Devoir surveillé de mathématiques n°1- TES3

Devoir surveillé de mathématiques n°1-
TES3-TL
Exercice 1 : (8 points)
On donne ci-contre la représentation graphique Cf d’une fonction f
définie sur [0 ; 10].Les points A, B, et C sont les points de Cf de
coordonnées :
D
B(5 ; 0)
C (8 ; 0,75)
Les tangentes à la courbe Cf aux points A, B et C sont tracées.
Le point D a pour coordonnées (3 ; 7)
1°) Déterminer graphiquement :
a) f(3)
b) f ’(3)
B
C
A
c) f(5)
d) f’(5)
e) f’(8) (par le calcul : les coordonnées de C ne sont pas des entiers).
f) L'équation de la tangente à Cf en B.
g) L'équation de la tangente à Cf en C (justifier).
2°) Parmi les trois courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée f’ de la
fonction f (on justifiera l'élimination des courbes ne correspondant pas)
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
Exercice 2 : (7 points)
On considère la fonction définie sur IR par f(x) = - 3x4 – 4x3 + 12x2 + 7
1°) Calculer f’(x). Montrer que f ’(x) = x (– 12x2 – 12x + 24)
2°) Dresser le tableau de variations complet de f .
3°) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2.
Exercice 3 : (5 points)
On considère la fonction g définie par g(x) = 2x √ x + 3x + 1.
1°) Déterminer le domaine de définition D de g.
2°) Dériver g.
2°) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1.
Correction devoir surveillé de mathématiques n°1Exercice 1 :
TES3-TL
D
1°) a) f(3) =
b) f’(3) = 0
c) f(5) = 0
d) f’(5) = 1
e) f’(8) : coefficient directeur de la droite passant par C et D
B
A
f) L'équation de la tangente à Cf en B est lisible : y = 1 x - 5
g) L'équation de la tangente à Cf en C : on ne peut pas lire l'ordonnée à l'origine.
Mais l'équation de la droite est y = - 1,25 x + p et elle passe par D(3;7) donc :
7 = -1,25  3 + p  7 = -3,75 + p  7 + 3,75 = p  p = 7 + 3,75 = 10,75
L'équation de la tangente en C est y = -1,25 x + 10,75
2°) Le tableau de variations de f nous indique le signe de f’ :
x 0
3
7
10
f(x)
f '(x)
–
0
+
0
–
On en déduit que la courbe 2 ne convient pas, mais que 1 et 3 conviennent.
Ensuite, on a déterminé que f’(5) = 1, donc l'image par f’ de 5 est 1. Seule la courbe 1 convient.
Exercice 2 : f(x) = - 3x4 – 4x3 + 12x2 + 7
1°) f est dérivable sur ℝ
f’(x) = -3  4x3 – 4  3x2 + 12  2 = -12x3 – 12x2 + 24 = x (– 12x2 – 12x + 24)
2°) Le premier facteur est du premier degré et s'annule en 0
2
Le second facteur est un trinôme : Δ= (−12 ) −4×(−12 )×24=1296 >0 donc il a deux racines :
−(−12)−√1296
−(−12 )+ √ 1296
x 1=
=1 et
x 2=
=−2
2×(−12 )
2×(−12 )
On en déduit :
x
x
f(x)
–2
-
0
-
-
0
+
+
0
–
0
0
39
1
+
+
+
0
-
+
0
–
12
7
3°)f ’(-1) = -12(-1)3 – 12(-1)2 + 24 (-1) = 12 – 12 – 24 = - 24
f (-1) = -3(-1)4 – 4(-1)3 + 12 (-1)2 + 7 = -3 + 4 + 12 + 7 = 20
L'équation de la tangente à Cg en -1 est donc :
y = f’(-1) (x + 1) + f(-1)
y = - 24 (x + 1) + 20
y = - 24 x – 24 + 20
y = - 24x – 4
C
Exercice 3 :
1°) Il faut que x  0. D = [0 ; +[.
2°) g = u  v + w donc g’ = u’ v + u v’ + w’ avec u (x) = 2x,
u’ (x) = 2
g’(x) = 2 
v’(x) =
+ 2x 
v(x) =
et w(x) = 3x + 1
w’(x) = 3
+3=2
+
3°) g’(1) = 3
+ 3 = 6 et g(1) = 2  1 
L'équation de la tangente à Cg en 1 est donc :
y = g’(1) (x – 1) + g(1)
y = 6 (x – 1) + 6
y = 6x – 6 + 6
y = 6x
+3=2
+
+3=3
+ 3  1 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.
+3