H
4-1
• La consolidation des sols est un problème de diffusion
de la pression interstitielle.
• L’infiltration de l’eau dans le sol se ramène à un
problème de diffusion de la teneur en eau (ou de la
tension).
• La diffusion de la chaleur ou d’espèces chimiques, est
un problème bien connu.
• Le pompage des eaux souterraines ou le drainage,
correspondent à des problèmes de diffusion de la
charge hydraulique dans un sol.
70
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-2
H
t
Drainage par une tranchée:
On s’intéresse à la piézométrie
instationaire de part et d’autre
d’une tranchée rectiligne.
La solution dépend naturellement du
type de condition imposée à la
limite (charge ou débit constant).
71
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-2
H
t
Drainage par une tranchée:
Niveau imposé dans la tranchée
Les conditions aux limites s'énoncent ainsi:
H ( 0, t  0)  H f
H (  , t )  Hi
u
En posant le changement de variable
x
4t
H  2 H

2 u u  u 2

l'équation devient:  H ( 0)  H f
avec pour solution :
 H ()  H
i


H ( u)  a  erf ( u)  b
b  Hf
a  Hi  H f
erf ( u) 
2


u
e  s  ds
2
0
et on obtient donc:
x 

H ( x, t )  H  ( H  H )  1  erf (
)
4t 

i
f
i
72
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
1.2
1
Erf (X)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
X
2.5
3
3.5
4
73
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
Diffusion de la charge:
alpha=0.001 m2/s
120
100
Niveau (cm)
80
1h
60
120 h
720 h
40
20
0
0
50
100
150
200
250
X (m)
300
350
400
450
500
74
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
Diffusion de la charge:
alpha=0.01 m2/s
120
100
Niveau (cm)
80
1h
60
120 h
720 h
40
20
0
0
50
100
150
200
250
X (m)
300
350
400
450
500
75
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-2
H
t
Drainage par une tranchée:
Cette expression peut être simplifiée au prix de quelques approximations :

pour u  1
(courtes distances et/ou temps longs)
erf ( u ) 
2u

et l' on obtient une variation linéaire de la charge avec la distance
x 

H ( x , t )  H i  ( H f  H i )  1 
t 

On en déduit la distance d'action (à partir de laquelle le rabattement est nul):
xa  t
puis la pente hydraulique:
iH 
( Hi  H f )
t
et le débit par mètre de tranchée nécessaire pour stabiliser le niveau en fonction du
temps:
( Hi  H f )
 H 
Q  2T     2T 
 x  x  0
t
76
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
H
t
  H 
H
4-2
Drainage par une tranchée:
Débit imposé dans la tranchée
Si l'on effectue un pompage au débit Q pendant un temps très bref dt ,
l'impulsion engendrée diffusera dans le milieu poreux en suivant une loi gaussienne;
soit en notant H la solution élémentaire:
H  A  e

x2
4 t
Par application de la conservation du volume perturbé, on montre que:
A
Q  dt
de sorte que:
T
H ( x , t ) 
Q  dt
T
e

x2
4 t
 l  4    t
 l  4    t


l est la longueur de la tranchée, et T la transmissivité.
Pour un pompage à débit constant sur l'intervalle 0, t , on considère une succession
d'impulsions et on applique le principe de superposition:

t
H ( x , t )  H ( x , t   )
H ( x, t ) 
0
T
0

ou encore en posant le changement de variable:
H ( x, t ) 
Dr. Robert WOUMENI
Q
x
T l  2



x
4 t
e v 
2
dv
v
Q
t
e

x2
4 ( t   )
 d
 l  4    (t   )
v
x
4  ( t   )
77
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-2
H
t
Drainage par une tranchée:
puis en revenant à la variable u , on obtient la solution de Ferris (1948) :
Q
 t
H ( x, t ) 

 e  u    1  erf (u )
T l

Q
 t
H ( x, t ) 

 F (u )
T l

u 2

pour u  1
(courtes distances et/ou temps longs)
F ( u)  1  u  
et l' on obtient encore une variation linéaire de la charge avec la distance:
H ( x, t ) 
Q   t x

 
T l  
2
d' où la distance d' action: xa  2
la pente hydraulique:
Dr. Robert WOUMENI
et la charge dans la tranchée: H ( 0, t ) 
Q
t

T l

iH 
 t

Q
 cte
2T l
78
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-3
H
t
Pompage dans les eaux souterraines :
On considère l’équation
1  
H 
H
  2  T  r 
S
r r 
r 
t
en précisant les conditions aux limites sous la forme:
( r  )
H (r )  H 0
( r  0)
H 

lim 2  T  r 
 Q

r 
Sous certaines conditions (puits parfait ou idéal):
-réservoir homogène et isotrope,
-réservoir d'extension infinie (pas de limite proche)
-écoulement horizontal (nappe captive)
-puits parfait (interceptant la base de l'aquifère),
-puits de faible diamètre.
79
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-3
H
t
Pompage dans les eaux souterraines :
La solution du problème est relativement aisée à obtenir.
Lorsqu’ on introduit le temps adimensionnel
  u 
 
 t  t  u
  2u  
 
 r  r  u
et
et
1 4T t

on a:
u
S r2
S   4 u 2  
 

T t  r 2  u
     4u     
r      u 
r  r   r  u  u 
et l’ équation devient :
  

H
d’ où
u
 a  eu
 u    u 
 u  u 
u
u
La condition à la limite au voisinage du puits devient :
H 

( u  0)
lim 4  T  u 
 Q

u 
d’ où la valeur de la constante :
et donc :
H (r , t )  
Q
4  T
a
 e v
Q

dv  H 0
4  T u v
soit en terme de rabattement :
Q
e
s (r , t ) 
  dv
4  T v
v

u
Dr. Robert WOUMENI
C’ est la solution de Theis.
80
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-3
H
t
Pompage
dans les eaux souterraines :
e
On pose :

v
u
v
W  u  
dv
appelée fonction de puits
et qui peut se développer comme suit :
W ( u )  F (  )  F ( u)
2
u
u
u3
u4
avec : F (u)  ln(u) 




1  1! 2  2 ! 3  3! 4  4 !
On fait couramment dès que cela est possible l’hypothèse des temps longs -ou- des
distances courtes : soit u  1
La fonction puits devient en négligeant les termes d’ ordres supérieures :
W (u)  0,5772  ln(u)
La solution devient :
s (r , t ) 
W (u)  ln(
soit
Q
 2,25  T  t 
 ln

4  T
 S r 
2
2,25  T  t
)
S r2
avec
1
 1
u
C’est la solution de Jacob obtenue comme une approximation de la solution de Theis.
2,25  T  t
Si l’ on pose : R 
appelée rayon d’ influence,
S
Q
R
la solution devient : s ( r , t ) 
 ln 
2  T  r 
et on retrouve une relation semblable à celle du rabattement pour les régimes
Dr. Robert WOUMENI
permanents.
81
4) Ecoulements non stationnaires
H
t
Valeurs tabulées de la fonction puits W(u) pour u=x < 0.209
  H 
H
82
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
H
t
Valeurs tabulées de la fonction puits W(u) pour u=x < 2.09
  H 
H
83
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
H
t
Considérons les valeurs suivantes:
T=0.001 m2/s
S=0.2
r=5m
t1=600s et t2=3600s
On doit trouver:
u1=2.08 et u2=0.34
Soit des rabattements de :
s1=4.8cm et s2=87cm
  H 
H
84
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
H
  H 
t
H
4-3
•
Pompage dans les eaux
souterraines:
Les figures A-A’ montrent l’allure
des courbes de rabattement en
régime transitoire pour une nappe
captive.
•
•
Le cas des nappes à surface libre
B-B’ est plus complexe, compte
tenu du phénomène de
désaturation retardé.
Les figures C-C’ présentent le
rabattement d’une nappe semicaptive, réalimentée par une
nappe moins profonde.
85
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-3
H
t
Pompage dans les eaux souterraines:
On peut envisager un groupe de pompages, pour une nappe captive en régime
transitoire. Le rabattement est tiré de la formule de superposition suivante :
1
1
s
 (   Q  W ( ))
4  T
u
i
i
i
avec
1 4 T t

u
S r
2
i
on adopte la convention de signe suivante :
+
signe positif pour les prélèvements
signe négatif pour les recharges.
N.B. On peut ensuite appliquer l’approximation logarithmique de Jacob, pour les
temps longs. On remarque ainsi que pour un doublet puits-source, le rabattement ne
dépend plus du temps; ce qui justifie un palier (figure ci-après). De même, pour un
doublet puits-puits, on doit avoir un doublement de pente (figure ci-après).
86
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-3
H
t
Pompage dans les eaux
souterraines:
•
Le principe de superposition
permet également de traiter le cas
d’un pompage qui s’arrête au bout
d’une durée bien définie.
•
La solution s’écrit :
Q
 t 
s
 ln

4  T  t   
87
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-3
H
t
Pompage dans les eaux souterraines :
Pour les nappes semi - captives, la prise en compte des apports permet d’écrire :
K
'
H H 1  
H 
H
   2  r  T 

S


b
r r 
r 
t
0
'
soit en introduisant le paramètre de drainance L ,
dH 1   H  S H
1
 2   r
et lorsque l’ on passe à la variable
 
L
r r  r  T t
u
2
dH r
  H 
H
 2 
 u
  u 
L 4u u  u 
u
H
on change de variable en posant :
y  u
u
2
y r
dy
dy
1 r2 

il vient :
 2 2
 y
soit
  1  2  2   du
 u 4L 
u 4 L du
y
d’ où
y  ae

1 r2 
  u  2 
u 4L 


r2 
  


4 L2  

Q
e

dv  H0 une solution paramétrée par
4  T u
v
deux variables adimensionnelles du temps et de l’ espace.
on obtient :
H ( r, t )  

Ce qui donne en terme de rabattement:
Dr. Robert WOUMENI
s
Q
1 r
W ( , )
4  T
u L
88
H
t
Solutions numériques et modélisation:
  H 
H
4-4
La forme discrétisée avec la méthode des différences finies, de l’équation de
diffusivité de la charge hydraulique s’écrit:
H  2 H  H
H  2 H  H

dx
dy
k 1
k 1
i 1 , j
i,j
k 1
k 1
i 1 , j
i , j 1
k 1
i,j
2
2
k 1
i , j 1
p
S H H



T
T
dt
k 1
i,j
i, j
i,j
i, j
k
i,j
i,j
Avec la méthode des éléments finis, on obtient:
H
 (P  H  R 
)F 0
t
N
j 1
j
i, j
j
i, j
i
Les coefficients correspondent aux propriétés d’emmagasinement et de transport
et font intervenir des fonctions d’interpolation spatiale. Le troisième terme (F)
rassemble les paramètres de forçage (pompage et conditions aux limites).
89
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
H
t
Solutions numériques et modélisation:
  H 
H
4-4
La modélisation numérique est la méthode de résolution que
l’on réserve aux problèmes difficiles (hétérogenéité du
sol, géométrie complexe des limites, non
stationnarité,….).
Modéliser, cela revient à faire des hypothèses pertinentes,
qui permettront de traduire un problème réel en un jeu
d’équations solubles par un code de calculs.
Il est parfois utile de tester un code de calculs sur des cas
plus simples (dont la solution est connue), avant de
s’aventurer sur des situations plus complexes.
90
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-4
Solutions numériques et
modélisation:
H
t
Le code de calcul Hydronap [2]
permet de calculer le
rabattement spatio temporel
engendré par un puits placé
près d’un mur imperméable
d’extension finie (extrait des
travaux numériques réalisés
par le groupe VINCENT
Thierry et COLLONGUES
Vincent en 2002).
On peut ensuite analyser
l’influence de la position du
puits par rapport au mur.
91
Dr. Robert WOUMENI
4) Ecoulements non stationnaires
  H 
H
4-4
Solutions numériques et
modélisation:
H
t
On considère un bâtiment sensible du
type centrale nucléaire, près d’une
rivière. Une crue importante dans
la rivière se propage par diffusion
dans la nappe phréatique proche
(groupe PEYTAVI Sebastien,
POCHAT Martin, RAGUENAU
Judicaël en 2001).
Le calcul montre que le renforcement
de la digue (facteur 1000 sur la
perméabilité) sur un secteur limité
(150 m) permet de gagner 4
heures sur le temps d’inondabilité.
92
Dr. Robert WOUMENI
5) Mesures in situ de perméabilité
Les calculs prédictifs que l’on peut faire dépendent
énormément de la qualité des données sur les
propriétés du sol (i.e. les perméabilités).
Les mesures en laboratoires sont assez précises,
et peu coûteuses, mais reposent souvent sur
des hypothèses simplificatrices assez fortes
(homogenéité, isotropie, représentativité, etc)
A l’inverse, les mesures in situ sont représentatives
du sol en place, mais elles sont coûteuses,
parfois difficiles à interpréter, et pas toujours
précises. Elles feront l’objet de ce chapitre.
93
Dr. Robert WOUMENI
5) Mesures in situ de perméabilité
5-1
•
•
•
•
Les essais de pompage (hydrogéologie,
géotechnique):
Ces essais permettent l’estimation de la
perméabilité (globale) et le coefficient
d’emmagasinement, d’un sol traversé par
une nappe d’eau souterraine.
Les préoccupations pouvant porter sur la
ressource en eau près d’un captage
(hydrogéologie) ou sur l’assèchement d’une
fouille pour un chantier (génie civil).
La norme française NF P 94-130 relative à
ces essais, préconise une durée minimale de
6h pour une meilleure représentativité. Le
régime permanent (art. 6.2.2.) étant obtenu
lorsque les écarts pour 3 valeurs de niveau
espacées d’1 heure, ne dépassent pas 1cm.
La station SERES (ci-contre) située sur le
campus de Grenoble, permet des travaux
pratiques sur de tels essais.
94
Dr. Robert WOUMENI
5) Mesures in situ de perméabilité
SERAPHYNE GRENOBLE SITE: PUMPING TESTS (September, 2001 and April, 2004)
5-1 Les essais de pompage
(hydrogéologie, géotechnique):
20
PZ2* : y = 3.541Ln(x) + 13.62
18
PZ2
16
PZ2*
PZ3
•
•
•
•
Le débit usuel prélevé est de
33m3/h (+/- 1.5 m3/h).
Une sonde électrique permet de
suivre l'évolution du niveau de
l'eau dans les piézomètres
pendant le pompage.
Le niveau peut aussi être suivi par
des capteurs, permettant en cas
de besoin un enregistrement
automatique des mesures.
Compte tenu de l'allure des
courbes obtenues, une
interprétation basée sur la formule
de Jacob (Cf. section précédente)
est suffisante. La nappe
phréatique étant dans le cas
présent de type libre.
Drawdown (cm)
14
PZ3*
PZ2: y = 3.868Ln(x) + 12.345
12
10
PZ3 : y = 3.9294Ln(x) + 9.7421
8
PZ2 - Linear
6
PZ2* - Linear
PZ3 - Linear
4
PZ3* - Linear
PZ3* : y = 3.4021Ln(x) + 10.821
2
0
0.01
0.1
1
10
Time (hours)
95
Dr. Robert WOUMENI
5) Mesures in situ de perméabilité
5-2 Les essais Lefranc (diagnostics
d’écoulement à travers les barrages):
•

m
On présente ci-après la procédure
d’interprétation des essais par
injection en régime permanent.
L
D

2  
Ln   2  1
m  2
dz
Q  Q1  Q2  S
dt
Q  mK H D
Dr. Robert WOUMENI

Il faut tout d’abord définir quelques grandeurs.
Ainsi, on introduit un rapport géométrique
(lambda), et le coefficient de cavité m, pour
un cylindre, puis pour une sphère.
Le débit est alors donné par une relation
assez simple en fonction de la charge H
engendrée, et de la perméabilité recherchée.
Robert WOUMENI
96
96
5) Mesures in situ de perméabilité
5-2
Les essais Lefranc (diagnostics
d’écoulement à travers les
barrages):
•
Application au barrage de la
Barberolle, sur les points F4 (haut)
et F7 (bas).
•
On note sur le second point un
colmatage au cours de l’essai.
Des décolmatages peuvent aussi
se produire.
•
Les essais par pompage sont
réciproques de ceux par injection.
97
Dr. Robert WOUMENI
5) Mesures in situ de perméabilité
5-2
Les essais Lefranc (diagnostics d’infiltration pour les barrages):
Considérons à présent les essais en régime transitoire.
H t  représente la charge à l’instant t;
QE t  le débit qui serait en équilibre avec la charge H(t):
Q
le débit injecté ou pompé;
A
l’aire intérieure du tube d’essai;
L’équation du bilan en eau s’écrit:
Ou encore:
QE t   m  K  H t   D
Q  QE t   dt  A  dH
dH
A
 m K  H  D  Q
dt
La solution s’obtient alors en fonction des conditions initiales sous la forme :
H t  
Q
Q


 m K  D



  H0 

exp

t

t

0 

m K  D 
m K  D
A

98
Dr. Robert WOUMENI
5) Mesures in situ de perméabilité
5-2
Les essais Lefranc (diagnostics
d’infiltration pour les barrages):
La perméabilité est déduite d’un
ajustement de la formule théorique
précédente, sur les mesures d’un
essai.
•
Application au site de la centrale
nucléaire de Fessenheim. Il vaut
mieux faire l’interprétation sur la
partie descendante de la courbe
(débit nul).
•
Barrage EDF de Cevins (près
d’Albertville): Ajustement assez
correct pour un essai d’injection, et
problèmes de colmatage au bout
d’un certain temps.
99
Dr. Robert WOUMENI
CONCLUSION
Ainsi l’Hydraulique Souterraine couvre un domaine
d’applications très large, faisant intervenir plusieurs
disciplines conventionnelles: Géotechnique,
Hydrogéologie, Hydrodynamique des Milieux Poreux,
Mécanique des sols, Mécanique des fluides, Hydrologie.
Cela en fait la richesse, mais c’est aussi source de difficultés
car il y a besoin de combiner de façon équilibrée des
aspects théoriques et pratiques. La solution d’un problème
dépendra souvent de plusieurs paramètres: type de nappe
(en charge, ou à surface libre), hétérogenéités, symétries,
système adapté de coordonnées, dimensionnalité,
stationnarité, extension de la zone d’étude, type de limites,
saturation en eau...
100
Dr. Robert WOUMENI