Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres

Classe de
seconde
Chapitre 0 : Mise au point
sur les nombres
Année scolaire
2012/2013
Introduction historique :
Dans l'histoire, des pratiques différentes ont conduit à l'utilisation d'ensembles de
nombres différents.
Depuis bien longtemps, les civilisations à travers le monde ont eu besoin de techniques
pour compter et écrire les résultats de leurs comptes.
Partant de là, souvent sur un temps très long, se sont construites des notions telles
que : nombre entier, nombre décimal, nombre rationnel, nombre réel,etc... Les
propriétés de ces nombres ont abouti à des catégories : nombre entier premier,
nombre entier parfait,etc...
Mais, tout cela ne risque pas de s'arrêter : en effet, avec les ordinateurs et leur
utilisation dans de nombreux domaines, la question des nombres et notamment de
leurs approximations, continuera à se poser. (codage des cartes bancaires, protection
sur Internet,etc...)
Frise historique sur les nombres (elle n'est pas à l'échelle et est très incomplète)
I) les ensembles de nombres :
1) Les entiers naturels :
Les nombres qui servent à compter sont les entiers naturels.
Cet ensemble se note : N = {0; 1; 2 ;...}
Remarque : Dire que 2 appartient à l'ensemble N se note 2 ∈ N
a) Diviseurs et multiples
Si a est un naturel qui s'écrit sous la forme d'un produit de deux naturels : a = bхc, on
dit :
− a est un multiple de b et a est un multiple de c
− b est un diviseur de a et c est un diviseur de a
− a est divisible par b et a est divisible par c
Exemples :
187 = 11 х17 = 187 х 1.
− 187 est un multiple de 1, de 11 et de 17
− 1,11 et 17 sont des diviseurs de 187 (ce sont même les seuls)
Remarque : tout naturel a s'écrit a = aх1, donc tout naturel est divisible par 1 et luimême et tout naturel est un multiple de 1.
Critères de divisibilité :
Au collège certains critères de divisibilité ont été étudiés :
− Par 2
− Par 3
− Par 5
− Par 9
Exemples : 2346 est divisible par 2 car le chiffre de ses unités est dans l'ensemble :
{0;2;4;6;8}
Ce nombre est aussi divisible par 3 car la somme de ses chiffres est un multiple de 3 :
2+3+4+6 = 15 or 15 = 3х5
b) Nombres premiers
Définition : Un naturel premier est un naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et
lui-même.
Exemples :
- 2,3,5,7,11,13,17,19,23 sont les nombres premiers inférieurs à 25
− 2 est le seul nombre premier pair
− 1 n'est pas premier car il n'est divisible que par lui-même
− 6 n'est pas pair car il est divisible par 1,2,3,6
Remarque : il ne faut pas confondre nombre premier avec nombres premiers entre eux
Exemple : 4 et 9 ne sont pas des nombres premiers mais ils sont premiers entre eux.
Ils n'ont pas de diviseurs communs. (Rappel de troisième : pgcd(4;9)=1)
c) Décomposition d'un nombre non premier
Tout naturel non premier supérieur à 1 peut s'écrire de manière unique sous la forme
d'un produit de nombres premiers.
Exemple :
100 qui n'est pas un naturel premier peut se décomposer comme suit :
100 = 10x10 = 2x5x2x5 = 22 x52
L'écriture 22 x52 est la décomposition de 100 en facteurs premiers.
2) Les entiers relatifs :
Définition : L'ensemble des entiers relatifs, ou entiers, comprend tous les naturels
ainsi que leurs opposés. Il est noté Z.
Z = { ..., -12 347; -12 346;....;-2;-1;0;1;2;...;5436;...}
Remarque :
N est une partie de Z ce qui se note N ⊂ Z (N est inclus dans Z)
Remarque : 4 et –4 sont deux entiers opposés (ne pas confondre avec inverse)
3) Les nombres rationnels :
Définition : L’ensemble des rationnels est l’ensemble des quotients d’un entier a par un
a
entier b (b≠0) noté
. Cet ensemble est noté : Q
b
Les éléments de Q s'appellent des fractions.
Remarques :
a
- Le rationnel
peut s'écrire a, donc tout entier est un rationnel c'est-à-dire :
1
Z ⊂ Q
- Rappel : une fraction est dite irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
− Un nombre rationnel a plusieurs écritures, obtenues en multipliant ou en divisant
les deux termes du rationnel par un même entier non nul.
a
b
1
− Si a et b sont non nuls, l'inverse de
est
. L'inverse de a se note
ou a-1
b
a
a
Cas particuliers de nombres rationnels : les décimaux
- Un nombre décimal est un rationnel particulier dont on peut trouver une écriture
avec un dénominateur égal à 10,100,1000, ... ou toute puissance de 10.
− Un nombre décimal s'écrit sous la forme d'un nombre à virgule.
2673
342
684
Exemple :
= 26,73
=
= 68,4
100
5
10
L'ensemble des décimaux se note : D
Tout entier est un décimal, donc Z ⊂ D et D ⊂ Q
4) Les nombres réels :
Certains nombres ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'un quotient d'entiers.
Exemples : √ 2 , π Ces nombres sont dits irrationnels.
L'ensemble constitué des rationnels et des irrationnels est appelé ensemble des réels.
Il est noté R
C'est l'ensemble des abscisses de tous les points d'une droite sur laquelle est
choisi un repère (O;I)
-4 –
|
|
7
2
0
1
√2
2
3 π
4
|
O
|
I
|
|
| |
|
Finalement, l'ensemble des réels contient tous les ensembles précédents :
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
II) Ecritures décimales et calculatrices :
1) Ecriture scientifique d'un décimal :
Rappels de quatrième :
Tout nombre décimal positif peut s'écrire sous la forme : a х 10p où a est un décimal
tel que 0 < a < 10 et p un entier relatif.
C'est la notation scientifique du décimal.
Exemples : 234,67 = 2,3467 х 102 0,000 004 = 4 х 10-6
2) Décimaux et calculatrice :
13
Exemple : A la calculatrice, si on calcule
, on obtient 0,0325 : la division se
400
termine.
13
13
13
13
Le rationnel
est un décimal :
=
=
2
2
2
400
400
(4 х 100)
(2 x 2 x 5 )
=
13
4
2 = 0,0325
(2 x 5 )
Un rationnel est un décimal si, après simplification, le dénominateur ne contient
qu'un produit de puissances de 5 et de puissances de 2.
3) Valeur décimale approchée d'un réel :
De nombreux réels ne sont pas des décimaux, mais la calculatrice peut en donner une
valeur décimale approchée.
Exemple :
2
à la calculatrice, on obtient 0,6666666667
3
a) Troncature de x à 10-3 : 0,666
b) Arrondi de x à 10-3 : 0,667
c) 0,666 est un arrondi de x par défaut à 0,001 près et
0,667 est un arrondi de x par excès . On peut donner l'encadrement suivant : 0,666 <
2
< 0,667
3
Si on calcule x =