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BAC MAROC 2005
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Corrigé de l’exercice 2 : «Voyage autour de Saturne»
1- Quelques caractéristiques de Titan :
1.1 Forces
1.1.1
Titan subit la force d’interaction gravitationnelle exercée par Saturne.
GMT MS
1.1.2
1.1.3
F=−
u
RT2
u
S
+
F
où u est le vecteur
unitaire de la droite ST dirigé de S
vers T.
Sens du
mouvement
t
n +T
1.2 Accélération et vitesse.
1.2.1 D’après la seconde loi de Newton, appliquée à Titan, réduit à son centre d’inertie T, dans le référentiel
Saturno-centrique : MT .a = F
Donc : MT .a = −
G.MT .MS
a =−
donc
.u
RT2
( F étant la seule force subie par Titan).
G.MS
RT2
.u
Pour Titan, en orbite circulaire de rayon RT autour de Saturne, on a : a =
1.2.2
dv
v²
.t +
.n
dt
RT
dv
v2
et an =
dt
RT
Donc : at =
1.2.3
La force F est centripète (colinéaire à n ), le vecteur accélération est lui aussi centripète. Il se
réduit donc à la composante normale an n .
1.3
Type de mouvement
dv
= 0 , la valeur de la vitesse v de
dt
Titan est donc constante. Le mouvement de Titan autour de Saturne est uniforme.
D’après la deuxième loi de Newton on a :
Le vecteur accélération de Titan étant normal on a donc at =
1.3.1
1.3.2
G.MS
a=
RT2
.n =
G.MS
G.MS
v²
v²
.n ⇔
=
⇔ v² =
⇔ v=
2
RT
RT
RT
RT
G.MS
RT
2- D’autres satellites de Saturne :
2.1.1 Loi de Kepler
G.MS
G.MS
G.MS
2π.R
4π2 .R2
R3
T2
4 π2
v=
=
⇔
=
⇔ 2 =
⇔ 3 =
2
2
T
R
R
G.MS
T
T
4π
R
2.1.2
R3
T
2
=
Soit : RE =
G.MS
2
4π
3
G.MS
⇔ R3 =
2
4π
.T 2 ⇔ R =
6, 67x10 −11 x5, 69x1026
2
4π
Bac Maroc 2005 – Exercice 2 - Correction
3
G.MS
4π2
.T 2
x(1, 37x3600x24)2 = 2,38 x 108 m
Production : ABCM (lycée Lyautey)
3- Satellite saturno-stationnaire
3.1
Un satellite saturno-stationnaire reste à la verticale du même point. Sa période de révolution est
égale à la durée d’un jour sur Saturne. TC = TS.
3.2
Altitude de la sonde
3.2.1. On a vu à la question 2.1.2 : RC =
Or RC = RS + h et TC = TS donc : h =
3.2.2. h =
3
6, 67x10 −11 x5, 69x1026
2
4π
3
3
G.MS
4 π2
G.MS
2
4π
.TC2 où RC est le rayon de l’orbite de la sonde Cassini.
.TS2 − RS
x(10x3600 + 39x60)2 − 6, 0x107 = 5,2 x 107 m
Pensez à convertir TS en secondes, RS en m
Bac Maroc 2005 – Exercice 2 - Correction
Production : ABCM (lycée Lyautey)