doc num

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Université Amar Thelidji de Laghouat
Faculté de Génie Electrique
Département d’Electrotechnique
Faculté des sciences et sciences de l’ingénieur
Département de Génie Electrique
Ecole Doctorale en Génie Electrique
MEMOIRE
En vue de l’obtention du diplôme de
Magister en Electrotechnique
Option : Haute tension et Environnement
Présenté par :
Riad Lakhdar KHERFANE
Thème :
Exploration de différentes techniques de l'intelligence
artificielle pour la prédiction du contournement électrique
des isolateurs haute tension dans leur environnement réel
Soutenue publiquement le : 04-10-2011 devant la commission d’examen composée de :
Président :
-Mr FLAZI Samir
Prof
Rapporteur :
-Mr ZEGNINI Boubakeur M .C/A
USTOMB-ORAN
Université de Laghouat
Examinateurs : -Mr HADI Hocine
Prof
USTOMB-ORAN
-Mr MAHI Djillali
Prof
USTOMB-ORAN
-Mr BOUTHIBA Tahar
Prof
USTOMB-ORAN
Abstract:
High voltage insulators form an essential part of the high voltage electric power transmission systems.Any failure in the
satisfactory performance of high voltage insulators will result in considerable loss of capital, as there are numerous industries that
depend upon the availability of an uninterrupted power supply. The importance of the research on insulator pollution has been
increased considerably with the rise of the voltage of transmission lines. In order to determine the flashover behavior of polluted high
voltage insulators and to identify to physical mechanisms that govern this phenomenon, the researchers have been brought to
establish a modeling. Artificial intelligent techniques have been used by various researches for modeling and predictions in the field
of energy engineering systems.
The phenomenon of flashover in polluted insulators has not yet been described accurately through a mathematical model. The
main difficulty lies in the definition of the constants of the arc, which is formed in the dry bands when the voltage exceeds its critical
value.
First this work present an optimisation method based on genetic algorithms for the determination of the arc constants, using
experimental results from artificially polluted insulators. The well known model of Obenhaus for pollution flashover is used. This
model results in a system of equations which cannot be solved with conventional arithmetic methods. The application of genetic
algorithms enables the definition of the arc constants, resulting also in the calculation of the critical conditions at the beginning of the
pollution flashover mechanism. In this way a mathematical model is established, which simulates accurately the experimental results.
Second this work attempts to apply an artificial neural network in order to estimate the critical flashover voltage on polluted
insulators. The artificial neural network uses as input variables the following characteristics of the insulator: diameter, height,
creepage distance, form factor and equivalent salt deposit density, and estimates the critical flashover voltage. The data used to train
the network and test its performance is derived from
experimental measurements and a mathematical model.
Keywords: High voltage insulators; Polluted insulators; Critical flashover voltage; Genetic algorithms ; Artificial neural network.
Résumé:
Les isolateurs HT constituent une partie essentielle des systèmes de transport de l’énergie électrique. Tout échec dans la
performance de ces isolateurs mène à des pertes économiques considérables, à cause du nombre d’industries qui dépendent de la
disponibilité d’une source d’énergie sans interruption.
L’importance des investigations sur les isolateurs HT a augmenté avec l’augmentation de la tension des lignes de transport.
Dans le but de déterminer le comportement du contournement des isolateurs pollués et d’identifier le mécanisme physique qui
gouverne ce phénomène, les chercheurs ont essayé de le modéliser par plusieurs méthodes, notamment les techniques de
l’intelligence artificielle.
Les modèles mathématiques existants ne décrivent pas précisément le phénomène du contournement des isolateurs pollués
et la principale cause reste la définition des constantes de l’arc qui apparait au niveau des zones sèches, lorsque la tension dépasse
la valeur critique.
Premièrement ce travail présente une méthode d’optimisation basée sur les algorithmes génétiques(AG) pour la
détermination des constantes de l’arc, en utilisant des résultats expérimentaux sur des isolateurs pollués artificiellement. Pour cela
on a utilisé le modèle le plus connu d’Obenaus du contournement de la pollution. L’application de l’AG a permit de définir les
constantes de l’arc d’où l’établissement d’un modèle qui simule avec grande précision les résultats expérimentaux.
Deuxièmement ce travail essaye d’appliquer un réseau de neurones artificiel (RNA) dans l’ordre d’estimer la tension critique
du contournement d’un isolateur pollué. Le RNA utilise comme variables d’entrées les caractéristiques de l’isolateur (Diamètre,
Hauteur, Longueur de la ligne de fuite, Facteur de forme, DDSE (Densité de Dépôt en Sels Equivalente)) et estime la tension critique
de contournement. La base de données utilisée pour l’apprentissage du RNA et le test de ces performances dérivent des mesures
expérimentales et du modèle mathématique.
Mots clés : Isolateur haute tension, Isolateur pollué, Tension critique du contournement, Algorithmes génétiques, Réseaux
de neurones artificiels.
:‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫ و ﻛﻞ ﺧﻠﻞ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﻌﻮازل ﯾﺆدي إﻟﻰ ﺧﺴﺎﺋﺮ ﻣﺎدﯾﺔ ﻣﻌﺘﺒﺮة ﺑﺴﺒﺐ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺘﺰاﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺎﻋﺎت اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﻣﺼﺪرا‬،‫ﺗﻤﺜﻞ ﻋﻮازل اﻟﺘﻮﺗﺮات اﻟﻌﺎﻟﯿﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﮭﻤﺔ ﻣﻦ أﻧﻈﻤﺔ ﻧﻘﻞ اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ‬
.‫ﻟﻠﻄﺎﻗﺔ اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ ﺑﺪون اﻧﻘﻄﺎع‬
‫ ﻓﺎﻧﺼﺐ اﻟﺒﺎﺣﺜﻮن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﺎوﻟﺔ إﯾﺠﺎد ﻧﻤﻮذج ﻟﺸﺮح ﺳﻠﻮك و اﻟﻤﯿﻜﺎﻧﯿﺰﻣﺎت‬.‫زﯾﺎدة ﻗﯿﻢ اﻟﺘﻮﺗﺮات ﻓﻲ أﻧﻈﻤﺔ ﻧﻘﻞ اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ زاد ﻣﻦ أھﻤﯿﺔ اﻷﺑﺤﺎث اﻟﺠﺎرﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻋﻮازل اﻟﺘﻮﺗﺮات اﻟﻌﺎﻟﯿﺔ‬
.‫ اﻟﺬﻛﺎء اﻻﺻﻄﻨﺎﻋﻲ‬،‫اﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﻟﻈﺎھﺮة اﻻﻟﺘﻔﺎف ﻓﻲ اﻟﻌﻮازل و ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻟﺘﻘﻨﯿﺎت اﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻤﺠﺎل‬
.‫اﻟﻨﻤﺎذج اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ اﻟﻤﻮﺟﻮدة ﺣﺎﻟﯿﺎ ﻻ ﺗﺤﺎﻛﻲ ﺑﺪﻗﺔ ﻇﺎھﺮة اﻻﻟﺘﻔﺎف و اﻟﺴﺒﺐ ﻓﻲ ذﻟﻚ ھﻮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺛﺎﺑﺘﺎ اﻟﻘﻮس اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﻲ اﻟﺬي ﯾﻈﮭﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﺠﺎﻓﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺼﻞ اﻟﺘﻮﺗﺮ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺤﺮﺟﺔ‬
‫ ﻣﻦ أﺟﻞ ھﺬا اﺳﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﻧﻤﻮذج‬.‫أوﻻ ﯾﻘﺪم ھﺬا اﻟﻌﻤﻞ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺗﺤﺴﯿﻦ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺎت اﻟﺠﯿﻨﯿﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺛﺎﺑﺘﺎ اﻟﻘﻮس اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﻲ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻗﯿﻢ ﺗﺠﺮﯾﺒﯿﺔ أﺧﺬت ﻋﻠﻰ ﻋﻮازل ﻣﻠﻮﺛﺔ ﻃﺒﯿﻌﯿﺎ‬
.‫ ﻣﻤﺎ ﺳﻤﺢ ﺑﺘﺤﺪﯾﺪ ﺛﺎﺑﺘﺎ اﻟﻘﻮس و ﻣﻦ ﺛﻤﺔ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻧﻤﻮذج ﯾﺤﺎﻛﻲ ﺑﺪﻗﺔ ﻛﺒﯿﺮة اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﺠﺮﯾﺒﯿﺔ‬.‫اوﺑﻨﺎوس ﻟﻼﻟﺘﻔﺎف ﻋﻠﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻠﻮﺛﺔ و ھﻮ اﻟﻨﻤﻮذج اﻷﻛﺜﺮ اﺳﺘﻌﻤﺎﻻ‬
،‫ اﻻرﺗﻔﺎع‬،‫ ﺗﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﺸﺒﻜﺔ ﻛﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﺪﺧﻮل ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻌﺎزل )اﻟﻘﻄﺮ‬.‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ﺣﺎوﻟﻨﺎ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻌﻤﻞ ﺗﻄﺒﯿﻖ ﺷﺒﻜﺔ اﻟﺨﻼﯾﺎ اﻟﻌﺼﺒﯿﺔ اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻟﺘﻮﺗﺮ اﻟﺤﺮج ﻟﻼﻟﺘﻔﺎف ﻟﻌﺎزل ﻣﻠﻮث‬
.‫ و ﺗﻘﺪر اﻟﺘﻮﺗﺮ اﻟﺤﺮج ﻟﻼﻟﺘﻔﺎف‬،((‫ )اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﺘﺮﺳﺐ اﻷﻣﻼح‬DDSE ،‫ ﻋﺎﻣﻞ اﻟﺸﻜﻞ‬،‫ﻃﻮل ﺧﻂ اﻟﺘﺴﺮب‬
.‫ أﺧﺬت ﻣﻦ ﻗﯿﺎﺳﺎت ﺗﺠﺮﯾﺒﯿﺔ و ﻣﻦ اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ‬،‫ ﻟﺘﺪرﯾﺐ اﻟﺸﺒﻜﺔ و اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻤﻠﮭﺎ‬،‫ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ‬
.‫ ﺷﺒﻜﺔ اﻟﺨﻼﯾﺎ اﻟﻌﺼﺒﯿﺔ اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ‬،‫ اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺎت اﻟﺠﯿﻨﯿﺔ‬،‫ اﻟﺘﻮﺗﺮ اﻟﺤﺮج ﻟﻼﻟﺘﻔﺎف‬،‫ ﻋﺎزل ﻣﻠﻮث‬،‫ ﻋﺎزل ﺗﻮﺗﺮ ﻋﺎﻟﻲ‬:‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﯿﺔ‬
Sommaire
Introduction générale…………………………..………………………………………. 11
Chapitre I : Le phénomène du contournement………………………….……………… 14
I.1- Introduction………………………………………………………………………... 15
I.2- La décharge électrique dans les gaz……………………………………………….. 15
I.1.2- Définition…………………………………………………………………. 15
I.2.2- Les types de décharges électriques……………………………………….. 15
I.2.3- Les mécanismes du claquage……………………………………………... 16
I.2.3.1- Mécanisme de Townsend………………………………………… 16
I.2.3.2- Le mécanisme de streamer……………………………………….. 18
I.2.4- La décharge surfacique…………………………………………………… 21
I.2.4.1- Définition………………………………………………………… 21
I.2.4.2- Mécanisme du contournement de la surface …………………….. 21
I.3- Contournement des isolateurs pollués …………………………………………….. 22
I.3.1- Processus de contournement des surfaces polluées ……………………… 22
I.3.2- Le mécanisme de contournement des isolateurs pollués …………………. 23
I.3.3- Paramètres d’influence …………………………………………………… 29
I.3.3.1- Influence de la longueur de la ligne de fuite …………………….. 29
I.3.3.2- Influence du diamètre ……………………………………………. 29
I.3.3.3- Influence de la forme de l’isolateur …………………………….. 33
I.3.3.4- Influence de la DDSE …………………………………………... 34
I.4- Conclusion ………………………………………………………………………… 36
Chapitre II : Algorithmes génétiques ……..…………………………………………… 37
II.1- Introduction ………………………………………………………………………. 38
II.2- Algorithmes évolutionnaires ……………………………………………………... 39
II.3- Algorithmes génétiques…………………………………………………………... 40
II.3.1- Théorie des algorithmes génétiques AG ………………………………… 41
4
II.3.2- Principe de fonctionnement des algorithmes génétiques AG …………… 41
II.3.3- Les caractéristiques des algorithmes génétiques ………………………... 43
II.3.3.1- Codage ………………………………………………………….. 43
II.3.3.2- Espace de recherche des solutions ……………………………… 45
II.3.3.3- Fonction d'évaluation (fitness) et le hasard …………………….. 46
II.3.4- Opérateurs génétiques …………………………………………………… 47
II.3.4.1- Opérateur de sélection ………………………………………….. 47
II.3.4.2- Opérateur de croisement ou Crossover …………………………. 49
II.3.4.3- Opérateur de mutation ………………………………………….. 52
II.3.4.4- Opérateur de remplacement …………………………………….. 53
II.3.5- Critères de convergence …………………………………………………. 54
II.3.6- Avantages et inconvénients des algorithmes génétiques ………………... 55
II.3.6.1- Avantages des AG ……………………………………………… 55
II.3.6.2- Inconvenient des AG …………………………………………… 55
II.4- Conclusion ………………………………………………………………….......... 56
Chapitre III : Réseaux de neurones ………………………………………………......... 57
III.1- Introduction ……………………………………………………………………... 58
III.1.1- Modèle du neurone formel ……………………………………………... 59
III-2 Réseaux de neurones supervises ……………………………………...….............. 61
III-2.1 Mémoire associative linéaire ……………………………………………. 61
III.2.1.1- Apprentissage ………………………………………………….. 61
III.2.2- Réseaux de Hopfield ……………………………………………………. 62
III.2.2.1- Dynamique du réseau ………………………………………….. 63
III.2.2.2- Evolution de l'énergie ………………………………………….. 64
III.2.2.3- Application au cas des MA ……………………………………. 64
III.2.3- Limitations des MA …………………………………………………….. 65
III.2.4- Perceptron ………………………………………………………………. 66
III.2.5- Adaline …………………………………………………………………. 66
5
III.2.6- Limitations ……………………………………………………………… 67
III.2.7- Rétropropagation du gradient …………………………………………... 67
III.2.7.1- Une couche …………………………………………………….. 67
III.2.7.2- Deux couches ………………………………………………….. 68
III.2.7.2.1- Remarques sur l'utilisation de la rétropropagation ……. 70
III.3- Réseaux de neurones non-supervises …………………………………...………. 71
III.3.1- Winner Take All (WTA) ……………………………………………….. 71
III.3.2- Carte de Kohonen ………………………………………………………. 73
III-4. Conclusion ………………………………………………………………………. 76
Chapitre IV : Applications, résultats et discussions …………………………………… 77
IV.1- Introduction ……………………………………………………………………... 78
IV.2- Procédures expérimentales et collection de données …………………………… 79
IV.3- Les algorithmes génétiques ………………………………………………...…… 80
IV.3.1- Model mathématique …………………………………………………… 81
IV.3.2- Détermination des constantes de l’arc « A » et « n » …………………... 83
IV.3.3- Application à l’estimation de la tension de contournement ……………. 84
IV.3.4- Application et résultats ………………….……………………………… 86
IV.3.4.1- Validation ……………………………………………………… 88
IV.4- Réseaux de neurones …………………………………………………................. 90
IV.4-1 L’algorithme RNA (algorithme réseaux de neurones) …………………. 90
IV.4.2- Réseau de neurones artificiel …………………………………………… 92
IV.4.3- Application des RNA pour l’estimation de la tension de contournement. 94
IV.5- Conclusion ………………………………………………………………………. 101
Conclusion générale …………………………………………………………………… 102
Bibliographie ……………………………………………………………………........... 105
6
Liste des abréviations et symboles
A
Constante de l’arc
AC
Courant alternatif
AG
Algorithme génétique
C
DDSE
D
Diamètre moyen de l’isolateur
DDSE
Densité de dépôt en sels équivalente
E
Champ électrique
F
Facteur de forme
Fp
Facteur de profil
H
Hauteur
I
Courant
IC
Intervalle de confiance
IEC
International electrotechnical commission
Ic
Courant critique
L
Longueur de la ligne de fuite
Logsig
Fonction sigmoïde
MAE
L’erreur absolue moyenne
n
Constante de l’arc
purelin
Fonction linéaire
NaCl
Chlorure de sodium
R
Résistance
2
R
La corrélation
RMSE
Racine carrée de l’erreur moyenne
RNA
Réseau de neurones artificielles
rp
Résistance par unité de longueur
Rr
Résistance résiduelle
SD
Variance standard
Tansig
Fonction tangente hyperbolique
U
Tension
Uarc
Tension de l’arc
9
Uc
Tension critique
v
Vitesse
x
Longueur de l’arc
xc
Longueur critique de l’arc
xp
Longueur de la couche de pollution
α
Premier coefficient de Townsend
γ
Deuxième coefficient de Townsend
σ
La conductance constante à la queue de la décharge
10
LISTE DES FIGURES
Figure I-1 : Distribution de la charge d’espace dans l’avalanche électrique et la distorsion du champ appliqué Eex…. 19
Figure I-2 : Diagramme schématique de la propagation d’un streamer……………………………………………………. 20
Figure I-3 : Les stades du contournement d’une surface polluée…………………………………………………………... 23
Figure I-4: Modèle physique du développement de l’arc électrique………………………………………………………... 24
Figure I-5: Résultats expérimentaux, obtenus sur trois types d’isolateurs………………………………………………… 29
Figure I-6: Assimilation théorique d'un isolateur a un cylindre……………………………………………………………. 30
Figure I-7: Diamètre moyen des isolateurs IEEE et EPDM……………………………………………………………….. 31
Figure I-8: Performance des isolateurs pollues en fonction du diamètre moyen…………………………………………. 32
Figure I-9 : La DDSE en fonction du diamètre moyen…………………………………………………………………… 32
Figure I-10: Influence du profil sur le mécanisme de contournement……………………………………………………… 33
Figure I-11 : Définition du facteur de profil…………………………………………………………………………………….. 33
Figure I-12: Influence du profil sur la tension de contournement des isolateurs………………………………………….. 34
Figure I-13: Variation de la tension de contournement en fonction de la DDSE………………………………………….. 34
Figure I-14 : Valeurs de la DDSE durant toute la saison dans différentes zones………………………………………… 35
Figure II-1 : Organigramme d'un algorithme évolutionnaire…………………………………………………………………. 38
Figure II-2: Schéma du principe des algorithmes génétiques………………………………………………………………. 42
Figure II-3 : algorithme génétique canonique…………………………………………………………………………………. 42
Figure II -4: Les cinq niveaux d'organisation d'un algorithme génétique…………………………………………………. 44
Figure II-5: Illustration schématique du codage des variables réelles……………………………………………………… 45
Figure II-6: La roulette…………………………………………………………………………………………………………… 49
Figure II-7: Croisement avec un point de Crossover…………………………………………………………………………. 50
Figure II-8 : Croisement avec 2 points de Crossover………………………………………………………………………… 51
Figure II-9 : Croisement uniforme………………………………………………………………………………………………. 51
Figure II-10: Une mutation………………………………………………………………………………………………………. 52
Figure II-11: Critère de convergence…………………………………………………………………………………………... 54
Figur e III-1. Représentation schématique d'un neurone biologique……………………………………………………….58
Figure III-2. Schéma d'un neurone formel…………………………………………………………………………………… 60
Figure III-3. Compétition à deux couches : m odèle I NST AR…………… …… …………… ………… …… ………. 72
Figure III- 4. Compétition sur une couche……………………………………………………………………………………… 73
Figure III-5 a) Schématisation d'une carte de Kohonen. b) Représentation d'une différence de 2 gaussiennes………. 74
Figure IV-1 : Circuit électrique équivalent du model d’Obenaus……………………………………………………………. 81
Figure IV-2 : convergence des constantes de l’arc…………………………………………………………………………... 88
Figure IV-3 : La tension critique en fonction de la DDSE……………………………………………………………………. 89
7
Figure IV-4 : Comparaison entre le modèle de Gonos et le modèle proposé…………………………………………….. 89
Figure IV-5 : Les grandes lignes du processus de construction du RNA adapté………………………………………..... 91
Figure IV-6 : RMSE pour une couche cachée………………………………………………………………………………… 94
Figure IV-7 : La RMSE et la MAE en fonction du nombre de neurones…………………………………………………… 95
Figure IV-8 : La RMSE pour 2 couches cachées…………………………………………………………………………….. 95
-3
Figure IV-9 : La corrélation pour les valeurs de l’apprentissage (RMSE=4.10 kV) ……………………………………… 97
-3
Figure IV-10 : La corrélation pour les valeurs de test (RMSE=4.10 kV)…………………………………………………... 97
Figure IV-11 : La RMSE en fonction des itérations…………………………………………………………………………... 98
Figure IV-12 : Situation des valeurs expérimentales et estimées par le RNA par rapport à l’intervalle de confiance… 99
Figure IV-13 : Comparaison entre les valeurs du modèle mathématique et celles du RNA …………………………... 100
Figure IV-14 : Comparaison entre l’erreur relative du modèle mathématique et celle du RNA ………………………… 100
8
Introduction générale
Introduction générale :
L’un des principaux objectifs dans la conception des équipements des réseaux
de transport et de distribution de l’énergie électrique consiste à les rendre fiables
quelque soient les conditions environnementales. Ces conditions peuvent être liées à
divers facteurs tels que la pollution, la pression atmosphérique, la température,
….etc. Parmi les équipements électriques constituant les réseaux aériens, un intérêt
particulier doit être porté aux isolateurs qui constituent un élément essentiel pour le
bon fonctionnement de ces derniers et cela, malgré le fait qu’ils représentent un
faible pourcentage dans le coût total de conception. En effet, leur défaillance peut
avoir une grande influence sur les coûts d’exploitation des réseaux électriques,
puisque leur rôle est d’assurer l’isolement électrique des phases sous tension entre
elles, et entre ces dernières et les parties mises à la terre.
Ainsi les isolateurs sont les plus exposés aux accumulations de pollution et
peuvent être affectés de façon importante par les surtensions transitoires qui sont
capables de dépasser leur limite de tenue diélectrique en tout temps. Cela se traduit
généralement par des contournements électriques pouvant conduire à des
interruptions plus ou moins longues de la distribution de l’énergie électrique et à des
pertes économiques importantes. Un contournement électrique se traduit par un
court-circuit, entre la partie portée à la haute tension et la mise à la terre, créé par un
arc électrique s’établissant généralement à la surface de la couche de pollution
recouvrant l’isolateur.
Les résultats des mesures aux essais artificiels en laboratoire permettent de
déterminer le profil des isolateurs et la longueur de la chaîne qui représente les
meilleures performances dans les conditions de pollution du site étudié. La forme de
l'isolateur est généralement conçue pour obtenir une ligne de fuite maximale entre
les deux conducteurs. En effet, ces essais sont non seulement très coûteux, mais
nécessitent du matériel très long à réaliser pour suivre des phénomènes très
complexes à savoir la propagation des décharges le long des isolateurs dans leurs
environnements réel.
Sur le plan économique les systèmes intelligents gagneraient d’être utiliser
dans le domaine de la haute tension, surtout dans l’étude à la tenue au
contournement des isolateurs. Ces techniques permettent de diminuer le travail
11
Introduction générale
expérimental et prédire les valeurs des paramètres d’influences caractérisant ce
processus d'où un gain de temps considérable, et la diminution du nombre et de la
durée des interruptions de l'alimentation en énergie électrique des consommateurs.
Objectif de ce travail
Le but de ce travail est d’exploiter les techniques de l’intelligence artificielle
dans la prédiction du phénomène de contournement d’un isolateur pollué dans son
environnement réel.
En premier on va appliquer l’AG sur l’équation du modèle
mathématique d’Obénaus
en introduisant les caractéristiques de 14 types
d’isolateurs afin de déterminer les valeurs des constantes de l’arc A et n Ce résultat
est utilisé pour construire la base de données sur laquelle repose l’apprentissage des
RNA.
On passe ensuite à la recherche de la meilleur structure des RNA, et cela en
changeant à chaque fois les paramètres du RNA (numéro de l’arrangement, le
nombre de neurones, le nombre de couches cachées, le nombre d’itérations et la
fonction d’activation).
En fin on va procéder à une analyse statistique en établissant un intervalle de
confiance pour vérifier .la précision des résultats obtenus.
Structure du mémoire
Le premier chapitre est basé sur une étude bibliographique consacrée aux
notions fondamentales entourant
le processus de contournement des isolateurs
pollués et les différents facteurs influençant sur la tension de tenue, notamment le
degré de pollution, ainsi que le modèle mathématique de prédiction du
contournement associé.
Une idée générale sur les algorithmes génétiques est présentée dans le
deuxième chapitre, en commençant par des généralités sur les bases des
algorithmes génétiques et en terminant par l’explication de la méthodologie à suivre.
Dans le chapitre III on a tenté de chercher la meilleure structure capable de
prédire la tension critique de contournement en fonction du degré de pollution.
12
Introduction générale
Le chapitre IV est une application de ces deux méthodes sur le phénomène de
contournement.
L’algorithme génétique est utilisé pour la détermination des constantes de l’arc
du modèle d’Obenaus pour cela on va utiliser les caractéristiques de 14 types
d’isolateurs.
Une fois les constantes de l’arc déterminées, on va les utiliser pour construire
une base de donnés pour l’apprentissage des RNA. Après on procède à une petite
analyse statistique des résultats des RNA, tout en discutant les résultats en se
referant à d’autre travaux.
13
Chapitre I
Le phénomène du
contournement
des isolateurs
pollués
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
I.1- Introduction :
Le défaut de contournement des isolateurs des systèmes énergétiques, causé
par des conditions climatiques et environnementales sévères, peut apparaître
occasionnellement. En effet ; ce phénomène (le contournement) est un type de
décharges électriques, et plus précisément c’est une décharge surfacique.
Ce chapitre donne une idée sur les principes physiques de la décharge électrique dans
les gaz et au long des interfaces gaz-solide.
Quelques types de décharges électriques dans les gaz et leurs mécanismes et
caractéristiques peuvent être introduits par les théories principales qui concernent la
décharge sur les surfaces polluées. L’effet de certains paramètres va être aussi discuté
plus tard.
I.2- La décharge électrique dans les gaz :
I.1.2- Définition :
Le gaz dans son état normal est un bon isolateur mais lorsqu’un champ
électrique suffisamment grand est appliqué entre deux électrodes dans un gaz, ce
dernier peut devenir conducteur.
La décharge électrique dans les gaz est un phénomène provoqué par un
écoulement d’un courant électrique à l’intérieur du gaz.
Un gaz peut présenter une conductivité seulement s’il possède des charges
libres.
L’ionisation et l’émission électronique sont les deux principales origines des
charges libres, où :

L’ionisation est le processus de libération d’électrons des particules du gaz.

L’émission électronique c’est le processus de libération des électrons à partir des
surfaces solides des électrodes.
I.2.2- Les types de décharges électriques :
Il y a plusieurs types de décharges électriques, leur classification se fait suivant
des critères spécifiques.
Basée sur son apparence la décharge électrique peut être divisée en 4 principaux
types :
15
Chapitre 1

Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
La décharge lumineuse (Glow discharge) est le phénomène de la diffusion
lumineuse dans l’espace entre deux électrodes.

La décharge couronne est un type de décharges partielles observées à l’intérieur
d’un champ électrique non uniforme. Elle a une petite zone lumineuse entourant
l’électrode.

Le canal de l’arc est une région complètement ionisée du gaz. Il est donc très chaud
plasma, très brillant et à une très grande densité de courant.

L’étincelle (spark discharge) est aussi une zone complètement ionisée du gaz mais
elle est transitive.
Si l’énergie fournie n’est pas suffisamment grande, il y aura une mince étincelle
intermittente observée entre les électrodes.
La décharge électrique se divise en décharge autonome et non-autonome.

La décharges non autonome exige des facteurs externes (radiations naturelles ou
artificielles) pour maintenir l’ionisation. Les facteurs externes sont essentiels pour la
continuité de la décharge.

La décharge autonome ne dépend pas des facteurs externes son maintien est
assuré seulement par le champ électrique appliqué.
I.2.3- Les mécanismes du claquage :
Si la décharge traverse complètement la distance entre électrodes ce qui mène
la tension au voisinage de zéro, on l’appel « claquage » électrique.
Il y a deux principales théories qui expliquent le processus du claquage électrique.
La première, est le mécanisme de décharge de Townsend, la deuxième c’est le
mécanisme du streamer.
I.2.3.1- Mécanisme de Townsend :
Le mécanisme de Townsend est décrit comme suit :
a) Le courant résultant du processus α :
Lorsqu’un électron se déplace dans un gaz, il peut entrer en collision avec
d’autres particules et peut ainsi ioniser les molécules du gaz et générer de nouveaux
électrons. Ce processus est appelé le processus α. Le nouvel électron libéré peut
16
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
libérer un autre électron de la même façon jusqu’avoir un groupe d’électrons qu’on le
nome avalanche.
Dans le cas d’un champ électrique uniforme le courant I augmente
exponentiellement en fonction de la distance x séparant les électrodes comme suit :
I  I 0 e x
(I-1)
Où I0 est le courant causé par les électrons initiaux émis par la cathode. α est le premier
coefficient d’ionisation de Townsend, et qui indique le nombre de collisions ionisantes
provoquées par un électron se déplaçant le long du champ électrique E par unité de
longueur. α peut être déterminée aussi :


 A0 e
P
B0 P
E
(I-2)
Où P est la pression de l’air ; A0 et B0 sont des constantes dépendant de la température
du gaz [Yu-06].
b) Le courant résultant du processus α et γ :
Lorsque les ions positifs bombardent la cathode, ils provoquent une deuxième
émission électrique, qui est appelé le processus. Le coefficient  indique le nombre
des électrons libérés lors du bombardement de la cathode par les ions positifs.
Alors  dépend de la matière et de l’état de la surface de la cathode. Les valeurs
typiques de  sont de l’ordre de 10-2 à 10-3 et 0,01 pour l’air .
Le courant résultant du processus α et  peut être déterminé par l’équation
suivante :
I  I0
e d
1  ed
(I-3)
c) Condition de l’autonomie de la décharge :
Avec l’augmentation de la tension appliquée, le champ électrique augmente, ce
qui mène à l’augmentation de α et e d
jusqu’à ce que e d s’approche de 1. Le
dénominateur de l’équation (I-3) s’approche alors de zéro et I tend vers l’infini. Quand le
courant s’approche de l’infini la décharge devient autonome.
17
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Donc la condition d’autonomie de la décharge dans un champ uniforme peut être
exprimée comme suit :
d  k  Ln
1

(I-4)
Dans le cas d’un champ uniforme cette équation est la condition du claquage
dans les gaz.
La valeur de k typiquement dans l’intervalle est de 4 à 7 quand  est de l’ordre
-2
de 10 à 10-3 .
I.2.3.2- Le mécanisme de streamer :
Lorsque le produit de la pression de l’air (P) et la distance entre les électrodes
(d), P·d, est plus grand que 150 mm Hg.cm, l’effet des charges de l’espace ne peut pas
être négligé. Pour cette raison le mécanisme de claquage de streamer est
avancé pour aider à développer le mécanisme de décharge de Townsend.
Le mécanisme de claquage de streamer peut être décrit comme suit :
a) La déformation du champ appliqué par la charge d’espace dans l’avalanche
électronique :
A cause de la différence entre la vitesse de mouvement des électrons et des ions
positif, plusieurs charges d’espaces apparaissent dans la première avalanche
électronique (Fig I-1.a). Ces charges d’espace provoquent la déformation du champ
électrique.
L’intensité du champ électrique à la tête et la queue de la charge d’espace
augmente, mais entre les charges d’espaces négatives et positives le champ
diminue (Fig I-1.b). [Yu-06]
18
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Figure I-1 : Distribution de la charge d’espace dans l’avalanche
électrique et la distorsion du champ appliqué Eex
b) Le processus du streamer :
L’augmentation du champ à la tête de l’avalanche électronique peut provoquer
l’excitation des atomes.
Plusieurs photons vont être émis lorsque les atomes retournent à leur état
normal. Ces photons vont provoquer la photo ionisation d’autres atomes et des
avalanches auxiliaires vont apparaître.
Après que l’avalanche principale aura traversé la distance entre les électrons, les
électrons vont être absorbés par l’anode et les ions positifs vont former une forme
canonique entre les deux électrons (Fig I-2.a). Un grand champ de charge d’espace
locale est crée et d’autres avalanches auxiliaires vont apparaître au voisinage de
l’anode. Le bout du streamer attire ces avalanches et leurs électrons entrent dans la
zone des ions positifs. Cette action forme un canal de plasma qui s’étend de l’anode à
la cathode. [Yu-06]
Ce canal est appelé le canal de streamer (Fig I-2.b), si le bout du streamer arrive
à la cathode le claquage final arrive. (Fig I-2.c).
19
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Figure I-2 : Diagramme schématique de la propagation d’un
streamer
c) La condition de l’autonomie de la décharge :
Comme mentionné avant ; une fois le streamer apparaît, la décharge se maintien
par photo ionisation créée par la décharge elle même. A partir de ce moment la
décharge devient autonome. La formation du streamer est la condition de l’autonomie
de la décharge sous un champ uniforme, et elle peut être exprimé comme suit :
e αd = k = cons tan te
(I-5)
Où k est approximativement 108
Pour comparer le mécanisme du streamer et celui de Townsend l’équation (I-5)
peut être écrite comme suit :
α.d = k = constante
(I-6)
Il faut noter que cette équation à la même forme que celle de la condition de
l’autonomie de la décharge de Townsend équation (I-4) mais k est égale à 18 à 20 pour
la formation du streamer qui est plus grande que celle de Townsend. [Yu-06]
20
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
I.2.4- La décharge surfacique :
I.2.4.1- Définition :
Lorsque une décharge électrique se produit sur la surface d’un diélectrique par
un moyen gazeux ou liquide, cette décharge s’appelle décharge surfacique en outre ; si
un claquage électrique se produit le long de l’interface entre le gaz et le liquide ou entre
le gaz et le solide, on l’appel contournement. Dans cette étude on va s’intéresser plus
particulièrement au phénomène du contournement observé sur la surface d’un isolateur
et qui est l’interface entre un gaz et un solide.
I.2.4.2- Mécanisme du contournement de la surface :
Le contournement surfacique d’un isolateur dans le vide se divise en 3 stades. [Yu-06]

Initiation : Le contournement surfacique commence souvent par l’émission
d’électrons (généralement par champ ou émission thermique) de la rencontre des
trois jonctions, électrodes, isolateur et le gaz.

Développement ou croissance : Il y a deux théories principales qui décrivent le
développement du contournement.

Cascade
d’émission
électronique
secondaire :
Quelques
électrons
initiaux
bombardent la surface de l’isolateur et produisent des électrons additionnels et une
avalanche d’émission électronique secondaire apparaît.

Cascade d’électrons d’une mince couche sur la surface de l’isolateur : Quelques
électrons sont injectés à l’intérieur de l’isolateur à la cathode. Une part de ces
électrons vont être émis dans le vide les autres vont être accélérés par le champ
dans l’isolateur et vont entrer dans des collisions inélastiques. Une cascade
d’électrons va être créée le long de la surface (à l’intérieur de l’isolateur) de plus en
plus leur énergie dépasse la bande du contour de l’isolateur.
Ces deux processus peuvent causer la désorption du gaz qui a été absorbé par
la surface de l’isolateur.

Stade final : Le gaz absorbé est ionisé. L’existence et le mouvement des ions
produits plus loin augmentent le long de la surface de l’isolateur. En fin le
contournement de la surface survient.
21
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
I.3- Contournement des isolateurs pollués :
Le contournement des isolateurs pollués est un type du phénomène de
contournement causé par le dépôt de pollution sur la surface d’un isolateur. Pour
investiguer ce phénomène plusieurs test de contournement ont été fait sous des
conditions de pollution naturelles ou artificielle (Stations de pollution ou laboratoires)
[Kon-06].La commission internationale d’électrotechnique (CEI) a déterminé les normes
internationales de la pollution artificielle pour les tests des isolateurs de la pollution
artificielle pour les tests des isolateurs HT [IEC-93]
I.3.1- Processus de contournement des surfaces polluées :
En général, le processus de contournement des isolateurs pollués peut se diviser
en 4 étapes. [Yu-06]
a) Dépôt de polluant :
Le polluant sous forme de poussière se pose sur la surface de l’isolateur et
forme aussi une couche de pollution.
b) Humidification de la couche de pollution :
La résistance de la couche de pollution est très élevée lorsqu’elle est sèche.
Donc la pollution ne cause pas la diminution des propriétés diélectrique de l’isolateur.
Cependant, sous quelques conditions climatiques défavorables (brouillard, rosée, …
etc) ; la couche de pollution constituée essentiellement de particules solubles, peut être
humidifiée et sa conductivité augmente. Il en résulte un courant de fuite qui va circuler à
travers la couche de pollution (Fig I-3.a).
c) Formation de la bande sèche et apparition de l’arc local :
A cause de la forme de l’isolateur, la densité du courant sur la surface est
généralement non uniforme [Fla-07]. Dans les régions où la densité du courant est
élevée, l’effet thermique sera plus grand et une zone locale sèche apparaît dans cette
région. Cette zone à une tendance à s’élargir jusqu’à la formation d’une bande sèche
(Fig I-3.b).
22
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
La bande sèche à une grande résistance, et la tension appliquée sera aux
extrêmes de cette bande. Si la tension est suffisamment grande, on aura claquage de
cette bande et un arc apparaît le long d’elle. Au voisinage de la racine de ce local, la
concentration du courant mène à l’élargissement de la bande sèche (Fig I-3.c) [Kim-07]
(c)
(e)
Figure I-3 : Les stades du contournement d’une surface polluée
e)- Développement d’un arc et achèvement du contournement :
Selon les conditions, la décharge surfacique évolue par ces différents moyens
possibles :

L’arc local peut s’éteindre (Fig I-3.d)

L’arc local se déplace latéralement pour trouver une position plus stable
correspondante à une longueur d’arc plus petite (Fig I-3.e)

L’arc local s’étend longitudinalement jusqu’à ce qu’il atteint les électrodes et cause
ainsi un contournement complet (Fig I-3.f)
I.3.2- Le mécanisme de contournement des isolateurs pollués :
a) Les critères du contournement de la pollution :
Plusieurs recherches ont proposé certains critères pour le développement de
l’arc et le contournement.
23
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Le premier critère quantitatif a été proposé par Obenaus [Obe-58] et complété
par Neumarker [Kim-07] qui est connu sous le nom de la théorie de l’extinction. Le
processus du contournement est modélisé selon un arc en série avec une résistance,
qui représente la portion mouillé de la couche de pollution (Fig I-4).
Arc
Résistance résiduelle
HV
x
L
Figure I-4: Modèle physique du développement de l’arc électrique
L’équation correspondante à ce circuit peut être exprimée comme suit :
(I-7)
U= Uarc + IRr
Où U est la tension totale entre les électrodes, I est le courant de fuite, Uarc est la
tension de l’arc et Rr est la résistance résiduelle de la couche de pollution. La tension de
l’arc Uarc peut être exprimée comme suit :
U arc  AxI  n
(I-8)
Où A et n sont les constantes de l’arc et x est la longueur de l’arc.
L’équation (I-7) donne la valeur minimale de U (tension critique (Uc) pour l’extension de
l’arc.
Donc si la condition suivante est réalisée, l’arc peut s’étendre et le
contournement apparaît.
U app  U c
(I-9)
Où Uapp est la tension appliquée
Alston et Zoledziowski [Als-63] ont donné les valeurs critiques (Uc, Ic, xc) de cette
façon :
24
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués


n
1
U  A n1 .L.r n 1
p
 c
L

 xc 
n 1

1

n
  1
 Ic   A 
 rp 

 
(I-10)
Où L est la longueur de fuite et rp est la résistance de la pollution par unité de longueur
de fuite.
Cependant le critère d’extinction d’Obenaus est suffisant pour le contournement.
Hampton [Ham-64] et Hesketh [Hes-67] ont établi un critère de développement de l’arc :
di
0
dx
(I-11)
Si ce critère est accompli pour toutes les positions le long du chemin de l’arc, le
contournement peut surgir.
Näcke [Kim-07] a proposé un critère de stabilité électrique. Le changement de la
tension totale avec le déplacement de la racine de la décharge dans ce critère. Il est
représenté par la relation suivante :
 R 
 U 
 dx
du   arc  dx  i
 x  p
 x  i
p

i
(I-12)
Où x est la longueur de l’arc et xp est la longueur de la couche de pollution. L’arc se
déplace si du  0 .
Sous la tension alternative il y a trois modèles pour le ré-allumage de l’arc après
le zéro du courant.
- Le modèle de ré-allumage énergétique.
Dans ce modèle le claquage apparaît lorsque la longueur de l’arc résiduel est
insuffisante pour dissiper l’énergie injectée. Ce critère est donné par :
U cx2  kN 02 Rm x
(I-13)
Où Ucx est la tension critique qui correspond à la longueur x de l’arc, N02 est la constante
post-zéro des caractéristiques de l’arc, Rm est la résistance de l’arc résiduel au pic du
courant et k est la diffusivité thermique.
25
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
- Modèle du ré-allumage diélectrique.
Le claquage du diélectrique arrive lorsque la valeur instantanée de la tension de
rétablissement dépasse la force diélectrique de la distance entre les électrodes, et elle
est typique pour la vitesse faible de la tension de rétablissement. La condition critique
pour le claquage du diélectrique est donnée par [Riz-81] :
U cx  xEda f ( I m )
(I-14)
Où Eda est la rigidité diélectrique à la température ambiante.
- Modèle à base expérimentale.
En mettant un arc en série avec la résistance d’une pollution uniforme, la tension
de contournement minimale peut être obtenue par [Riz-81]
Uc
 23rp0, 4
L
(I-15)
Ce modèle est basé exclusivement sur les résultats expérimentaux. Un seul
modèle montre la relation entre la tension minimale de ré-allumage de l’arc, la plus
basse tension pour laquelle le rallumage de l’arc AC suit le passage du courant par
zéro, et le courant de l’arc. Ce modèle peut être représenté comme suit :
U cx 
800 x
I
(I-16)
Où I est le courant de l’arc.
b) Le mécanisme physique interprétant le développement de l’arc et le
contournement :
Le dernier critère de contournement ne considère aucun processus physique
dans le contournement de la pollution.
Le processus physique inclus les forces externes qui traînent la décharge à
travers la surface.
Ces
forces
externes
sont
l’attraction
électrostatique,
les
forces
électromagnétiques, les forces thermiques.
Flazi [Fla-87] a du se ramener à une approche plus globale du phénomène, à
savoir le mécanisme de la propagation par ionisation progressive. Ainsi il a déduit que
l’augmentation du degré d’ionisation de la décharge et le démarrage des processus
26
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
d’ionisation devant elle, sont les facteurs responsables de l’allongement et du
changement que subit la décharge, dans ses aspects et ses états dynamiques.
Jolly [Jol-72] a déduit que les forces, qui influent sur la racine de l’arc, sont de l’ordre de
2,8.10 6 N pour la force électrostatique, 1,6.10 10 N pour la force magnétique et de
1,3.10 7 N pour la force thermique.
Tel que les petites forces n’agissent pas sur une vitesse de développement de
l’arc de l’ordre de 10 2  10 3 durant le processus de contournement. Par contre il a
proposé que le contournement de la pollution est un processus de claquage électrique.
La convergence du flux des lignes de courant à la racine de l’arc produit un
champ électrique local intense, qui accélère la collision des électrons et ionise l’air au
voisinage de la tête de l’arc, ce qui fait que l’arc s’étend.
L’ionisation thermique et photo électrique augmentent le processus d’ionisation.
Mercure et al [Mer-82] ont mesuré la distribution du courant à la racine de l’arc durant le
contournement et ont proposé qu’une grande densité de courant et la température de
l’arc à l’avant de l’arc résulte du mouvement apparent de la racine de l’arc ce qui a
comme conséquence l’élongation de l’arc sur la surface de l’électrolyte.
Li [Li-88] et Zhang [Zha-91] on calculé séparément l’intensité du champ
électrique à la racine de l’arc. Li l’a trouvé très petite pour causer le claquage électrique
de l’air et a proposé que le contournement peut être causé par l’ionisation thermique du
sel due aux températures élevées. Zhang a conclu que le facteur principal qui fait que
l’arc se propage à l’avant c’est l’ionisation thermique de l’air et la composante normale
de la force du champ joue un rôle important dans l’augmentation de la température
résultante et la formation de l’ionisation thermique. Lorsque la longueur de l’arc atteint
environ 90% de la longueur de fuite, le champ électrique à la racine de l’arc est assez
élevé pour le claquage électrique de l’air, ce qui mène au contournement final de
l’isolateur pollué.
c) La vitesse de propagation de l’arc :
Différents types d’ionisation peuvent mener à de différentes vitesses de
propagation de l’arc. Alors, les recherches sur le mécanisme du développement de l’arc
et du contournement doivent prendre en considération la vitesse de propagation de
l’arc.
27
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
En utilisant une caméra ultra-rapide Al Baghdadi [Bag-70] a obtenu cette formule
empirique pour la vitesse de l’arc sous D.C.
v  1,54.10 4 rp (i 4  ic4 )cm / s
(I-17)
Où v est la vitesse de l’arc, i est le courant de l’arc ic est le courant critique, et rp est la
résistance de la pollution par unité de longueur.
En supposant que l’énergie nécessaire pour la création d’un nouvel arc vient de
la baisse de la tension de l’électrode sur la surface de l’eau.
Jolly et al [Jol-74] a déduit que
U
U ei
Q
(I-18)
Où Ue est la baisse de la tension de l’électrode et Q est l’énergie contenue par unité de
longueur de l’arc.
Zoldziowski [Zol-66] a trouvé que les caractéristiques de la durée de l’intensité
du C.A. des isolateurs pollués, est exprimée :
(U 2  U c2 )t  cons tan te.Rr2
(I-19)
Où Uc est la constante (tension critique) et Rr est la résistance de la pollution de
l’isolateur.
Après quelques suppositions et déduction [Riz-81] l’équation (I-19) peut être
écrite comme suit :
(U 2  U c2 )t 
Q 2 3
.Rr .L
3
(I-20)
Où σ est la conductance constante à la queue de la décharge.
Rizk [Riz-81] a supposé que les variables qui influent sur la vitesse de l’arc, sont
les constantes de l’arc A et n, la constante du temps de l’arc θ, les paramètres de
l’isolateurs (xp, L, r).
Le circuit donné fait inclure U, la fréquence angulaire ω et l’inductance Ls. En
utilisant
une
méthode
d’analyse
dimensionnelle
des
résultats
expérimentaux
d’Al Baghdadi [Bag-70] la vitesse de l’arc v est obtenue de la relation suivante :
4, 5
v  const . i 4 . r p1 n
(I-21)
28
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Où i est le courant de l’arc et rp est la résistance de la pollution par unité de longueur de
fuite.
I.3.3- Paramètres d’influence :
I.3.3.1- Influence de la longueur de la ligne de fuite :
La mise en évidence de l’influence de la longueur de la ligne de fuite
expérimentalement est un peu difficile à cause de la longueur de la chaine et la limite
des laboratoires.
(a)
(b)
(c)
Figure I-5: Résultats expérimentaux, obtenus sur trois types d’isolateurs avec différentes
solutions polluantes, de la tension de décharge disruptive en fonction de la longueur des
chaînes. (a) et (b) : verre trempé.
(c): céramique
Mais comme le montre la figure (I-5) [Roy-84] la majorité des résultats confirme
la linéarité de la tenue sous pollution de la tension de contournement par unité de
longueur de la ligne de fuite.
I.3.3.2- Influence du diamètre :
Si on assimile l’isolateur réel à un isolateur cylindrique qui a la même ligne de
fuite L et la même résistance de la couche polluante e, on peut dire que le diamètre
29
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
moyen du premier est aussi assimilable au deuxième.(Fig I.6) [Cha-03]
D
D

Figure I-6: Assimilation théorique d'un isolateur a un cylindre
Si on adopte l’assimilation de la figure I-6, on peut écrire :
S  LD
(I-22)
Où S est la surface latérale du cylindre, D est le diamètre, et L est la longueur du
cylindre.
Par conséquence, si on intègre D le long du profil de l'isolateur, on aura une
approximation de son facteur de forme :
L
ds
D
0
f 
(I-23)
Où ds est l'abscisse curviligne d'un point de l'isolateur mesuré le long de son profil. Or, si
on assimile la couche polluante a un film régulier d'épaisseur e et de résistivité volumique
ρ, la résistance de l'isolateur sera:
ds 
 f

D
e
e
0
L
R  
(I-24)
Donc,on peut dire que la résistance du cylindre équivalent est
R
L
D e
(I-25)
En conclusion, en assimilant l'isolateur réel a un isolateur cylindrique (Fig I.6) ayant une
même ligne de fuite LF et une même couche polluante, le diamètre moyen s'écrit :
30
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
D
LF
 f
(I-26)
Pour les isolateurs de gros diamètre, on peut résumer le diamètre moyen comme suit:
Dx 
D f  De
2
Dm 
2 D f  De1  De 2
4
D
De
De
Df
De
Figure I-7: Diamètre moyen des isolateurs IÉEE et EPDM
Pour
une
certaine
densité
de
contamination,
la
tension
critique
de
contournement diminue au fur et à mesure que le diamètre augmente et ce, jusqu'à
une certaine valeur où la tension de contournement cesse de diminuer. Ce
phénomène s'explique par le fait qu'un large diamètre D signifie une plus grande
exposition de la surface à la pollution, diminuant ainsi la résistance (d'après (I-25)) et
réduisant par conséquent la tension de contournement.
De plus, l'augmentation du diamètre peut impliquer l'augmentation de la
distance de fuite qui atténue la diminution de la tension de contournement.
La figure (I-8) exprime les résultats d'essais par le rapport entre la tension de
31
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
contournement mesurée (Uc) et la tension de contournement moyenne des isolateurs
de petit diamètre (Uc*).[Roy-84]
Figure I-8: Performance des isolateurs pollues en fonction du diamètre moyen
Les expériences ont démontré que la variation du diamètre influence sur la
densité du dépôt de contamination sur l'isolateur : plus le diamètre augmente, plus
la densité du dépôt contaminant diminue (Fig I-9).
Figure I-9 : La DDSE en fonction du diamètre moyen
32
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
I.3.3.3- Influence de la forme de l’isolateur :
(a)
(b
)
Figure I-10: Influence du profil sur le mécanisme de
contournement
D’après la linéarité entre la tension de contournement et la ligne de fuite mise en
évidence dans (§ I-3), on peut dire que l’isolateur de la figure (I-10.b) est meilleur que
celui de la figure (I-10.a). Mais cette hypothèse n’est vraie que si l’arc qui se développe
reste au contact de la surface de l’isolateur, et ça ce n’est pas toujours vérifié car il est
possible que l’arc adopte un trajet plus court comme le montre la figure (I-10.b) et par
conséquence on ne peut pas déterminer exactement l’itinéraire que doit suivre l’arc.
On a été amené à chercher un critère empirique appelé facteur de profil [Roy-84]
(a)
(b)
Figure I-11 : Définition du facteur de profil
Pour la figure (I-11.a) on a :
(I-27)
Et pour les isolateurs cap-pin (Fig I-11.b):
(I-28)
L’influence du profil sur la tension de contournement est donnée par la courbe de
la figure suivante [Roy-84]:
33
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Figure I-12: Influence du profil sur la tension de contournement des isolateurs
I.3.3.4- Influence de la DDSE (Densité de Dépôt en Sels Equivalente)
D’après les courbes de la figure (I-13), tracées à partir de données
expérimentales, On constate que la DDSE influe directement sur la tension de
contournement où plus le degré de pollution est important plus le risque de
contournement augmente. [Sla-02]
Figure I-13: Variation de la tension de contournement en fonction de la DDSE
a) Isolateur AF12
b) Isolateur AD12
34
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
(e)
(f)
Figure I-14 : Valeurs de la DDSE durant toute la saison dans différentes zones
a) Zones résiduelles
c) Zones agriculturales
e) Zones côtières
b) Zones montagneuses
d) Zones au voisinage des routes
f) Zones industrielles
Il est clair que le degré de pollution joue un rôle majeur dans le phénomène de
contournement des isolateurs HT, et par conséquent il doit être prit en considération
lors du dimensionnement de ces équipements. Or le degré de pollution diffère
beaucoup d’une région à une autre et d’une période de l’année à une autre
période [Sah-10], comme le montre cette étude faite en Chine entre l’année 2006
et l’année 2007 (Fig I-14). [Wan-08]
35
Chapitre 1
Le phénomène du contournement des isolateurs pollués
Donc pour le bon dimensionnement des isolateurs il faut passer par plusieurs
tests, ce qui est coûteux du point de vue économique et prend beaucoup de temps.
Ainsi il faut trouver d’autres solutions plus rapides et moins chères.
I.4- Conclusion :
Le contournement des isolateurs est le problème principal à l’origine des
défaillances qui affectent les réseaux de transport de l’énergie électrique.
D’autre part il y a plusieurs facteurs qui influencent sur le bon fonctionnement de
l’isolateur, et on a vu dans ce chapitre que parmi ces facteurs la pollution est reconnue
comme étant le facteur majeur à l’origine du contournement.
Nous avons présenté un model mathématique visant à prédire le comportement
des isolateurs pollués, mais il reste encore plusieurs aspects à explorer pour établir des
liens entre les multiples facteurs intervenant dans le mécanisme du contournement.
Ainsi le but du travail qui suit, est la mise en place ou l’amélioration d’outils
numériques, pour la prédiction des tensions critiques de contournement.
36
Chapitre II
Algorithmes
génétiques
Chapitre II
Algorithmes génétiques
II.1- Introduction :
Dans les années 1960, John Holland étudie les systèmes évolutifs et, en 1975, il
introduit le premier modèle formel des algorithmes génétiques (the canonical genetic
algorithm AGC) dans son livre « Adaptation in Natural and Artificial Systems » [Hol-75].
II expliqua comment ajouter de l'intelligence dans un programme informatique
avec les croisements (échangeant le matériel génétique) et la mutation (source de la
diversité génétique). Ce modèle servira de base aux recherches ultérieures et sera plus
particulièrement reprit par Goldberg qui publiera en 1989, un ouvrage- de vulgarisation
des algorithmes génétiques, et ajouta à la théorie des algorithmes génétiques les idées
suivantes
 Un individu est lie à un environnement par son code d'ADN.
 Une solution est liée à un problème par son indice de qualité.
Genèse
t=t+1
Evaluation
Sélection
Opérateurs
(croisements ;
Mutations …..)
Non
Terminé ?
Oui
Résultat
Figure II-1 : Organigramme d'un algorithme évolutionnaire.
38
Chapitre II
Algorithmes génétiques
II.2- Algorithmes évolutionnaires :
Ci-dessus est présenté l'organigramme d'un algorithme évolutionnaire. II s'agit
de simuler l'évolution d'une population d'individus divers (généralement tirée
aléatoirement au départ) à laquelle on applique différents opérateurs (recombinaisons,
mutations...) et on soumet chaque génération à une sélection. Si la sélection s'opère à
partir de la fonction d'adaptation, alors la population tend à s'améliorer [Bac-96]. Un tel
algorithme ne nécessite aucune connaissance du problème : on peut représenter celuici par une boite noire comportant des entrées (les variables) et des sorties (les
fonctions objectives). L'algorithme ne fait que manipuler les entrées, lire les sorties,
manipuler à nouveau les entrées de façon à améliorer les sorties,….. etc. [Whi-93]
Les algorithmes évolutionnaires constituent une approche originale : il ne s'agit
pas de trouver une solution analytique exacte, ou une bonne approximation numérique,
mais de trouver des solutions satisfaisantes au mieux à des différents critères, souvent
contradictoires. Même s'ils ne permettent pas de trouver à coup-sûr la solution optimale
de l'espace de recherche, du moins on peut constater que les solutions fournies sont
généralement meilleures que celles obtenues par des méthodes plus classiques, pour
un même temps de calcul. La modélisation, s'ajoutant à l'observation, à la théorie et à
l'expérience, est un nouvel outil scientifique qui s'est fait valoir depuis l'avènement de
l'informatique. Celle-ci peut contribuer à la biologie théorique en la plaçant dans un
contexte plus vaste.
L'objectif est double: d'une part, la modélisation de ces phénomènes permet de
mieux les comprendre, et ainsi mettre en évidence les mécanismes qui sont à l'origine
de la vie ; d'autre part, on peut exploiter ces phénomènes de façon libre et peuvent
donc être diverses.
Le domaine de l'évolution artificielle n'a connu une réelle expansion qu'a partir
des 15 dernières années. Pourtant, l'idée de simuler sur ordinateurs des phénomènes
évolutionnaires remonte aux années 50. Des concepts tels que la représentation des
chromosomes par des chaînes binaires étaient déjà présents.
39
Chapitre II
Algorithmes génétiques
L'essor de l'évolution artificielle, depuis les années 80, peut s'expliquer par deux
phénomènes concurrents. Premièrement, cet essor est principalement dû à
l'accroissement exponentiel des moyens de calculs mis à la disposition des chercheurs,
ce qui leur a permet d’obtenir des résultats expérimentaux pertinents et prometteurs. Le
deuxième point est l'abandon du biologiquement plausible.
Trois types d'algorithmes évolutionnaires ont été développés isolément et à peu
près simultanément, par différents scientifiques : la programmation évolutionniste [Fog66], les Stratégies d'évolution [Rec-65] et les Algorithmes Génétiques [Hol-75].
II.3- Algorithmes génétiques :
Nous traiterons seulement ici les algorithmes génétiques fondés sur le NeoDarwinisme, c'est-à-dire l'union de la théorie de l'évolution et de la génétique moderne.
Ils s'appuient sur différentes techniques dérivées de cette dernière: croisements,
mutation, sélection...
Un algorithme génétique recherche le ou les extrema d'une fonction définie sur
un espace de données. Pour l'utiliser, on doit disposer des cinq éléments suivants:
1)- Un principe de codage de l'élément de population. Cette étape associe a chaque
point de l'espace d'état une structure de données. Elle se place généralement après
une phase de modélisation mathématique du problème traité. La qualité du codage
des données conditionne le succès des algorithmes génétiques. Les codages
binaires ont été très utilisés à l'origine. Les codages réels sont désormais largement
utilisés, notamment dans les domaines applicatifs pour l'optimisation de problèmes à
variables réelles.
2)- Un mécanisme de génération de la population initiale. Ce mécanisme doit être
capable de produire une population d'individus non homogène qui servira de base
pour les générations futures. Le choix de la population initiale est important car il
peut rendre plus ou moins rapide la convergence vers l'optimum global. Dans le cas
où l'on ne connaît rien du problème à résoudre, il est essentiel que la population
initiale soit repartie sur tout le domaine de recherche.
3)- Une fonction à optimiser. Celle-ci retourne une valeur appelée fitness ou fonction
d'évaluation de l'individu.
4)- Des opérateurs permettant de diversifier la population au cours des générations et
d'explorer l'espace d'état. L'opérateur de croisement recompose les gènes
40
Chapitre II
Algorithmes génétiques
d'individus existant dans la population, l'opérateur de mutation a pour but de garantir
l'exploration de l'espace d'états.
5)- Des paramètres de dimensionnement: Taille de la population, nombre total de
générations ou critère d'arrêt, probabilités d'application des opérateurs de
croisement et de mutation.
Nous savons maintenant sur quoi se basent les algorithmes génétiques. Il est
désormais temps d'approfondir les mécanismes de sélection de population et la notion
de diversité qui en découle. Nous tacherons également à définir les opérateurs évoqués
dans l'organigramme de l'algorithme évolutionnaire (Fig.II-1), et à donner une image à
la fois globale et précise des outils principaux des algorithmes génétiques.
II.3.1- Théorie des algorithmes génétiques AG :
Comme dans la nature où les êtres se reproduisent, dans le modèle des
algorithmes génétiques, les spécimens se reproduiront aussi; en particulier ceux jugés
les plus forts se reproduiront a un rythme plus rapide. Des opérateurs génétiques seront
appliqués sur des candidats en espérant engendrer ainsi de nouveaux candidats plus
performants.
En biologie, on manipule des gènes et des chromosomes; il en va de même dans
le modèle des AG, les problèmes et les solutions seront encodées. L'encodage prend
souvent la forme d'une chaîne de bits. Ces chaînes de bits sont comparables aux
chromosomes des systèmes biologiques, tandis que les bits ou caractères qui
composent ces chaînes sont comparables aux gènes. L'ensemble de ces chaînes
forme une population, alors qu'en biologie on parle de génotype.
II.3.2- Principe de fonctionnement des algorithmes génétiques AG :
Les algorithmes génétiques fournissent des solutions aux problèmes n'ayant pas
de solutions calculables en temps raisonnable de façon analytique ou algorithmique.
Selon cette méthode, des milliers de solutions (génotypes) plus ou moins bonnes
sont créées au hasard puis sont soumises à un procédé d'évaluation de la pertinence
de la solution simulant l'évolution des espèces : les plus "adaptes", c'est-à-dire les
solutions au problème qui sont les plus optimales survivent davantage que celles qui le
sont moins et la population évolue par générations successives en croisant les
41
Chapitre II
Algorithmes génétiques
meilleures solutions entre elles et en les faisant muter, puis en relançant ce procédé un
certain nombre de fois afin d'essayer de tendre vers la solution optimale. (Fig.II-2).
Population initiale
Evaluation
Reproduction
Sélection
Croisement
Reproduction/Elitism
Population suivante
Mutation
Evaluation
No
Critère
Oui
Individu Solution
Figure II-2: Schéma du principe des algorithmes génétiques
La figure (II-3) illustre la structure d'un algorithme génétique canonique:
1. Initialiser la population initiale P(O) aléatoirement et mettre i = 0;
2. REPETER
(a) Evaluer la fitness pour chaque individu dans P(i);
(b) Sélection des Parents dans P(i) par le calcul de leur fitness ;
(c) Appliquer l'operateur de croisement sur P(i) pour sélectionner les parents;
(d) Appliquer l'operateur de mutation pour reproduire de nouveaux individus;
(e) Remplacer les Anciens de P par leurs Descendants (progéniture) pour la création de la génération P(i +1);
3. jusqu'à un critère d'arrêt satisfaisant.
Figure II-3 : algorithme génétique canonique
42
Chapitre II
Algorithmes génétiques
Le critère d'arrêt peut être de natures diverses, par exemple :

Un taux minimum qu'on désire atteindre d'adaptation de la population au
problème,

Un certain temps de calcul à ne pas dépasser,

Un certain nombre de générations à ne pas dépasser,

Une combinaison de ces trois points.
Cela en fait donc un modèle minimal et canonique pour n'importe quel système
évolutionnaire et pour n'importe quel problème pouvant être abordé sous cet angle,
sous ce paradigme.
En effet, l'utilisation des algorithmes génétiques, ne requiert pas la connaissance
de la nature du problème, il est seulement nécessaire de fournir une fonction
permettant de coder une solution sous forme de gènes (et donc de faire le travail
inverse) ainsi que de fournir une fonction permettant d'évaluer la pertinence d'une
solution au problème donné.
II.3.3- Les caractéristiques des algorithmes génétiques :
Les algorithmes génétiques se caractérisent par quatre aspects : le codage des
paramètres du problème, l'espace de recherche, la fonction d'évaluation servant à
sélectionner les chromosomes parents, et le hasard qui joue un rôle important dans
l'évolution des chromosomes de génération en génération. Nous allons passer en revue
ces différents aspects.
II.3.3.1- Codage :
Chaque paramètre d'une solution est assimilé à un gène, toutes les valeurs qu'il
peut prendre sont les allèles de ce gène, on doit trouver une manière de coder chaque
allèle différent de façon unique (établir une bijection entre l'allèle "réel" et sa
représentation codée).
Un chromosome est une suite de gènes, on peut par exemple choisir de
regrouper les paramètres similaires dans un même chromosome (chromosome à un
seul brin) et chaque gène sera repérable par sa position.
Chaque individu est représenté par un ensemble de chromosomes, et une
population est un ensemble d'individus.
43
Chapitre II
Algorithmes génétiques
Figure II-4:Les cinq niveaux d'organisation d'un algorithme génétique
Il y a trois principaux types de codage utilisables, et on peut passer de l'un à l'autre
facilement :

Le codage binaire : c'est le plus utilisé. Chaque gêne dispose du même alphabet
binaire {0,1}. Si un gène est représenté par un entier long (32 bits), les
chromosomes qui sont des suites de gènes sont représentés par des tableaux de
gènes et les individus de notre espace de recherche sont représentés par des
tableaux de chromosomes.

Le codage réel : les nombres binaires étant pour nous moins évocateurs que les
nombres réels, des difficultés surviennent pour exprimer la fonction objective et
traiter les problèmes à plusieurs variables. En outre, les opérations de conversion
des solutions potentielles (réelles) en chaînes de bits et des solutions obtenues en
une forme réelle facilitant leur interprétation sont coûteuses en temps-machine. De
plus, elles sont répétées un grand nombre de fois a chaque génération. La
représentation réelle propose un compromis intéressant : elle élimine toutes les
opérations de conversion, mais en contrepartie elle rend les algorithmes gétiques
plus dépendants des problèmes.
44
Chapitre II
Algorithmes génétiques
Gène 1
Gène 2
Gène 3
1001001
11101011
00011010
Figure II-5: Illustration schématique du codage des variables réelles

Le codage de Gray : dans le cas d'un codage binaire on utilise souvent la "distance
de Hamming" comme mesure de la dis similarité entre deux éléments de population,
cette mesure compte les différences de bits de même rang de ces deux séquences.
Et c'est la que le codage binaire commence à montrer ses limites. En effet, deux
éléments voisins en terme de distance de Hamming ne codent pas nécessairement
deux éléments proches dans l'espace de recherche. Cet inconvénient peut être évité
en utilisant un "codage de Gray" : le codage de Gray est un codage qui a comme
propriété qu’entre un élément n et un élément n+l, donc voisin dans l'espace de
recherche, un seul bit diffère.
II existe deux types de difficultés dans le choix d'un codage. D'une part celui-ci
doit pouvoir être adapté au problème de façon à limiter au mieux la taille de l'espace de
recherche, et aussi de façon que les nouveaux chromosomes engendrés par les
opérateurs de recherche soient significatifs le plus souvent possible, c'est-à-dire qu'ils
puissent coder des solutions valides respectant les contraintes du problème.
II.3.3.2- Espace de recherche des solutions :
La plupart des méthodes d'optimisation effectuent une recherche point par point.
Les règles de transition d'un point à un autre sont souvent déterministes et la solution
trouvée est souvent un optimum local au lieu d'être un optimum global. Les AG,
effectuent la recherche à partir d'une population de chaînes générées aléatoirement.
Dans cette population, on retrouvera à la fois des candidats très performants et d'autres
qui le sont moins. Le parallélisme induit est un avantage évident car l'approche de la
recherche à partir d'une population peut être perçue comme une recherche locale dans
45
Chapitre II
Algorithmes génétiques
un sens généralisé. Ce n'est pas le voisinage d'une seule solution qui est explorée,
mais le voisinage de toute la population; ce qui ne devrait pas être assimile à une
simple union des voisinages individuels [Pir-96].
Ainsi donc, une population initiale diversifiée offre plus de chances de bien
cerner la recherche et de mieux se rapprocher de la solution optimale, sinon on risque
d'obtenir des espèces dégénérées et la probabilité de converger vers un minimum
global est ainsi fortement réduite.
II.3.3.3- Fonction d'évaluation (fitness) et le hasard :
Contrairement à un bon nombre de méthodes qui requièrent beaucoup
d'informations pour pouvoir fonctionner efficacement, les AG nécessitent peu
d'informations : ils fonctionnent essentiellement de manière aveugle. Pour effectuer une
recherche de solutions meilleures, ils n'ont besoin que des valeurs des fonctions
objectives associées aux chaînes individuelles. Ces valeurs ont pour but d'évaluer si un
individu est mieux adapté qu'un autre a son environnement. Ce qui signifie qu'elle
quantifie la réponse fournie au problème pour une solution potentielle donnée. Ainsi les
individus peuvent êtres comparés entre eux [Voi-04].
Les individus déterminés par la fonction objective (fitness) vont servir au
processus de sélection des candidats aptes à la reproduction et au processus de survie
des espèces. Cette fonction, propre au problème, est souvent simple à formuler lorsqu'il
y a peu de paramètres. Au contraire, lorsqu'il y a beaucoup de paramètres ou lorsqu'ils
sont corrélés, elle est plus difficile à définir. Dans ce cas, la fonction devient une somme
pondérée de plusieurs fonctions. Un ajustement des coefficients est alors nécessaire.
Par ailleurs, les AG utilisent des règles de transition probabilistes plutôt que
déterministes pour guider leur recherche. Le choix des chromosomes à perturber est
réalisé de façon probabiliste. Dans le processus de croisement, le lieu de croisement
est choisi aléatoirement à l'intérieur du chromosome. De même, le gène devant subir
une mutation à l'intérieur d'un chromosome est choisi selon une certaine probabilité. Le
hasard occupe donc une place importante dans le fonctionnement des AG.
46
Chapitre II
Algorithmes génétiques
II.3.4- Opérateurs génétiques :
Trois mécanismes composent essentiellement les opérateurs génétiques : la
sélection, le croisement et la mutation. Ces opérateurs se retrouvent dans la littérature
sous plusieurs variantes.
II.3.4.1- Opérateur de sélection :
Cet opérateur est chargé de définir quels seront les individus de P qui vont être
dupliqués dans la nouvelle population P+1 et vont servir de parents (application de
l'opérateur de croisement). Cet opérateur est peut-être le plus important puisqu'il
permet aux individus d'une population de survivre, de se reproduire ou de mourir. En
règle générale, la probabilité de survie d'un individu sera directement liée à son
efficacité relative au sein de la population.
On trouve essentiellement quatre types de méthodes de sélection différentes :

La sélection uniforme: Cette méthode est la plus simple consiste à sélectionner les
Npop individus de 1 jusqu'à Npop deux par deux afin de former le couple (mère-père).
Ainsi, cet algorithme de sélection arrange des rangs impairs avec des rangs pairs de
la matrice de population. La mère est désignée par les individus des rangés
impaires ma= I ndl, I nd3, I nd5,... et le père est désigné par les individus des rangés
paires pa= I nd2, I nd4, I nd6... Cette méthode semble être très peu utilisée et en
plus elle possède une variance faible, donc introduit une grande diversité.

La sélection stochastique: Cette approche utilise un générateur uniforme de nombre
aléatoire pour choisir les individus qui vont servir de parents. Les nombres de
rangée de parents sont localisés par :
ma = cei1(Nsel * rand( 1,N sel))
pa = cei1(NSel * rand( 1,N sel))
où : cei1:est une fonction Matlab (arrondit la valeur au prochain nombre entier
supérieur).
Nsel,: Nombre d'individus sélectionnés

La méthode de la "loterie biaisée" (roulette whell weighting) de GoIdBerg: Cette
méthode est la plus connue et la plus utilisée. Avec cette méthode, chaque individu
à une probabilité, d'être sélectionné, proportionnelle à sa performance, donc plus les
individus sont adaptés au problème, plus ils ont de chances d'être sélectionnés. La
47
Chapitre II
Algorithmes génétiques
probabilité d'être choisie est directement liée à la valeur d'aptitude du parent, elle est
inversement proportionnel a leur aptitude. Le chromosome avec une petite aptitude
a une grande probabilité et vice-versa.

L'aptitude du rang : Cette approche est indépendante du problème à résoudre, et
calcule la probabilité (Pn) a partir du rang des chromosomes (n) [Hau-04]:
Pn 
N sel  n  1

N sel
n
n 1
(II.1)
La population de petite taille a une grande probabilité de sélectionner le même
chromosome. L'avantage de cette approche est que les probabilités ne change plus a
chaque génération.

L'aptitude du fitness : La probabilité de la sélection est calculée à partir de la valeur
de fitness du chromosome dans la population. La valeur de fitness normalisée pour
chaque chromosome est calculée par [Hau-04]:
Fn  f n  f N sel 1
(II.2)
Où : Fn est la valeur de fitness normalisée, fn est la valeur de fitness de l'individu et
f N sel 1 est la petite valeur de fitness des chromosomes jetés.
La probabilité (Pn) est calculée par [Hau-04]:
Pn 
F

n
N sel
m
Fm
(II.3)
Où: m est le numéro d'individu
Les probabilités doivent être recalculées à chaque génération.
Comme la montre la figure (II-6), La roue est divisée en autant de secteurs que
d'individus dans la population. La taille de ces secteurs est proportionnelle à
l'adaptation de chaque individu (la probabilité d'être choisie). En faisant tourner la roue,
l'individu pointé à l'arrêt de la boule est sélectionné. Les individus les mieux adaptés ont
donc plus de chance d'êtres tirés au sort lors du déroulement du jeu [Hau-04].
48
Chapitre II
Algorithmes génétiques
Figure II-6: La roulette
La méthode élitiste: Cette méthode consiste à sélectionner les n individus dont
on a besoin pour la nouvelle génération P+l en prenant les n meilleurs individus de la
population P après l'avoir triée de manière décroissante selon la fitness de ses
individus. Il est inutile de préciser que cette méthode est encore pire que celle de la
loterie biaisée dans le sens ou elle amènera a une convergence prématurée encore
plus rapidement et surtout de manière encore plus sûre que la méthode de sélection de
la loterie biaisée; en effet, la pression de la sélection est trop forte, la variance est nulle
et la diversité est inexistante, du moins le peu de diversité qu'il pourrait y avoir ne
résultera pas de la sélection mais plutôt du croisement et des mutations.

selection par tournois
Cette méthode est celle avec laquelle on obtient les résultats les plus
satisfaisants. Le principe de cette méthode s'effectue par un tirage avec une remise de
deux individus de P, et on les fait "combattre". Celui qui a la meilleure fitness, sa
probabilité Pn comprise entre 0.5 et 1. On répète ce processus n fois de manière à
obtenir les n individus de P+1 qui serviront de parents. La variance de cette méthode
est élevée et le fait d'augmenter ou de diminuer la valeur de P permet respectivement
de diminuer ou d'augmenter la pression de la sélection.
II.3.4.2- Opérateur de croisement ou Crossover :
Le croisement est le processus selon lequel les bits de deux chaînes
sélectionnées sont inter changées : dans le langage génétique, on dira que ces chaînes
49
Chapitre II
Algorithmes génétiques
sont croisées. Son rôle fondamental est de permettre la recombinaison des informations
présentées dans le patrimoine génétique de la population. Cet opérateur est applique
après avoir applique l'opérateur de sélection sur la population P; on se retrouve donc
avec une population P+1 de n/2 individus et on doit doubler ce nombre pour que notre
nouvelle génération soit complète. On va donc créer de manière aléatoire n/4 couples
et on les fait se "reproduire".
Les chromosomes (ensembles de paramètres) des parents sont alors copiés et
recombinés de façon à former deux descendants (enfants) possédant des
caractéristiques issues des deux parents.
Pour exécuter le croisement, des chaînes de la population sont accouplées au hasard.
Chaque paire de longueur I subit le croisement comme suit :
Les positions entières km appelés points de croisement sont choisies au hasard
entre 1 et (I-1). Chaque chromosome se retrouve donc séparé en "segments". Puis
chaque segment du parent 1 est échangé avec son "homologue" du parent 2 selon une
probabilité de croisement PC. De ce processus résulte deux fils pour chaque couple et
notre population P+1 contient donc bien maintenant n individus. En effet, plus le
nombre de points de croisements sera grand et plus la probabilité de croisement sera
élevée plus il y aura d'échange de segments, donc d'échange de paramètres, et viceversa.
Les schémas ci-dessous, illustrent : un croisement en un point (Fig II-7), un autre
pour un croisement en deux points (Fig II-8),
2 parents
2 enfants
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
Figure II-7: Croisement avec un point de Crossover
50
Chapitre II
Algorithmes génétiques
2 parents
2 enfants
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
Figure II-8 : Croisement avec 2 points de Crossover
On peut citer aussi une autre méthode très utilisée dans le cas des problèmes
modélisés par un codage binaire, il s'agit du croisement uniforme. La mise en œuvre de
ce procédé est fort simple, elle consiste à définir de manière aléatoire un "masque",
c'est-à-dire une chaîne de bits de même longueur que les chromosomes des parents
sur lesquels il sera appliqué. Ce masque est destiné à savoir, pour chaque locus, de
quel parent le premier fils devra hériter du gène s'y trouvant; si l'un des locus de
masque présente un 0, le fils héritera le gène s'y trouvant du parent n° 1, si il présente
un 1 il en héritera du parent n° 2. La création du fils n° 2 se fait de manière symétrique.
Le schéma représentant le croisement uniforme est donné dans la figure (II-9).
Figure II-9 : Croisement uniforme
Les nouvelles chaînes peuvent être totalement différentes de leurs parents. Il
faut toutefois remarquer que le croisement n'aura aucun effet sur un gène dont les
51
Chapitre II
Algorithmes génétiques
parents ont la même valeur à la même position.
II.3.4.3- Opérateur de mutation :
La mutation est le processus selon lequel la valeur d'un gène choisi au hasard
dans un chromosome est régénérée (Fig II-10). C'est un processus qui ne survient
qu'occasionnellement dans un algorithme génétique avec une probabilité Pm très faible.
Une mutation consiste simplement en l'inversion d'un bit (ou de plusieurs bits, mais vu
la probabilité de mutation c'est extrêmement rare) se trouvant en un locus bien
particulier et lui aussi déterminé de manière aléatoire.
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1
Une mutation
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
Figure II-10: Une mutation
L'opérateur de mutation modifie donc de manière complètement aléatoire les
caractéristiques d'une solution, ce qui permet d'introduire et de maintenir la diversité au
sein de notre population de solutions. Cet opérateur joue le rôle d'un "élément
perturbateur", il introduit du "bruit" au sein de la population.
En effet, une mutation pouvant intervenir de manière aléatoire au niveau de
n'importe quel locus, on a la certitude mathématique que n'importe quel permutation de
notre chaîne de bits peut apparaître au sein de la population et donc que tout point de
1'espace de recherche peut être atteint. On notera que la mutation règle donc le
problème exposé après le croisement.
52
Chapitre II
Algorithmes génétiques
II.3.4.4- Opérateur de remplacement :
Cet opérateur est le plus simple, son travail consiste à réintroduire les
descendants (enfants) obtenus par application successive des opérateurs de sélection,
de croisement et de mutation (la population P+1) dans la population de leurs parents
(la population P). On trouve essentiellement 2 méthodes de remplacement différentes

Le remplacement stationnaire : dans ce cas, les enfants remplacent les parents
automatiquement sans tenir compte de leurs performances respectives, et le
nombre d'individus de la population ne varie pas tout au long du cycle d'évolution
simulé, ce qui implique donc d'initialiser la population initiale avec un nombre
suffisant d'individus. Cette méthode peut être mise en œuvre de2 façons différentes:

La première se contente de remplacer la totalité de la population P par la
population P+1, cette méthode est connue sous le nom de remplacement
générationnel.

La deuxième méthode consiste à choisir une certaine proportion d'individus de
P+1 qui remplaceront leurs parents dans P (proportion égale a 100 % dans le
cas du remplacement générationnel).
Ce type de remplacement engendre une population ayant une grande variation et
de se fait favorise la dérivé génétique qui se manifeste d'autant plus que la population
est de petite taille.
De plus dans bien des cas, étant donne que même un enfant ayant une faible
performance remplace forcement un parent, on n'atteint pas la meilleure solution mais
on s'en approche seulement.

Le remplacement élitiste : dans ce cas, on garde au moins l'individu possédant les
meilleures performances d'une génération à la suivante. En général, on peut partir
du principe qu'un nouvel individu (enfant) prend place au sein de la population que
s'il remplit le critère d'être plus performant que le moins performant des individus de
la population précédente. Donc les enfants d'une génération ne remplaceront pas
nécessairement leurs parents comme dans le remplacement stationnaire et de
même la taille de la population n’est pas figée au cours du temps.
Ce type de stratégie améliore les performances des algorithmes évolutionnaire
dans certains cas. Mais présente aussi un désavantage en augmentant le taux de
53
Chapitre II
Algorithmes génétiques
convergence prématuré.
II.3.5- Critères de convergence :
Afin de mettre fin à l'algorithme génétique, trois critères de convergence ont été
utilisés dans notre travail, si l'un de ces critères est atteint, le processus d'optimisation
se termine en convergeant à la solution optimale. Les critères sont :
1. Quand l'erreur normalisée du meilleur chromosome tend a la plus petite valeur
(l'erreur de tolérance fixée ε) c-à-d : lorsqu'une solution optimale Sm est connue
pour un problème donné, on peut aussi arrêter l'algorithme après l'atteinte d'un
optimum pratique a cette solution:
Sc  Sm
 100  
Sc
(II.4)
où :Sc est la solution à comparer, Sm est la meilleur solution (solution optimale)
2. Si le meilleur individu de la population reste inchangé pendant un nombre donne
tn de générations, on considère que l'algorithme a convergé et que cette
meilleure solution est l'optimum de cette recherche. Ce critère vérifie la création
de nouvelles solutions plus performantes parmi la population.
3. Si le nombre d'itérations atteint le nombre de génération NGEN fixe.
La figure II.11 illustre un simple algorithme qui explique le critère de convergence
1.
Sc est la solution à comparer;
2.
A est l'ensemble des solutions qui ont la meilleure fitness
3.
j=1;
2. REPETER
(a) compare Sc avec A (j) par le calcul de ε(j)
(b) Si (ε(j) est minimum) Alors
Sm=A(j)
(c) j=j+1
4.
Sm=A(j)
Figure II-11: Critère de convergence
54
Chapitre II
Algorithmes génétiques
II.3.6- Avantages et inconvénients des algorithmes génétiques :
II.3.6.1- Avantages des AG :

Les AG opèrent au niveau du codage des paramètres sans se soucier de leur
nature, donc ils s'appliquent à de nombreuses classes de problèmes, qui dépendent
éventuellement de plusieurs paramètres de natures différentes (booléens, entiers,
réels, fonctions...);

Pour les mêmes raisons un AG est dans l'idéal totalement indépendant de la nature
du problème et de la fonctionnelle à optimiser, car il ne se sert que des valeurs
d'adaptation, qui peuvent être très différentes des valeurs de la fonction à optimiser,
même si elles sont calculées à partir de cette dernière;

Potentiellement les AG explorent tous l'espace des points en même temps, ce qui
limite les risques de tomber dans des optimums locaux;

Les AG ne se servent que des valeurs de la fonctionnelle pour optimiser cette
dernière, on a pas besoin d'effectuer de coûteux et parfois très complexes calculs;

Les AG présentent une grande robustesse c'est-à-dire une grande capacité à
trouver les optimums globaux des problèmes d'optimisation.
II.3.6.2- Inconvenient des AG :

Les AG ne sont encore actuellement pas très efficaces en coût (ou vitesse de
convergence), vis-à-vis de méthodes d'optimisation plus classiques;

Parfois les AG convergent très vite vers un individu particulier de la population dont
la valeur d'adaptation est très élevée;

Le respect de la contrainte de domaine par la solution codée sous forme de chaîne
de bits pose parfois problème. Il faut bien choisir le codage, voir modifier les
opérateurs;

L'utilisation d'un AG ne garantie pas le succès de l'optimisation;

En pratique l'efficacité d'un AG dépend souvent de la nature du problème
d'optimisation. Selon les cas, le choix des opérateurs et des paramètres sera
souvent critique, mais aucune théorie générale ne permet de connaître avec
certitude le bon choix, il faudra faire plusieurs expériences pour s'en approcher.
55
Chapitre II
Algorithmes génétiques
II.4- Conclusion :
On sait que les applications des algorithmes génétiques sont multiples:
optimisation de fonctions numériques difficiles, traitement d'image, contrôle
de
systèmes industriels, cryptographie, apprentissage des réseaux de neurones, etc....
Les algorithmes génétiques seuls ne sont pas très efficaces dans la résolution
d'un problème. Ils apportent cependant assez rapidement une solution acceptable.
Néanmoins, il est possible de l'améliorer assez efficacement en le combinant avec un
algorithme déterministe.
Au cours de ce chapitre, un algorithme d'optimisation basé sur les principes des
algorithmes génétiques a été présenté.
Dans le chapitre IV, cet algorithme sera appliqué à la résolution d'un problème
d'optimisation relié au modèle analytique du contournement des isolateurs pollués dans
le but de déterminer les constantes de l’arc A et n.
56
Chapitre III
Réseaux de
Neurones
Chapitre III
Réseaux de neurones
III.1- Introduction:
À la suite des observations de l'anatomiste espagnole Ramon y Cajal, dès la
fin du 19ème siècle, on a pu déterminer que le cerveau était composé de cellules
distinctes appelées neurones formant un ensemble dense d'environ 10 à 100
milliards d'unités interconnectées [Ros-92]. La principale caractéristique de ces
neurones est qu'ils permettent de véhiculer et de traiter des informations en faisant
circuler des messages électriques dans le réseau tenu et massivement parallèle
formé par leur axone.
L'extrémité des axones se divise en une multitude de ramifications. A
l'inverse, les arborescences qui amènent l'information vers le corps cellulaire sort
appelés dendrites. Les informations sont transmises d'un neurone à
l'autre, de
manière unidirectionnelle, par l'intermédiaire de points de jonction appelés synapses.
En moyenne le nombre de connexions entre neurones est de 104. Le schéma d'un
neurone réel est propose figure III-1.
Figure III-1: Représentation schématique d'un neurone biologique.
L'activité d'un neurone se mesure en fonction de la fréquence du train de
potentiels d'actions (on spikes) propagés sur l'axone. Cet influx nerveux, lorsqu'il
parvient à une synapse, permet de libérer des neuromédiateurs qui excitent
(neuromédiateurs excitateurs) ou inhibent (neuromédiateurs inhibiteurs) le neurone
suivant et peuvent ainsi générer ou interdire la propagation d'un nouvel influx
nerveux. Une caractéristique fondamentale de la synapse est qu'elle est capable
de s'adapter et ainsi faciliter ou non le passage des influx nerveux. Cette plasticité
est à l'origine des mécanismes d'apprentissage.
58
Chapitre III
Réseaux de neurones
L'influx nerveux se caractérise par une impulsion électrique (Potentiel
d'Action ‘’PA‘’) se déplaçant le long de l'axone depuis le corps cellulaire jusqu'aux
synapses. Le déplacement du PA est généré par une diminution locale de la
différence de potentiel entre l'intérieur et l'extérieur de la membrane de la cellule
qui provoque l'ouverture des canaux sodiques de la membrane laissant entrer les
ions sodium (Na + ). Le potentiel ayant toujours tendance à revenir à une valeur
d'équilibre, la cellule libère des ions potassium (K+). C'est ainsi que de proche en
proche se propage l'influx électrique jusqu'aux synapses.
Une synapse est constituée d'un bouton présynaptique situé en prolongement
de l'axone du neurone afférent et d'une partie réceptrice sur le corps du neurone
efférent, les deux étant séparés par un espace extracellulaire très faible appelé fente
synaptique. Le bouton présynaptique contient des vésicules synaptiques remplies de
transmetteurs chimiques.
Lorsque le PA parvient à la synapse, il fait rentrer des ions calcium (Ca2+)
dans le corps cellulaire du neurone. Cela provoque l'alignement d'une partie des
vésicules synaptiques le long de la membrane du bouton synaptique et donc la
libération des neurotransmetteurs dans la fente synaptique. Les molécules
transmettrices libérées arrivent sur le site récepteur du neurone efférent et rentrent
en interaction avec les protéines réceptrices situées sur ces sites. La réaction
résultante peut être dépolarisante (synapse excitatrice) ou hyperpolarisante
(synapse inhibitrice) selon les affinités entre le neurotransmetteur et la protéine
réceptrice. Les activités polarisantes ou dépolarisantes sont ensuite sommées par
le neurone ce qui déclenche ou non un nouvel influx nerveux dans le neurone
efférent, selon qu'un seuil de dépolarisation est franchi on non.
III.1.1- Modèle du neurone formel :
Dans la plupart des modèles formels, on représente l'activité du neurone par
une grandeur analogique qui s'identifie à la fréquence d'émission des potentiels
d'action sur l'axone. On ne tient donc pas compte de l'aspect séquentiel de la
propagation de l'information dans les neurones biologiques. Dans la majorité des
cas, ce modèle est suffisant.
Considérons le modèle de neurone formel présenté figure III-2.
Soit Ii l'entrée d'un neurone (activité du neurone précédent).
59
Chapitre III
Réseaux de neurones
Soit Wij le poids synaptique associe à la synapse liant le neurone i au neurone j.
Soit O j la sortie du neurone j.
Wi1
I1
j
Oj
∑
Win
In
Figure III-2: Schéma d'un neurone formel
On définit aussi,

Le potentiel :
Pot j   Wij . I i  

(III-1)
La fonction d'activation (ou fonction de sortie) :
(III-2)
O j(t ) = f (Pot j)
Les entrées et sorties sent soit binaires soit réelles. La fonction de sortie est une fonction
non linéaire plus ou moins proche de la sigmoïde. Les principales fonctions de sortie sont:

1 si x  0
La fonction de Heaviside : H ( x)  
0 si x  0
(III-3)

 1 si x  0
La fonction signe: Sign( x)  
 1 si x  0
(III-4)

 1 si x  a
1
Les fonctions linéaires à seuils : f ( x)   x si   a, a 
2
  1 si x  a
(III-5)

Les fonctions sigmoïdes: f ( x)  tanh(kx) ou

les fonctions a base radiale (Radial Basis Functions - RBF) :
1
1  e  kx
(III-6)
60
Chapitre III
Réseaux de neurones
x
f ( x)  exp( ) 2 , f ( x) 

1
1
x t2
,...
(III-7)
2
La modélisation des phénomènes de plasticité synaptique ont, par ailleurs,
permis de développer des modèles de neurone formel expliquant certains des
mécanismes d'apprentissage. L'un des premiers essais de modélisation de
l'apprentissage associatif, a été réalisé par Hebb [Heb-49] dès 1949. La règle qu'il a
énoncée s'exprime ainsi :
"Quand une cellule A excite par son axone une cellule B et que, de manière répétée et
persistance, elle participe à la genèse d'une impulsion dans B, un processus de
croissance ou un changement métabolique a lieu dans l'une ou dans les deux
cellules, de telle sorte que l'efficacité de A à déclencher une impulsion dans B est,
parmi les autres cellules qui ont cet effet, accrue. "
En utilisant les notations propres au neurone formel, on pent traduire cet
enonce sous la forme suivante :
Wij(t+1)= Wij(t) + ε.Ii.Oj
(III-8)
Cette règle est à la base de nombreux mécanismes d'apprentissage, et en
particulier a l'origine des modèles que nous présenterons dans les paragraphes
suivants.
III-2 Réseaux de neurones supervises :
III-2.1 Mémoire associative linéaire :
Le réseau de neurones comporte p entrées (x i  [1, p]) entièrement connectées
à n sorties (y k
 [1, n]).
Pour simplifier la notation, on utilise une
représentation matricielle.
La mémoire associative fonctionne en deux phases :
1. une phase d'apprentissage, pendant laquelle les poids ont des valeurs modifiables
2. une phase de rappel, pour laquelle les connexions sont figées
III.2.1.1- Apprentissage :
La phase d'apprentissage consiste à faire apprendre une association entre un
61
Chapitre III
Réseaux de neurones
vecteur xr et un vecteur yr. A chaque présentation d'une association, on propose de
modifier les poids suivant la règle :
W  y r . ( x r ) T
(III-9)
Apres une présentation de tous les exemples, la matrice de poids vaut :
N
W   ( y r )T
(III-10)
r 1
La matrice est égale à la somme des matrices de corrélations des vecteurs. Par
ailleurs, il faut noter que les associations sont apprises de manière diffuse
dans la matrice (on dit aussi délocalisée ou distribuée).
La matrice des poids est maintenant fixée, on stimule le réseau avec un
vecteur x (clef) et on observe la sortie y = W• x . En remplaçant W, on a:
N

y W . x   y r ( x r ) T . x

(III-11)
r 1
Soit le produit scalaire entre la clef x et les prototypes xr.
Si la clef est égale à un vecteur xj, présente pendant l'apprentissage, et si tous les
vecteurs xr sont orthogonaux, un seul produit scalaire est non nul, celui qui
correspond à r = j. On a alors :
y = Norme 2 (x j ) • y j = k • yj
(III-12)
Que se passe-t-il en présence de bruit, par exemple si x= xj + b ?

y  k . y j   y r ( x r )T .b

(III-13)
r 1
Le premier terme correspond au rappel, le second à une erreur qui dépend :

de l’énergie du bruit

de la correlation bruit/prototype

du nombre N de prototypes à mémoriser
III.2.2- Réseaux de Hopfield :
Le modèle de Hopfield est issu de la physique statistique (études des verres
de spins).
62
Chapitre III
Réseaux de neurones
Dans le formalisme de la physique, on considère un ensemble de "sites"
possédant un spin (+1 ou -1). Les interactions Tij entre 2 sites sont supposées
symétriques (Tij = Tji) sans auto entretient (T ii = 0). On étudie la relaxation du
système.
L'élaboration d'un modèle neuronal inspire de ce formalisme date de 1982. On
identifie aisément les sites avec des neurones binaires, les interconnexions avec les
poids synaptiques et la relaxation avec la convergence du réseau.
L'intérêt du formalisme de Hopfield est d'associe au réseau une grandeur
homologue à une énergie
III.2.2.1- Dynamique du réseau :
On définit un potentiel local u i pour chaque site i:
N
u i   Tikvk , k  i
(III-14)
k 1
avec vi = Signe(u i )
L'évolution dynamique du réseau est la suivante :
1. On tire au hasard un site i
 Si u i > 0 alors vi ← +1
 Si ui < 0 alors vi ,← - 1
2. on recommence en 1
Petit à petit, l'état du réseau se stabilise a des valeurs qui dépendent des
états initiaux et de la matrice des poids.
Considérons en effet l'énergie du réseau. Soit I l'état du réseau constitue par
l'ensemble des états élémentaires de chaque site : I=(vi , v zi ..., v N ) .
On peut
associer à I une énergie totale E(I) qui est égale à la demie somme des produits
entre les potentiels locaux u i et les états des sites vi :
1
1
1
E ( I )   u t v    ui vi    Tik vk vi
2
2 i
2 i k
(III-15)
1
2
Cette forme E( I ) = - vtT t v est une énergie car T est symétrique. Comme v, T et
63
Chapitre III
Réseaux de neurones
u sont bornés, l'énergie E est bornée est évolue de manière à être minimale.
III.2.2.2- Evolution de l'énergie :
Au temps t :
1
E(t)=  vt (t )T t v(t)
2
(III-16)
Au temps t + 1 :
E(t + 1) = 
1 t
1
v (t + i)Ttv(t + 1) =  [vt (t) + ovt (t)]T [v(t) + Δ (t )]
2
2
(III-17)
1
ΔE =  [vt (t)TΔvt + ΔvtTv(t) + ΔvtTΔv]
2
(III-18)
D'ou :
Comme à chaque pas, uniquement un site change d'état  v=(0,0,...,  vi , . . . , 0)t :
v t (t )Tv  vi  Tij v j
(III-19)
j
v t Tv(t )  vi  Tij v j
(III-20)
v t (t )Tv  viTii vi  0, car Tii  0
(III-21)
E   vi  j Tij v j   vi ui
(III-22)
j
Donc :
On peut étudier tous les cas possibles en fonction des valeurs de u i(t) et vi(t) :
vi(t)
-1
+1
ui(t) > 0
Δvi = +2
Δvi = 0
ui(t) < 0
Δvi = 0
Δvi = -2
Dans tous les cas, les produit est donc soit positif soit nul, donc, l'énergie décroît.
III.2.2.3- Application au cas des MA :
On vent mémoriser des états Ik associés à des états de sites vik . Construisons
une fonction d'énergie associée :
64
Chapitre III
Réseaux de neurones
1
1

F ( I )    v t , v  2    ( vik vi ) 2 
2
2 k i

Si les états Ik sont orthogonaux, on a
v v
k l
i i
(III-23)
 N kl où N est le nombre de sites et
i
δkl le symbole de Kronecker.
N2
F ( I )  Emin 
2
l
(III-24)
Comme la dynamique du réseau de Hopfield converge toujours vers un minimum
d'énergie, nous avons E = F(I) :
1
1

E    vi ( Tij v j )  F ( I )    (vit vi ) 2  
2 i
2 k
j

(III-25)
En développant :
E 

1 
1
k
k
k k
 vi vi v j v j     vi  ( vi v j )v j

2 k  i j
2 i
j
k

(III-26)
En identifiant, on trouve donc :
Tij   vik v kj
(III-27)
T   v k (v k ) t
(III-28)
k
Ou encore :
k
Ce qui correspond à la matrice de connexion dune mémoire associative
utilisant l'apprentissage de Hebb.
Le rappel d'un mémoire associative correspond donc à la minimisation d'une
énergie.
III.2.3- Limitations des MA :
En pratique, il est difficile de satisfaire la contrainte d'orthogonalité.
Cependant, pour des tailles de réseaux importants (par exemple des images), la
condition d'orthogonalité est presque vérifiée (on peut aussi pré traiter les données
de manière a
les orthogonaliser). Ces mémoires peuvent alors être utilisées en
65
Chapitre III
Réseaux de neurones
mémoires auto-associatives. Dans ce cadre, les vecteurs d'entrée et de sortie sont
égaux (y = x). La mémoire est alors utilisée pour retrouver un vecteur à partir d'un
morceau de celui-ci (cf. exemple images).
On voit que les limitations de ce genre de réseaux de neurones sont
importantes. C'est a
mettre en rapport avec sa faible capacité de stockage (pour
une dimension N, le nombre de connexions est N•(N - 1), soit une capacité de
1
)
N 1
Un autre point important est que, toute distorsion par translation,
homothétie ou rotation empêche la conservation de l'orthogonalité des vecteurs.
Ceci montre la limitation des modèles linéaires à une couche.
III.2.4- Perceptron :
Le Perceptron, mis au point par Rosenblatt dans les années 50, est l’un des
plus simples classifieurs neuronaux. Il comporte une seule couche de neurone qui
reçoivent comme vecteur d'entrée X. Leur activité est donnée par :
Act i   wi xi  
(III-29)
yi  signe( Act i )
(III-30)
i
La règle d'apprentissage du Perceptron est la suivante :
wi (t  1)  wi (t )   ( y id (t )  y i (t ) xi (t )
(III-31)
Si les entrées sont linéairement séparables, l'algorithme converge vers un
hyperplan séparant les entrées [Ros-62].
III.2.5- Adaline :
Le réseau Adaline a été développé par Widrow [Widrow and Hoff, 1960]. Il est
constitue d'un unique neurone effectuant la combinaison linéaire de ses entrées. Il
s'agit en fait d'un Perceptron sans saturation des sorties.
La règle d'apprentissage de ce réseau consiste à minimiser l'erreur quadratique en
sortie du réseau de neurone. La règle d'apprentissage est identique a celle du
Perceptron, à la différence prêt que ce sent les entrées non-saturées qui sont prises
en compte.
66
Chapitre III
Réseaux de neurones
III.2.6- Limitations :
Les réseaux Adaline et Perceptron ne peuvent partitionner l'espace
d'entrée que de manière linéaire. On peut ainsi écrire un résauune couche qui
fabrique un OR, un AND ou un NOT, mais il est impossible de fabriquer la
fonction XO R à moins d'augmenter le nombre de couches.
La limitation est que pour résoudre un problème donné, on ne sait pas a
priori le nombre de couches nécessaires.
III.2.7- Rétropropagation du gradient :
Nous savons que les modèles Adaline et le Perceptron avaient de bonnes
performances s'il s'agissait de traiter des problèmes linéairement séparables. L'idée
de la rétropropagation consiste à utiliser une fonction de transfert non-linéaire mais
dérivable, de manière h poursuivre la minimisation de l'erreur de couche en couche.
Le calcul se déroule en 2 temps :

on effectue la mise à jour du réseau en avant

on rétropropage l'erreur à partir de la sortie jusqu'à l'entrée
Soit yik la sortie d'un neurone i de la couche k.
 p

yik    wij y kj 1   
 j i

(III-32)
On veut minimiser l'erreur quadratique sur la couche de sortie, par rapport à une
sortie désirée :
1 n
E   ( y i  y di ) 2
2 i 1
(III-33)
III.2.7.1- Une couche :
Pour un réseau à une couche, la différentiation de l'erreur donne :
n
 ( y i  y di )
E
  ( y i  y di )
wik
wik
j i
(III-34)
La seule valeur non-nulle est la composante correspondant à j = i, car seule la sortie
yi est fonction du poids wik. De plus, la sortie désirée ne dépend pas du poids. On a
67
Chapitre III
Réseaux de neurones
alors :
y
E
 ( yi  y di ) i  ( y i  y di ) x k  ' ( pi   )
wik
wik
(III-35)
En posant  i  ( y i  y di ) ' ( pi   ) on a alors le gradient de l'erreur quadratique :
E
  i .x k
wik
(III-36)
Pour minimiser l'erreur quadratique, il faut donc utiliser la règle d'apprentissage :
wi (t  1)  wi (t )   ( y id (t )  y i (t )) xi (t )
(III-37)
qui correspond bien à la règle d'adaptation de l'Adaline.
III.2.7.2- Deux couches :
De la même manière, on cherche à minimiser l'erreur quadratique. Calculons
le gradient de l'erreur par rapport au poids W2kh connectant le neurone h, de la
couche 1 au neurone k de la couche 2:
E
E p i3


2
wkh2 icouche 3 pi3 wkh
(III-38)
Calculons d'abord :
E
E yi3

pi3 y i3 p i3
(III-39)


1 n
de: yi3     wij3 . y 2j  et comme E  i 1 ( y i3  y di ) 2
2
 jcouche 2

on tire :
 
E
 ( y i3  y di ) ' p i3
p i3
(III-40)

pi3
 

w 3 . y 2j 
2
2   ij
wkh wkh  jcouche 2

(III-41)
Par ailleurs :
Comme y k2 est le seul terme qui dépend de wkh on a:
68
Chapitre III
Réseaux de neurones
 
pi3

 wik3
y k2
2
2
wkh
wkh
(III-42)
en remplaçant y k2 par sa valeur, on a:

pi3
 
3
2
1

w

(
w
.
y



ik
km
m
wkh2
wkh2  jcouche1

(III-43)
Un seul terme est non nul (m = k)
pi3
 wik3  ' ( p k2 ). y 1h
wkh2
(III-44)
Revenons à l'équation initiale :
E
  ( y i3  y di ). ' ( pi3 ).wik3 . ' ( p k2 ). y 1h
2
wkh icouche 3
(III-45)
En posant  i3  ( y i3  y di ). ' ( p i3 ) , on a:
E


    i3 .wik3 . ' ( pi3 ). y 1h
2
wkh icouche 3

(III-46)
Cette expression est formellement identique an gradient de E par rapport à
un poids de la dernière couche si on pose :


 k2     i3 .wik3 . ' ( p k2 )
icouche3

(III-47)
Par conséquent, l'erreur affectée à un neurone k de la couche 2 est égale à la
somme des erreurs de la couche suivante pondérée par les poids reliant le neurone k
à ces neurones de la couche 3.
On propose finalement la règle de modification suivante :
wkhj   . kj . y hj 1
(III-48)
Avec :
 yk  y dk 

j
j 1
j 1 
j
k  
   i .wik . ' ( p k ) pour les autres couches
icouchej 1


j
(III-49)
69
Chapitre III
Réseaux de neurones
III.2.7.2.1- Remarques sur l'utilisation de la rétropropagation :
a) Lissage :
L'algorithme de rétropropagation brut correspond à un algorithme de type
gradient stochastique fonde sur la minimisation d'une erreur instantanée. En
pratique, on ajoute un terme de filtrage sur les incréments d'adaptation qui
correspond a une pondération des erreurs quadratiques :
1 N n i
E ( n)   
y  yd
2 i 1
2
(III-50)
Avec  < 1.
On a alors la règle d'apprentissage :
w jk (n)   a j (n) x k (n)  w jk (n)
(III-51)
Ce qui correspond à la pondération exponentielle des erreurs. En pratique 
est inférieur et voisin de 1. On peut choisir un oubli variable faible au départ et
tendant vers 1.
b) Valeurs initiales :
Les valeurs initiales des poids doivent être différentes de 0 sinon le réseau de
peut pas apprendre ! En pratique, on choisit une valeur aléatoire comprise dans la
dynamique des poids.
c) Test d'arrêt :
Le plus simple est de fixer un nombre d'itérations. En pratique on possède
une base d'apprentissage et une base de test. On alterne apprentissage sur la BA
et mesure de performances sur la BT jusqu'a atteindre des résultats convenables.
d) La rétropropagation comme approximateur universel :
Des résultats théoriques ont montre que les RN à 3 couches (2 couches
cachées) peuvent approximer des fonctions continues de Rp (ou des compacts) dans
[0,1]. Cependant, on ne sait pas comment construire le réseau ni combien de
neurones sont nécessaires dans la couche cachée. Celui-ci peut être infini !
70
Chapitre III
Réseaux de neurones
III.3- Réseaux de neurones non-supervises :
III.3.1- Winner Take All (WTA) :
Le WTA simule les mécanismes de compétition existant entre neurones ou
populations de neurones. Le modèle courant utilise des groupes de neurones formels
dont l'apprentissage est fixé par la règle de Hebb. L'ajout de liaisons inhibitrices
latérales permet de simuler le processus de compétition. Après convergence, seul
le neurone ayant la plus grande activité reste actif et inhibe tous les autres [Rum85], [Lip-87]. Ce type de WTA est utilisé comme moyen de catégoriser les vecteurs
présentés en entrée du réseau. En effet, si on présente ceux-ci un nombre suffisant
de fois, chaque neurone du WTA acquiert une sensibilité différente (il faut
cependant que les vecteurs soient orthogonaux entre eux sinon le même neurone
peut gagner pour toute une famille de formes) [Gro-88], [Koh-84].
Le modèle "Instar" de Grossberg utilise un mécanisme de compétition sur deux
couches [Gro-73]. Ce n'est pas un WTA pur, mais plutôt un mécanisme de
rehaussement de contraste. Nous en présentons cependant les caractéristiques afin
de mieux appréhender le fonctionnement des mécanismes de compétition.
Dans ce modèle, chacun des N neurones d'une première couche envoie des
liaisons inhibitrices sur l'ensemble des N neurones de la couche suivante excepte le
neurone correspondant à l a position du neurone de la couche d'entrée qui reçoit
un lien activateur (voir figure III-1).
xi est la valeur instantanée du potentiel d'un neurone i du groupe de sortie. Ik
est l'activité du neurone k de la couche d'entrée.
La dynamique de chacun des neurones de la couche de sortie est
modélisée par l'équation :
dxi
  Axi  ( B  xi ).I i  xi  I k
dt
k i
(III-52)
71
Chapitre III
Réseaux de neurones
Xi
-
-
+
-
Ii
-
Ik
Figure III-3 : Compétition à deux couches : modèle INSTAR
N
On pose A et B > 0, I   I i et  i 
i 1
Ii
. Le vecteur θ =( θ1,…., θN)T est
I
appelé
reflectance pattern.
Le terme –Axi est un terme de décroissance passif du potentiel du neurone.
(B-xi)•Ii représente l'influence du lien activateur connectant le neurone de la couche
d'entrée et celui de la couche de sortie. Enfin, le terme  xi  I k
représente
k i
l'influence des inhibitions provenant des autres neurones. Il est à noter que le
potentiel x i est borné entre 0 et B.
Apres un régime transitoire, on obtient la valeur a l'équilibre lorsque
dxi
 0 . La valeur moyenne X i du potentiel des neurones de la couche de sortie est
dt
alors :
I i .B
B.I
 i
A I
A I
Xi 
(III-53)
On déduit de cette équation que l'activité globale de sortie est normalisée puisque
X
i
B.I
 I .B 
  i  
B
 A I  A I
(III-54)
72
Chapitre III
Réseaux de neurones
Un mécanisme de compétition à une couche a aussi été propose par Grossberg
(voir figure III-2). L'équation différentielle régissant le comportement du réseau s'écrit
alors :
dxi
  Axi  ( B  xi ). f ( xi )  I i   xi   f ( x k )  I k 
dt
k i
(III-55)
Avec f(.) la fonction de sortie du neurone.
+
-
-
-
-
Figure III- 4: Compétition sur une couche
III.3.2- Carte de Kohonen :
Il a été observé que, dans de nombreuses zones du cortex, des colonnes
voisines ont tendance à réagir à des entrées similaires. Dans les aires visuelles, par
exemple, deux colonnes proches sont en correspondance avec deux cellules proches
de la rétine [Hub-77]. Des observations identiques on pu être faites dans le bulbe
olfactif , ou l'appareil auditif [Knu-79]. Ces observations ont mené Kohonen à proposer
un modèle de carte topologique auto-adaptative qui permet de coder des motifs
présentés en entrée tout en conservant la topologie de l'espace d'entrée.
Dans la plupart des applications, les neurones d'une carte de kohonen sont
disposés sur une grille 2D (figure III-5.b). Le poids associe aux liaisons latérales
entre neurones est fonction de la distance entre le neurone source et le neurone
cible. La valeur du poids est donnée par une fonction "chapeau mexicain" (Différence
Of Gaussians - DOG – (voir figure III-5.b). Les connexions provenant des entrées,
quant à elles, arrivent perpendiculairement au plan forme par les liaisons latérales.
73
Chapitre III
Réseaux de neurones
Figure III-5 : a) Schematisation d'un carte de Kohonen.
b) Représentation d'une différence de 2 gaussiennes.
On distingue deux types de fonctionnement. Dans un premier temps,
l'ensemble des formes devant être apprises sont présentées au réseau et les
vecteurs de poids sont mis à jour de manière à approximer les vecteurs d'entrée.
Les paramètres de la carte sont adaptés au fur et à mesure pour qu'elle se
stabilise de plus en plus. La deuxième étape est la phase d'utilisation proprement
dite. Dans ce cas, on présente un motif particulier et c'est le neurone dont le
vecteur de poids minimise la distance avec le vecteur d'entrée qui réagit.
Le mécanisme d'apprentissage est le suivant. La carte comporte N neurones
organisés sur une grille rectangulaire. Chaque neurone est relié à M entrées. Le
vecteur des poids est donné par Wi =[Wi1 ,….;WiM] T Le vecteur d'entrée est donne
par I=[I i1 ,….;I M]
Les poids des liaisons latérales sont initialises aléatoirement.

On calcule la distance entre le vecteur présenté et le vecteur de poids de
chaque neurone:
M
d i   ( I j  Wij ) 2
(III-56)
j 1

On choisit le neurone dont la distance avec le vecteur d'entrée est la plus
petite.

Les poids de ce neurone sont mis à jour selon l'équation :
Wkj (t  1)  Wkj (t )   (t ).( I j (t )  Wkj (t ))
(III-57)
74
Chapitre III

Réseaux de neurones
Le coefficient d'apprentissage  (t) est choisi dans [0, 1]. Il doit décroître peu à
peu.

Le voisinage des neurones est mis a jour de manière à se rétrécir au cours du
temps.

On recommence sur l'ensemble des motifs jusqu'à la stabilisation complété des
poids.
Apres un long temps de convergence, le réseau évolue de manière à
représenter au mieux la topologie de l'espace de départ. Il faut en fait noter que la
notion de conservation de la topologie est en fait abusive puisqu'en général la
taille du vecteur d'entrée est bien supérieure à la dimension de la carte (souvent 2)
et il est donc impossible de conserver parfaitement la topologie. En fait le terme de
quantification vectorielle de l'espace d'entrée doit plutôt être utilise.
L'implémentation
n'est
pas
biologiquement
plausible
: le
temps
de
convergence est trop long pour expliquer notre capacité à apprendre une forme
en un seul essai.
Le point le plus important est que pour permettre la réduction du voisinage,
la valeur des liens latéraux doit changer. Ainsi un lien activateur peut devenir
inhibiteur ! Un autre point est que la qualité de la convergence du réseau dépend
grandement des paramètres spécifiant la vitesse d'apprentissage et la taille du
voisinage. Ces paramètres sont fixes de manière subjective par le programmeur.
Dans [Koh-93], Kohonen souligne que la modification de ces paramètres pourrait
provenir des transformations ontogénétiques du cerveau.
Il faut aussi noter que les cartes de Kohonen ne peuvent pas être utilisées
"en ligne" puisque pour assurer la convergence : il faut pouvoir présenter plusieurs
centaines de fois l'ensemble des motifs. Or, dans le contexte d'un système
autonome, on ne peut connaître à
l'avance l'ensemble des formes qui seront
rencontrées. Par ailleurs, pour que la carte apprenne correctement, il est nécessaire
de présenter les formes de façon aléatoire (ce qui est difficile à
imaginer dans un
contexte réel). On ne pourra donc pas utiliser les cartes de Kohonen pour
catégoriser des formes, mais elles peuvent servir de justification à
nos
pre-traitements au niveau des images (apprentissage de la forme des filtres de bas
niveau, détecteurs de contours...)
75
Chapitre III
Réseaux de neurones
III-4. Conclusion :
Après cette présentation générale on a pu montrer que les réseaux de
neurones reposent a présent sur des bases mathématiques solides qui permettent
d'envisager des applications dans presque tout les domaines y compris industriel et
a grande échelle, notamment dans le domaine de la prédiction. Si la résolution des
problèmes difficiles nécessite toujours et nécessitera encore très longtemps
beaucoup de travail et un éventail étendu de connaissances en statistiques,
traitement du signal, automatique..., etc. Il n’est pas douteux que les réseaux de
neurones peuvent alléger considérablement la tache de toute personne travaillant
dans ces domaines en permettant une approche efficace et générique des
problèmes non linéaires.
76
Chapitre IV
Applications,
résultats et
discussions
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
IV.1- Introduction :
La tension critique de contournement d’un isolateur pollué est un paramètre
significatif de la fiabilité d’un système d’énergie, plusieurs approches ont été
développées pour l’estimation de la tension de contournement. L’exposition du
matériel isolant à des différentes conditions environnementales est inévitable dans
tous les systèmes énergétiques.
Les principaux types de pollution des isolateurs sont la pollution naturelle et la
pollution industrielle si ce n’est pas les deux à la fois!
La coexistence du duo, la pollution (naturelle et/ou industrielle) et l’humidité
(rosée, brouillard ou la pluie) est une condition défavorable à l’isolateur. La présence
de particules électrolytes avec l’humidité peut former un film fin avec conductibilité
élevée sur la surface de l’isolateur. Cette couche réduit la résistance de la surface et
conduit à un courant de fuite. Le résultat de ce courant est l’échauffement ohmique
de la surface et création d’une bande sèche, cette dernière une fois formée, des
décharges partielles peuvent apparaître et si la tension et le courant de fuite arrivent
à une certaine valeur critique, le phénomène de contournement peut apparaître.
Il y a plusieurs techniques utilisées pour la réduction de ce phénomène et
quelques une de ces techniques font inclure un nettoyage périodique des isolateurs
pollués. Cependant, si le programme de nettoyage et de maintenance n’est pas bien
établi il peut coûter chère.
L’étude expérimentale de la tension critique de contournement prend
beaucoup de temps et rencontre plusieurs obstacles, comme le coût très élevé et la
nécessité d’un équipement spécial, sont à l’origine du développement de plusieurs
approches pour l’estimation de la tension de contournement d’un isolateur pollué.
La plupart sont basées sur des modèles mathématiques et des relations
analytiques pour la tension de contournement des isolateurs pollués.
La technique de l’intelligence artificielle peut être utilisée dans les problèmes
exigeants des fonctions d’approximation, des classifications et connaissance
schématiques, des estimations et prédictions ….
Dans le domaine des isolateurs haute tension, l’intelligence artificielle peut
être utilisée pour l’estimation du degré de pollution, la prédiction d’un contournement,
l’analyse des pistes sur les surfaces des isolateurs pollués et également l’estimation
78
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
de la tension de contournement d’un isolateur pollué. Ce dernier cas va être
soigneusement examiné dans ce travail.
Ce travail essaye d’utiliser les valeurs expérimentales et les résultats des
approches théoriques pour construire et établir un ANN qui peut estimer la valeur de
la tension critique de contournement et un AG qui détermine les constantes de l’arc
« A » et « n » du model mathématique qui donnent les meilleurs résultats, en
utilisant comme données les caractéristiques de l’isolateur.
IV.2- Procédures expérimentales et collection de données :
Les expériences ont été réalisées sur un isolateur de station de test installé
dans un laboratoire de Haute Tension de PPCTRSC à Athènes et conformément aux
normes IEC [Kon-06].
Dans cette station qui est constituée principalement de deux chambres,
chambre de pollution et chambre de brouillard, les essais ont été faits sur des
isolateurs pollués artificiellement dans le but de déterminer la tension de
contournement.
La pollution est simulée conformément à la méthode de la couche solide.
Avant la suspension des l’isolateurs dans la chambre de pollution, ils ont été
soigneusement lavés pour enlever toutes les traces de graisse, en les émergeant
dans une solution de trisodium de phosphate et en les rinçant avec de l’eau du
robinet.
Le contaminant utilisé était : 75 g/l d’argile de kaolin, 675 g/l poudre de silice,
NaCl comme exigé, et suspendu dans l’alcool isopropyl. La contamination à besoin
d’une durée de 30 min. Après que les isolateurs sont contaminés, ils doivent être
laissés sécher pendant une heure. La DDSE sur la surface de l’isolateur est mise
selon un index de sévérité de pollution.
Durant l’exposition des isolateurs au brouillard dans la chambre de brouillard
le système de jet est conforme aux normes de la CEI.
Le temps nécessaire pour atteindre le maximum de conductivité de la couche
conductrice est d’environ 35-40 min après cela la tension d’essai est appliquée sur
l’isolateur dans un temps qui ne doit pas dépasser 5 s et doit être maintenue
jusqu’au contournement. On retire l’isolateur de la chambre de brouillard et on le
laisse sécher. On recommence l’opération trois fois.
79
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
IV.3- Les algorithmes génétiques :
Les chromosomes sont les éléments de base de la biologie génétique. Ils se
croisent entre eux, passent à une auto mutation et un nouveau groupe de
chromosomes est généré, selon les exigences seulement quelques chromosomes
survivent, c’est le cycle des générations dans la biologie génétique. Ce processus se
répète pour plusieurs générations et en fin le meilleur groupe de chromosomes selon
les exigences sera retenu. Ça c’est le processus naturel de la biologie génétique.
L’algorithme mathématique équivalent à ce comportement utilisé comme une
technique d’optimisation est appelé algorithme génétique artificiel.
Considérons le problème de maximiser la fonction f(x) dont x varie de « m » à
« n ». La fonction f(x) est appelée la fonction appropriée (fitness). La population
initiale de chromosomes est générée aléatoirement c'est-à-dire les valeurs de la
variable « x » sont sélectionnées aléatoirement entre « m » et « n ». Supposons que
les valeurs sont x1, x2, …. , xL où « L » c’est la taille de la population, qui sont appelés
des chromosomes dans le contexte biologique.
Les opérations génétiques comme le croisement et la mutation sont faites
pour obtenir 2L chromosomes comme décrit ci-dessous :
Deux chromosomes de la population sont sélectionnés aléatoirement c'est-àdire deux nombres sont sélectionnés.
L’opération de croisement génère deux autres nombres y1 et y2 en utilisant les
nombres sélectionnés.
Soit les nombres sélectionnés sont x3 et x9. y1 est calculée comme suit :
y1=r.x3+(1-r).x9
(IV-1)
et de même y2 est calculé :
y2=(1-r)x3+r.x9
(IV-2)
Où « r » est un nombre aléatoire généré entre « 0 » et « 1 ».
La même opération est répétée « L » fois pour obtenir « 2L » nouveaux
chromosomes générés. L’opération de mutation est faite pour les chromosomes
obtenus pour passer à 2L chromosomes mutés. C'est-à-dire le nombre généré y1 est
muté pour obtenir z1 qui est calculé mathématiquement comme suit :
z1=r1.y1
(IV-3)
80
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Où r1 est un nombre aléatoire entre « 0 » et « 1 ».
Donc le nouveau groupe de chromosomes obtenus après croisement et
mutation est [z1, z2, …. , z2L].
Parmi les 2L valeurs obtenues après les opérations génétiques « L » valeurs
seront sélectionnés par la loi de la roulette [Gop-07].
IV.3.1- Model mathématique :
Le processus de contournement des isolateurs pollués a été soigneusement
étudié par plusieurs recherches. Le modèle le plus simple est celui développé par
Obenhaus qui consiste à un arc qui saute la zone sèche et la résistance de la zone
mouillée de la pollution en série. En appliquant la loi d’ohm sur le circuit
de la figure IV-1 :
arc
Rp
L-X
X
L
Figure IV-1 : Circuit électrique équivalent du model d’Obenaus
Donc la tension aux bornes de l'isolateur sera:
U  xAI  n  ( L  x) R p I
(IV-4)
Où
xA-n : est la tension de l'arc
(L-x) RpI: est la tension dans la couche de pollution.
x : La longueur de l'arc
L : La ligne de fuite de l'isolateur
RP : La résistance par unité de longueur de la couche de pollution
I: Le courant de fuite
A et n sont les constantes de l'arc.
81
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
La mesure de la résistance Rp de la zone humide est très compliquée. Donc
on peut la substituer à la conductivité p de la couche de pollution
p 
1
Fi
Rp
(IV-5)
Fi : est le facteur de forme de l'isolateur qui est donné par :
L
1
dl
D (l )
0
Fi  
(IV-6)
Où D(l) est le diamètre de l'isolateur qui varie selon la ligne de fuite [Kuf-00].
La condition critique de la propagation de la décharge le long de la surface de
l'isolateur pour causer le contournement est:
dI
0
dx
(IV-7)
Et le voltage sous cette condition critique devient:
U c  xc AI c n  ( L  xc ) kRp I c
(IV-8)
Ici le coefficient k est ajouté pour valider la relation (IV-4) à l'instant critique du
contournement. Wilkins a introduit ce coefficient pour modifier RP la résistance de la
couche de pollution en considérant la concentration du courant au point du pas de
l'arc, une formule simplifiée pour le calcul de k pour les isolateurs cap-and-pin.
k  1
L
Ln
2Fi ( L  xc )
L
Ic
2Fi
1,45
(IV-9)
A la condition critique, la longueur de l'arc prend la valeur:
xc 
1
L
n 1
(IV-10)
82
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Après une analyse du système d'équations au moment du contournement le
courant critique devient:
I c  (D r  p A)
1
n 1
(IV-11)
Et la tension critique:
n
A
Uc 
( L   D r Fi kn ) ( D r p A ) n 1
n 1
(IV-12)
Où Dr est le diamètre de l'isolateur.
L'équation
(IV-12) fournie la valeur critique de la tension au moment du
contournement en fonction des dimensions de l'isolateur (Dr et L), les constantes de
l'arc A, n et la pollutionp pendant que Fi et k sont aussi fonction des dimensions de
l'isolateur.
Evidemment la tension critique peut être calculée après la détermination des
constantes de l'arc. Ce sont les paramètres inconnus du modèle.
IV.3.2- Détermination des constantes de l’arc « A » et « n » :
La plupart des travaux sur les isolateurs pollués ont utilisé des constantes
caractéristiques de l’arc « A » et « n » pour différentes atmosphères en supposant
que la décharge se propage à travers une atmosphère humide ou bien dans la
vapeur de l’eau. Gonos et topalis [Gon-02] ont proposé A=124.8 et n=0.409, ces
valeurs peuvent converger vers de bons résultats pour la plupart des problèmes.
Farzaneh [Zha-00] a recommander une combinaison A=208.9 et n=0.449 sur une
surface recouverte de glace en utilisant un échantillon triangulaire. Ghosh et
Chatterjee [Gho-95] ont trouvé que les valeurs de « A » et « n » dépendent des
polluants chimiques. Zegnini [Zeg-07] a montré en utilisant l’équation d’Ayrton, que la
variation de la longueur de l’arc a un effet considérable sur ces constantes. M ElA.Slama et al de leur tour ont montré que ces caractéristiques ne sont pas statiques
et ont une relation avec les paramètres du circuit équivalent et des caractéristiques
thermique de la décharge.
83
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
D’où cette divergence dans les valeurs proposées pour les constantes « A » et
« n » ( tableau IV.1)[Sla-10].
Auteurs
La constante « A »
La constante « n »
Alston and Zoledziowski
63
0,760
Wilkins
63
0,760
Rahal
220
0,310
Claverie
100
0,500
Hampton
530
0,240
Obenaus
100
0,700
Renyu
138
0,690
208.9
0,449
Ghosh
360
0,590
Topalis
131.5
0,374
Farzaneh
Tableau IV.1
Dans ce travail on a construit une base de données à partir des résultats des
travaux de plusieurs chercheurs dans ce domaine et on a essayé de proposer des
valeurs pour « A » et « n » en résolvant l’équation issue du modèle d’Obenaus par
une méthode numérique qui est l’algorithme génétique.
IV.3.3- Application à l’estimation de la tension de contournement :
Considérons le problème d’optimisation pour maximiser la fonction :
196
Fg=1-
U
i 1
ci
 f i ( A, n)
(IV-13)
Bien sûre la valeur maximale de Fg correspond à la valeur minimale de
196
U
i 1
ci
 f i ( A, n)
ce qui mène à déterminer A et n qui vérifient cette condition
cette opération donc à pour but de déterminer les constantes de l’arc A et n.
Dans la littérature on trouve que « A » varie entre « 0 et 500 », et « n »
entre « 0 et 1 ».
Les nombres entre « 0 et1 » à un pas de 0,001 pour n et entre « 0 et 500 » à
un pas de 0,01 pour A, sont traités comme des chromosomes utilisés dans
84
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
les algorithmes génétiques. C'est-à-dire on a utilisé des chromosomes flottants une
population d’une taille de 20 chromosomes survit dans chaque génération, un
croisement arithmétique est utilisé comme opérateur génétique et l’opération de
mutation n’est pas utilisée dans cet exemple, la sélection par roulette est appliquée
pour chaque génération et le nombre d’itération est 40.
Les valeurs expérimentales sont données par le tableau suivant [Asi-10]:
2
C (mg/cm )
Uc
25.4
0.68
0.13
12
27.9
25.4
0.68
0.16
11.1
27.9
25.4
0.68
0.23
8.7
27.9
25.4
0.68
0.34
7.5
27.9
25.4
0.68
0.49
6.2
27.9
25.4
0.68
0.55
6.1
30.5
25.4
0.70
0.02
22
30.5
25.4
0.70
0.05
16
30.5
25.4
0.70
0.1
13
30.5
25.4
0.70
0.16
11
30.5
25.4
0.70
0.22
10
43.2
25.4
0.92
0.05
19
43.2
25.4
0.92
0.1
15
43.2
25.4
0.92
0.16
13
43.2
25.4
0.92
0.22
12
43.2
25.4
0.92
0.3
10.5
43.2
22.9
1.38
0.02
23.5
43.2
22.9
1.38
0.03
20.9
43.2
22.9
1.38
0.04
19.4
43.2
22.9
1.38
0.05
18.3
43.2
22.9
1.38
0.06
16.9
43.2
22.9
1.38
0.1
15.8
43.2
22.9
1.38
0.2
13.6
Type
1
27.9
2
F
Type
(cm)
3
D
Type
(cm)
4
L
Type
Type
Où :
(KV)
Tableau IV.2
L : Longueur de la ligne de fuite
D : Diamètre moyen de l’isolateur
F : Facteur de forme
C : La DDSE ( Densité de Dépôt de Sel Equivalente)
Uc : La tension critique de contournement
85
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
IV.3.4- Application et résultats :
L’apprentissage de l’algorithme génétique est fait sur une base de données
collectée à partir des publications sur le domaine du contournement des isolateurs
pollués [Muh-08] [Gen-08] [Gen-09] [Gon-02] [Kon-06] [Asi-09] [Kaz-08].
Le tableau suivant récapitule cette base de données de 14 modèles d’isolateurs :
C
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
(mg/cm )
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
(x10Kv)
0.0200
2.3260
2.5516
2.5802
2.2312
2.8191
2.4656
3.1236
2.4823
2.1961
2.3978
2.1099
2.1904
2.5850
2.6287
0.0300
2.0361
2.2377
2.2648
1.9530
2.4741
2.1596
2.7431
2.1744
1.9217
2.1083
1.8446
1.9165
2.2692
2.3111
0.0400
1.8498
2.0357
2.0618
1.7742
2.2520
1.9629
2.4980
1.9765
1.7453
1.9216
1.6742
1.7405
2.0658
2.1064
0.0500
1.7159
1.8904
1.9157
1.6457
2.0922
1.8215
2.3216
1.8342
1.6186
1.7872
1.5518
1.6141
1.9194
1.9590
0.0600
1.6131
1.7788
1.8034
1.5470
1.9693
1.7129
2.1860
1.7249
1.5213
1.6838
1.4579
1.5170
1.8070
1.8456
0.1300
1.2374
1.3702
1.3920
1.1865
1.5194
1.3158
1.6890
1.3253
1.1659
1.3044
1.1151
1.1625
1.3948
1.4295
0.1600
1.1516
1.2766
1.2977
1.1042
1.4163
1.2250
1.5750
1.2339
1.0847
1.2173
1.0369
1.0815
1.3003
1.3340
0.2300
1.0149
1.1276
1.1474
0.9731
1.2520
1.0804
1.3932
1.0884
0.9556
1.0783
0.9125
0.9527
1.1498
1.1816
0.2800
0.9475
1.0539
1.0730
0.9084
1.1708
1.0090
1.3034
1.0165
0.8919
1.0095
0.8512
0.8891
1.0753
1.1061
0.3400
0.8852
0.9858
1.0042
0.8486
1.0956
0.9430
1.2201
0.9501
0.8330
0.9458
0.7945
0.8304
1.0064
1.0363
0.3700
0.8593
0.9575
0.9756
0.8238
1.0643
0.9156
1.1855
0.9225
0.8085
0.9193
0.7710
0.8060
0.9777
1.0072
0.4900
0.7784
0.8689
0.8862
0.7461
0.9665
0.8299
1.0773
0.8362
0.7321
0.8362
0.6975
0.7298
0.8881
0.9162
0.5200
0.7622
0.8512
0.8683
0.7306
0.9470
0.8128
1.0556
0.8190
0.7168
0.8196
0.6828
0.7145
0.8702
0.8980
0.5500
0.7473
0.8348
0.8517
0.7163
0.9289
0.7969
1.0356
0.8030
0.7027
0.8043
0.6692
0.7005
0.8536
0.8811
2
Tableau IV.3
Types d’isolateurs :
Dm
(cm)
L
(cm)
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
26.8
26.8
25.4
25.4
29.2
27.9
32.1
28
25.4
20
25.4
25.4
25.4
22.9
33
40.6
43.2
31.8
47
36.8
54.6
37
30.5
40
27.9
30.5
43.2
43.2
0.79
0.86
0.9
0.72
0.76
0.96
0.8
0.74
1.29
0.68
0.70
0.92
1.38
0.92
Tableau IV.4
86
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
L’application donne les résultats de « A » et « n » suivants :
Génération
La constante « A »
La constante « n »
1
134.8184
0.3238
2
137.9150
0.3101
3
127.5301
0.3959
4
130.8851
0.3470
5
126.0758
0.3955
6
130.1165
0.3418
7
131.2313
0.3472
8
133.1253
0.3395
9
131.5862
0.3455
10
131.0845
0.3540
14
133.1144
0.3382
17
131.9228
0.3479
20
131.9534
0.3474
23
131.9510
0.3475
26
131.9303
0.3474
29
131.9243
0.3475
33
131.9237
0.3474
35
131.9240
0.3474
39
131.9237
0.3474
40
131.9237
0.3474
Tableau IV.5
D’après ce tableau on constate que pour les premières générations le choix
des constantes n’est pas bon mais à partir de la 10ème génération on a constaté une
petite stabilité de l’algorithme génétique et le choix des constantes devient plus
proche du réel et à partir de la 20ème génération les populations sont presque
identiques d’où les mêmes valeurs de A et n
La meilleure solution pour ce problème est obtenue à la 39ième itération qui
correspond à A =131.9237 et n= 0,3474.
87
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
La figure (IV-2) donne une idée sur la convergence de l’algorithme génétique :
La constante "A"
140
135
130
125
0
5
10
0
5
10
15
20
25
Générations
A=131.9237 ; n=0.3474
30
35
40
30
35
40
La constante "n"
0.4
0.38
0.36
0.34
0.32
15
20
Générations
25
Figure IV-2 : convergence des constantes de l’arc
IV.3.4.1- Validation:
L’apprentissage de l’algorithme génétique est fait à l’aide des valeurs du
tableau (IV.3) , qu’on peut représenter sous forme de courbes, et bien sûr si on
applique les valeurs des constantes de l’arc « A » et « n » à l’équation du model
mathématique on peut aussi tracer des courbes à partir des données de ce tableau.
Si on trouve une bonne concordance entre les courbes on peut conclure que
l’apprentissage a réussi.
On a choisit à titre d’exemple 4 types d’isolateurs (1,5,7,11).La figure (IV-3)
montre que les courbes des valeurs empiriques et celle estimées par l’AG sont
presque identiques. D’où la réussite de l’application de l’AG.
88
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
x 10
4
Type1 estimation AG
Type1 Relation empirique
Type5 estimation AG
Type5 Relation empirique
Type7 estimation AG
Type7 Relation empirique
Type11 estimation AG
Type11 Relation empirique
3
2.5
Uc (V)
2
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
La DDSE "C" (mg/cm²)
Figure IV-3 : La tension critique en fonction de la DDSE
On procède maintenant à une autre vérification, on va exposer notre modèle
proposé aux valeurs expérimentales du tableau (IV.2), ces valeurs n’ont pas été
utilisées dans l’apprentissage, et en plus on va faire une comparaison au modèle de
I F Gonos qui est une référence dans ce domaine, on trouve la figure (IV-4):
4
3
Validation par les valeurs exp et le model de I F Gonos
x 10
Type1 Model
Type1 Exp
Type2 Model
Type2 Exp
Type3 Model
Type3 Exp
Type4 Model
Type4 Exp
Type1 Model
Type2 Model
Type3 Model
Type4 Model
2.5
Model proposé: A=131.9237 ; n=0.3474
Uc (x10Kv)
2
Gonos
Gonos
Gonos
Gonos
proposé
proposé
proposé
proposé
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
La DDSE en mg/cm 2
Figure IV-4 : Comparaison entre les valeurs données par le modèle proposé par I F
Gonos et les valeurs données avec A=131.9237 et n=0,3474
89
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
On constate que le model proposé est en parfaite concordance avec celui de
Gonos dans plusieurs points, il donne une estimation moins précise dans d’autres
points, et dans le reste des points il donne une estimation meilleure. Donc on peut
dire que l’application des algorithmes génétiques pour
la détermination des
constantes de l’arc donne de bons résultats et est efficace dans ce genre de
problèmes.
IV.4- Réseaux de neurones :
IV.4-1 L’algorithme RNA : (algorithme réseaux de neurones)
Le RNA peut utiliser des données lues pour modéliser certains problèmes
avec une grande précision. Ce modèle peut être utilisé pour estimer des variables de
sorties à partir des données des variables d’entrées.
Le RNA essaye de simuler le processus de raisonnement de l’intelligence humaine
et donc être utilisé au lieu des fonctions mathématiques.
Le RNA peut avoir trois types de couches, la couche des entrées, une ou
plusieurs couches cachées et la couche des sorties. Pour créer le RNA, la première
des choses est de décider sur le nombre des neurones dans chaque couche.
Le RNA est généralement établi avec un algorithme de rétropropagation de l’erreur
où l’erreur qui arrive au niveau de la couche de sortie retourne à la couche des
entrées pour modifier les poids. Cette procédure se répète jusqu’à atteindre des
valeurs d’erreurs acceptables.
Dans ce présent travail un RNA adapté est construit en Matlab et établi pour
estimer la tension de contournement d’un isolateur suivant ces caractéristiques.
La variable qui est donnée comme entrée est :
C : DDSE en mg/cm2
Pendant que la variable de sortie est la tension de contournement Uc (en kv).
La figure (IV-5) présente les grandes lignes du processus de construction de
le RNA adapté.
90
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Début
Sélection de N variables d’entrées à partir de la base
de données
Normalisation des variables
d’entrées
Combinaison pour l’optimisation du nombre de neurones,
valeurs initiales et paramètre du temps de période du terme
momentané et vitesse de dressement
Mode de calcul qu’utilise l’algorithme
de propagation en retour
Modèle d’évaluation
Fin de combinaison
Non
Oui
Modèle d’évaluation
fin
Figure IV-5 : Les grandes lignes du processus de construction de l’ANN adapté.
91
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Les données entrées-sorties sont normalisées avant l’apprentissage du
réseau pour assurer une bonne convergence et la précision lors du procédé
d’entraînement [Far-97]. Nous avons essayé neuf différents arrangements pour
normaliser les modèles d’entraînement entrée-sortie. Les détails concernant ces
arrangements de normalisation sont discutés [Bel-09]. Ces différents arrangements
pour la normalisation utilisant les valeurs de maximum et minimum des données ; les
composantes des vecteurs de sortie et aussi la valeur moyenne et la variance
standard (standard déviation) S.D des variables entrée-sortie sont présentés dans le
tableau suivant :
Numéro
de
Entrée
Sortie
1
Max
Max
2
Max
Max Min
3
Max
Mean & S.D
4
Max Min
Max
5
Max Min
Max Min
6
Max Min
Mean & S.D
7
Mean & S.D
Max
8
Mean & S.D
Max Min
9
Mean & S.D
Mean & S.D
l’arrangement
Tableau IV.6
IV.4.2- Réseaux de neurones artificiels :
Une fois les poids de connexion sont ajustés par l’algorithme adapté de
rétropropagation, le RNA peut estimer la tension de contournement des expériences.
Trois points doivent être notés :
- Critères d’arrêt :
Le calcul est répété par époque (une époque est la représentation de groupe
d’expériences, entrées et objectifs, vecteurs du réseau et le calcul des nouveaux
poids) jusqu’à ce que les poids soient stabilisés ou les fonctions d’erreurs ne sont
pas encore minimisées ou le nombre maximal des époques est atteint.
92
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Dans notre cas la fonction d’erreur est la racine carrée de l’erreur moyenne du
groupe d’évaluation conforme à RMSEva
m q
2 out
1
e2 ( i )
m2 qout i =1 k =1 k
‡”‡”
RMSEVA =
(IV-14)
Où qout est le nombre de neurone de la couche de sortie et ek(i) est l’erreur du kième
neurone de sortie pour le ième échantillon du groupe d’évaluation.
Si l’un des trois critères est vrais, le cœur principal de l’algorithme de
rétropropagation tend vers la fin autrement le nombre d’époques est augmenté par 1,
les règles d’adaptation sont appliquées et le calcul est répété.
- Critères de validation :
Pour l’ensemble d’évaluation, la racine carrée de l’erreur moyenne RMSEva, le carré
de l’erreur absolue moyenne MAEva, et la corrélation Rva2 peuvent être calculées.
m
‡” 2 t ( i )o
i =1 k
MAEVA ( k ) = 100%.
k
m2
( i ) / tk ( i )
(IV-15)
Où tk(i) et ok(i) sont la valeur réelle et estimée du kème neurone de sortie pour le ième
échantillon de l’ensemble d’évaluation.
La corrélation R² est définie par :
2
RVA
(k ) 

m2
i 1
(Ok (i ) t k ) 2
(IV-16)
m2
‡” (t
i 1
k
(i ) t k )
2
Où t k est la valeur moyenne respective de tk(i)
Pour l’estimation finale de la tension de contournement les équations (IV-14) et
(IV-16) peuvent être appliquées
- Fonctions d’activation :
Un nombre de fonctions d’activation, appelées fonction de transfert, peut être
appliqué. La fonction « logsig » (sigmoïde), la fonction « tansig » (hyperbolique) et la
fonction « purelin » (linéaire).
93
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
IV.4.3- Application des RNA pour l’estimation de la tension de contournement
d’un isolateur pollué :
En utilisant les 14 types d’isolateurs comme en algorithme génétique, on a
utilisé le model mathématique pour faire entrer 168 valeurs pour l’apprentissage
(entraînement) et 28 valeurs pour le test. Et on a choisit en premier la fonction
hyperbolique comme fonction d’activation, α=0.3, η=0.9, une seule couche cachée,
et le nombre d’itérations 500. On a varié le numéro de l’arrangement et le nombre de
couches, la RMSE a prit les valeurs de la figure (IV-6) :
1.6
1.4
1.2
3.5
RMSE (kV)
3
1
2.5
2
0.8
1.5
1
0.6
0.5
10
0
8
0
5
6
10
Nom 15
bre d
4
20
25
e ne
uron
es
2
30
35
40
sa
Le
n ge
rr a
me
S
nts
0.4
0.2
0
Figure IV-6 : RMSE pour une couche cachée
La fig IV-6 montre que le nombre de neurones et le numéro de l’arrangement
ont une grande influence sur la RMSE et en plus la variation de l’erreur en fonction
de ces deux paramètres n’est pas linéaire, donc il fallait trouver la meilleur
combinaison qui donne la plus petite erreur. Les meilleurs résultats sont donnés pour
l’arrangement numéro 8 et le nombre de neurones est entre 25 et 40 mais on prend
le nombre 27 qui correspond à la meilleure MAE comme le montre la figure (IV-7).
Cette figure montre aussi que la variation de la MAE en fonction du nombre de
neurones n’est pas linéaire.
94
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
10
9
8
RMSE(kV), MAE(%)
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
Nombre de neurones
30
35
40
Figure IV-7 : La RMSE et la MAE en fonction du nombre de neurones
Après on a essayé avec deux couches cachées tout en gardant α=0.3 , η=0.9
et les itérations 500, mais en changeant la fonction d’activation à la fonction
sigmoïde (logsig), en fixant le numéro de l’arrangement à 8 et en variant le nombre
de neurones dans la première et la deuxième couche cachée, les valeurs de la
RMSE sont données par la figure (IV-8):
1.1
1
0.9
2
1.8
0.8
1.6
0.7
1.4
RMSE (kV)
1.2
0.6
1
0.5
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
3
Nom
bre d
e
0.3
4
0
5
5
6
10
neur
ones
d
7
8
15
ans la
9
2eme co
uche
20
caché
e
10
re
mb
No
de
s la
dan
nes
o
r
neu
1ere
che
cou
hée
cac
0.2
0.1
Figure IV-8 : La RMSE pour 2 couches cachées
95
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Même remarque la variation de la RMSE n’est pas linéaire donc il faut choisir
la meilleure combinaison avec soin, car on peut constater que pour un nombre plus
grand de neurones on peut trouver une erreur plus petite, comme on peut trouver
une erreur plus grande.
Le meilleur résultat est donné pour 8 neurones dans la 1ère couche cachée et
11 neurones pour la 2ème couche cachée où la RMSE=4.10-3 kV.
La corrélation entre les valeurs réelles et les valeurs estimées, pour cette
RMSE, est donnée par les figures (IV-9, IV-10).
Etudier
la corrélation entre
deux
ou
plusieurs variables
aléatoires ou
statistiques numériques, c’est étudier l’intensité de la liaison qui peut exister entre
ces variables. La liaison recherchée est une relation affine. Dans le cas de deux
variables numériques, il s'agit de la régression linéaire.
Une mesure de cette corrélation est obtenue par le calcul du coefficient de
corrélation linéaire. Ce coefficient est égal au rapport de leur covariance et du produit
non nul de leurs écarts types. Le coefficient de corrélation est compris entre -1 et 1.
En faisant en sorte que l'erreur que l'on commet en représentant la liaison entre nos
variables par une droite soit la plus petite possible. Le critère formel le plus souvent
utilisé, est de minimiser la somme de toutes les erreurs effectivement commises au
carré. On parle alors d'ajustement selon la méthode des moindres carrés ordinaires.
La droite résultant de cet ajustement s'appelle une droite de régression.
Le coefficient de corrélation est égal à 1 dans le cas où l'une des variables est
fonction affine croissante de l'autre variable, à -1 dans le cas où la fonction affine est
décroissante. Les valeurs intermédiaires renseignent sur le degré de dépendance
linéaire entre les deux variables. Plus le coefficient est proche des valeurs extrêmes 1 et -1, plus la corrélation entre les variables est forte (Fig IV-9 ); on emploie
simplement l'expression « fortement corrélées » pour qualifier les deux variables. En
revanche, ce coefficient de corrélation est extrêmement sensible à la présence de
valeurs aberrantes ou extrêmes (ces valeurs sont appelées des "déviants") dans
notre ensemble de données (Fig IV-10 ) (valeurs très éloignées de la majorité des
autres, pouvant être considérées comme des exceptions).
96
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
4
3
x 10
R2=0.99999
Valeurs estimées
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
Valeurs réelles
2.5
3
4
x 10
-3
Figure IV-9 : La corrélation pour les valeurs de l’apprentissage (RMSE=4.10 kV)
4
2.6
x 10
R2=0.99866
2.4
2.2
Valeurs estimées
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Valeurs réelles
2
2.2
2.4
2.6
4
x 10
-3
Figure IV-10 : La corrélation pour les valeurs de test (RMSE=4.10 kV)
97
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Après on a fixé le nombre de neurones à 8 pour la 1ère couche cachée et 11
pour la 2ème couche cachée et on a fait changer le nombre d’itérations on a trouvé les
RMSE de la figure (IV-11):
0.05
0.045
0.04
RMSE (kV)
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
1000
2000
3000
Itérations
4000
5000
6000
Figure IV-11 : La RMSE en fonction des itérations
On constate que 6000 itérations donnent une bonne valeur de la RMSE (3.10-4kV).
En fin on a changé la fonction d’activation pour le dernier cas c-à-d
α=0.3,η=0.9, S=8, 8 neurones dans la 1ère couche et 11 neurones dans la 2ème
couche et 6000 itérations on a trouvé le tableau suivant qui donne la RMSE (kV) en
fonction des différentes combinaisons des fonctions d’activations :
La fonction d’activation pour les couches cachées
La
Logsig
Tansig
Purelin
0.0083
0.04
0.002
Tansig
0.003
0.192
0.0028
Purelin
0.0003
0.012
0.0027
fonction Logsig
d’activation
pour la couche
de sortie
Tableau IV.7
On constate que la fonction logsig pour les couches cachées et la fonction
purelin (linéaire) pour la couche de sortie donne le meilleur résultat.
98
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
Après on a fait une petite analyse statistique des résultats obtenus en fonction
de l’intervalle de confiance à 95% et les valeurs expérimentales on a trouvé les
résultats de la figure (IV-12):
Un intervalle de confiance est un outil permettant d'exprimer notre degré de
certitude à propos des paramètres d'un modèle statistique [Asi-09].
L'estimation de la moyenne d’un échantillon µ par intervalle de confiance est
couramment utilisée en pratique. Elle augmente le niveau d'information par rapport à
une estimation ponctuelle. Elle permet d'avoir un aperçu des valeurs possibles pour
µ. Un intervalle de confiance à 100(1-α)% pour µ consiste à trouver deux bornes,
inférieur et supérieur, qui dépendent de l'échantillon tiré. Si on tire un grand nombre
de fois un échantillon et si pour chacun on calcule l'intervalle de confiance, alors
dans 100(1-α)% des cas le paramètre µ devrait être dans l'intervalle de confiance.
Dans notre cas si on prend α=0.05 on aura 95% de chance que la valeur
estimée des mesures effectuées soit à l’intérieur de l’intervalle.
3
x 10
4
valeurs expérimentales
intervalle de confiance
valeurs estimées
2.5
Uc (kV)
2
1.5
1
0.5
0
5
10
15
20
L'ensemble des cas étudiés expérimentalement
25
Figure IV-12 : Situation des valeurs expérimentales et estimées par le RNA par
rapport à l’intervalle de confiance
On constate que toutes les valeurs estimées par le RNA sont à l’intérieur des
intervalles de confiances des mesures. On a remarqué aussi que la largeur des
99
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
intervalles n’est pas la même pour toutes les mesures, cela est dû aux valeurs
récoltées, s’ils sont proches l’intervalle sera étroit si non il sera large.
En suite on a fait une petite comparaison avec le model mathématique
proposé par Gonos en fonction des valeurs expérimentales (Fig IV-13 , IV-14).
4
x 10
3
experimentale
Model mathéma
Estimée par RNA
2.5
2
1.5
Uc (kV)
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
Les cas étudiés expérimentalement
Figure IV-13 : Comparaison entre les valeurs du modèle mathématique et celles du RNA
en prenant les valeurs expérimentales comme référence
0.18
Model mathématique
Estimation RNA
L’erreur relative (%)
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
25
30
Les cas étudiés expérimentalement
Figure IV-14 : Comparaison entre l’erreur relative du modèle mathématique et celle
du RNA par rapport aux valeurs expérimentales
100
Chapitre IV
Applications, résultats et discussions
On constate que les valeurs estimées par le RNA sont meilleurs que celle du
model mathématique pour la plupart des cas (16 sur 28 cas) et donc on peut dire que
le RNA est une bonne méthode pour estimer la tension de contournement.
IV.5- Conclusion :
Deux technique de l’intelligence artificielle ont été utilisées dans ce chapitre, la
première est l’algorithme génétique et a été utilisée pour déterminer les constantes
de l’arc « A» et « n », la deuxième est les réseaux de neurones artificiels où on a
utilisé les valeurs des constantes trouvées par la première méthode pour construire
la base de donnée pour l’apprentissage du RNA afin d’estimer la tension de
contournement d’un isolateur HT pollué.
La validité des résultats obtenus montre que ces méthodes ont été appliquées
avec succès et que leur utilisation dans ce domaine peut donner un plus aux
recherches visant à limiter le défaut du contournement et améliorer le bon
fonctionnement des isolateurs dans le domaine de la haute tension.
101
Conclusion
générale
Conclusion générale
Travail accompli
L’exposition du matériel isolant à des différentes conditions environnementales est
inévitable dans tous les systèmes énergétiques. Donc ils sont le siège de dépôt de
pollution, cette contrainte est reconnue comme étant le facteur majeur à l’origine des
défauts enregistrés sur les lignes aériennes.
La coexistence du duo, la pollution (naturelle et/ou industrielle) et l’humidité (rosée,
brouillard ou la pluie) est une condition défavorable à l’isolateur. La présence de particules
électrolytes avec l’humidité peut former un film fin avec conductibilité élevée sur la surface
de l’isolateur. Cette couche réduit la résistance de la surface et conduit à un courant de
fuite. Le résultat de ce courant est l’échauffement ohmique de la surface et création d’une
bande sèche, cette dernière une fois formée, des décharges partielles peuvent apparaître
et si la tension et le courant de fuite arrivent à une certaine valeur critique, le phénomène
de contournement peut apparaître.
La compréhension de ce phénomène est d’un intérêt majeur pour sa réduction.
Plusieurs travaux ont essayé de modéliser ce phénomène notamment le modèle
mathématique proposé par Obenaus qui se base sur une décharge de longueur x en série
avec une résistance R(x) caractérisant la couche polluante.
Ce model présente quelques lacunes notamment les deux constantes A et n qui
n’ont pas jusqu'à aujourd’hui des valeurs bien précises.
Le développement de l’outil informatique à permet aux méthodes numériques de
prendre leurs places dans ce domaine d’investigations, notamment les AG et les RNA
L’AG a été utilisé dans ce travail principalement pour la détermination des
constantes de l’arc en ce basant sur le model d’Obenaus et les valeurs expérimentales de
la tension de contournement.
Les valeurs des constantes ainsi déterminées ont été utilisées pour construire une
base de données pour l’apprentissage des RNA.
L’application des RNA a donnée des résultats très suffisants comme le montre
l’analyse statistique réalisée à la fin du travail.
Donc on peut dire que les systèmes intelligents peuvent remplacer avec efficacité
les travaux expérimentaux coûteux et exigeants en temps et en matériel
103
Conclusion générale
Difficultés rencontrées et remarques
Le manque de données expérimentales qui donnent la tension de contournement
en fonction de la densité équivalente de sel (DDSE) nous a obligé de se baser sur le
model mathématique et faire recoure aux AG pour la détermination des constantes de
l’arc, pour la construction d’une base de données suffisante au bon apprentissage des
RNA.
Perspectives et suggestions
Le model numérique est très efficace dans ce genre de problème mais il nécessite
une base de données importante issue des expériences, donc il faut élargir le travail
expérimental pour tout les types d’isolateurs.
L’intelligence artificielle est un domaine vaste, dans ce travail on a utilisé deux
techniques seulement, peut être que d’autres techniques seront plus précises et plus
puissantes, pour ceux qui veulent travailler sur ce domaine on espère que notre travail
leur serait utile pour continuer la recherche.
104
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