ensemble de julia

Définition 1 : Ensemble de Julia
On appelle ensemble de Julia, noté K P , l'ensemble : K P
{
z
P (u n−1
) si n≠0
.
z
si n=0
= { z ∈ℂ , (u zn ) borné } .
z
Soit P∈ℂ[ X ] tel que deg P ≥ 2 . Soit la suite vérifiant : u n =
Proposition 1 : Ensemble de Julia
Soit P∈ℂ[ X ] tel que deg P ≥ 2 . Alors K P est un ensemble non-vide et compact.
Preuve :
P−X est un polynôme non constant donc admet une racine z dans ℂ d'après le
théorème de d'Alembert-Gauss. Par récurrence : ∀ n∈ℕ , u zn = P n (z ) = z , donc
z
(u n ) est bornée et z ∈K P , ce qui montre que l'ensemble est non-vide.
2
2
De plus, quand ∣z∣→+∞ : P (z ) = a n z n +o( z n) , donc P 2 (z ) = a n+1
z n +o( z n ) .
n
p fois
n
n
Ainsi, pour z de module assez élevé, : u = ⏞
a
z +o( z ) , et donc
∣u zp∣ → +∞ , donc z n'est pas dans K P pour ∣z∣ assez élevé, donc K P est borné.
z
p
(...((n+1)n+1)...)+1
n
p+1
p+1
Soit une suite d'élément ( z k ) de K P qui converge vers z ∈ℂ . P m est continue pour
tout entier m donc : ∀ m∈ℕ, lim P m ( z k ) = P m ( z) . De plus, il est clair que :
k →+∞
∀(k , m)∈ℕ , P (z k )∈ K P . K P étant borné : ∃C >0 ,∀( k , m)∈ℕ2 ,∣P m ( z k )∣ < C .
Soit ε > 0 . Soit m∈ℕ . On sait que P m ( z k ) → P m (z ) pour k →+∞ donc :
∃ K m ∈ℕ , ∀ k≥K m , P m ( z k )∈ BO ( P m (z ) , ε) , donc P m ( z )∈BO ( P m ( z K ) , ε) , ou
encore : P m ( z )∈BO (0,∣P m ( z K )∣+ε) , immédiatement : P m (z )∈BO (0, C+ε) , et ce pour
tout m∈ℕ . Nous avons donc montré que (u zn ) était une suite bornée par C+ε , donc
que z ∈K P , donc que toute suite d'éléments de K P convergeait dans K P , donc que
K P était fermé.
2
m
m
m
De surcroît, K P⊂ℂ qui est un espace vectoriel de dimension fini, donc d'après le
théorème de Borel-Lebesgue, K P est compact car fermé et borné, ce qui achève la preuve.