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COMPLEXES
Sujets
septembre 2012 Antilles-Guyane
novembre 2012
Amérique du Sud
avril 2012
Pondichéry
mai 2012
Liban
↓ Formulaire
1
COMPLEXES
↑ Antilles-Guyane septembre 2012 . EXERCICE 2
→
−
−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , →
u ,→
v).
On considère les points A et C d’affixes respectives
√
zA = 3 + i
zC = −1 − 3i
1. On note B le point tel que zB = i zA
a) Calculer l’affixe du point B sous forme algébrique.
b) Écrire les nombres zA et zB sous forme exponentielle.
c) Démontrer que le rectangle OAB est rectangle isocèle.
d) Faire une figure (unité : 2cm) où seront placés les points A, B et C .
2. On note D le point tel que zD = i zC et E le point tel que zE = zB + zC .
a) Calculer l’affixe des points D et E .
Compléter la figure.
−−→ −−→
b) Montrer que les vecteurs OE et AD sont orthogonaux.
Montrer OE = AD
3. Dans cette question, on redémontre les deux résultats géométriques précédents par une autre
méthode.
a) Montrer :
zD − zA
=i
zE
zD − zA z
−
z
D
A
et arg
b) Interpréter géométriquement puis conclure.
z
z
E
E
2
COMPLEXES
↑ Amérique du Sud novembre 2012 . EXERCICE 2
→
−
−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , →
u ,→
v ) (unité 2cm) .
Soit A, B et C les points d’affixes respectives
zA = i , zB = 2i et zC = 1
On considère la transformation f qui à tout point M d’affixe z 6= i associe le point M 0 d’affixe
2iz
z0 =
z−i
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
1. Un point M est dit invariant lorsque M 0 = M .
Déterminer les points invariants en résolvant z 0 = z ⇐⇒
2iz
=z
z−i
2. Déterminer sous forme algébrique les affixes des points B 0 et C 0 , images des points B et C
par la transformation f .
3. Démontrer que pour tout point M 6= A : z 0 − 2i =
−2
z−i
4. On suppose dans cette question que M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon 1
a) Justifier que l’on a : |z − i| = 1
b) En déduire la valeur de z 0 − 2i .
Montrer que M 0 appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
√
3 3
5. On considère le point D d’affixe zD =
+ i.
2
2
a) Vérifier que D appartient au cercle Γ.
b) Montrer que les points B , D et D0 sont alignés.
c) En déduire une construction à la règle et au compas de D0
3
COMPLEXES
↑ Pondichéry avril 2012 . EXERCICE 4
→
Partie A . Restitution organisée de connaissances
Soit z , z1 et z2 des nombres complexes.
- on rappelle que z désigne le conjugué de z et que |z| désigne le module de z
- on admet l’égalité |z|2 = z z
- on admet la propriété z1 z2 = z1 z2
Démontrer le résultat suivant : |z1 z2 | = |z1 | |z2 |
Partie B . Étude d’une transformation
−
−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , →
u ,→
v).
On considère les points A et B d’affixes respectives 1 et -1.
Soit f la transformation qui à tout point M d’affixe z 6= 1 associe le point M 0 d’affixe
1−z
z0 =
z−1
Une figure est donnée en annexe et sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
1. Soit C le point d’affixe zC = −2 + i .
a) Déterminer zC 0 l’affixe du point C 0 par la transformation f .
b) Montrer que C 0 appartient au cercle C de centre O et de rayon 1 .
c) Montrer que les points A , C et C 0 sont alignés.
2. On étudie dans cette question les points M qui ont pour image par f le point A
a) Montrer que si M a pour image A, alors z + z = 2
On pose z = x + iy où x et y sont réels : montrer que M appartient à une droite ∆ dont
on précisera une équation.
b) Compléter la figure avec la droite ∆
z0 − 1
3. Montrer que dans tous les cas,
est un nombre réel.
z−1
Que peut-on en déduire pour les points A, M et M 0 ?
4. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe : construire géométriquement son
image en utilisant les questions précédentes .
Figure
−
→
v
O
D
−
→
u
C
4
COMPLEXES
↑ Liban mai 2012 . EXERCICE 4
−
−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , →
u ,→
v).
1. Un triangle.
√
√
Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = 2, b = 3 + i 3 et c = 2i 3 .
a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
b) En déduire que l’affixe ω du point Ω, centre du cercle circonscrit au triangle ABC est
√
1+i 3 .
2. Une suite de points du plan.
On définit la suite de nombres complexes (zn√
) par z0 = 0 et pour tout entier naturel n :
1+i 3
zn+1 =
zn + 2
2
On note An le point d’affixe zn .
a) Vérifier que les points A1 , A2 , A3 et A4 ont pour affixes respectives :
√
√
√
2 , 3 + i 3 , 2 + 2i 3 et 2i 3
b) Calculer la longueur des segments [A1 A2 ] , [A2 A3 ] et [A3 A4 ]
√
zn+1 − ω
1+i 3
c) Démontrer que pour tout entier naturel n :
=
zn − ω
2
En déduire que le triangle ΩAn An+1 est équilatéral.
d) Démontrer que A6 = A0 .
3. Calculer
√ 2012
1+i 3
. En déduire A2012 = B
2
→
AIDE à propos des exercices sur les NOMBRES COMPLEXES
5
Antilles-Guyane septembre 2012 . EXERCICE 2
√
1. a) −1 + i 3
π
b) 2ei 6 et 2ei
2π
3
c) Calculer OA et OB, modules respectifs
de zA et zB
−→ −−
→
Calculer ensuite une mesure de OA , OB en utilisant un argument de de zA et un
argument de zB
√
2. a) 3 − i et −2 + i( 3 − 3) .
−−→ −−→
b) Calculer les affixes puis les coordonnées des vecteurs OE et AD
Montrer que les vecteurs sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire
Montrer OE = AD en calculant la norme des deux vecteurs
√
3.
zD − zA
(3 − i) − ( 3 + i)
√
a) Écrire d’abord
=
zE
−2 + i( 3 − 3)
Calculer le numérateur, mettre i en facteur au numérateur puis simplifier
b) Appliquer le théorème d’interprétation géométrique
- le module du quotient est le quotient de deux distances
- un argument du quotient est une mesure d’angle
←
AIDE à propos des exercices sur les NOMBRES COMPLEXES
Amérique du Sud novembre 2012 . EXERCICE 2
1. 0 et 3i
2. 4 et 1 + i
3. Réduire la différence au même dénominateur z − i
4. a) |z − i| est égal à la distance entre deux points (à préciser) : le résultat s’ensuit
b) z 0 − 2i = 2 ce qui de nouveau s’interprète en termes de distance
5. a) Pour montrer que D appartient au cercle Γ, calculer la distance AD
−−→ −−→
b) Calculer l’affixe respective des vecteurs BD0 et BD
Montrer que leur quotient est un nombre réel et conclure
c) Montrer que D0 appartient à un cercle et à une droite
Préciser lequel des deux points d’intersection représente D0
6
←
AIDE à propos des exercices sur les NOMBRES COMPLEXES
7
Pondichéry avril 2012 . EXERCICE 4
Partie A . Restitution organisée de connaissances
- exprimer |z1 z2 |2 en utilisant la première égalité de l’énoncé
- transformer l’expression obtenue en appliquant la propriété rappelée dans l’énoncé
- exprimer par ailleurs |z1 |2 |z2 |2 en utilisant la première égalité
- constater que les deux expressions obtenues sont égales
- identifier les deux nombres réels qui ont été transformés et conclure en calculant leur racine
carrée
Partie B . Étude d’une transformation
1. Soit C le point d’affixe zC = −2 + i .
−4 + 3i
5
b) La distance OC 0 est le module de zC 0
z − zA
est réel et interpréter ce résultat.
c) On peut par exemple montrer que C
zC 0 − zA
a)
2. On veut étudier dans cette question les points M qui ont pour image le point A par f
a) Écrire z 0 = 1, remplacer z 0 par l’expression donnée dans le texte et transformer l’égalité.
En remplaçant z par x + iy, montrer que la condition obtenue correspond à x = 1 qui
est l’équation d’une droite.
b) Compléter la figure avec la droite qui a pour équation x = 1
z0 − 1
2−z−z
=
Remplacer ensuite z par x + iy pour prouver
z−1
(1 − z)(1 − z)
que ce quotient est un nombre réel.
−−→ −−→
En déduire une propriété concernant les vecteurs AM 0 et AM
3. Montrer d’abord que
4. L’image du point D est point d’intersection d’un cercle et d’une droite
←
AIDE à propos des exercices sur les NOMBRES COMPLEXES
8
Liban mai 2012 . EXERCICE 4
1. Un triangle.
−−→ −→
a) Calculer l’affixe des vecteurs BC et BA
Calculer ensuite le quotient de ces deux affixes et montrer que ce quotient est un imaginaire pur
−−→ −→
En déduire une mesure par exemple de BC , BA
b) Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse
2. Une suite de points du plan.
a) Partant de z0 = 0, tous les calculs sont élémentaires.
On vérifie A1 = A , A2 = B et A4 = C
b) Calculer ensuite le module de la différence des affixes : on trouve 2 dans les trois cas.
c) L’égalité demandée s’obtient en remplaçant zn+1 par l’expression donnée dans l’énoncé
et en remplaçant ω par sa valeur.
√
1+i 3
Calculer ensuite le module et un argument de
2
Pour finir, il suffit d’appliquer le théorème d’interprétation géométrique : on calcule ainsi
un quotient de deux distances et une mesure d’angle, ce qui suffit pour conclure
√ 6
z6 − ω
1+i 3
d) Vérifier
=
z0 − ω
2
Montrer ensuite que ce quotient est en fait égal à 1 , ce qui permet de déterminer A6
√ 6
1+i 3
3. Puisque
= 1, il suffit de poser la division euclidienne de 2012 par 6 pour
2
simplifier le quotient.
Le résultat en découle
←
AIDE à propos des exercices sur les NOMBRES COMPLEXES
↑
9
Formulaire
Forme algébrique
calculs dans C
partie réelle, partie imaginaire
égalité de deux nombres complexes
réels et imaginaires purs
conjugué
propriétés du conjugué
caractérisations
module d’un nombre complexe
module du conjugué
inégalité triangulaire
autres propriétés du module
i2 = −1
si z = x + iy, où x et y ∈ R, alors Ré(z) = x et Im(z) = y
z = z 0 ⇐⇒ x = x0 et y = y 0
z ∈ R ⇐⇒ Im(z) = 0
z ∈ iR ⇐⇒ Ré(z) = 0
−
les réels sont les affixes des points de l’axe (0 , →
u)
−
les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe (0 , →
v)
si z = x + iy, le conjugué de z est z = x − iy
−
les points d’affixes z et z sont symétriques par rapport à (0 , →
u)
n
n
z1 + z2 = z1 + z2
z1 · z2 = z1 · z2
(z ) = (z)
1
z1
1
z1
=
=
z2
z2
z2
z2
z ∈ R ⇐⇒ z = z
z ∈ iR ⇐⇒ z =
p
√−z
si z = x + iy, le module de z est |z| = z · z = x2 + y 2
z et z ont toujours le même module : |z| = |z|
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
1
= 1
z2 |z2 |
n
|z n | = |z|
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
forme trigonométrique
si z 6= 0, il existe θ ∈ R tel que z = |z| (cos θ + i sin θ)
argument
on note θ = arg(z) ce réel θ est défini à 2π près
caractérisation d’un réel
caractérisation d’un imaginaire pur
argument du conjugué
autres propriétés de l’argument
écriture exponentielle
si z 6= 0, alors z ∈ R ⇐⇒ arg(z) = k · π où k ∈ Z
π
si z =
6 0, alors z ∈ iR ⇐⇒ arg(z) = + k · π où k ∈ Z
2
z et z ont toujours des arguments opposés : arg(z) = − arg(z)
arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
1
= − arg(z2 )
arg
z2
cos θ + i sin θ = ei θ
eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 )
formules avec écriture exponentielle
1
ei θ 2
formules d’Euler
formule de Moivre
Géométrie
affixe d’un point
affixe d’un vecteur
milieu
vecteur défini par deux points
distance entre deux points
réels et imaginaires purs
conjugué
forme trigonométrique
théorème
d’interprétation géométrique
arg(z n ) = n arg(z)
z1
arg
= arg(z1 ) − arg(z2 )
z2
ei θ = cos θ − i sin θ = e−i θ
n
eiθ
= eniθ
= e−i θ2
ei θ + e−i θ
2
n
(cos θ + i sin θ) = cos(n θ) + i sin(n θ)
cos θ =
eiθ1
= ei(θ1 −θ2 )
ei θ 2
ei θ − e−i θ
sin θ =
2i
−
−
dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (0 , →
u ,→
v)
si M (x , y), alors zM = x + iy est l’affixe du point M
→
−
→
−
si V (x , y), alors z→
− = x + iy est l’affixe du vecteur V
V
z + zB
si I est le milieu de [AB], alors zI = A
2
z−
−
→ = zB − zA
AB
AB = |zB − zA |
−
les réels sont les affixes des points de l’axe (0 , →
u)
−
les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe (0 , →
v)
−
les points d’affixes z et z sont symétriques par rapport à (0 , →
u)
−−→
→
−
iθ
si z = r e avec r > 0, alors OM = r et u , OM = θ
M
si Z =
−−→ −−→
zD − zC
CD
= r eiθ (r > 0), alors
= r et AB , CD = θ
zB − zA
AB