Modules

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Modules
Sauf mention expresse du contraire, A désigne un anneau commutatif et unitaire. Il n’est pas interdit
de se demander ce qu’il advient sans l’hypothèse de commutativité.
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Généralités
Exercice 1 - Structure de A-module vs morphisme d’anneaux. Soit M un groupe abélien.
1. On suppose que M possède une structure de A-module. Vérifier que les applications
`a : M −→ M, x 7−→ a · x
et
ϕM : A −→ EndZ (M ), a 7−→ `a
sont respectivement un morphisme de groupes et un morphisme d’anneaux.
2. Soit ϕ : A −→ EndZ (M ) un morphisme d’anneaux. Montrer que la loi externe
A × M −→ M, (a, x) 7−→ a · x = ϕ(a)(x)
induit sur M une structure de A-module, notée Mϕ .
3. Montrer que les deux constructions
M −
7 → ϕM
Mϕ ←−[ ϕ
sont inverses l’une de l’autre.
4. Montrer que Mϕ ' Mψ si et seulement s’il existe f ∈ GLZ (M ) tel que
ψ(a) = f ◦ ϕ(a) ◦ f −1
∀ a ∈ A.
Exercice 2 - Extension des scalaires. Soit M un A-module.
1. Soit I un idéal de A et N un sous-module de M tel que, pour tout a ∈ I et tout x ∈ M , a · x ∈ N .
Montrer alors que M/N possède une structure naturelle de A/I-module.
(Indication : on pourra se référer à l’exercice 1)
2. Soit B un anneau commutatif et ϕ : B −→ A un morphisme d’anneaux. Montrer que M hérite
naturellement d’une structure de B-module.
3. Caractériser les Z/nZ-modules en termes de groupes abéliens.
Exercice 3
Quels sont les endomorphismes du A-module A ?
Exercice 4
Soit M un A-module. Décrire HomA (A, M ).
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Exercice 5 Soit M, N deux A-modules et (Mi )i∈I , (Nj )j∈J deux familles de A-modules. Montrer que
l’on a des isomorphismes canoniques de A-modules :
M
Y
1. HomA
Mi , N '
HomA (Mi , N ).
i∈I
2. HomA M,
i∈I
Y
Nj '
j∈J
3. HomA
M
i∈I
Mi ,
Y
HomA (M, Nj ).
j∈J
Y
Nj '
j∈J
Y
HomA (Mi , Nj ).
(i,j)∈I×J
Exercice 6 - Théorèmes d’isomorphisme.
1. Soit N un sous-module d’un A-module M et π : M −→ M/N la projection canonique.
a) Montrer que P 7−→ π −1 (P ) établit une bijection croissante entre les sous-modules de M/N
et les sous-modules de M contenant N et donner sa réciproque.
b) Montrer que cette bijection transforme sommes et intersections en sommes et intersections.
2. Soit M1 et M2 des A-modules et N1 et N2 des sous-modules respectifs. Montrer que
(M1 ⊕ M2 )/(N1 ⊕ N2 ) ' M1 /N1 ⊕ M2 /N2 .
3. Montrer que, pour des sous-modules N ⊂ L2 ⊂ L1 de M , (L1 /N )/(L2 /N ) ' L1 /L2 .
4. Montrer que si N et P sont des sous-modules de M , (N + P )/P ' N/(N ∩ P ).
Exercice 7 - Modules sur un anneau intègre vs espaces vectoriels. Supposons A intègre et notons
K son corps de fractions. Soit V et W des K-espaces vectoriels.
1. Montrer qu’une famille d’éléments de V est K-libre si et seulement si elle est A-libre.
2. Montrer qu’une famille A-génératrice de V est K-génératrice et que la réciproque est fausse.
3. Montrer que toute application A-linéaire de V dans W est K-linéaire.
4. Montrer que K est un A-module libre (resp. de type fini) si et seulement si K = A.
Exercice 8 Soit M et N deux A-modules, f : M −→ N une application A-linéaire et I un ensemble.
Pour v = (vi )i∈I ∈ M I , on note f (v) la famille (f (vi ))i∈I ∈ N I . Vrai ou faux :
1. v libre ⇒ f (v) libre ;
2. f (v) libre ⇒ v libre ;
3. v génératrice ⇒ f (v) génératrice ;
4. f (v) génératrice ⇒ v génératrice.
Et si l’on suppose f injective (resp. surjective) ? Y a-t-il des réciproques, du genre "si l’image d’une
famille libre est libre, alors f est surjective" ?
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Romain Basson
Exercice 9 - Éléments et sous-modules de torsion. Un élément x d’un A-module M est dit de torsion
lorsqu’il existe a ∈ A \ {0} tel que a · x = 0. On note Tor(M ) l’ensemble des éléments de torsion de
M . Un module M est dit de torsion (resp. sans torsion) lorsque Tor(M ) = M (resp. Tor(M ) = {0}).
1. Quels sont les éléments de torsion du A-module A.
On suppose désormais A intègre.
2. Montrer que Tor(M ) est un sous-module de M . Utilise-t-on le fait que A est intègre ?
3. Montrer que toute application A-linéaire T −→ M , où T est de torsion, se factorise par Tor(M ).
4. Pour N un sous-module de M , exprimer Tor(N ) en fonction de Tor(M ). En déduire que Tor(M )
est un module de torsion.
5. Montrer que M/ Tor(M ) est sans torsion et que toute application A-linéaire M −→ F , où F est
sans torsion, se factorise par M/ Tor(M ).
6. Un A-module est dit fidèle lorsque AnnA (M ) = {0}. Quels sont les liens logiques entre les
propriétés "fidèle", "de torsion", "sans torsion" et leurs négations ?
7. Le Z-module Q/Z est-il de torsion ? sans torsion ? fidèle ?
8. Pour M de type fini, montrer que M est de torsion si et seulement si AnnA (M ) est non nul.
9. Pour A = Z, donner une caractérisation des éléments de Tor(M ) selon leur ordre et montrer que
M est de torsion et de type fini si et seulement si M est fini.
10. Montrer que tout sous-module d’un A-module libre est sans torsion.
11. Vrai ou faux :
a) tout sous-module d’un module de torsion est de torsion ;
b) tout quotient d’un module de torsion est de torsion ;
c) tout sous-module d’un module sans torsion est sans torsion ;
d) tout quotient d’un module sans torsion est sans torsion ;
e) un module sans torsion n’est jamais de torsion ;
f) toute somme directe (tout produit, toute somme directe finie, tout produit fini) de modules
de torsion est de torsion ;
g) toute somme directe (tout produit, toute somme directe finie, tout produit fini) de modules
sans torsion est sans torsion ;
f1
f2
f3
12. Montrer qu’une suite exacte de A-modules 0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 induit la suite exacte
0 −→ Tor(M1 ) −→ Tor(M2 ) −→ Tor(M3 ).
13. Soit f : M −→ N une application A-linéaire surjective. L’application induite Tor(M ) −→ Tor(N )
est-elle surjective ?
Exercice 10 - Modules simples. Rappelons qu’un A-module M est dit simple lorsqu’il est non nul
et n’admet pas de sous-modules non triviaux.
1. Montrer que si M est un A-module simple, alors tout endomorphisme de M est soit nul, soit un
automorphisme.
2. Soit I un idéal de A. Montrer que A/I est simple si et seulement si I est maximal.
3. Montrer qu’un A-module simple est isomorphe à un A/M, pour un certain idéal maximal M.
4. Décrire tous les Z-modules simples à isomorphisme près.
5. Plus généralement, décrire tous les modules simples sur un anneau principal à isomorphisme près.
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Modules de type fini
Exercice 11 - Résultats de base sur les modules de type fini.
1. Montrer que M est de type fini si et seulement s’il existe n ∈ N tel que M soit isomorphe à un
quotient de An .
2. Montrer que tout quotient d’un A-module de type fini est de type fini.
3. Soit M un A-module de type fini. Montrer que toute partie génératrice de M contient une partie
génératrice finie.
4. Dans l’anneau ZN , montrer que Z(N) est un idéal qui n’est pas de type fini.
5. Donner un exemple d’un sous-module d’un module de type fini qui n’est pas de type fini.
6. Montrer qu’un A-module libre est de type fini si et seulement s’il est de rang fini.
7. Soit M un A-module et N un sous-module de M . Montrer que si N et M/N sont de type fini,
M est de type fini.
Exercice 12 - Générateurs des rationnels. Q est ici considéré comme un Z-module.
1. Montrer que tout sous-module de type fini de Q est libre de rang 0 ou 1.
2. En déduire que Q n’est pas de type fini, puis (en utilisant l’exercice 11) la même chose pour Q/Z.
3. Soit (ei )i∈I une famille génératrice de Q et j ∈ I. Montrer que la famille (ei )i∈I\
génératrice.
3
{j}
est encore
Modules libres
Exercice 13
En choisissant A et l’entier n convenablement, donner des exemples :
1. d’une famille génératrice d’un A-module libre dont on ne peut pas extraire une base ;
2. d’une famille libre d’un A-module libre qui ne peut pas être complétée en une base ;
3. d’une partie génératrice minimale qui n’est pas une base. À ce tritre, on pourra déterminer des
familles génératrices minimales de cardinal n ∈ N∗ du Z-module Z.
4. d’un A-module qui n’est pas libre ;
5. d’une partie libre à n éléments de An qui n’est pas une base ;
6. d’une partie génératrice minimale de An qui n’est pas une base ;
7. d’un sous-module d’un module libre de rang fini qui n’est pas de type fini ;
8. d’un sous-module d’un module libre qui n’est pas libre ;
9. d’un sous-module d’un module libre qui n’admet pas de supplémentaire.
Exercice 14
Soit M = (x, y) ∈ Z2 / x + y ≡ 0 mod 2 et x − y ≡ 0 mod 4 .
1. Montrer que M est un Z-module libre de rang 2 et en donner une base.
2. Montrer que Z2 /M est fini.
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Exercice 15
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Soit I un idéal de A. Quand le A-module A/I est-il libre ?
Exercice 16 - Modules libres vs sous-modules.
1. Montrer que Z/2Z n’est pas isomorphe à un sous-module d’un Z-module libre.
2. Décrire tous les sous-modules libres de A.
3. Déduire de la question précédente un exemple d’un anneau A et d’un sous-module d’un A-module
libre qui n’est pas libre.
4. Quels sont les anneaux A tels que tout sous-module de A soit libre ?
Exercice 17 - Modules libres vs sommes, produits, quotients et sous-modules.
1. Montrer que tout A-module admet une partie génératrice. En déduire que tout A-module est
isomorphe à un quotient d’un A-module libre.
2. Soit M un A-module et N un sous-module de M . Si N et M/N sont libres, montrer que M est
libre.
3. Montrer que toute somme directe et que tout produit fini 1 de A-modules libres est libre.
4. Soit A = Z/6Z. Montrer que 2A et 3A ne sont pas libres, mais que 2A ⊕ 3A l’est.
Exercice 18 - Théorème de Baer. Soit A un anneau commutatif et X un ensemble.
1. Définir une application bilinéaire naturelle (., .) : AX × A(X) −→ A.
∼
2. Montrer que (., .) induit un isomorphisme de A-modules AX −→ HomA (A(X) , A).
3. Montrer que (., .) induit un morphisme injectif de A-modules Φ : A(X) ,−→ HomA (AX , A).
On suppose désormais que A = Z et X = N. On note E = HomZ (ZN , Z) et on définit
Ψ : E −→ ZN , ψ 7−→ (ψ ((δi,j )j ))i .
4. En considérant les images par ψ de suites de la forme (2n an )n∈N et (3n bn )n∈N , montrer que tout
élément ψ ∈ E s’annulant sur Z(N) est identiquement nul.
5. Montrer que im Ψ ⊂ Z(N) .
6. En déduire que Φ est un isomorphisme de Z-modules.
7. Conclure en montrant que ZN n’est pas un Z-module libre.
Exercice 19 - Sommes directes vs bases.
Soit M un A-module et (ei )i∈I une famille d’éléments de M .
1. Montrer que si (ei )i∈I est une A-base de M , alors on a M =
M
Aei .
i∈I
2. Montrer que la réciproque est fausse en considérant A = M = Z/6Z et la famille (2, 3).
M
3. Montrer que (ei )i∈I est une A-base de M si et seulement si on a l’égalité M =
Aei et les
i∈I
éléments ei ne sont pas de torsion.
Exercice 20 Soit M un A-module libre. Pour a ∈ A, on note aM la multiplication par a dans M .
Montrer que aM est injective (resp. surjective) si et seulement si a est régulier (resp. inversible) dans
A. Retrouver ainsi le fait que Q n’est pas un Z-module libre.
Exercice 21 Montrer que le Z-module Q n’est pas facteur direct d’un Z-module libre.
1. Le théorème de Baer (1937) énonce que ZN n’est pas un Z-module libre.
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