Le champ électrique I La charge électrique A) Définition – propriétés On trouve deux types d’électricité dans les corps : - l’électricité résineuse (ambre) - l’électricité vitreuse (verre) L’expérience montre que deux corps d’électricités différentes s’attirent, et deux corps de même électricité se repoussent. On attribue alors (arbitrairement) un signe – à l’électricité résineuse, et + à l’électricité vitreuse. L’action électrique est une grandeur extensive ; on attribue à tout corps chargé une intensité de charge en Coulomb (C). La charge est quantifiée : Q ne, n Z , où e est la charge élémentaire, e 1,6022.1019 C (électron : charge –e ; proton : charge e) B) Densité de charge La quantification de la charge est insensible à l’échelle macroscopique. On peut donc la considérer comme une quantité continue. 1) Distribution volumique de charge Charges réparties en volume : Vmatière chargée V M ( V : volume mésoscopique) ( M , t ) : densité volumique de charge en M q iV i V Q dq , ou dq ( M )dV( M ) . C.m 3 . V dV Dans un volume V chargé de dimension macroscopique, on a alors : QV " dq" dq ( M )dV( M ) On le note aussi ( M ) dV qui composent V V V 2) Distribution surfacique de charges Surface du corps chargé e e 1m (pour un conducteur par exemple) On assimile cette distribution à une distribution surfacée en supposant que les charges ne sont présentes que sur la surface du corps chargé. Surface du corps chargé Charge volumique nulle S Ssurface chargée Q M ( M , t ) : densité surfacique de charges Q dq S dS dq ( M )dS ( M ) . C.m 2 . Charge totale portée par une surface macroscopique S : dq S dS dq" (M )dS QS " dS qui composent S S (M ) . 3) Distribution linéique de charges Cylindre de faible section Modélisation : fil d’épaisseur nulle l Q M On définit ( M , t ) C.m 1 . Q dq (densité linéique de charge) l dl dq ( M )dl ( M ) (M ) B M A QAB " dq" dl qui composent AB AB (M )dl( M ) II Loi de Coulomb A) Cadre de l’électrostatique Les particules chargées sont assimilées à des points ponctuels de position M, de charge q. (condition : la distance entre les corps doit être très grande devant le dimension propre de ces atomes) 0. Tous les champs sont indépendants du temps. t En particulier, , , sont indépendants du temps. B) Loi de Coulomb Soient deux charges ponctuelles q1 , q2 en M1 , M 2 . M2 q2 M1 u12 q1 M M u12 1 2 . M 1M 2 L’interaction électrique entre deux charges dans le vide est décrite par la loi de Coulomb : qq F12 K 1 2 2 u12 . M 1M 2 K : constante caractéristique de l’attraction électrique ( K 0 ) 1 K 9.10 9 SI ( N.m 2 .C 2 ) . 0 : permittivité électrique du vide. 40 La loi de Coulomb reste valable dans un matériau isolant à condition de remplacer 0 par , permittivité électrique du milieu. r 0 ( r : permittivité relative du milieu, sans dimension) r 1 pour le vide ; r 1,00058 pour l’air ; r 80 pour l’eau. III Le champ électrique A) Champ créé par une charge ponctuelle M q A u AM Q FA M qQ Q u AM q u AM . 2 2 40 AM 40 AM Q On pose EQ ( M ) u AM . 2 40 AM EQ (M ) est défini en tout point de l’espace. On l’appelle le champ électrique créé 1 au point M par la charge Q en A. Ainsi, FAM qEQ (M ) . Interprétation : La charge Q crée un champ E Q dans tout l’espace et c’est ce champ qui interagit localement en M avec une charge q. Q ( Q 0 ici) C’est un champ radial, c'est-à-dire que les lignes de champ sont des ½ droites d’origine Q. Les surfaces équipotentielles sont ici les sphères centrées en Q. B) Principe de superposition des champs créés par une distribution de charges quelconques 1) Distribution discrète On considère un ensemble de charges q i en M i , i 1, n . Mi M1 q1 qi M2 q2 M3 M q q3 qn Mn n n qi q MM 1 Fqi q Fqi q u M i M avec u M i M i 2 MiM i 1 i 1 4 0 M i M n q i 1 qi uM M 40 M i M 2 i 1 Définition : Le champ Eqi (M ) créé par qi en M est défini par : Fqi q qEqi (M ) n n qi 1 Ainsi, Eqi (M ) u Eqi (M ) . 2 MiM i 1 40 M i M i 1 Ainsi, le champ créé par les n charges est la superposition des champs créés par chacun des champs agissant seuls. 2) Distribution volumique de charges V M dV(P) uPM P dq dV( P ) peut être considéré comme une charge ponctuelle. dq ( P)dV( P ) . Cette charge, située en P, crée en M un champ électrique 1 dq dE (M ) ou d dq E ( M ) u PM . 40 PM 2 D’où : 1 dq 1 (V )dV( P ) EV ( M ) dE ( M ) u PM V 40 PM 2 u PM V V 4 PM 2 0 Ce champ existe en l’absence de charge en M, mais si on ajoute une charge q en M, FV q qEV (M ) 3) Distribution surfacique de charges S M dS(P) P L’élément dS ( P ) est une charge ponctuelle dq ( P )dS ( P ) en P qui crée un 1 ( P)dS ( P ) u PM . champ en M : dE ( M ) 40 PM 2 1 (V )dS ( P ) u PM S 4 PM 2 0 D’où E S ( M ) 4) Distribution linéique de charges (P) B P A E AB ( M ) AB 1 40 M ( P)dl( P ) PM 2 u PM IV Symétries A) Symétries et antisymétries de la distribution de charges On considère une distribution de charge volumique :V R P ( P) Rappel : rotation d’axe orienté et d’angle : + H P' r , ( P) P On considère une isométrie s : translatio ns t.u symétries planes s P rotations d' axe orienté, d' angle Alors : s est une symétrie pour pour tout point P de l’espace, ( P' ) ( P) . s est une antisymétrie pour pour tout point P de l’espace, ( P' ) ( P) . (où P ' s ( P ) ) Exemples : a b des symétries pour cette distribution de charges. t.a , t.b sont 1 1 t. 2 a , t. 2 b sont des antisymétries. Densité volumique de charges = 0 à l’extérieur 0 uniforme Les symétries sont toutes les rotations d’axe et d’angle 0,2 ; c’est une symétrie cylindrique. Pour tout plan P contenant , s P est aussi une symétrie (on dit aussi que P est un plan de symétrie pour ) B) E Symétrie et antisymétrie plane : direction de . 1) Théorème (admis) Si est un plan de symétrie pour , alors c’en est aussi un pour E , (c'est-à-dire que pour tout point P de l’espace, E( P' ) s ( E( P)) ; s : symétrie plane vectorielle) Plan P’ s ( E ( P)) P E (P ) E (P ) E// s ( E ( P)) P’ P E E ( P) E // E s ( E ( P)) s ( E // E ) s ( E // ) s ( E ) E // E Cas particulier : Si M , alors M ' s (M ) M Et E(M ) s ( E(M )) , d’où E 0 Ainsi, en tout point M de , E (M ) est parallèle au plan. 2) Autre théorème Si est un plan d’antisymétrie pour , alors est un plan d’antisymétrie pour E . ( M , E(M ' ) s ( E(M )) ) M E // E E (M ) E // s ( E ( M )) M’ E s ( E ( M )) E(M ) E// E E(M ' ) s ( E(M )) E// E Cas particulier : Si M , alors M ' M , et E(M ' ) s ( E(M )) , soit E// 0 . Donc E (M ) est perpendiculaire au plan en tout point M du plan. 3) Exemples 0 0 Tout les plans qui contiennent sont des plans de symétrie pour . Si M , alors E (M ) // . On choisit deux plans , ' distincts contenant . Alors E ( M ) ' , donc E (M ) // y M P’ Oz E (M ) P M x E (M ) Distribution linéique de charge ( P) 0 cos . Le plan yOz est un plan de symétrie pour : Si P est un point du cercle, ( P' ) 0 cos( ) 0 cos ( P) Sinon, ( P' ) 0 ( P) Ainsi, pour M (Oy , E ( M ) yOz . De même, si M (Ox , E ( M ) // xOz . C) Invariance par symétrie : dépendance avec les variables d’espace 1) Invariance par translation de direction u . Définition : est invariante par translation de direction u R , t .u est une symétrie pour . Exemple : z P : ( P ) 0 k Un fil infini uniformément chargé, de densité linéique de charge 0 constante. Cette distribution est invariante par toute translation de direction k . Théorème : Les coordonnées cartésiennes E x , E y , E z du champ E ne dépendent pas de la coordonnée repérant la position dans la direction d’invariance : ici, z. Ou : M , E (M ) E ( x, y, z ) E x ( x, y, z ).i E y ( x, y, z ). j E z ( x, y, z ).k Démonstration : x, y, z, z ' R , pour M ( x, y, z ), M ' ( x, y, z ' ) points de l’espace, on a M ' t ( z ' z ) k (M ) . C’est une symétrie pour E . Donc E ( M ' ) t ( z ' z ) k ( E ( M )) E ( M ) (Un vecteur est inchangé par translation…) Ainsi, E ( M ' ) E x ( x, y, z ' )i E y ( x, y, z ' ) j E z ( x, y, z ' )k E ( M ) E x ( x, y, z )i E y ( x, y, z ) j E z ( x, y, z )k Et en projetant, on trouve le résultat voulu. Remarque : En coordonnées cylindriques M ( , , z ) , de base locale (e , e , k ) : E ( M ( , , z )) E ( , )e E ( , )e E z ( , )k 2) Invariance par rotation autour de (Oz On dit que possède une symétrie cylindrique par rapport à lorsque est invariante par toutes les rotations r, , 0,2 . Théorème : Les composantes cylindriques E , E , E z sont indépendantes de (attention, E en dépend quand même par l’intermédiaire de e , e ) 3) Invariance par rotation d’axe passant par O. On dit que possède une symétrie sphérique lorsque pour tout axe passant par O, pour tout angle 0,2 , r , est symétrique pour . Théorème : Les composantes sphériques de E ( E r , E , E ) ne dépendent que de r OM ; on a même E E 0 . (Voir chapitre 3 pour les coordonnées sphériques) Exemple : Une charge ponctuelle. V Calculs de champ A) Champ électrique créé par un segment uniformément chargé dans son plan médiateur On prend un segment AB, de longueur AB 2l , un point M appartenant au plan médiateur. On représente ici le plan passant par A, B, M : z M O A y B x P AB, ( P) 0 constante. E 1) Direction de (M ) yOz est un plan de symétrie. Comme M , on a E (M ) , ou E x E(M ) i 0 . ' xOz est aussi un plan de symétrie. Comme M ' , on a E ( M ) ' , ou E y E (M ) j 0 Ainsi, E ( M ) E z ( M )k E z ( z )k (puisque M (Oz ) P xOy est aussi un plan de symétrie. On note M ' s P (M ) . Comme P est un plan de symétrie, on a : E ( M ' ) s P ( E ( M )) , soit E z ( z )k s P ( E z ( z )k ) E z ( z ) s P (k ) E z ( z )k . Donc E z est une fonction impaire. 2) Calcul de Ez. z M u PM O A y P B x On considère un élément infinitésimal de fil repéré par le point P d’abscisse x P ou x, et de longueur dx . Cet élément crée en M un champ : 0 dx PM PO OM dE (M ) u , où u PM 2 PM PM PM 40 PM Donc E (M ) dE (M ) . AB Or, E ( M ) E z ( z )k . PO OM z Donc E z ( z) E(M ) k dE(M ) k ; u PM k . k AB PM PM Donc : l z0 dx z0 dx z l dz Ez ( z) 0 2 2 3 / 2 2 2 3 / 2 2 A B 4 ( x z ) l 4 ( x z ) l 40 ( x z 2 )3 / 2 0 0 1 x 1 Une primitive de x 2 est x 2 . 2 3/ 2 (x z ) z x2 z 2 0 20 l l l 2 2 2 2 40 z l z l z 40 z l 2 z 2 20 l k. Soit E ( M ) 40 z l 2 z 2 Si z l , le segment correspond alors à une charge ponctuelle. Donc E z ( z ) Vérification : 20 l 20 l q AB E (M ) k k k 40 z 2 40 z 2 40 z l 2 z 2 B) Champ créé par un disque uniformément chargé z M k i R ( P) 0 P j On considère un disque d’axe (Oz , de rayon R, ayant une distribution uniforme de charge 0 constante. On cherche le champ en M (Oz . 1) Symétries xOz est un plan de symétrie pour , et M est dans ce plan. Donc E y ( M ) 0 De même avec yOz , E x ( M ) 0 Donc E ( M ) E z ( M )k E z ( z )k 2) Calcul de Ez. Découpage de la distribution de charges : y x d y P O dr x On considère un élément infinitésimal repéré par P(r , ) et de longueur dr, d . Cet élément a pour aire ds dr rd (en assimilant les arcs à la corde correspondante, de longueur rd ). Il porte la charge dq ( P)dS 0 dr rd . rdr d dE (M ) 0 u PM . 40 PM 2 dE ( M ) , et E ( M ) E z ( z )k Donc E ( M ) D (O , R ) dE ( M ) k Donc E z ( z ) D (O, R ) PM k z u PM k PM PM 2 R z 0 rdr d z 0 rdr d Donc E z ( z ) 0 r 0 40 (r 2 z 2 ) 3 / 2 D ( O , R ) 4 (r 2 z 2 ) 3 / 2 0 Ainsi, en intégrant d’abord par rapport à : R z 0 rdr E z ( z ) 2 0 4 (r 2 z 2 ) 3 / 2 0 1 r Une primitive de r 2 est r 2 3/ 2 (r z ) r2 z2 2 0 z 1 1 Donc E z ( z ) 2 2 40 R z z 2 0 z 1 1 k Soit E ( M ) 2 2 40 z R z Lorsque z R (et z 0 ) : 2 0 R 2 z 2 z 2 0 z k E (M ) 1 k 2 2 40 40 R z R 2 z 2 2 0 z 1 R 2 / z 2 1 2 0 z R 2 / 2 z 2 k k 40 4 z R2 z2 0 0 R 2 qD k k 40 z 2 40 z 2