NOMBRES PREMIERS - PGCD 1. DIVISEURS : RAPPELS

NOMBRES PREMIERS - PGCD
1. DIVISEURS : RAPPELS
Soit a et d deux nombres entiers positifs (d  0).
SI
a
est un nombre entier
d
le reste de la division euclidienne de a par d est zéro,
le quotient
il existe un nombre entier n tel que a = d × n
ALORS on dit que :
d est un diviseur de a,
a est un multiple de d,
a est divisible par d.
Exemple :
42
 6 ou 42 = 7 × 6
7
7 est un diviseur de 42,
On peut donc dire que :
42 est un multiple de 7,
42 est divisible par 7.
4 n’est pas un diviseur de 26 car le quotient
26
26
n’est pas un nombre entier :
 6,5
4
4
Propriété :
Tout nombre entier, supérieur ou égal à 2, admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Définition :
Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et lui-même) s’appelle
un nombre premier.
Exemple :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19… sont des nombres premiers.
9 n’est pas un nombre premier : il a trois diviseurs : 1 ; 3 et 9.
1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1.
2. PGCD DE DEUX NOMBRES
Si deux entiers positifs a et b sont divisibles par un même entier d, alors on dit que d est
un diviseur commun de a et b.
Exemple :
25 = 5 × 5 et 40 = 5 × 8 donc 5 est un diviseur commun de 25 et 40.
Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres.
a et b sont deux entiers positifs.
Parmi leurs diviseurs communs, l’un d’entre eux est plus grand que les autres.
On appelle P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) le plus grand des diviseurs communs
de a et b.
On le note PGCD (a ; b).
Exemple :
24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 5 × … donc :
La liste des diviseurs de 24 est : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 5 × … = 6 × 6 donc :
La liste des diviseurs de 36 est : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le plus grand diviseur commun de 24 et 36.
On note PGCD (24 ; 36) = 12
3. CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES
Pour déterminer PGCD (413 ; 295), on effectue les soustractions successives :
413 – 295 = 118
PGCD (413 ; 295) = PGCD (295 ; 118)
295 – 118 = 177
PGCD (295 ; 118) = PGCD (177 ; 118)
177 – 118 = 59
PGCD (177 ; 118) = PGCD (118 ; 59)
118 – 59 = 59
PGCD (118 ; 59) = PGCD (59 ; 59)
PGCD (295 ; 177) = 59

On prend les deux nombres et on les soustrait.

On prend les deux plus petits et on recommence.

On s’arrête lorsque l’on obtient deux nombres égaux.
4. CALCUL DU PGCD PAR METHODE D’EUCLIDE
Calculer le PGCD de 494 et 143.
On effectue la division euclidienne de 494 par 143 :
494
65
143
3
On peut écrire : dividende = quotient × diviseur + reste, soit :
494 = 3 × 143 + 65
On recommence le même travail avec 143 et le reste de la division, c’est-à-dire 65 :
143
13
65
2
143 = 2 × 65 + 13
On recommence le même travail avec 65 et le reste de la division, c’est-à-dire 13 :
65
0
13
5
65 = 5 × 13 + 0
Le PGCD cherché est le dernier reste différent de 0. Ici, PGCD(494 ; 143) = 13
Exemple : calculer le PGCD de 108 et 846
846 = 7 × 108 + 90
(division euclidienne de 846 par 108)
108 = 1 × 90 + 18
(division euclidienne de 108 par 90)
90 = 5 × 18 + 0
(division euclidienne de 90 par 18)
Le dernier reste différent de 0 est 18 donc PGCD(846 ; 108) = 18