PSI - Lycée Bellevue Physique Électromagnétisme - TD n˚8 Équations de Maxwell dans le vide Électromagnétisme - TD n˚8 Équations de Maxwell dans le vide Exercice I : Courant de déplacement et courant de conduction → − → − On considère un milieu de conductivité γ pour lequel le courant de conduction j est lié à E par → − → − j = γ E . On suppose que γ a la même valeur en régime alternatif qu’en régime permanent et le milieu considéré a les mêmes constantes ǫ0 et µ0 que le vide. → − Pour un champ électrique E alternatif de pulsation ω, calculer le rapport α des amplitudes du courant → − de conduction et du courant de déplacement ǫ0 ∂ E /∂t. Pour ω = 2π.106 rad.s−1 , chiffrer ce rapport dans les différents cas suivants : 1. Pour le cuivre (γ = 6.107 S.m−1 ). 2. Pour un sol argileux (γ ≃ 10−4 S.m−1 ). 3. Pour du verre (γ ≃ 10−6 S.m−1 ). On donne ε0 = 1 F.m−1 . 36π.109 Exercice II : Claquage d’un condensateur sphérique Deux sphères métalliques minces S1 et S2 de centre commun O et de rayons r1 et r2 > r1 sont séparées par un gaz initialement isolant dont les propriétés électriques peuvent être confondues avec celles du vide. S2 est initialement non chargée et S1 porte la charge Q. On suppose que, à l’instant t = 0, le gaz devient instantanément un conducteur ohmique de conductivité σ (une telle opération est envisageable en ionisant le gaz par un "flash" de photons de haute énergie). 1. Décrire qualitativement le phénomène qui se produit ainsi que l’état final du système. → − 2. En analysant les symétries du problème, montrer que le champ magnétique B (M, t) ne peut être qu’identiquement nul. 3. Montrer de même que le champ électrique est de la forme − → E (M, t) = E(r, t) ~ur où ~ur est un vecteur unitaire radial. 4. Examiner toutes les équations de Maxwell et montrer que l’une d’elles fournit une équation différentielle vérifiée par la fonction E(r, t) dans tout l’espace entre les sphères. Mettre en évidence un temps de relaxation τ et reconnaître sa signification physique. 5. En intégrant cette équation différentielle, déterminer E(r, t) pour r1 < r < r2 . 6. Montrer que la densité volumique de charge ρ(r, t) entre les sphères reste nulle tout au long de l’évolution. Que peut-on déduire de la comparaison de ce résultat avec le caractère non-nul de densité de cou→ rant − (M, t) ? 7. Déterminer également E(r, t) dans les régions r < r1 et r > r2 . Tristan Brunier Page 1/3 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Électromagnétisme - TD n˚8 Équations de Maxwell dans le vide 8. Donner l’expression de la puissance volumique p(r, t) = dP/dτ dissipée par effet Joule dans l’espace entre les sphères. En intégrant cette expression, calculer l’énergie WJ dissipée au cours de l’évolution du système. 9. Calculer les énergies W0 et W1 contenues dans l’ensemble du champ électromagnétique, respectivement dans l’état initial du système et dans son état final. Conclure en proposant un bilan énergétique. Exercice III : Équations de propagation des potentiels 1. Rappeler les expressions des champs électrique et magnétique en fonction des potentiels scalaire V → − et vecteur A . 2. En utilisant les équations de Maxwell et la question précédente, en déduire les équations liant les potentiels aux sources du champ électromagnétique ? 3. Que deviennent ces équations dans le vide, avec le choix de jauge de Lorentz → 1 ∂V − =0? div A + 2 c ∂t Exercice IV : Vecteur de Poynting nul ou transfert d’énergie nul ? ⋆ − → Une charge ponctuelle constante q et un dipôle magnétique de moment dipolaire M, indépendant du temps, sont immobiles comme indiqué sur le schéma. 1. Le vecteur de Poynting est-il nul en un point quelconque de l’espace extérieur aux sources ? 2. Cette situation correspond-elle à un transfert d’énergie d’une zone de l’espace vers une autre ? Ces deux résultats sont-ils incompatibles ? → − − → − → →→ − →− − → → Donnée : div a ∧ b = b · rot(− a)−− a · rot( b ). Exercice V : Champ électrique induit par un solénoïde Un solénoïde très long comporte n spires jointives bobinées par unité de longueur sur un cylindre de rayon a et d’axe (O, ~uz ). 1. Déterminer le champ électrique induit par un courant i(t) variable circulant dans le solénoïde. Examiner la limite des régimes sinusoïdaux de basse et haute fréquences. 2. Déterminer le vecteur de Poynting ainsi que la puissance rayonnée à travers une longueur L du solénoïde. 3. Déterminer l’énergie électromagnétique stockée dans une longueur L de solénoïde. Que vaut le rapport de l’énergie électrique Eel sur l’énergie magnétique Em dans l’approximation des régimes quasistationnaires. 4. En déduire la puissance fournie par le champ aux porteur de charges. Tristan Brunier Page 2/3 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Exercice VI : Électromagnétisme - TD n˚8 Équations de Maxwell dans le vide Bilan énergétique de la charge d’un condensateur ⋆ On considère un condensateur plan intégré dans un circuit en régime variable, c’est-à-dire ayant une charge fonction du temps. On se propose d’évaluer l’énergie électromagnétique totale stockée dans ce condensateur dans un premier temps par intégration sur le volume entre armatures et dans un second temps à l’aide du théorème de Poynting. Le condensateur est constitué de deux disques métalliques, d’axe (O, ~uz ) et de rayon a = 5 cm, distants de e = 100 µm . On négligera tout effet de bord. 1. Quelles sont les expressions des champs électrique et magnétique à l’intérieur du condensateur ? On exprimera le résultat en fonction de Q et de I = Q̇. 2. On suppose que le condensateur est soumis à une tension sinusoïdale de sorte que Q(t) = Q0 cos(ωt). Déterminer les expressions → − − → de E et B . 3. Calculer l’énergie électrique moyenne hEe i stockée dans l’espace vide entre les armatures. 4. Calculer de même l’énergie magnétique moyenne hEm i. 5. Comparer ces deux énergies et commenter le comportement énergétique du condensateur dans l’ARQS. − → 6. Déterminer le vecteur de Poynting Π ainsi que la puissance P rayonnée à travers la surface comprise entre les armatures. 7. À l’aide de l’équation de Poynting, retrouver l’expression de l’énergie électromagnétique stockée entre les armatures. Commentaire. Exercice VII : Impulsion du champ électromagnétique Le champ électrique d’une onde plane sinusoïdale qui se propage dans le vide dans la direction d’axe (O, ~uz ) a la forme suivante →− − E (→ r , t) = E0 cos (ωt − kz) ~ux . → − 1. Exprimer le champ magnétique B oscillant associé, dans cette onde, au champ électrique précédent. 2. Montrer que la compatibilité du champ de l’onde avec les équations de Maxwell dans le vide impose une relation entre k et ω (on prendra k > 0 pour une propagation dans le sens des z croissants). 3. Quelle est la valeur moyenne temporelle de la densité d’énergie de cette onde ? → − − → → 4. La grandeur − g = ǫ0 E ∧ B est appelée impulsion volumique du champ (ou quantité de mouvement par unité de volume). L’unité de cette grandeur est-elle en accord avec cette définition ? 5. Dans un modèle corpusculaire, on associe à cette onde un faisceau de photons se déplaçant à la vitesse c de l’onde. Quelle densité particulaire n de photons peut-elle être associée à cette onde ? On rappelle qu’un photon est une particule relativiste de masse nulle, d’énergie E = hν (où ν = ω/2π désigne la fréquence de l’onde) et d’impulsion, ou quantité de mouvement, p = E/c = hν/c. 6. En déduire l’expression de l’impulsion volumique associée à l’onde et vérifier qu’elle s’identifie bien → à la moyenne temporelle de la grandeur − g définie à la question 3. . Tristan Brunier Page 3/3 Année 2010-2011