Ensembles de nombres

DIFFÉRENTS TYPES DE NOMBRES
1. Entiers naturels et nombres premiers
Notation : l'ensemble des entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...} est noté .
C'est un ensemble infini. En effet, chaque entier naturel n possède un successeur n + 1.
Définition
On appelle nombre premier tout entier naturel qui possède exactement deux diviseurs(1) (positifs) : 1 et lui même.
Un entier naturel (différent de 1) qui n'est pas premier est dit composé.
Exemples et contre-exemples :
· Prenons n = 12. Ses diviseurs sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Ce nombre possède 6 diviseurs donc 12 est un nombre composé. (On peut l'écrire 12 = 3 ´ 4 ou 2 ´ 6)
· Prenons n = 37. Ses diviseurs sont :
1 ; 37
37 est donc un nombre premier.
· Le nombre 1 n'est pas premier puisqu'il ne possède qu'un seul diviseur et pas deux.
Remarques :
·
Existe-t-il des entiers naturels qui sont ni premiers ni composés ? Oui, le nombre 1.
·
Le nombre 0 est-il premier ou composé ? C'est un nombre composé puisqu'il admet une infinité de diviseurs !
·
on peut définir des nombres premiers négatifs par symétrie (-2 ; -3 ; -5 etc.)
Théorème (admis)
Tout entier n supérieur à 2 admet un diviseur premier
Exemples :
· Le plus petit diviseur premier de 63 est 3.
· Le plus petit diviseur premier de 29 est 29.
IMPORTANT : liste des premiers nombres premiers (inférieurs à 100)
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97
· Comment faire cette liste de nombres premiers ?
Une méthode consiste à utilise un crible d'Ératosthène : on part d'un carré (ici 10 par 10 mais rien empêche d'en faire un plus grand).
On souligne le nombre 2 puis on retire tous ses multiples (croix rouges) qui forcément ne sont pas premiers.
On souligne le nombre 3 puis on retire tous les multiples de 3 restants (croix bleues) qui forcément ne sont pas premiers.
On souligne le nombre 5 puis on retire tous les multiples de 5 restants (croix vertes) qui forcément ne sont pas premiers.
On souligne le nombre 7 puis on retire tous les multiples de 7 restants (croix mauves)
On souligne les nombres restants. On obtient ainsi la liste des premiers nombres premiers.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
(1)
Dire qu'un entier b (non nul) est un diviseur d'un entier a revient à dire que a est un multiple de b. Par exemple 14 est un diviseur de 42 car 42
= 3 ´ 14.
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· Comment savoir si un nombre est premier ou non avec la calculatrice ?
Exemple avec une TI89 : isPrime(23581)
true
donc 23581 est premier.
isPrime(23583)
false
donc 23587 est composé.
· Comment savoir si un nombre est premier ou non "à la main" ?
1. On peut déjà rapidement reconnaître un nombre composé à l'aide des critères de divisibilité :
Si un nombre se termine par un chiffre pair, alors il est divisible par 2
Si un nombre se termine par un 0 ou un 5, alors il est divisible par 5
Si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 3, alors ce nombre est divisible par 3
Si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 9, alors ce nombre est divisible par 9
Par exemple avec n = 23583 :
2 + 3 + 5 + 8 + 3 = 21
Comme 21 est un multiple de 3, on en déduit que 23583 en est un aussi, il est donc composé.
(On n'avait donc pas besoin de la calculatrice pour conclure dans l'exemple donné plus haut !)
2. Si on a détecté aucune divisibilité "évidente" à l'aide des critères ci-dessus, on teste si notre nombre n est
divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à
n.
Exemple : n = 197 est-il premier ?
197 est-il divisible par
2
3
5
7
11
13
non
non
non
non
non
non
Donc 197 est premier.
Remarque :
197  14. Il est inutile de tester la divisibilité par les nombres premiers supérieurs à 14. En
effet, si 197 était divisible par un nombre supérieur à
à
197 , il y aurait nécessairement un diviseur inférieur
197 et on n'en a pas trouvé dans le tableau... (Se souvenir que les diviseurs viennent par couple)
Théorème (admis)
Tout entier n supérieur à 2 se décompose en un produit de nombres premiers
5418 = 2 ´ 32 ´ 7 ´ 43
Exemple :
Méthode des divisions successives pour trouver la décomposition :
156 2
78 2
39 3
13 13
1
156 = 22 ´ 3 ´ 13
Donc :
Utilité : cette décomposition permet par exemple de simplifier des fractions (on dit aussi "rendre irreductible")
24 ´ 73
5488
2 ´ 7 14
= 3 2
=
=
4312 2 ´ 7 ´ 11
11
11
Elle permet également de simplifier certaines racines carrées :
47432 =
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23 ´ 72 ´ 112 = 2 ´ 7 ´ 11 ´ 2 = 154 2
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2. Entiers relatifs
x + 14 = 5
Considérons une équation du genre :
Admet-elle une solution dans l'ensemble  ? Non, car 5 - 14 n'est pas un entier naturel. C'est pourquoi, on
introduit un ensemble plus grand dans lequelle cette équation aura une solution.
Notation : l'ensemble des entiers relatifs {... ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...} est noté .
C'est, comme , un ensemble infini. Nous ne nous étendrons pas davatange sur cet ensemble très simple.
3. Nombres rationnels - Nombres décimaux
Considérons maintenant une équation du genre :
4x + 1 = 2
Cette équation admet-elle une solution dans l'ensemble  ? Non, car si on divise l'entier 1 par 4, on n'obtient
pas un entier mais un nombre fractionnaire. Essayons d'y voir plus clair parmi les nombres fractionnaires.
Définition
On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire
a
où a Î  et b Î *.
b
(* est l'ensemble des entiers naturels non nuls)
Autrement dit, un rationnel est
L'ensemble des nombres rationnels est noté .
une fraction d'entiers.
Exemples et contre-exemples :
·
7 -5 1
;
sont des nombres rationnels.
;
11 13 2
·
0, 7
7
est aussi un rationnel car on peut l'écrire .
0,9
9
· Tout nombre entier n est un rationnel car on peut toujours l'écrire n =
n
.
1
· p ; 2 ne sont pas des nombres rationnels. On dit que ce sont des nombres irrationnels.
L'irrationnalité de 2 est démontrée en annexe ; celle de p est plus difficile à prouver (Lambert en 1761) et n'est pas abordable ici.
Théorème
(admis, la démonstration est donnée en annexe)
Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique (à partir d'un certain rang).
Exemples et contre-exemples :
· 0,2006200620062006... (2006 se répétant périodiquement dans le développement décimal) est donc un
nombre rationnel. En effet, on peut vérifier qu'il sagit de la fraction
2006
.
9999
· 0,123456789101112131415161718192021... n'est pas rationnel (pas de période).
(Ce nombre s'appelle "nombre de Champernowne")
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Parmi les nombres rationnels, on peut en distinguer des particuliers :
1
= 0,25
¬ Ici, le développement décimal s'arrête.
4
1
= 0,333333... ¬ Ici, le développement décimal est illimité.
3
Définition :
On appelle nombre décimal tout nombre rationnel dont le développement décimal est fini.
L'ensemble des nombres décimaux est noté .
Exemples et contre-exemples :
· Les nombres
1
7
1
= 0,25 ;
= 0,1 ; = 1,4 sont décimaux.
4
10
5
· Tout entier (naturel ou relatif) est, bien sûr, un nombre décimal
·
1
1
= 0,3333... ; = 0,142857142857.... ne sont pas décimaux.
7
3
Propriété :
Un nombre rationnel est décimal si et seulement si il peut s'écrire sous la forme
a
10n
où a Î 
En effet, lorsqu'il y a un nombre fini de décimales après la virgule, on peut facilement obtenir un entier en le
multipliant par une puissance de 10 (par exemple : 0,25 ´ 102 = 0,25 ´ 100 = 25) alors que ce n'est pas possible
lorsque le développement décimal est illimité (essayer avec 0,333333...).
Méthode pour savoir si un nombre donné est décimal ou non :
1. On met le nombre sous forme de fraction irreductible.
2. Si le dénominateur est de la forme 2p ´ 5q (où p et q sont des entiers naturels) alors ce nombre est décimal,
sinon il ne l'est pas.
Exemples : (à faire sans calculatrice)
·
92599
est-il décimal ?
850
On décompose 92599 et 850 en produit de facteurs premiers :
92599 = 13 ´ 17 ´ 419
850 = 2 ´ 52 ´ 17
On en déduit la fraction sous forme irréductible :
92599 13 ´ 17 ´ 419 5447
=
=
850
2 ´ 52 ´ 17
2 ´ 52
Le dénominateur est bien de la forme 2p ´ 5q (avec p = 1 et q = 2).
La fraction
·
92599
est donc un nombre décimal.
850
8177 13 ´17 ´ 37
=
n'est pas un nombre décimal car son dénominateur n'est pas de la forme 2p ´ 5q.
209
11´ 19
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4. Nombres réels
x2 = 2
Considérons maintenant une équation du genre :
Cette équation admet-elle une solution dans l'ensemble  ? Non, car il n'existe pas de nombre rationnel dont le
carré soit égal à 2 (voir annexe). Là encore nous devons travailler dans un ensemble plus grand.
Définition
Les nombres réels sont les nombres qui sont représentés sur une droite graduée.
1
-4
...
-3
-2
-1
p
2
3
1
O
2
3
4
5
...
x
A tout point de la droite correspond un unique réel (appelé abscisse du point).
A tout nombre réel correspond un unique point de la droite.
Question :  est-il l'ensemble de nombres le plus grand que l'on puisse imaginer ? Oui, tant que l'on place des
nombres sur une droite. Cependant, l'équation x2 + 1 = 0 admet-elle des solutions dans  ? Non, car le carré
d'un réel n'est pas négatif. Si on veut cependant que cette équation admette des solutions, il faudra imaginer un
ensemble plus grand, ce sera l'ensemble  des nombres complexes (mais ces nombres complexes ne seront plus
représentés sur une droite mais dans un plan...)
5. Comparaisons des différents ensembles de nombres
Notons à l'ensemble des nombres premiers. On a les inclusions suivantes : Ã Ì  Ì  Ì  Ì  Ì 
2
p
...
0,25
0,2


1
...


-8
-1
...
3
1
8

0
1
4
Ã
2
3
6
5
64
...
49
...
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6. Annexes : quelques résultats et démonstrations complémentaires
2 est un nombre irrationnel
La longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 est-elle un nombre rationnel ?
Cette question s'est posée aux géomètres grecques, il y a 25 siècles ! (Ils ne connaissaient pas encore le
théorème de Pythagore, ni les racines carrées, ou étaient sur le point de justement les découvrir !)
E
Voilà comment ils procédaient : sur la diagonale du petit carré
ABCD de côté 1, on construit un grand carré ACDE.
Si on note d la longueur de la diagonale AC, l'aire du grand carré
B
A
D
2
est alors égale à d . Mais ce grand carré possède une aire égale à
deux fois celle du petit carré d'où :
d=?
1
d2 = 2
D
C
1
A l'époque où l'on ne connaissait que les entiers et les fractions (d'entiers), cette question était difficile. Quel
est la fraction dont le carré est égal à 2 ? En fait, ces recherches étaient vaines car il n'existe pas de fraction
d'entier dont le carré est égal à deux. La preuve trouvée par les Pythagoriciens est assez abordable.
Supposons que d soit une fraction alors, on peut écrire :
On raisonne par l'absurde en
a
où a et b sont des entiers premiers entre eux
d=
b
supposant le contraire de ce que l'on
(On considère la fraction irreductible, c-a-d simplifiée au maximum)
l'on arrive nécessairement à une
souhaite prouver et en montrant que
contradiction.
a2
=2
b2
On a donc :
a2 = 2b2
Par conséquent a2 est pair. Donc a aussi. On peut l'écrire : a = 2c où c est un entier. Ainsi :
4c2 = 2b2
2c2 = b2
Donc b2 est pair, et par suite, b aussi.
Comme a et b sont pairs, la fraction de départ ne peut pas être irreductible. D'où une contradiction.
On a prouvé que d n'est pas une fraction.
Aujourd'hui, ce que les grecs qualifiaient de "nombres irrationnels" (nombres contraires à la raison) a
demeuré dans notre vocabulaire et on note 2 le nombre positif dont le carré est égal à 2.
La démonstration ci-dessus revient à dire que :
2 est un nombre irrationnel
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Généralisation :
pour tout nombre premier p,
p est irrationnel
Supposons que d soit une fraction alors, on peut écrire :
d=
a
où a et b sont des entiers premiers entre eux
b
(On considère la fraction irreductible, c-a-d simplifiée au maximum)
a2
=p
b2
On a donc :
a2 = pb2
Par conséquent a2 est divisible par p. Donc a aussi. On peut l'écrire : a = pc où c est un entier. Ainsi :
p2c2 = pb2
pc2 = b2
Donc b2 est divisible par p, et par suite, b aussi.
Comme a et b sont tous deux divisibles par p, la fraction de départ ne peut pas être irreductible. D'où une
contradiction. On a prouvé que d n'est pas une fraction.
Donc :
pour tout nombre premier p, p est un nombre irrationnel
Critère d'arrêt pour le test de primalité
Pour tester si un nombre n est premier, on le divise par tous les nombres premiers p inférieurs ou égaux à
n.
Pourquoi est-il suffisant de s'arrêter là ?
Supposons que n soit composé et admette un diviseur d tel que d > n .
Cela signifierait qu'il existe un entier d' tel que :
Mais comme d > n , on a
n = dd'
1
1
<
d'où :
d
n
d' 
Soit p un diviseur premier de d', on a donc :
Bilan : si n admet un diviseur supérieur à
n
<
d
p<
n
n
n , alors il admet un diviseur p inférieur à
Par contraposition, si n n'a pas de diviseur premier inférieur à
n.
n , alors il n'admet pas de diviseur supérieur
à n . Il n'admet donc aucun diviseur (autre que 1 et lui même), donc n est premier.
Des démonstrations hors-programme
Théorème
Tout entier n supérieur à 2 admet un diviseur premier
Démonstration :
On le démontre par récurrence avec la propriété Ã suivante définie pour n  2 :
Ã(n) : tout entier k tel que 2  k  n admet un diviseur premier
· Comme 2 est premiers, on a Ã(2).
La propriété Ã est donc initialisée au rang n = 2.
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· Soit n  2. Supposons Ã(n).
Considérons l'entier m = n + 1. Il suffit de regarder la liste de ces diviseurs :
1 ; d1 ; d2 ; d3 ; ...
(On les range dans l'ordre croissant)
Si d1 n'était pas premier, il admettrait un diviseur premier p (d'après Ã(n)), ce qui contredirait le fait que d1
est le plus petit diviseur (non trivial) de m. Donc d1 est premier. D'où Ã(n + 1)
La propriété Ã est donc héréditaire à partie du rang n = 2.
Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit la propriété Ã à tout rang n  2, d'où le théorème.
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers
Démonstration :
Supposons, au contraire, qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; ... ; A
(A désignant alors le "plus grand" nombre premier...)
Considérons le nombre suivant :
N = 2 ´ 3 ´ 5 ´ ... ´ A + 1
(Produit de tous les nombres premiers, auquel on a ajouté 1)
D'après le théorème précédent N admet un diviseur premier p. Par ailleurs, ce nombre premier p divise
également le produit 2 ´ 3 ´ 5 ´ ... ´ A (puisque p figure dans ce produit). Donc, par différence, on en déduirait
que p divise 1, ce qui est absurde.
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