HEAJ- INFOGRAPHIE Unite D'enseignement Informatique 1

HEAJ- INFOGRAPHIE
MATH 1
Calcul Binaire et Hexadécimal
Éléments de Logique
Jacques Houard
2015-2016
1
Unite D'enseignement Informatique
1
UE6
●
1 Activité d'enseignement (AE) Math
●
MATH1(M1) - > 15h de cours (1er Quadrim.)
●
Autre activités en informatique...
Jacques Houard
2015-2016
2
UE, UA et crédits
SI la note de L'UA ≥ 10
●
→ UA réussie. Un report se fait de session en
session, d'année en année.
●
●
UE reussie si toutes les UA sont réussies.
●
UE réussie → Crédits obtenus.
Jacques Houard
2015-2016
3
Math 1
●
PROGRAMME :
●
Calcul binaire et hexadécimal ( 2 séances)
●
Elements de logique
●
Révision ( 1 séance)
●
Evaluation (Janvier 2016)
●
Deuxième chance (Juin 2016)
●
Troisième chance (Aout 2016)
(4 séances)
Jacques Houard
2015-2016
4
Math 1
●
Cours « Général » - exercices en Classe
●
Support de cours : Voir extranet
●
Aussi : ....
●
Référence : « Logic for Dummies »
●
nb : pas la même chose que « Logique pour les
Nuls (UCL)»
Jacques Houard
2015-2016
5
Math 1
●
Titulaire
●
Jacques Houard ( 4 classes sur 9)
●
[email protected]
●
Mail : moyen de communication par défaut
●
Facebook : Jacques Houard HEAJ
Jacques Houard
2015-2016
6
Calcul Binaire et Hexadécimal
Systèmes de numération
Numération écrite à l'aide de chiffres
Notation positionelle
1306=
1 millier
3 centaines
(0 dizaines)
6 unités
Le rôle spécial du Zéro ( 0).
Jacques Houard
2015-2016
7
Ecriture décimale positionelle
●
●
Utilise 10 symboles, de 0 à 9 = Base 10
Reliquats d'autres systèmes ça et là dans notre
culture, (lesquels ?)
●
●
Choix de la base 10
●
Notation :
●
D'autres bases sont parfois utilisées...
137 ≡ 13710
Jacques Houard
2015-2016
8
Autres Bases
●
2 autres bases seront ici considérées
●
Base 2 , avec les symboles 0 et 1
●
Notation ( exemple): 1001012
●
--> Système Binaire
●
Base 16, symboles 0....9, A,B,C,D,E,F
●
Notation ( exemple) : 4AF216
●
-> Système Hexadécimal
●
Jacques Houard
2015-2016
9
Système Binaire
Un Bit ( binary digit) peut prendre 2 valeurs, 0 ou 1
Le transistor, élément fondamental du monde digital actuel
Un transistor peut prendre deux états, 0 ou 1.
Calcul binaire
0+0 = 0
0 +1 = 1 / 1+0 = 1
1+1 = 10
( NB : pour pouvoir réaliser ce dernier calcul il faut 2 bits)
Octet (= byte, en général) > 8 Bits (exemple code ASCII)
Note 1MB= 1 megabyte et 1Mb = Un mégabit
Jacques Houard
2015-2016
10
Système Binaire
Jacques Houard
2015-2016
11
Système Hexadécimal
Calcul en base 16
Pratique car :
Conversion facile à partir du système binaire
Permet d'écrire la valeur d'un octet avec deux chiffres
Jacques Houard
2015-2016
12
Conversion Binaire -> Décimal
Base 10 : Rappel
147310 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 3 * 100
= 1* 1000 +4* 100 + 7*10 +3*1
Base 2 :
100100112=1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 +0*23 +0*22 +1*21 +1*20
=
=
1*128 +
128
0*64 +
0*32 +
+
= 14710
Jacques Houard
1*16 + 0*8 +
0*4 +
16
1*2 +
+2 +
1 *1 =
1=
2015-2016
13
Conversion Binaire -> Decimal
●
Facile si on commence à l'envers
●
( et si on connait les multiples de 2...)
●
11012 = 1*20 + 0*21 +1*22 +1*23
●
●
= 1*1
=
+ 0*2
+ 1*4 +1*8=
13
Jacques Houard
2015-2016
14
Conversion Binaire -> Decimal
●
Autre méthode...
●
Conversion du nombre 1110011012
●
●
512│256│128│64│32│16│8│4│2│1│
1
●
●
=
●
= 46110
1
1
0
256 +128+64
Jacques Houard
0 1 1 0 1
+ 8 +4
+1
2015-2016
15
Conversion Binaire -> Decimal
Autre exemple : conversion de 10110011012
Attention ! Le tableau débute à droite avec 1(=20) et non pas 0...
Jacques Houard
2015-2016
16
Conversion Décimal-> Binaire
2 Méthodes
1) Par division succesives par 2
2) Par soustraction des puissances de 2
Jacques Houard
2015-2016
17
Conversion Décimal -> Binaire
Methode 1: divisions successives ( attention
à l'ordre !
Jacques Houard
2015-2016
18
Conversion Décimal -> Binaire
Exemple pratique de conversion décimale vers binaire : Conversion de 2410 en
Binaire = 110002
Jacques Houard
2015-2016
19
Conversion Décimal -> Binaire
2ème Methode
●
Soustraction des Puissances de 2
EXEMPLE
5310= 32 + 16 +4 +1 = 25 +24 +22 +20 = 1101012
Question : Combien de bits nécessaires pour écrire 5310 ?
Jacques Houard
2015-2016
20
Conversion Décimal -> Binaire
Nombre de bits nécessaires :
Une conversion décimal-> binaire est une opération de base en informatique.
Il est important de savoir si l'on dispose de la « place nécessaire » pour écrire
le résultat dans la mémoire
Chaque bit correspond à une position.
Exemple :
3310 = 10000012
7 bits nécessaires ( le nombre comprend 7 chiffres)
Jacques Houard
2015-2016
21
Conversion Binaire -> Décimal
Exercices
Convertir en décimal ( base 10)
101110102 =
10102
=
20102
=
110010012
=
000000112
=
111112
=
Jacques Houard
2015-2016
22
Conversion Décimal -> Binaire
●
Convertir en binaire
●
29410 =
●
10910 =
●
110010 =
●
22110 =
●
3410 =
●
NB : Pour chaque calcul, indiquer le nombre de
23
bits nécessaires.Jacques Houard 2015-2016
Système Hexadécimal
Comparaison entre système binaire, décimal et hexadécimal
Jacques Houard
2015-2016
24
Conversion Hexadécimal->Décimal
●
Exemple
●
●
FB316 = F*162
+ B*161 + 3*160
●
= 15 * 256 + 11 * 16 + 3
●
= 3840
+176
+3 =
401910
●
Jacques Houard
2015-2016
25
Conversion Décimal-> Hexadécimal
Methode 1
Divisions successives par 16
●
Exemple : conversion de 91810 en base 16
Résultat = 39616 Attention à l'ordre de lecture inverse !
Jacques Houard
2015-2016
26
Conversion Décimal-> Hexadécimal
Methode 2
Recherche des plus hautes puissances de 16
Exemple
91810 = 3*162 + 9 * 161 + 6 *160 = 39616
●
Jacques Houard
2015-2016
27
Conversion Hexadecimal <->Binaire
Il s'agit d'une conversion « facile »
- à 4 bits d'un binaire correspond un chiffre
hexadécimal :
1010-0111-10012 = A -7- 9 = A7916
●
à chaque chiffre hexadécimal correspond 4 bits
d'un binaire
F 9 6 B16 = 1111 1001 0110 10112
●
Il est parfois plus simple de passer par le binaire pour les
conversion entre décimal et hexadécimal.
Jacques Houard
2015-2016
28
Exercices
Convertir en binaire ou décimal
●
29410 =
●
11002 =
●
10910 =
●
1000100001102 =
●
110010 =
●
22110 =
●
3410 =
Pour les conversions vers
le binaire,
de combien de bits doit-on29
Jacques Houard
2015-2016
disposer ?
●
●
Exercices
●
Conversion vers le décimal
●
120016 =
●
FEE16 =
●
A1C16 =
●
1BB16 =
●
2A616
=
●
B0B16
=
Jacques Houard
2015-2016
30
Exercices
Conversion vers l'hexadécimal
●
47710 =
●
101110110012 =
●
55510 =
●
10110 =
●
99910
Jacques Houard
2015-2016
31
Exercices
Convertir vers les autres bases
ACDC16 =
●
11110 =
●
82016 =
●
....
Jacques Houard
2015-2016
32
Eléments de Logique
Introduction
●
●
●
Exemple :
Au moins 2 personnes ont le même nombre de
cheveux sur la tête dans Bruxelles
...en effet, le nombre maximal de cheveux sur la tête est
de 500 000, et Bruxelles compte au moins 1 000 000
habitants
●
Jacques Houard
2015-2016
33
●
●
Eléments de Logique
Introduction
●
●
La logique peut être définie comme l'étude du
raisonnement
Le raisonnement peut être présent dans
différents domaine ( parfois de manière
discrète) :
–
Activités technico-scientifiques
–
Au tribunal
–
La publicité
–
La vie de tous les jours
Jacques Houard
●
●
●
2015-2016
34
Eléments de Logique
●
Exemple Logique et vie quotidienne
●
●
●
PROF : « Marie, va au tableau et localise L'Amérique sur
la carte »
MARIE : « Voila, monsieur »
●
●
(Marie se lève et montre l'Amérique sur la carte au mur)
●
PROF : « Bien. La classe, qui a découvert l'Amérique ? »
●
●
●
LA CLASSE : ….
Jacques Houard
2015-2016
35
Limites de la Logique
●
Exemple Logique et vie quotidienne
●
LA CLASSE : Marie !
Jacques Houard
2015-2016
36
Test de Logique
Question : Combien de pastèques faut-il pour
construire une maison ?
●
Réponse : 24, car les frites n'ont pas de cuir
chevelu.
●
●
Votre détecteur inné de logique devrait vous
alerter....
●
Jacques Houard
2015-2016
37
Logique et langage
●
Le garçon : « Fromage ou dessert ? »
●
Le client : « Les deux ! »
●
Le Garçon : « Euh...il faut choisir, en fait.. »
●
●
●
●
Ambiguïté de la langue française
La grammaire française est logique ... à
quelques exceptions près.
La logique nécessite un langage rigoureux.
Jacques Houard
2015-2016
38
Logique et Langage
●
« Un fou trouve toujours un plus fou que lui »
●
Pourrait se dire aussi ainsi :
●
●
●
Chaque fou trouve toujours au moins un autre
encore plus fou que lui
N'importe quel fou trouve toujours un autre
encore plus fou que lui
Pour tout fou, il en existe un encore plus fou
que lui
Jacques Houard
2015-2016
39
Logique et langage
Intérêt d'une mathématisation
●
« Traduction » mathématique
●
●
Avec,
●
« pour tout »
●
« contenu dans »
« identique à »
« il existe »
« tel que »
Jacques Houard
2015-2016
40
Logique et Informatique
●
Exemple d'exercice : Recherche de l'élément
« toto » dans un tableau :
●
Quand s'arrête-t-on ?
●
La recherche est arrêtée SI
●
●
« toto » est trouvé OU la dernière cellule du
tableau est lue
NB : OU exclusif ou inclusif ?
●
●
Jacques Houard
2015-2016
41
Logique et causalité
●
« S'il fait beau, je suis à la pêche »
●
( il fait beau, condition suffisante)
●
Je ne suis pas à la pêche, donc il ne fait pas
beau.
●
Jacques Houard
2015-2016
42
Logique - Propositions
●
La logique travaille avec des propositions (ou assertions), qui
peuvent être vraie ou fausses. Il faut cependant que cette
valeur (vrai ou faux), puisse être obtenue.
Autre définition
●
« Une proposition est un énoncé simple, susceptible d'être vrai
ou faux »
●
EXEMPLE :
●
Les hommes sont mortels
●
Sujet (êtres ou objets) : les hommes
●
Copule : sont (verbe être)
●
Prédicat (propriété) : mortels
Jacques Houard
2015-2016
43
Logique - Propositions
●
Exemples :
●
B. Obama est un grand président
●
« Avatar » est un mauvais film
●
Il fera beau demain
●
5 est un nombre pair
●
7 est plus petit que 8
●
Les Ondes Wifi sont mauvaises pour la santé
●
Un exemple paradoxal :
Je mens
Jacques Houard
2015-2016
44
Proposition
Une proposition ne peut pas être :
–optative (un souhait)
–interrogative (une question)
–impérative (un ordre)
Jacques Houard
2015-2016
45
Propositions simples et composées
( formules)
●
« Simple » -> l'énoncé ne peut être décomposé
en plusieurs énoncés.
●
●
●
Exemple de proposition composée ou formule :
« je ne mange pas de glace, mais des
carottes »
NB : « Mais » est équivalent à « et » ( dans le
domaine de la logique...)
Jacques Houard
2015-2016
46
Exercice : trouver les propositions
qui conviennent !
●
1) Namur est la capitale de la Flandre
●
2) Génial !
●
3) Deux plus deux font cinq
●
4) Il faut nettoyer la classe !
●
5) les hommes sont comme des chiens
●
6) Venez-vous souvent ici ?
●
7) Astana est la capitale du Kazakhstan
●
8) Que la force soit avec vous !
Jacques Houard
●
2015-2016
47
Raisonnements-syllogismes
●
●
Les raisonnement sont composées de
propositions
Exemple
–
Tous les hommes sont mortels
–
Je suis un homme
–
Donc je suis mortel
–
Exemple de raisonnement déductif
Jacques Houard
2015-2016
48
Ce que la logique peut..et ne peut
pas
●
La logique peut
●
Critiquer la validité d'un raisonnement
●
Travailler avec des propositions vraies et fausses
●
Dire si un raisonnement est valide
●
Justifier par déduction
●
La logique ne peut pas
●
Créer un raisonnement valide
●
Vous dire ce qui est réellement vrai ou faux
●
Vous dire si un raisonnement est sensé
●
Raisonner par induction
●
●
Jacques Houard
2015-2016
49
●
LOGIQUE
Principes de base
●
Principe du tiers exclu ( Aristote- Russel)
●
Toute proposition doit être soit vraie, soit fausse
●
●
●
Principe de non contradiction
Une proposition ne peut être à la fois, être vraie
et fausse.
Jacques Houard
2015-2016
50
Logique et mathématiques
●
●
La logique est utile pour les mathématiques
Les mathématiques sont aussi utiles pour la
logique
=> Utilisation d'un formalisme mathématique
Jacques Houard
2015-2016
51
Formules et propositions: les
symboles utilisés
1) Les lettres propositionnelles représentent des
proposi,ons simples : p, q, r, …
Exemple :
h représente « les hommes sont mortels »
p représente « il pleut »
Définition : valeur de vérité = valeur que peuvent prendre les
proposi,ons et formules logiques
Ces valeurs sont :
VRAI = V = TRUE = T = 1
FAUX = F = FALSE = F = 0
Jacques Houard
2015-2016
52
Formules et propositions: les
symboles utilisés
2) Les opérateurs (ou symboles) logiques :
–L’opérateur unaire (1 argument) :
•
La négation = NON (p) = NOT (p) = NON(p)= p= ~p
–Les opérateurs binaires (2 arguments) :
•
ET = AND = la conjonction = Ʌ = & = ∩
•
OU inclusif = OR = la disjonction inclusive = V = U
•
OU exclusif = XOR = la disjonction exclusive = W
Jacques Houard
2015-2016
53
Formules et propositions: les
symboles utilisés
Exemples :
Jacques Houard
2015-2016
54
Formules et propositions: les
symboles utilisés
1) les formules correspondent à des propositions
composées
2) Si A est une formule, alors non(A) est une
formule
3) Si A et B sont des formules, alors (A et B), (A ou
B) sont des formules
Exemples : A = (p ET q) = (p Ʌ q)
B = non(A) v (r v q)
Rem : les () servent à préciser et modifier l’ordre
d’exécution des opérateurs dans une formule
Jacques Houard
2015-2016
55
Réalisation d’une formule
Définition 1 : une réalisation pour une formule
consiste à donner une valeur (de vérité) pour
CHAQUE variable de cette formule.
•Définition 2 : une table de vérité consiste à
envisager toutes les réalisations possibles d’une
formule
Jacques Houard
2015-2016
56
Table de vérité à une variable
Toutes les réalisations de p sont présentées
Jacques Houard
2015-2016
57
Table de vérité à une variable
Application: Table de la négation
Exemple : p = « la fleur est jaune »
non(p) = « la fleur n’est pas jaune » = p
Jacques Houard
2015-2016
58
Exercices
Nier : Ce Chien possède 4 pattes.
Jacques Houard
2015-2016
59
Solutions
Nier : Ce Chien possède 4 pattes => Ce chien NE possède PAS 4 pattes
Jacques Houard
2015-2016
60
Table de vérité à deux variables
Jacques Houard
2015-2016
61
Table de la conjonction (ET, Ʌ)
Exemple :
Si
p = « la Terre est une planète » est VRAIE
q = « Le Soleil est une étoile » est VRAIE
Alors la formule (pɅq) est VRAIE
Jacques Houard
2015-2016
62
Table de la disjonction inclusive OU inclusif - V
Exemple :
Si
p = « la Terre est une étoile » est FAUSSE
q = « Le Soleil est une planète » est FAUSSE
Alors la formule (pVq) est FAUSSE
Jacques Houard
2015-2016
63
Table de la disjonction exclusive OU exclusif - W
Exemple :
Si
p = « la Terre est une étoile » est FAUSSE
q = « La Terre est une planète » est VRAIE
Alors la formule (pWq) est VRAIE
Jacques Houard
2015-2016
64
Table de vérité
●
●
●
●
Il s'agit d'un tableau qui permet d'évaluer une
formule
Formule, ou proposition composée:
proposition construite à partir de propostions
simples, reliées par des connecteurs logiques
Permet d'évaluer le résultat d'opérations
logiques
Tous les cas de figures doivent être évalués
Jacques Houard
2015-2016
65
Table de vérité à trois variables
Jacques Houard
2015-2016
66
Importance de l'ordre des
parenthèses
●
●
Faire la table de vérité de
1) (A et B) ou C
●
●
2) A et (B ou C)
●
●
3) A et B ou C est impossible ( par quelle
expression devrait-on commencer ?)
●
Exemple : Je possède une auto et une moto ou un cheval...
●
Jacques Houard
2015-2016
67
Exercice
●
Obtenir la table de vérité de l'expression
Examen 2013
Jacques Houard
2015-2016
68
... Solution
non C
B ou
excl C
A et C
non(A
et C)
(B ou excl C) ou
non(A et C)
A
B
C
~C
Bw~C
(A∩C)
~(A∩C)
(Bw~C)U(~(A∩C))
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
Jacques Houard
2015-2016
69
Types de formules
Définition : une formule A est une loi logique ou
une tautologie si toutes les réalisations de A sont
VRAIES (= 1)
Définition : une formule A est une contradic/on si
A est fausse dans toutes ses réalisations
Définition : une formule A est dite con/ngente si
A est VRAIE dans certaines réalisations et
FAUSSE dans d’autres
Jacques Houard
2015-2016
70
Equivalence Logique
Définition : deux formules A et B sont équivalentes
SSI toutes leurs réalisations ont la même valeur de
vérité ( = même table de vérité)
Notation :
A≡B
aussi A ~ B
Exemple :
p≡p
Jacques Houard
2015-2016
71
Exercice
Montrer que
Jacques Houard
2015-2016
72
Solution
1) Application de la loi de Morgan
2) Table de vérité
Solution
Non A
Non A U
Non B
Non B
A comparer...
A
B
AUB
∩
~(A)
U
~B
AwB
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
Jacques Houard
2015-2016
73
Lois de Morgan
●
Exemple :
●
Nier
●
« Je n'ai ni chat ni chien »
●
●
Nier :
●
Je possède une Porsche ou une Ferrari
Jacques Houard
2015-2016
74
Lois de Morgan
●
Loi 1
Loi 2
Jacques Houard
2015-2016
75
Lois de Morgan
1)
●
Non (A ou B) ↔ (Non A) et (Non B)
●
(NB : ↔ ≡ « est équivalent à » )
●
●
2)
Non (A et B) ↔ (Non A) ou (Non B)
●
●
●
Exercice : vérification des équivalences par la
table de vérité Jacques Houard 2015-2016
76
Lois de Morgan
Jacques Houard
2015-2016
77
Exercices
●
Nier, et vérifier avec une table de vérité :
1)
2)
3)
Jacques Houard
2015-2016
78
Exercices
●
Montrer que
1)
Par les lois de Morgan
2) Avec une table de vérité
Jacques Houard
2015-2016
79
Exercices
1) Par les lois de Morgan
Jacques Houard
2015-2016
80
Exercices
2) Avec une table de vérité
Jacques Houard
2015-2016
81
Implication
« Si je ne vous vois pas au cours, vous pouvez revenir en deuxième session »
Se lit
« Si p alors q »
« Si p , on a q »
Avec p = « je ne vous vois pas au cours »
q= « vous pouvez revenir en deuxième session »
... p est une condition suffisante pour q
NOTATION :
p→q
Jacques Houard
2015-2016
82
Implication
Table de vérité
Exemple : si p = « il pleut » est VRAI,
q = « j’étudie mes maths » est FAUX
ALORS la formule (p -> q) = « s’il pleut, alors j’étudie
mes maths » est FAUSSE
Jacques Houard
2015-2016
83
Implication
Exercice : démontrer avec une table de vérité que
Si p est vrai, on peut en déduire que q est vrai
...si p est faux, on ne peut rien en déduire sur q
« Venez au cours OU revenez en deuxième Session... »
Jacques Houard
2015-2016
84
Implication
Remarque : - Si (p -> q) ALORS p est une condition suffisante
pour q
q est une condition nécessaire pour p
- implication ≠ déduction
Exemple : la formule « la lune est verte donc la Meuse n’est pas
un fleuve» est VRAIE (0 -> 1 = 1) Si p ALORS q mais si p = 0
ALORS il s’ensuit ce que l’on veut.
Jacques Houard
2015-2016
85
Négation de l'implication
« Je ne vous vois pas au cours ET vous ne revenez pas en deuxième session...
Jacques Houard
2015-2016
86
Réciproque
Exemple
Proposition : « S'il pleut, alors il y a des nuages »
Réciproque : « S'il y a des nuages, alors il pleut »
Ecriture formelle : La proposition
La réciproque
NB : l'implication et sa réciproque
Ne sont PAS équivalents..
Donner des exemples....
Jacques Houard
2015-2016
87
Contraposée
Exemple
Proposition : « S'il pleut, c'est qu'il y a des nuages »
Contraposée : « S'il n'y a pas de nuages, c'est qu'il ne pleut pas »
Ecriture formelle : La proposition
La contraposée
Exercice : dresser la table de vérité de la contraposée
Jacques Houard
2015-2016
88
Contraposée
La contraposée est équivalente à la proposition
Or
....CQFD !
Jacques Houard
2015-2016
89
Implication exercices
Donner la négation, la réciproque et la contraposée de :
« Si mon train a un retard de 50', alors j'arrive en retard au cours
mais les étudiants attendent »
« Si mon chien a une laisse, alors il peut se pendre ou faire des maths »
« Si j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 %, alors
Je réussis mon année. »
« Si une perruque pend dans la garderobe, c'est que tante Doris nous rend visite »
Remarque: Il est parfois plus facile de raisonner par contraposée
Jacques Houard
2015-2016
90
Implication - exercices
« Si mon train a un retard de 50', alors j'arrive en retard au cours
mais les étudiants attendent »
p = « train en retard de 50' »
q = « j'arrive en retard »
r = « les étudiants m'attendent »
p → (q Ʌ r)
≡ p V (qɅr)
Négation : p V (qɅr) = p Ʌ(qVr)
=>« Mon train a un retard de 50' et je n'arrive pas en retard ou les étudiants ne m'attendent pas
Réciproque : (q Ʌ r) → p
=>«J'arrive en retard et les étudiants m'attendent donc mon train a un retard de 50'»
Contraposée :
(qɅr) -> p
≡ (q Vr) → p
=> «je n'arrive pas en retard ou les étudiants ne m'attendent pas, donc mon train n'a
pas un retard de 50' » Jacques Houard
2015-2016
91
Implication - exercices
« Si mon chien a une laisse, alors il peut se pendre ou faire des maths »
p = « mon chien a une laisse »
q = « il peut se pendre »
r = « il fait des maths »
p → (q V r)
≡ p V (qVr)
Négation : p V (qVr) = p Ʌ(q Ʌr)
=>« Mon chien a une laisse et il ne peut pas se pendre et ne fait pas des maths
Réciproque : (q V r) → p
=>«mon chien peut se pendre ou il fait des maths donc il a une laisse»
Contraposée: (qVr) -> p
≡ (q Ʌr) → p
=> «mon chien ne peut pas se pendre et il ne fait pas de math, donc il n'a
pas de laisse »
Jacques Houard
2015-2016
92
Implication - exercices
« Si j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 %, alors
Je réussis mon année. »
p = « plus de 60 % de moyenne »
q = « pas de note en dessous de 50 %»
r = « je réussis mon année »
(pɅq) → r
≡ (pɅq)V r ≡ (pVq)Vr
Négation : (p Vq)Vr) = (p Ʌq)Ʌr)
=>« j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 % et je ne réussis pas...
Réciproque :
r → (pɅq)
=> «je réussis mon année donc j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous
de 50 % »
≡ r→ pVq
Contraposée: r -> p^q
=> je ne réussis pas mon année donc je n'ai pas 60 % de moyenne ou des notes
en dessous de 50 % »
Jacques Houard
2015-2016
93
La bi-implication
Exemple :
« Un nombre est pair si sa division par deux ne laisse pas de reste »
« Je prends le train le matin si et seulement s'il y a des embouteillages »
(ATTENTION : différent de « Je prends le train s'il y a des embouteillages »)
Notation
Jacques Houard
2015-2016
94
La bi-implication
.. p est une condition nécessaire et suffisante pour q
Exercice : Construire la table de vérité de l'expression
(p→q) Ʌ (q →p)
Jacques Houard
2015-2016
95
La bi-implication
Jacques Houard
2015-2016
96
Quantificateurs
« Les hommes savent pourquoi ! »
=> « Tous les hommes savent pourquoi »
ou
« Chaque Homme sait pourquoi
Le symbole du quantificateur universel
« Chaque Homme est amateur de Jupiler »
Jacques Houard
2015-2016
97
Jacques Houard
2015-2016
98
Jacques Houard
2015-2016
99
Quantificateurs
Négation de la proposition « les hommes savent pourquoi
« Il existe au moins un homme qui n'est pas amateur de Jupiler »
Jacques Houard
2015-2016
100
Quantificateurs
Exemple :
Il y a au moins un étudiant absent
La négation du quantificateur existentiel :
Aucun étudiant n'est absent
Ce qui équivaut à « Tous les étudiants sont présents »
(NB : Eviter « tous les étudiants ne sont pas absents » !
Jacques Houard
2015-2016
101
Quantificateurs
Notation :
La variable minuscule x représente un sujet
P est le prédicat , ou la propriété
Exemple
P(x) equivaut à « x est P »
« Tous les x sont P
« Il existe un x qui est P »
Jacques Houard
2015-2016
102
Quantificateurs
Importance de l'ordre
Exemple :
A)Pour tout pois s on, il y a un appât pe rm e ttant de
le capture r.
Il y a un appât qui pe rm e t de capture r tout
pois s on.
Le s de ux é noncé s ne s ont pas é quivale nts
Che rche z e n la né gation !
Jacques Houard
2015-2016
103
Exercices
Nier :
1) Tous les profs de maths sont fous ou débiles
2) Certaines femmes ne font pas bien la cuisine et ne sont pas des fées du logis
3) Aucune blague du prof n'est drôle
4) Certains étudiants sont sans le sou et saouls
5) A chaque jour suffit sa peine
Jacques Houard
2015-2016
104
Exercices - Corrigés
1) Tous les profs de maths sont fous ou débiles
Négation
Ce qui donne
Finalement
« Certains profs de maths ne sont ni fous ni débiles »
( ni ...ni <-> pas ...et pas
Jacques Houard
2015-2016
105
Exercices - Corrigés
2) Certaines femmes ne font pas bien la cuisine et ne sont pas des fées du logis
La négation :
Avec les lois de Morgan
Toutes les femmes font bien la cuisine ou sont des fées du logis
Jacques Houard
2015-2016
106
Exercices - Corrigés
3) Aucune blague du prof n'est drôle
La négation
« Certaines blagues du prof sont drôles
Jacques Houard
2015-2016
107
Exercices - Corrigés
4) Certains étudiants sont sans le sou et saouls
Négation :
Aucun étudiant n'est ni sans le sou ni saoul
( en d'autres termes : Tous les étudiants sont
fortunés ou sobres)
Jacques Houard
2015-2016
108
Exercices - Corrigés
5) A chaque jour suffit sa peine
La négation
Il existe un jour où une peine ne suffit pas ( il peut y en avoir un peu plus...)
Jacques Houard
2015-2016
109
Jacques Houard
2015-2016
110
Carré logique
Il représente les oppositions logiques entre différentes propositions
Exemple :
A Tous les professeurs de mathématiques sortent des blagues douteuses
( Universelle affirmative)
I
Certains professeurs de mathématiques sortent des blagues douteuses
( Particulière affirmative)
E
Aucun professeur de mathématique ne sort de blague douteuse
(Universelle négative)
O
Certains professeurs de mathématiques ne sortent pas des blagues douteuses
(Particulière négative)
Procédé mnémotechnique
« AffIrmo et nEgO »
Jacques Houard
2015-2016
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Jacques Houard
2015-2016
112
Jacques Houard
2015-2016
114
Carré logique- Contradictoires
5- Relations entre A ( universelle affirmative) et O (particulière négative)
Quantité et qualité différente : A et O prennent toujours des valeurs opposées.
O est la négation de A et vice versa.
Si A est vrai
Si O est vrai
SI A est faux
SI O est faux
->
->
->
->
O est faux
A est faux
O est vrai
A est vrai
Exemple :
A: « Tous les professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux »
NB : RELATION IDENTIQUE ENTRE E ET I !!!
Jacques Houard
2015-2016
115
Jacques Houard
2015-2016
116
Carré logique- Contraires
4- Relations entre A ( universelle affirmative) et E (universelle négative)
Même quantité, mais qualité différente : A et E ne peuvent être vraies en
même temps
Si A est vrai
Si E est vrai
->
->
SI A est faux
SI E est faux
->
-->
E est faux
A est faux
E ? ( on ne peut rien dire)
A ? ( on ne peut rien dire)
Exemple :
A: « Tous les professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux »
E :?
Jacques Houard
2015-2016
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Jacques Houard
2015-2016
118
Carré logique- Souscontraires
3- Relations entre I ( particulière affirmative) et O ( particulière négative)
Les relations opposent deux propositions de même quantité ( particulière), mais de
qualité différente : relation de subcontrariété ( I et O ne peuvent être fausses en
même temps)
Si I est faux
Si O est faux
->
->
O est vrai
I est vrai
SI I est vrai
SI O est vrai
->
->
O ? ( on ne peut rien dire)
I ? ( on ne peut rien dire)
Exemple :
I: « certains professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux »
O :?
Jacques Houard
2015-2016
119
Jacques Houard
2015-2016
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Carré logique- Subalternes
Il existe des relations entre les 4 coins du Carré Logique
1- Relations entre A ( universelle affirmative) et I ( particulière affirmative)
Les relations opposent deux propositions de même qualité, mais de
quantité différente : relation de subalternité ( la vérité de I suit celle de A)
Si A est vrai
Si I est faux
->
->
SI I est vrai
SI A est faux
->
-->
I est vrai
A est faux
A ? ( on ne peut rien dire)
I ? ( on ne peut rien dire)
Exemple :
A: « Tous les professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux »
I :?
Jacques Houard
2015-2016
121
Carré logique - subalternes
( encore)
2- Relations entre E ( universelle negative) et O ( particulière négative)
NB : relation identique à la précédente
Les relations opposent deux propositions de même qualité, mais de
quantité différente : relation de subalternité ( la vérité de O suit celle de E)
Si E est vrai
Si O est faux
->
->
SI O est vrai
SI E est faux
->
-->
O est vrai
E est faux
E ? ( on ne peut rien dire)
O ? ( on ne peut rien dire)
Exemple :
E: « Aucun professeur de mathématiques ne possède un humour douteux »
O :?
Jacques Houard
2015-2016
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Jacques Houard
2015-2016
123
Jacques Houard
2015-2016
124
Carré Logique Exemples
Soit une proposition du carré logique et sa valeur- énoncer son type,
les autres propositions du carré logique et leur valeur éventuelle.
1 - Toutes les chaises ont un dossier ou un accoudoir (VRAI)
2 - Certains vélos ont des freins ou pas de pédales (VRAI)
3 - Aucun avocat n'est pur et mûr (FAUX)
4 – Certains Cariocas vivent à la plage et à la Montagne (VRAI)
5 – Tous les infographistes chantent et dansent (FAUX)
Jacques Houard
2015-2016
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Carré logique -Correction exemples
1- Toutes les chaises ont un dossier ou un accoudoir (VRAI)
(Universelle affirmative)
Particulière affirmative :
Certaines chaises ont un dossier ou un accoudoir (VRAI)
Particulière négative :
Certaines chaises n'ont ni de dossier ni accoudoir (FAUX)
Universelle négative :
Toutes les chaises sont sans dossier et sans accoudoir (FAUX)
(Aucune chaise n'a de dossier ou d'accoudoir)
Jacques Houard
2015-2016
126
Jacques Houard
2015-2016
127
Carré logique -Correction exemples
2 - Certains vélos ont des freins ou pas de pédales (VRAI)
Particulière affirmative
Universelle affirmative
Tous les vélos ont des frein ou pas de pédales (?)
Particulière négative
Certains vélos n'ont pas de freins et ont des pédales (?)
Universelle négative
Tous les vélos n'ont pas de freins et ont des pédales (FAUX)
Ou
Aucun vélo n'a de freins ou pas de pédales (FAUX)
Jacques Houard
2015-2016
128
Jacques Houard
2015-2016
129
Carré logique -Correction exemples
3 - Aucun avocat n'est pur et mûr (FAUX)
( tous les avocats sont non purs ou non mûrs)
Universelle négative
Universelle affirmative :
Tous les avocats sont purs et mûrs (?)
Particulière affirmative
Certains avocats sont purs et mûrs (Vrai)
Particulière négative
Certains avocats sont non purs ou non mûrs (?)
Jacques Houard
2015-2016
130
Carré logique -Correction exemples
4 – Certains Cariocas vivent à la plage et à la montagne (VRAI)
Particulière affirmative
Universelle affirmative :
Tous les Cariocas vivent à la plage et à la montagne (?)
Particulière négative :
Certains Cariocas ne vivent pas à la plage ou à la montagne(?)
Universelle négative :
Aucun Carioca ne vit et à la plage et à la montagne (FAUX)
Jacques Houard
2015-2016
131
Carré logique -Correction exemples
5 – Tous les infographistes chantent et dansent (FAUX)
Universelle affirmative
Particulière affirmative
Certains infographistes chantent et dansent (?)
Particulière négative
Certains infographistes ne chantent ou ne dansent pas ( VRAI)
Universelle négative
Aucun infographiste ne chante et danse (?)
Jacques Houard
2015-2016
132
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
133
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
134
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
135
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
136
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
137
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
138
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
139
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
140
Révision ( Examen 2012-2013)
Jacques Houard
2015-2016
141
Jacques Houard
2015-2016
142