la geometrie du triangle resume table des matieres
publicité
LA GEOMETRIE DU TRIANGLE YVONNE ET RENE SORTAIS RESUME Cet ouvrage s’adresse essentiellement aux élèves des classes de seconde, première S et terminale C, ainsi qu’à leurs professeurs. Le lecteur y trouvera une succession d’exercice avec solutions, lui permettant d’explorer les richesses de cette figure fondamentale en géométrie plane qu’est le triangle. Les solutions proposées utilisent uniquement les outils mis à leur disposition depuis la seconde jusqu’à la terminale C: théorème de Thalès, projections, homothéties, symétries et rotations, barycentre, produit scalaire, angles inscrits. Une rubrique rappelant les notions utilisées accompagne chaque énoncé. Afin de rendre la recherche facile et attrayante, une attention particulière a été accordée à la présentation des figures. Celles-ci sont en effet le support visuel essentiel de la géométrie déductive qui est développée dans cet ouvrage. Les exercices proposés sont regroupés par thèmes, chacun pouvant ainsi approfondir l’étude selon son niveau et sa curiosité. Grâce à leur enchaînement, les professeurs pourront facilement élaborer des problèmes de géométrie riches et captivants. L’objectif de cet ouvrage est de familiariser le lecteur avec les outils élémentaires de la géométrie déductive et de lui faire découvrir les propriétés les plus classiques du triangle. En progressant dans sa lecture, il pourra savourer la recherche d’autres propriétés moins connues mais tout aussi fascinantes. Les enseignants du second cycle des lycées y puiseront matière à étayer et à enrichir leur enseignement. TABLE DES MATIERES 1 2 3 4 Droite 123- et cercle d'Euler Droite d'Euler Symétriques de l'orthocentre H par rapport aux côtés d'un triangle Cercle d'Euler et triangle médian Théorème de Ménélaüs 1Théorème de Ménélaüs 2Droite de Newton d'un quadrilatère complet Théorème de Céva Triangle orthique 1Théorème de Nagel et triangle orthique 2Triangle orthique d'un triangle dont les trois angles sont aigus: * trajectoire de lumière * périmètre 8 10 12 16 20 22 26 28 30 5 Triangle de périmètre minimal inscrit dans un triangle donné 32 6 Triangle médian du triangle orthique - Cercle de Taylor 1Triangle médian du triangle orthique 2Cercle de Taylor 3Centre du cercle de Taylor 36 38 41 7 8 Droite de Simson - Droite de Steiner 1- Droite de Simson 42 2345- Droite de Steiner Directions des droites de Simson Droites de Simson perpendiculaires Droites de Simson de quatre points distincts d'un même cercle 43 50 52 56 Point de Miquel - Cercle de Miquel 1Point de Miquel 58 1234- Point de Miquel Cercle de Miquel Le point de Miquel appartient au cercle de Miquel Point de Miquel et centres de similitudes 9 Paraboles tangentes aux trois côtés d'un triangle Parabole tangente aux quatre côtés d'un quadrilatère complet 10 Bissectrices d'un triangle 1Propriétés barycentriques des pieds des bissectrices 2Cercles d'Apollonius 3Centre I du cercle inscrit et barycentre 4Centres des cercles exinscrits et barycentres 5intersection du cercle circonscrit et des bissectrices d'un triangle 6Segments déterminés sur les côtés d'un triangle par les points de contact du cercle inscrit et des cercles exinscrits 11 Triangle dont les sommets sont les centres des cercles exinscrits Triangle dont les sommets sont les points de contact du cercle inscrit 12 Point de Gergonne - Point de Nagel 1Céviennes isotomiques 2Points réciproques et coordonnées barycentriques90 3Point de Gergonne - Point de Nagel N 4Relations: + = , + = ( G isobarycentre de A, B, C: 0 centre du cercle circonscrit au triangle ABC) ( H orthocentre de ABC; 1 centre du cercle inscrit dans le triangle ABC) 58 61 62 64 66 70 72 74 76 78 80 82 84 88 92 94 13 Relations métriques dans le triangle 98 14 Relations trigonométriques dans un triangle 102 15 Cercles exinscrits - Cercle inscrit - Cercle circonscrit: relations métriques 1Relations liant les rayons de ces cercles 2Distances mutuelles des centres de ces cercles - relations d'Euler 104 106 16 Coordonnées barycentriques. de l'orthocentre * de l’orthocentre * du centre du cercle circonscrit 108 17 Figure de Vecten - Point de Vecten 114 18 Triangles semblables 1Triangles isométriques - Trois cas d'isométrie des triangles 2Triangles à côtés respectivement parallèles 3Trois cas de similitude des triangles 4Triangles directement semblables - Triangles indirectement semblables 118 122 124 126 19 20 21 22 Triangles inscrits dans un cercle donné , d'orthocentre donné H, H intérieur strictement à Isogonalité 128 ABC- Droites isogonales par rapport à deux droites sécantes Isogonales de trois céviennes concourantes en un point du cercle circonscrit Points isogonaux relativement à un triangle 1Points isogonaux et triangles podaires de points isogonaux 2Points isogonaux remarquables 3Positions relatives de deux points isogonaux 132 136 456- 144 146 150 Points isogonaux foyers d'une ellipse tangente aux trois côtés du triangle Points isogonaux foyers d'une hyperbole tangente aux trois côtés du triangle Etude d'une réciproque: Théorème de Poncelet Symédianes 1Construction d'une symédiane 2Point de Lemoine : coordonnées barycentriques 3Une construction du point de Lemoine 4Le point de Lemoine du triangle ABC est le seul point du plan qui soit isobarycentre de son triangle podaire relativement au triangle ABC 5Théorème de Grèbe 138 140 142 152 154 156 158 160 Antiparallélisme et symédianes AB- Droites antiparallèles et symédianes Cercles de Lemoine et cercles de Tucker 164 B- 23 24 25 Cercles de Lemoine et cercles de Tucker 1Premier cercle de Lemoine 2.Cercles de Tucker 3.Etude d'une réciproque 4.Second cercle de Lemoine 166 168 172 174 Puissance d'un point par rapport à un cercle Axe radical de deux cercles - Cercles orthogonaux 176 Axe orthique d'un triangle 1Pieds des hauteurs d'un triangle. Axe orthique 2Pieds des bissectrices et alignements 178 180 Théorème de Simson 1Le triangle podaire et le triangle circonpédal d'un point P sont directement semblables 2Propriétés des triangles podaire et circonpédal 3Ensemble des points M du plan dont le triangle podaire relativement au triangle ABC à une aire imposées 182 184 26 Théorème de Feuerbach 188 27 Cercles d'Apollonius 1Centres isodynamiques d'un triangle 2Alignement des centres isodynamiques, du point de Lemoine et du centre du cercle circonscrit 28 Point de Torricelli - Problème de Fermat 1Point de Torricelli d'un triangle ABC 2Position du point de Torricelli 3Valeur minimale de la somme MA + MB + MC Annexe: bissectrices TOP 186 194 196 200 202 204 210
