Mathématiques en classe de 3ème au collège Haxo – S.Percot CHAPITRE7:Trigonométrie Lescompétencestravaillées: Connaitrelecosinus,lesinus,latangented'unangleaigu(objE24:p340) Calculerunelongueurpartrigonométrie(objE25:p342) Déterminerunanglepartrigométrie(objE26:p344) I:Connaitrelecosinus,lesinus,latangented'unangleaigu Définition:Dansuntrianglerectangle,pourunangleaigudonné,ondéfinittroisrapportsdelongueurs: Côté opposé à cet angle aigu Lesinusdecetanglequiestégalauquotient: Hypoténuse Côté adjacent à cet angle aigu Lecosinusdecetanglequiestégalauquotient: Hypoténuse Côté opposé à cet angle aigu Latangentedecetanglequiestégaleauquotient: Côté adjacent à cet angle aigu Exemple:DansuntriangleABCrectangleenA,onadonc: ! = AB ! = AC ! = AB sin ACB cos ACB tan ACB BC BC AC Remarque:Lescalculatricesdonnentdetrèsbonnesvaleurs approchéesdecesrapports.Ilfautsimplementvérifierqu’ellessont bienconfiguréesen«Degrés».Parexemple,pourlecosinusde68°: Propriété:Dansuntrianglerectangle,lecosinusetlesinusd’undesanglesaigusesttoujourscomprisentre0 et1. Remarque:Eneffet,dansuntrianglerectangle,l’hypoténuseestleplusgrandcôtédonclerapportentrel’un desdeuxautrescôtésetl’hypoténuseesttoujourscomprisentre0et1. Propriété:Dansuntrianglerectangle,pourtoutangleaigudemesurex: sin x 2 2 tan x = (sin x ) + (cos x ) = 1 cos x Exercicesdumanuelliésàcettenotion: Exercices1à15page340-341 II:Calculerlalongueurd’uncôtéd’untrianglerectangle Pourcalculeruncôtéd’untrianglerectangledontonconnaitunangleaiguetlalongueurd’uncôtéilfaut: Parexemple: -Faireunschémadutriangleen pourcalculer précisantquelscôtéssont l’hypoténuse,lecôtéopposéàl’angle ACdansletriangle ABCrectangleenA. connuetlecôtéadjacentàl’angle connu. -Ensuiteilfautsedemanderquelest lecôtécherchéetquelestlecôté connu. C’estlesinusquifaitinterveniràlafoisl’hypoténuseetlecôté opposéàl’angle.Onpeutdoncécrire: -Ilfautécrireuneégalitéavecle AC ! = AC d’où rapportquifaitintervenircesdeux sin B sin 29° = BC 6 côtés. etdonc AC = 6 × sin 29° Lacalculatriceconnaitunevaleurapprochéede sin 29° -Onaainsiuneéquationàuneseule inconnue(lecôtécherché)qu’ilsuffit donc AC ≈ 2,9 cm derésoudre. Exercicesdumanuelliésàcettenotion: Exercices1à15page344-345 Exercicesdumanuelliésàcettenotion: Exercices1à14page342-343 III:Déterminerlamesured’unangledansuntrianglerectangle Pour déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle dont on connait les longueurs de deux côtésilfaut: Parexemple pourdéterminerla -Faireunschémadutriangleen ! précisantquelscôtéssontl’hypoténuse, mesuredel’angle B lecôtéopposéàl’angleconnuetle dansletriangleABC côtéadjacentàl’angleconnu. rectangleenA. -Ensuiteilfautsedemanderquelssont lesdeuxcôtéconnus. -Ilfautécrireuneégalitéavecle rapportquifaitintervenircesdeux C’estlecosinusquifaitinterveniràlafoisl’hypoténuseetle côtés. côtéadjacentàl’angle.Onpeutdoncécrire: ! = AB d’où ! = 11 cos B cos B -Onaainsiuneéquationàuneseule BC 15 inconnue(l’anglecherché)donton ! : Lacalculatricesaitalorsretrouverunevaleurapprochéede B pourratrouverunevaleurapprochée grâceàlacalculatrice. ! ≈ 43° donc B