equation des ondes

Équation des ondes
L3 Mathématiques
Université de Mostaganem.
17 Novembre 2016
S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)
EPM
17 Novembre 2016
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But
Résolution de l’équation des ondes linéaire homogène, en dimension
un d’espace :
(1)
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But
Résolution de l’équation des ondes linéaire homogène, en dimension
un d’espace :
(1)
Deplacement d’une corde elastique
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Plan
Problème de Cauchy homogène
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Plan
Problème de Cauchy homogène
Problème de Cauchy non-homogène
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Plan
Problème de Cauchy homogène
Problème de Cauchy non-homogène
Quelques méthodes de résolution numérique.
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Plan
Problème de Cauchy homogène
Problème de Cauchy non-homogène
Quelques méthodes de résolution numérique.
Quelques éléments de théorie relatifs aux cas des dimensions d’espace
deux ou trois.
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Analyse du problème monodimensionnel
1. Préliminaires
On s’intéresse à l’équation des ondes 1D posée sur R tout entier
(2)
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Analyse du problème monodimensionnel
1. Préliminaires
On s’intéresse à l’équation des ondes 1D posée sur R tout entier
(2)
avec les conditions initiales
(3)
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1. Préliminaires
Introduisons un premier résultat.
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1. Préliminaires
Introduisons un premier résultat.
Lemma (1)
Soit u 2 C 2 (R R+ ) solution de (2), alors u est la somme de deux ondes
progressives u+ , u 2 C 2 (R) de vitesses respectives +c et c :
(4)
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1. Préliminaires
Proof.
Il su¢ t d’utiliser la factorisation d’opérateurs suivante :
(5)
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1. Préliminaires
Principe de Duhamel
Lemma (2)
On considère l’équation de transport
(6)
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1. Préliminaires
Principe de Duhamel
Lemma (2)
On considère l’équation de transport
(6)
Alors il existe une unique solution v 2 C 1 (R
formule de Duhamel :
R+ ), donnée par la
(7)
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Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY
Revenons à l’équation des ondes et prouvons le caractère bien posé du
problème de Cauchy que constitue (2)(3).
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Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY
Revenons à l’équation des ondes et prouvons le caractère bien posé du
problème de Cauchy que constitue (2)(3).
Theorem (Existence et unicité - formule de d’Alembert)
Soient g 2 C 2 (R) et h 2 C 1 (R), alors il existe une unique solution
u 2 C 2 (R R+ ) du problème de Cauchy (2)(3), donnée par la formule de
d’Alembert :
(8)
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Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY
Fact
À partir de la formule de d’Alembert, on est …nalement en mesure
d’identi…er les deux ondes progressives u+ et u constituant u, introduites
dans le Lemme1, en fonction des données du problème de Cauchy :
(9)
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Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY
Fact
À partir de la formule de d’Alembert, on est …nalement en mesure
d’identi…er les deux ondes progressives u+ et u constituant u, introduites
dans le Lemme1, en fonction des données du problème de Cauchy :
(10)
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3. Stabilité en norme
L∞ (R [0, T ])
La formule de d’Alembert (8) permet d’observer la propriété suivante
de stabilité, caractérisée par la dépendance continue de la
solution par rapport aux données de Cauchy en norme
L∞ (R [0, T ]) pour tout T > 0 …xé.
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3. Stabilité en norme
L∞ (R [0, T ])
La formule de d’Alembert (8) permet d’observer la propriété suivante
de stabilité, caractérisée par la dépendance continue de la
solution par rapport aux données de Cauchy en norme
L∞ (R [0, T ]) pour tout T > 0 …xé.
Corollary
Soit T > 0 …xé et e > 0 donné, soient (g1 , h1 ) et (g2 , h2 ) deux couples de
fonctions dans C 2 (R) C 1 (R) tels que
(11)
Soient u1 et u2 les solutions respectivement obtenues pour ces données de
Cauchy. Alors, pour tout x 2 R et tout t 2 R+ , t T , on a
(12)
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4. Domaine de dépendance et domaine d’in‡uence.
Le domaine de dépendance de (x, t ) est le triangle
(13)
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4. Domaine de dépendance et domaine d’in‡uence.
Le domaine de dépendance de (x, t ) est le triangle
(13)
Réciproquement, le domaine d’in‡uence du point (x, t ) est le cône
(14)
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4. Domaine de dépendance et domaine d’in‡uence.
Domaines de dependance et d’in‡uence
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Problème non homogène
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5. Problème de Cauchy non homogène
Theorem
Soit f 2 C 0 (R
R+ ), on considère le problème de Cauchy non-homogène
suivant :
(15)
(16)
avec g 2 C 2 (R) et h 2 C 1 (R). Alors il y a existence et unicité de la
solution u 2 C 2 (R) C 1 (R), donnée par :
(17)
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6. Stabilité pour le problème de Cauchy non-homogène
Corollary
Soit T > 0 …xé et e > 0 donné, soient (g1 , h1 ) et (g2 , h2 ) deux couples de
fonctions dans C 2 (R) C 1 (R) et f1 , f2 des second termes continus sur
R
R+ , tels que
(18)
Soient u1 et u2 les solutions respectivement obtenues pour ces données de
Cauchy et second termes. Alors, pour tout x 2 R et tout t 2 R+ , t T ,
on a
(19)
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