Spé Maths Nombres premiers Chapitre 5 : - Nombres premiers. - Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers. I. Nombres premiers Définition : Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même. Exemples : ● 1 n’est pas premier d’après cette définition puisqu’il n’admet qu’un seul diviseur. ● 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs. ● 2 est premier. C’est le seul nombre premier pair. ● 89 est premier. Le crible d’Erathostène (IIIème siécle avant J.C.) : Cet algorithme permet de déterminer les nombres premiers inférieurs à un entier donné. Par exemple, nous allons déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 200 : - On commence par entourer 2, puis par barrer tous ses multiples. - On entoure l’entier non barré suivant (c’est-à-dire 3), puis on barre tous ses multiples. - On reproduit cette dernière opération jusqu’à avoir entouré tous les nombres premiers de la liste. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 172 173 174 175 176 178 179 180 185 186 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 181 182 183 184 147 187 188 129 171 177 Dans la suite du cours nous allons nous intéresser à cette question fondamentale : La liste des nombres premiers est-elle finie ? II. Théorème fondamental de l’arithmétique Théorème : Tout nombre entier naturel s’écrit comme produit de nombres premiers de manière unique (à l’ordre près des facteurs). Exemples : Décomposer les entiers suivants en produit de facteurs premiers : A=28710 B=574 770 C=106 568 A=28710 A=2 32 5 11 29 B=574 770 B=2 3 5 72 17 23 C=106 568 C=23 7 11 173 Démonstration de l’existence par récurrence (nous ne démontrerons pas l’unicité) : On va montrer par récurrence que pour tout n entier naturel, on a : « Tout nombre entier inférieur ou égal à n peut s’écrire comme produit de nombres premiers » Initialisation : 1 est le produit de 0 nombre premier. Hérédité : Soit n tel que la proposition soit vraie. Dans ce cas n+1 peut être soit premier, soit non premier. 1er cas : Si n+1 est premier, alors il est le produit d’un nombre premier. La proposition est alors vraie au rang n+1. 2ème cas : Si n+1 n’est pas premier, alors il est le produit de deux nombres : n+1=p q Où p et q sont deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à n. p et q peuvent donc être décomposés en produit de facteurs premiers. Donc n+1 est également le produit de nombres premiers. On a donc montré par récurrence que tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers. Théorème d’Euclide (proposition 20 du livre IX) : Il existe une infinité de nombres premiers. Démonstration de l’infinité des nombres premiers : Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini : p1 , p2 ,..., pn est l’ensemble des n nombres premiers. Le produit p1 p2 ... pn n’est donc pas un nombre premier, mais p1 p2 ... pn 1 n’est divisible par aucun des nombres de la liste p1 , p2 ,..., pn . p1 p2 ... pn 1 est donc un nombre premier supérieur à pn . Donc l’ensemble des nombres premiers n’est pas fini.