DS n 1-TS2-sujet A Ex n 1 On considère la suite (vn) définie par v 0

DS n◦ 1-TS2-sujet A
Ex n◦ 1
On considère la suite (vn ) définie par v0 = 6 et la relation de récurrence
vn+1 = 1, 4vn − 0, 05vn2
1. Calculer v1 et v2 à l’aide de la calculatrice
2. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1, 4x − 0, 05x2 . Etudier les variations
de f sur [0; 8]
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 6 vn 6 vn+1 6 8
4. Quelles propriétés mathématiques de la suite (vn ) a-t-on prouvé ?
Ex N◦ 2
On admet que, dans un magasin de cadenas :
•
80 % des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de
gamme ;
• 3 % des cadenas haut de gamme sont défectueux ;
• 7 % des cadenas sont défectueux.
On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :
•
•
•
p la probabilité qu’un cadenas premier prix soit défectueux ;
H l’évènement : « le cadenas prélevé est haut de gamme » ;
D l’évènement : « le cadenas prélevé est défectueux ».
1. Représenter la situation à l’ aide d’un arbre pondéré.
2. Exprimer en fonction de p la probabilité P (D). En déduire la valeur de p.
3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un
cadenas haut de gamme.
Ex N◦ 3
1
Soit la suite (sn ) définie soit par la formule de récurrence : sn = sn−1 + n avec s0 = 1,
2
1
1
1
soit par la formule (close) sn = 1 + + 2 + ..... + n
2 2
2
1
1
1
1. Simplifier sn = 1 + + 2 + ..... + n
2 2
2
2. Vers quoi tend sn lorsque n → +∞
3. A l’aide du tableur de la calculatrice trouver la valeur de n0 telle que pour tout
n > n0 on a 1, 99 6 sn
4. Proposer un algorithme qui permet d’obtenir n0
1
Ex N◦ 4(*)
On rappelle la définition de la suite de Fibonnacci F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn−1
(*)
√
Fn+1
1+ 5
et on note qn =
pour n > 1
On rappelle que φ =
2
Fn
1
1. Montrer que pour tout n > 1 on a qn = 1 +
(sans récurrence en travaillant
qn−1
la relation (*))
1
2. Montrer que φ = 1 +
φ
(−1)n
3. Montrer par récurrence que qn − φ =
pour tout n > 1
Fn φn
4. En déduire que si n → +∞ alors qn → φ
Ex N◦ 5(*)
On rappelle la définition de la suite de Fibonnacci F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn−1
Voici quelques termes : 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
1. Expérimenter sur les premiers termes et chercher une formule pour :
k=n
P
Fk =?
(a)
k=0
(b)
k=2n+1
P
Fk =? (k impair)
k=1
(c)
k=2n
P
Fk =? (k pair)
k=0
(d)
k=n
P
Fk2 =?
k=0
2. Proposer votre propre expérience
3. Preuves ?
2
DS n◦ 1-TS2-sujet B
Ex n◦ 1
On considère la suite (wn ) définie par w0 = 5 et la relation de récurrence
wn+1 =
4wn − 1
wn + 2
1. Calculer w1 et w2 à l’aide de la calculatrice
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
4x − 1
9
f (x) =
. Vérifier que f (x) = 4 −
.
x+2
x+2
3. Etudier les variations de f sur [0; +∞[
4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : wn > wn+1 > 1
5. Quelles propriétés mathématiques de la suite (wn ) a-t-on prouvé ?
Ex n◦ 2
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses
boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 %
de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements
suivants :
— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
— évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
— évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Traduire l’ énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. (a) Quelle est la probabilité de l’ évènement B ∩ S ?
(b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de
pesticides est égale à 0, 88.
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Ex N◦ 3
1
Soit la suite (sn ) définie soit par la formule de récurrence : sn = sn−1 + n avec s0 = 1,
5
1
1
1
soit par la formule (close) sn = 1 + + 2 + ..... + n
5 5
5
1
1
1
1. Simplifier sn = 1 + + 2 + ..... + n
5 5
5
2. Vers quoi tend sn lorsque n → +∞
3. A l’aide du tableur de la calculatrice trouver la valeur de n0 telle que pour tout
n > n0 on a 1, 24 6 sn
4. Proposer un algorithme qui permet d’obtenir n0
3