I.U.T. de La ROCHELLE Année Universitaire 2011-2012 Département Réseaux et Télécommunications Module M1 Fondamentaux d’Algèbre et de Trigonométrie Mathématiques 1ère Année Laurent Demay TABLE DES MATIERES CHAPITRE 1 : Trigonométrie I - Rappels de Trigonométrie 1) Triangle rectangle 2) Cercle trigonométrique et valeurs remarquables 3) Principales relations trigonométriques 4) Réduction de a cos t + b sin t II - Fonctions trigonométriques réciproques 1) Fonction Arcsin 2) Fonction Arccos 3) Fonction Arctan CHAPITRE 2 : Nombres Complexes I - Définitions 1) Forme algébrique 2) Propriétés et Opérations II - Formes polaires et exponentielles d’un nombre complexe 1) Représentation géométrique - forme polaire 2) Relation entre forme algébrique et polaire 3) Propriétés de la forme polaire 4) Forme exponentielle 5) Racines nièmes d’un complexe III - Utilisation des nombres complexes 1) Utilisation en Géométrie 2) Utilisation en Trigonométrie et en Analyse 3) Utilisation en Electricité IV - Inversion complexe CHAPITRE 3 : Polynômes I - Introduction 1) Définitions 2) Propriétés II - Division des polynômes 1) Division suivant les puissances décroissantes (ou division euclidienne) 2) Division à l’ordre n suivant les puissances croissantes III - Factorisation irréductible des polynômes 1) Factorisation dans 2) Equation du second degré dans 3) Factorisation dans IV - PGCD de deux polynômes Quelques bons réflexes sur les polynômes CHAPITRE 4 : Fractions rationnelles I - Généralités 1) Forme irréductible 2) Partie entière et partie fractionnaire II - Décomposition en éléments simples 1) Eléments simples de 1ère espèce 2) Décomposition dans (x) 3) Eléments simples de 2nd espèce 4) Décomposition dans (x) III - Calcul des coefficients Fiche Pratique 1 1 1 1 1 2 3 3 4 5 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 11 11 12 13 15 15 15 15 16 16 17 18 18 18 19 19 21 23 23 23 23 24 24 25 25 26 26 28 Chapitre 1 Trigonométrie CHAPITRE 1 Trigonométrie I - Rappels de Trigonométrie C 1) Triangle rectangle 0 ≤ θ < π / 2 : sin(θ ) = BC AC cos(θ ) = AB AC tan(θ ) = BC AB θ A B 2) Cercle trigonométrique et valeurs remarquables Le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle réel se lisent grâce au cercle trigonométrique. sin ²(α ) + cos ²(α ) = 1 −1 ≤ cos(α) ≤ 1 et −1 ≤ sin(α) ≤ 1 sin(α ) tan (α ) = cos(α ) pour α ≠ π 2 + kπ , k ∈ z (entier relatif) 0 π /6 π /4 π /3 π /2 π cos(α ) 1 3 2 1 0 −1 sin(α ) 0 1 1 0 tan(α ) 0 1 ±∞ 0 2 2 1 3 2 2 2 3 2 3 sin(α) α α 2 sin cos cos(α) tan(α) 3) Principales relations trigonométriques cos ( − x ) = cos( x) sin ( − x ) = − sin( x ) tan ( − x ) = − tan( x) cos (π + x ) = − cos( x ) cos (π − x ) = − cos( x) sin (π + x ) = − sin( x ) sin (π − x ) = sin( x) ⎛π ⎞ cos ⎜ + x ⎟ = − sin( x) ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − x ⎟ = sin( x) ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ sin ⎜ + x ⎟ = cos( x) ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ sin ⎜ − x ⎟ = cos( x) ⎝2 ⎠ π −x 1 π π 2 π 2 2 1 x π 0 π 2 x π 0 1 π+x π −x 1 −x 1 +x 2 1 x π 0 1 Module M1 Algèbre et Trigonométrie A connaitre par cœur : cos ( a + b ) = cos(a ) cos(b) − sin(a ) sin(b) sin ( a + b ) = sin(a ) cos(b) + cos(a ) sin(b) cos ( a − b ) = cos(a ) cos(b) + sin(a ) sin(b) sin ( a − b ) = sin(a ) cos(b) − cos(a ) sin(b) cos ( 2a ) = cos ²(a ) − sin ²( a) sin ( 2a ) = 2sin( a ) cos( a ) = 2 cos ²(a) − 1 = 1 − 2sin ²( a) cos ²(a ) = 1 + cos(2a) 2 tan ( a + b ) = sin ²(a ) = tan(a ) + tan(b) 1 − tan(a ) tan(b) 1 + tan2(x) = 1 cos ²( x) et 1 + tan2(x) = 1 − cos(2a) 2 tan ( 2a ) = 1 1 − sin ²( x) 2 tan(a) 1 − tan ²( a) dans le cas où x ≠ π 2 + k π ( k entier relatif ) Autres relations importantes: cos(a ) cos(b) = ½ ( cos(a + b) + cos(a − b) ) sin( a ) sin(b) = ½ ( cos( a − b) − cos( a + b) ) cos(a )sin(b) = ½ ( sin(a + b) − sin(a − b) ) sin(a ) cos(b) = ½ ( sin(a + b) + sin(a − b) ) ( p2+q ) cos ( p2−q ) cos( p) − cos(q) = −2sin ( p2+ q ) sin ( p2−q ) ( p2+q ) cos ( p2−q ) sin( p ) − sin(q) = 2 cos ( p2+ q ) sin ( p2−q ) cos( p ) + cos(q ) = 2 cos x si x ≠ π + 2 k π et t = tan ⎜⎛ ⎟⎞ , alors : ⎝2⎠ sin( p) + sin( q ) = 2sin cos(x) = 1− t² , 1+ t² sin(x)= 2t , 1+ t² tan(x) = 2t 1− t² 4) Réduction de a cosω t + b sinω t Considérons l’expression a cos ωt + b sin ωt que l’on souhaite réécrire sous une autre forme. On pose a′ = a b et b′ = . a ² + b² a ² + b² On a alors a′2 + b′2 = 1 Le point M (a′, b′) appartient au cercle trigonométrique car OM = 1 Il existe donc une mesure d’angle unique ϕ dans ]−π , π ] telle que a′ = cos(ϕ ) et b ' = sin(ϕ ) On peut écrire alors en posant A = a ² + b² : a b ⎛ ⎞ a cos(ωt ) + b sin(ωt ) = a ² + b² ⎜ cos ωt + sin ωt ⎟ a² + b² ⎝ a ² + b² ⎠ sin Ο a' ϕ b' Μ = a ² + b ² ( a′ cos ωt + b′ sin ωt ) = A ( cos ϕ cos ωt + sin ϕ sin ωt ) = A cos (ωt − ϕ ) Remarque : Cette transformation est utilisée en particulier en mathématiques du signal (Cf M5) On appelle alors amplitude le nombre A > 0 et phase l’angle ϕ ∈ ]−π , π ] 2 cos Chapitre 1 Trigonométrie Exemple : réduire cos 3t − 3 sin 3t et en déduire les solutions de l’équation cos 3t − 3 sin 3t = −2 II - Fonctions trigonométriques réciproques 1) Fonction Arcsin La fonction x sin x est continue sur r, impaire, 2π - périodique et bornée : −1 ≤ sin(x) ≤ 1 De plus elle est strictement croissante, donc bijective, de [ −π / 2, π / 2] dans [−1,1] . Elle admet donc une [ −π / 2, π / 2] fonction réciproque de [−1,1] dans [ −π / 2, π / 2] , notée Arcsin : sin ⎯⎯⎯→ [−1,1] ←⎯⎯⎯ Arcsin y π /2 Arcsin(x) 1 −π −π /2 −1 1 0 π π /2 x −1 sin(x) −π /2 La courbe de Arcsin(x) se déduit de celle de sin(x) par symétrie par rapport à la première bissectrice. ⎧a = sin α ⎧α = Arcsin a ⎪ ⎨ ⎡ π π⎤ ⇔ ⎨ ⎩a ∈ [−1,1] ⎪α ∈ ⎢ − 2 , 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ Exemples : Arcsin 0 = π 6 Arcsin 1 = π /2 −1 π 6 Arcsin 1 π = 2 6 0 1 −π /2 ⎡ π π⎤ Arc sin x est continue, strictement croissante de [−1,1] dans ⎢ − , ⎥ et impaire : ⎣ 2 2⎦ Arcsin (− x) = −Arcsin x ∀x ∈ [−1,1] (la réciproque d’une fonction impaire est toujours impaire, cf M2) La fonction x 3 Module M1 Algèbre et Trigonométrie 2) Fonction Arccos La fonction x cos x est continue sur r, paire, 2π - périodique et bornée : −1 ≤ cos(x) ≤ 1 De plus elle est strictement croissante, donc bijective, de [ 0, π ] dans [−1,1] . Elle admet donc une fonction réciproque de [ −1,1] dans [ 0, π ] , notée Arccos : cos ⎯⎯⎯⎯ → [−1,1] [0, π ] ←⎯⎯⎯ Arccos⎯ y Arccos(x) π π /2 1 cos(x) −π −π /2 −1 0 1 π π /2 x −1 La courbe de Arccos(x) se déduit de celle de cos(x) par symétrie par rapport à la première bissectrice π ⎧a = cos α ⎧α = Arccos a ⇔ ⎨ ⎨ ⎩α ∈ [0, π ] ⎩ a ∈ [−1,1] π /2 Exemples : Arcos 0 = La fonction x π 6 Arcos 1 = π 6 Arcos 1 π = 2 6 −1 0 1 Arc cos x est continue, strictement décroissante de [−1,1] dans [ 0, π ] et vérifie : Arccos (− x) = π − Arccos x ∀x ∈ [−1,1] ( la courbe est symétrique par rapport au point (0,π /2) ) En effet : Relation fondamentale : ∀x ∈ [−1,1] Arcsin x + Arccos x = En effet : 4 π 2 Chapitre 1 Trigonométrie 3) Fonction Arctan y tan(x) La fonction x tan x est définie et continue sur r privé des réels π / 2 + kπ , k ∈ z Elle est impaire et π - périodique. π /2 De plus, elle est continue strictement croissante donc bijective, de ]−π / 2, π / 2[ dans r. −π Elle admet donc une fonction réciproque de r dans ]−π / 2, π / 2[ , notée Arctan : ]−π / 2, π / 2[ −π /2 0 Arctan(x) π /2 π x −π /2 ⎯⎯⎯→ ←⎯⎯⎯ Arctan tan La courbe de Arctan(x) se déduit de celle de tan(x) par symétrie par rapport à la première bissectrice. ⎧⎪a = tan α ⎧α = Arctan a ⇔ ⎨ ⎨ ⎪⎩α ∈ ]−π / 2, π / 2[ ⎩a ∈r Exemples : −5 −1 Arctan 0 = Arctan 1 = La fonction x π /2 1 −π /2 π 4 ⎤ π π⎡ Arc tan x est continue, strictement croissante de r dans ⎥ − , ⎢ , et impaire. ⎦ 2 2⎣ 5 5 Module M1 Algèbre et Trigonométrie 6 Chapitre 2 Nombres Complexes CHAPITRE 2 Nombres Complexes I - Définitions 1) Forme algébrique On note c l’ensemble des nombres complexes . Tout complexe z∈c s’écrit de manière unique sous sa « forme algébrique » z = a + b i avec a, b ∈r et i un nombre « imaginaire » vérifiant i 2 = −1 . Le réel a est dit partie réelle de z = a + b i : Le réel b est dit partie imaginaire de z = a + b i : a = Re( z ) où z = a + b i b = Im( z ) Tous les réels sont des nombres complexes car a ∈r vérifie a = a + 0 i : r⊂ c Les nombres complexes particuliers de la forme z = b i sont appelés imaginaires purs, d’ensemble ri. 2) Propriétés et Opérations Egalité : Deux nombres complexes z = a + b i et z ′ = a ′ + b ′ i sont égaux si et seulement si ils z = z ′ ⇔ a = a ′ et b = b ′ ont même parties réelles et imaginaires : L’addition et la multiplication s’écrivent : (a + b i ) + (a ′ + b ′ i ) = (a + a ′) + (b + b ′) i (a + b i ) × ( a ′ + b ′ i ) = (aa ′ − bb ′) + ( ab ′ + ba ′) i Elément neutre de l’addition 0 = 0 + 0 i : Elément unitaire de la multiplication 1 = 1 + 0 i : z +0 = 0+ z = z z × 1 = 1× z = z Commutativité : Associativité : Distributivité : z + z′ = z′ + z ( z + z ′) + z ′′ = z + ( z ′ + z ′′) z × ( z ′ + z ′′) = zz ′ + zz ′′ Complexe opposé : l’opposé de z = a + b i est le complexe − z = − a − b i : ceci permet de définir la soustraction : z − z ′ = z + ( − z ′) et et et z ×0 = 0× z = 0 z × z′ = z′ × z ( z × z ′) × z ′′ = z × ( z ′ × z ′′) ( z + z ′) × z ′′ = zz ′′ + z ′z ′′ z + ( − z) = 0 ( −1) × z = − z On peut donc effectuer les calculs dans c exactement comme dans r en remplaçant i2 par −1 Complexe conjugué : On appelle conjugué du complexe z = a + b i le complexe z = a − b i On a alors les propriétés : z + z′ = z + z ′ zz ′ = zz ′ z =z zz = a 2 + b 2 z + z = 2a z − z = 2bi z=z z = − z ⇔ z ∈ri Complexe inverse : ⇔ z ∈r l’inverse de z = a + b i est 7 1 z a b = = − i z zz a 2 + b 2 a 2 + b 2 z 1 = z× z′ z′ Module M1 Expl : Algèbre et Trigonométrie 1 + 2i = 3 − 2i II - Formes polaires et exponentielles d’un nombre complexe 1) Représentation géométrique - forme polaire y On considère le plan P muni du repère orthonormal (Ox,Oy) On associe au complexe z = a + b i le point M de coordonnées (a,b) M b On dit que M est l’image de z, OM est l’image vectorielle de z ρ z est l’affixe du point M ou du vecteur OM le module ρ de z , noté | z| , est la distance OM =|| OM || : | z| = OM = a + b 2 2 θ et on a la relation : | z|2 = zz O a x Le module coïncide avec la valeur absolue pour les réels, et possède les mêmes propriétés : | z + z ′| ≤ | z|+| z ′| l’argument θ de z , noté Arg(z) , est la mesure de e j Arg( z) = (Ox , OM ) avec − π < θ ≤ π l’angle Ox , OM appartenant à l’intervalle −π , π : Remarque : L’argument Arg(z) n’est défini que si z ≠ 0 Le complexe z de module ρ et d’argument θ sera également noté z = ρ ,θ ( forme polaire de z ) ri On parlera de plan complexe pour la représentation de c : z = −2+1,6i 1 est représenté par le point (1,0) et r par la droite (O,x ) (les réels ont pour argument 0 pour les positifs, π pour les négatifs ) i −1 i est représenté par le point (0,1) et ri est par la droite (O,y) (les imaginaires purs ont pour argument π / 2 ou −π / 2 ) 1 −i 2) Relation entre forme algébrique et polaire b z = ρ cosθ + i sin θ Soit un complexe non nul z = a + b i = ρ ,θ : conversion polaire → algébrique RSa = ρ cosθ Tb = ρ sin θ g z = [ 6 ,π / 3] = Expl : ⎧ ρ = a 2 + b2 ⎪ utilisation du cercle trigonométrique et du signe de ⎨ cos θ = a ρ algébrique → polaire ⎪ ⎩ sin θ = b ρ cosθ et sinθ pour déterminer la valeur de θ ∈ ]−π , π ] conversion 8 r Chapitre 2 Nombres Complexes Expl : conversion en polaire de z = 3 − i et z ′ = i − 1 sin cos 3) Propriétés de la forme polaire Soit z = a + b i = ρ ,θ M≡z et z ′ = a ′ + b ′ i = ρ ′ ,θ ′ • Le conjugué z = a − b i a pour forme polaire z = ρ ,−θ θ −θ θ−π • Le produit λ z (avec λ ∈r ) a pour forme polaire λ z = [| λ | ρ , θ ± π ] Avec θ ± π ∈ ]−π , π ] ~ M ≡ −z M ≡z b g • L’inverse 1/z a pour forme polaire 1 / z = 1 / ρ ,−θ bg ( |1 / z| = 1/| z| et Arg 1/ z = − Arg z ) Expl : z = [ 2, π / 3] a pour forme algébrique z = 2 cos π 3 + 2i sin π 1 3 = 2 × + 2i × = 1+ 3i 3 2 2 1 1 1 − 3i 1 3 1⎛1 3 ⎞ 1⎛ π π ⎞ ⎡1 π ⎤ = 2 = − = i = ⎜⎜ − i ⎟⎟ = ⎜ cos(− ) + i sin(− ) ⎟ = ⎢ , − ⎥ z 1 +3 4 4 2⎝2 2 ⎠ 2⎝ 3 3 ⎠ 1 + 3i ⎣2 2 ⎦ b g • Le produit zz′ a pour forme polaire zz′ = ρρ ′,θ + θ ′ Expl : z = [ 2, π / 3] = 1 + 3 i bg bg ( | zz ′| =| z|| z ′| , Arg zz ′ = Arg z + Arg z ′ ) π π⎞ ⎛ z ′ = [5, π / 6] = 5 ⎜ cos + i sin ⎟ = 6 6⎠ ⎝ ⎛5 3 5 ⎞ 5 3 5 15 5 3 zz′ = 1 + 3 i ⎜⎜ + i ⎟⎟ = + i+ i− = 10i 2 2 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ( • Le rapport ) z a pour forme polaire z′ LM N OP Q z ρ ,θ − θ ′ = z′ ρ′ ( FG IJ H K bg 4) Forme exponentielle On définit par convention l’exponentielle complexe par : Remarque : e iθ = cosθ + i sin θ le complexe e iθ est donc de module 1 et décrit tout le cercle trigonométrique C(O,1) lorsque θ décrit l’intervalle −π , π (son image est le point de coordonnées (cos θ , sin θ ) ) 9 bg z | z| z = , Arg = Arg z − Arg z ′ ) z ′ | z ′| z′ ∀θ ∈ r i 0 e iθ θ 1 Module M1 Algèbre et Trigonométrie Ceci nous permet d’écrire tout nombre complexe z de la façon suivante : b g z = ρ ,θ = ρ cosθ + i sin θ = ρ e iθ où ρ e iθ est appelé la forme exponentielle de z Les propriétés précédentes sur la multiplication et la division des complexes s’écrivent alors : e iπ = −1 e i0 = 1 e iπ / 2 = i e − iπ / 2 = − i e iθ × e iψ = e i (θ +ψ ) e iθ / e iψ = e i (θ −ψ ) On déduit également de la première propriété la Formule de Moivre : de i iθ n ∀n ∈ n = e i nθ ou encore bcosθ + i sin θ g n = cos nθ + i sin nθ L’exponentielle complexe possède donc des propriétés analogues à celles de l’exponentielle réelle On pourra donc manipuler la fonction exponentielle de la même façon avec des nombres réels, imaginaires purs, ou même complexes quelconques. Les relations e iθ = cosθ + i sin θ et e − iθ = cosθ − i sin θ permettent d’établir les formules d’Euler : cosθ = e iθ + e − iθ 2 ∀θ ∈ r et sin θ = e iθ − e − iθ 2i ∀θ ∈ r Expl : Calculer le module et l’argument de z = 1 + e iθ e iθ i 1+ e iθ 1 5) Racines nièmes d’un complexe On appelle racines nièmes de l’unité les complexes solutions de l’équation z n = 1 (n ∈ n) En posant z = ρ e iθ , et donc z n = ρ n e i nθ , on obtient : z n = 1 ⇔ Les racines nièmes de l’unité sont donc les n complexes de module 1, définis par : • zk = e i 2 kπ n = (e ) i 2π n zk = e i 2 kπ n RSρ = 1 Tnθ = 0 + 2kπ n l ⇔ RSρ = 1 Tθ = 2kπ / n q avec k ∈ 0,1,2,… , n − 1 k = z1k (toutes les racines de l’unité sont les puissances de l’une d’entre-elles) • Les images Ak des zk sont les sommets d’un polygone régulier • La somme des zk est nulle : n −1 n −1 k =0 k =0 ∑ zk = ∑ z1k = 1 − z1n =0 1 − z1 10 car z1n = 1 Chapitre 2 Nombres Complexes Expl : Racines cubiques de l’unité z0 = 1 , z1 = j = e 2π i 3 j2 = j = e On a : −i j 1 3 =− + i , 2 2 2π 3 z2 = j 2 = e 4π i 3 1 3 =− − i 2 2 1 1+ j + j2 = 0 j² On appelle également « racines nièmes » d’un complexe a quelconque les solutions de l’équation z n = a Si les formes exponentielles de a et z sont : Rρ = r =a ⇔ S Tnθ = α + 2kπ n Alors on a : z n z = ρ e iθ et Rρ = r ⇔ S Tθ = α / n + 2kπ / n n Expl : Racines quatrièmes de −81 z0 = 3e −i π ⎛ π ⎞ i ⎜ − +π ⎟ 8 ⎠ = 3e i 7π 8 zk = n re , d’où α + 2 kπ n l z k = 9e ⎛ π π⎞ i⎜ − + ⎟ ⎝ 8 2⎠ i q k ∈ 0,1,2,… , n − 1 4 k = 0,1,2,3 z1 = 3e 8 z2 = 3e ⎝ a = r e iα = 3e ⎛ π 3π ⎞ i⎜ − + ⎟ 8 2 ⎠ z3 = 3e ⎝ i ⎛ π ⎞ i ⎜ − + 2 kπ ⎟ / 4 ⎝ 2 ⎠ = 3e ⎛ π π⎞ i⎜ − +k ⎟ 2⎠ ⎝ 8 3π 8 = 3e i 11π 8 = 3e −i 5π 8 III - Utilisation des nombres complexes 1) Utilisation en Géométrie B A,B,C étant des points d’affixes respectives zA , zB , zC zB − z A = ρ ,θ zC − z A ⇔ r ( A ,θ ) C A Rotation de centre A et d’angle θ : M z θ AB = ρ et ( AB, AC ) = θ AC Homothétie de centre A et de rapport λ : h ( A ,λ ) z′ − z A M′ = e iθ car iθ z − zA z′ = e (z − zA ) + z A M z z′ − z A M′ =λ car z − zA z′ = λ (z − z A ) + z A 2) Utilisation en Trigonométrie et en Analyse Les formules de Moivre et d’Euler peuvent servir pour transformer des expressions trigonométriques. Expl : Calculer cos 3θ en fonction de cosθ et de sinθ : 3 cos 3θ = Re ⎡ e i 3θ ⎤ = Re ⎡⎢( cos θ + i sin θ ) ⎤⎥ = Re ⎡ cos3 θ + 3i cos 2 θ sin θ + 3i 2 cos θ sin 2 θ + i 3 sin 3 θ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = Re ⎡ cos3 θ + 3i cos 2 θ sin θ − 3cos θ sin 2 θ − i sin 3 θ ⎤ = cos3 θ − 3cos θ sin 2 θ ⎣ ⎦ 11 Module M1 Algèbre et Trigonométrie Expl : Calculer l’intégrale ⎛ e iθ − e− iθ sin θ = ⎜ ⎜ 2i ⎝ 4 = ∫ π /4 0 4 sin 4 θ dθ en linéarisant sin 4 θ : ⎞ 1 iθ − iθ ⎟⎟ = 4 4 e − e 2 i ⎠ ( ) 4 = 1 24 (e i 4θ − 4e i 3θ e− iθ + 6ei 2θ e− i 2θ − 4e iθ e− i 3θ + e− i 4θ ) e i 4θ − 4e i 2θ + 6 − 4e− i 2θ + e− i 4θ 6 1 ei 4θ + e− i 4θ 4 ei 2θ + e − i 2θ 3 cos 4θ cos 2θ = + − = + − 16 16 8 2 8 2 8 8 2 On a donc : π /4 ∫0 π /4 ⎡ 3θ sin 4θ sin 2θ ⎤ − sin 4 θ dθ = ⎢ + 32 4 ⎥⎦ 0 ⎣8 0 0 ⎞ 3π 1 ⎛3 π 0 1⎞ ⎛3 =⎜ ⋅ + − ⎟−⎜ ⋅0+ − = − 32 4 ⎠⎟ 32 4 ⎝ 8 4 32 4 ⎠ ⎝ 8 3) Utilisation en Electricité Pour un dipôle donné en régime sinusoïdal, si l’intensité qui le traverse est de la forme i (t ) = I M sin ωt , alors la tension à ses bornes est de la forme u (t ) = U M sin(ωt + ϕ ) i(t) i(t) On pose i (t ) = I M e iωt et u (t ) = U M e i (ωt +ϕ ) L’ impédance complexe du circuit est Z = u (t ) U M iϕ e = R+iX = i (t ) I M u(t) UM = Z et le déphasage ϕ = Arg( Z ) IM di du - pour une self : u = L - pour une capacité : i = C dt dt donc Z = iLω donc Z = 1/(iCω) On a donc le rapport des amplitudes - pour une résistance : u = Ri donc Z = R En effet : D’après la Loi de Kirschhoff : - dans un montage en série, les impédances complexes Zi s’ajoutent. - dans un montage en parallèle, les admittances Yi = 1/ Zi s’ajoutent. Expl : Un courant sinusoïdal d’amplitude IM = 5 mA et de pulsation ω = 2000 rad/s traverse le circuit suivant. C = 0,5 μF On a donc l’intensité i (t ) = 0.005sin(2000t ) Calculer la tension u(t) à ses bornes. R =1000 Ω 12 L = 0,5 H Chapitre 2 Nombres Complexes IV - Inversion complexe L’application f : c* →c* 1 qui a tout z ≠ 0 associe son inverse est appelée inversion complexe. z z f ( z ) = 1/ z f est une bijection de c* sur lui-même, et de plus f −1 = f ( on dit alors que f est involutive sur c* ). L’écriture exponentielle est la plus adaptée au calcul de f(z) : si z = ρ e iθ alors f ( z ) = 1 1 − iθ = e z ρ La transformation géométrique associée à l’inversion complexe a des propriétés remarquables : - L’image d’une droite ne passant pas par l’origine O est un cercle passant par O et réciproquement. - L’image d’une droite passant par O est d’une droite passant par O. - L’image d’un cercle ne passant pas par O est un cercle ne passant pas par O. Expl : image de la droite verticale D d’équation x = a y D M(z) C O θ Ω −θ −2θ 1/a a x M’(1/z) 13 Module M1 Algèbre et Trigonométrie 14 Chapitre 3 Polynômes CHAPITRE 3 Polynômes Nous allons étudier aussi bien des polynômes à coefficients réels (sur r) que complexes (sur c) , et nous noterons pour simplifier par le symbole IK indifféremment l’ensemble r ou c. I - Introduction 1) Définitions • On appelle polynôme de degré n sur IK , toute expression de la forme P ( x ) = a 0 + a1 x + + an x n où a 0 , a1 ,… , a n sont des éléments de IK tels que a n ≠ 0 , appelés coefficients du polynôme P(x) Expl : P ( x ) = (5 + 2i ) x 3 − 2 x + 4i est un polynôme de degré sur • On appelle polynôme nul le polynôme P( x ) = 0 dont tous les coefficients sont nuls. C’est le seul polynôme qui ne possède pas de degré • Les polynômes particuliers de la forme a k x k (a k ≠ 0) ( on dit parfois par convention que son degré vaut −∞ ) sont appelés monômes de degré k Le degré n = d° ( P ) d’un polynôme P(x) est le plus grand des entiers k de ses monômes a k x k (a k ≠ 0) Remarque : e les polynômes constants P( x ) = a 0 sont donc de degré nul car unique monôme a 0 = a 0 x 0 j sauf le polynôme nul P( x ) = 0 qui n’a pas de degré (car il n’a aucun monôme) • Deux polynômes P( x ) = a 0 + a1 x + + a n x n et Q( x ) = b0 + b1 x + + bm x m sont égaux si et seulement si ils ont même degré et mêmes coefficients : d ° P = d ° Q et a k = bk ∀k • On note r[ x ] l'ensemble des polynômes réels et c[x] l'ensemble des polynômes complexes 2) Propriétés Rappelons sans les démontrer quelques résultats sur les degrés vus en secondaire Prop : Si P, Q et P + Q sont non nuls, on a : d ° ( P + Q) ≤ Max(d° P, d° Q) avec égalité si d° P ≠ d° Q Expl: P ( x ) = 3 x 2 − 1, Q ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 5 x, ( P + Q)( x) = ( P +R)( x) = Prop : R( x) = −3 x 2 + 2 x − 6 d°( P + Q ) = d°( P + R ) = Max(d° P, d°Q ) = Max(d° P, d° R ) = Si P et Q sont non nuls, on a : d° ( P × Q) = d° P + d° Q Expl: P( x) = 2 x 2 − 3 x , ( P × Q)( x) = Q( x) = x 3 − 4 d°( P × Q) = 15 d° P + d°Q = Module M1 Algèbre et Trigonométrie II - Division des polynômes On dit que le polynôme A(x) de degré n est divisible par le polynôme B(x) de degré p s’il existe un polynôme Q(x) de degré n−p tel que : A( x ) = B( x )Q( x ) ( Rq : on doit avoir p ≤ n ) On dit alors que Q est le quotient exact de A par B. 1) Division suivant les puissances décroissantes (ou division euclidienne) Théorème : Soient A(x) un polynôme quelconque et B(x) un polynôme non nul b g Il existe un couple unique de polynômes Q( x ), R( x ) vérifiant : A( x ) = B( x )Q( x ) + R ( x ) avec d°R < d°B (en considérant que d°0 = −∞) A est le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B Exemple : Prop : Division euclidienne de A( x) = 2 x 4 − 7 x 2 + 6 x + 2 par B ( x) = x 2 + 2 x − 1 : a ∈ IK racine de P(x) ⇔ P(x) est divisible par (x−a) En effet 16 Chapitre 3 Prop : Polynômes Tout polynôme non nul P(x) de degré n admet au maximum n racines distinctes dans IK En effet En pratique, on pourra utiliser cette propriété pour montrer qu’un polynôme est nul de la manière suivante : Corollaire : Si P(x) est de d° ≤ n et possède au moins n+1 racines distinctes , alors c’est le polynôme nul En effet 2) Division à l’ordre n suivant les puissances croissantes Théorème : Soient A(x) un polynôme quelconque et B(x) un polynôme non nul b g Pour tout entier n , il existe un couple unique de polynômes Qn ( x ), Rn ( x ) vérifiant : A( x ) = B( x )Qn ( x ) + x n +1 Rn ( x ) avec d° Qn ≤ n (en considérant que d°0 = −∞) Qn(x) et Rn(x) sont le quotient et le reste de la division à l’ordre n suivant les puissances croissantes Exemple : Division croissante à l’ordre 2 de A( x) = −6 x3 + x + 3 par 17 B( x) = x 2 + x + 1 : Module M1 Algèbre et Trigonométrie III - Factorisation irréductible des polynômes 1) Factorisation dans c On admettra sans démonstration le théorème fondamental suivant, appelé Théorème de d’Alembert : Théorème : Tout polynôme de degré n de c[ x ] possède n racines dans c , distinctes ou confondues On en déduit que tout polynôme de degré n se décompose dans c[ x ] en produit de facteurs de degré 1. En regroupant les facteurs identiques, on obtient le théorème de factorisation dans c[ x ] suivant : Théorème : Tout polynôme non nul P( x ) = a n x n + P( x ) = an ( x − x1 )α 1 ( x − x2 )α 2 (x − xp ) + a 0 se factorise dans c[ x ] en : αp où x1 , x 2 … x p ∈c et α 1 + α 2 + +α p = n La factorisation précédente s’appelle décomposition en produits de facteurs premiers de c[x] : α i est l’ordre de multiplicité de la racine xi : P(x) est divisible par ( x − xi )α i mais pas par ( x − xi )α i +1 Propriété : a racine de multiplicité m de P(x) ⇔ ∀k < m P ( k ) (a ) = 0 et P ( m) ( a ) ≠ 0 Expl : P ( x) = x 6 − 3 x 2 − 2 et a = i 2) Equation du second degré dans c Soit l’équation du second degré à coefficients complexes : az 2 + bz + c = 0 a , b, c ∈c D’après le Th. De d’Alembert, le polynôme P ( z ) = az 2 + bz + c se factorise dans c en ( z − z1 )( z − z2 ) L’équation possède donc toujours deux solutions complexes z1 = −b − δ 2a et z2 = −b + δ 2a où δ est un complexe solution de δ 2 = b 2 − 4ac , que l’on calcule généralement sous forme exponentielle. Expl : 2 z 2 − 3iz − 1 + 3 i=0 8 18 Chapitre 3 Polynômes 3) Factorisation dans r Propriété : Soit P( x ) = a n x n + + a 0 un polynôme à coefficients réels ( a 0 ,… , a n ∈r ) Si z0 ∈c est une racine complexe de multiplicité m de P(x), alors son conjugué z0 est également une racine complexe de même multiplicité m de P(x). Expl : P ( x) = x 6 − 3 x 2 − 2 et a = i On déduit de ce qui précède le théorème de décomposition en produits de facteurs premiers de r[x] : Théorème : de Tout polynôme non nul à cœfficients réels se factorise dans r[ x ] en produit de facteurs degré 1 ou de degré 2 irréductibles (à discriminants négatifs) Expl : P ( x) = x 6 − 3 x 2 − 2 Rq : Les polynômes irréductibles dans r[ x ] sont donc tous de degré 1 ou 2 (sinon ils se factorisent) IV - PGCD de deux polynômes On appelle pgcd des deux polynômes non nuls A(x) et B(x) le polynôme D(x) normalisé de degré maximum qui divise à la fois A(x) et B(x) . On note D = pgcd( A, B) = A ∧ B D’après la décomposition en produits de facteurs premier des polynômes A(x) et B(x), il est clair qu’un diviseur commun à A(x) et B(x) est constitué de facteurs premiers communs au deux polynômes. Leur pgcd A ∧ B est donc le polynôme constitué de tous les facteurs premiers communs à A(x) et B(x). Expl : A( x) = 2 x 6 − x5 + 8 x 4 − 14 x3 + 10 x 2 − 17 x + 12 = B( x) = x 5 + 4 x 4 − 2 x3 + 8 x 2 − 31x + 20 = pgcd( A, B)( x) = Théorème : Tout diviseur C commun à A et B divise aussi leur pgcd D = A ∧ B En effet 19 Module M1 Algèbre et Trigonométrie Dans le cas ou pgcd(A,B) = 1 , on dit que les polynômes A(x) et B(x) sont premiers entre eux Théorème : Soient A et B deux polynômes non nuls Alors pgcd(A,B) = pgcd(B,R) où R est le reste de la division euclidienne de A par B. En effet On en déduit l’ algorithme d’Euclide qui permet en effectuant des divisions euclidiennes successives jusqu’à obtenir un reste nul de calculer un pgcd sans avoir à factoriser les deux polynômes : Expl : pgcd de A( x) = x5 − 5 x 3 − 20 x − 48 et B ( x) = x 4 − 4 x 3 + 11x 2 − 16 x + 16 20 Chapitre 3 Polynômes Quelques bons réflexes sur les polynômes • On considère un polynôme de degré n. On peut l’écrire : P( x ) = an x n + an −1 x n −1 + P ( x) = an ( x − x1 ) m1 + a1 x + a0 (x − xp ) mp avec an ≠ 0 ( x 2 + b1 x + c1 )n1 ( x 2 + bq x + cq ) nq si P est à coefficients réels trinômes à discriminants négatifs δ = b − 4 c < 0 2 P ( x) = an ( x − z1 ) m1 • (x − zp ) mp a est racine de multiplicité m de P si P est à coeefficients réels ou complexes = P ( m−1) (a ) et ⇔ P(a ) = ⇔ ( x − a)m | P et P ( m) ( a ) ≠ 0 ( x − a ) m+1 divise | P ne divise pas • Comment montrer que A B ( A divise B ) : 1) En utilisant la définition : ∃Q polynôme tq B = AQ 2) Le reste de la division euclidienne de B par A est nul. 3) Dans la décomposition en facteurs premiers de A et de B, tous les facteurs de A sont aussi dans B avec au moins la même multiplicité. 4) Toutes les racines complexes de A sont racines de B avec au moins la même multiplicité. • Comment montrer que P est le polynôme nul : 1) En utilisant la définition : P(x) = 0 pour tout x 2) En utilisant le degré: d°P < 0 3) P est un polynôme de degré ≤ n admettant au moins n + 1 racines. 4) Il existe un polynôme Q tel que Q P avec d°P < d°Q 21 Module M1 Algèbre et Trigonométrie 22 Chapitre 4 Fractions rationnelles CHAPITRE 4 Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est un rapport de deux polynômes. L’objet de ce chapitre est d’apprendre à simplifier son expression, pour par exemple calculer sa primitive ou sa transformée inverse de Laplace. I - Généralités Soient P(x) et Q(x) ≠ 0 deux polynômes à coefficients réels ou complexes. Le rapport F ( x ) = P( x ) est appelé fraction rationnelle associée au couple (P,Q) de polynômes. Q( x ) 1) Forme irréductible • Soit F ( x ) = RS T P ( x ) = D( x ) P0 ( x ) D = pgcd ( P , Q) P( x ) une fraction rationnelle. On a avec Q( x ) = D( x )Q0 ( x ) P0 , Q0 premiers entre eux Q( x ) On a alors F ( x) = P( x) P0 ( x) = Q ( x) Q0 ( x) forme irréductible de F(x) (on ne peut pas la simplifier plus) • On appelle zéros de F(x) les racines de P0 ( x ) et pôles de F(x) les racines de Q0 ( x) . Expl : F ( x) = P ( x) x 5 − 11x 3 + 12 x 2 + 4 x = 4 . Q( x) x + 6 x3 + 10 x 2 + 6 x + 1 On trouve par l’algorithme d’Euclide pgcd(P,Q) : D ( x) = x 2 + 4 x + 1 2 3 2 ⎪⎧ P( x) = ( x + 4 x + 1)( x − 4 x + 4 x) Les div. euclidiennes de P par D et Q par D donnent : ⎨ 2 2 ⎪⎩Q( x) = ( x + 4 x + 1)( x + 2 x + 1) La forme irréductible de F(x) est donc F ( x) = qui se factorise en F(x) possède donc : 2) Partie entière et partie fractionnaire • Notons E(x) et R(x) le quotient et le reste de la division euclidienne de P0 ( x) par Q0 ( x) On a alors P0 ( x ) = Q0 ( x ) E ( x) + R( x) , d’où F ( x) = P0 ( x) R( x) = E ( x) + où avec d°R < d°Q0 Q0 ( x) Q0 ( x) • E(x) s’appelle la partie entière de F(x) et R ( x) / Q0 ( x) la partie fractionnaire de F(x) 23 Module M1 Expl : Algèbre et Trigonométrie F ( x) = x 5 − 11x3 + 12 x 2 + 4 x x3 − 4 x 2 + 4 x = x 4 + 6 x3 + 10 x 2 + 6 x + 1 x2 + 2 x + 1 avec x3 − 4 x 2 + 4 x = ( x 2 + 2 x + 1) × ( x − 6) + 15 x + 6 = = II - Décomposition en éléments simples Le but de cette décomposition est de transformer l’expression une fraction rationnelle P(x) / Q(x) en somme de petites fractions rationnelles particulières, dites éléments simples. Par exemple : 15 x + 6 15( x + 1) − 9 15 9 = = − 2 2 x + 2x +1 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) 2 On va montrer que 75 x 3 + 25 se décompose en ( x − 2)2 ( x + 3)( x ² + 1) −3 x + 4 11 25 8 + − + x−2 ( x − 2)2 x+3 x² + 1 éléments simples de 1ère espèce 2nde espèce 1) Eléments simples de 1ère espèce Soit F ( x ) = P( x ) / Q( x ) une fraction rationnelle irréductible fractionnaire ( d° P < d°Q ) . Prop : Si a est un pôle de multiplicité m de F ( x ) = P ( x ) / Q( x ) , cad Q( x) = ( x − a )m Q1 ( x) , alors : am −1 am a a2 P ( x) + + + + 1 F ( x) = 1 + où P1 polynôme tq d° P1 < d°Q1 2 m −1 m x − a ( x − a) Q1 ( x) ( x − a) ( x − a) ak s’appellent éléments simple de 1ère espèce. k ( x − a) am −1 am + + s’appelle la partie polaire de F relative au pôle a . m −1 ( x − a) ( x − a)m Les petites fractions rationnelles a1 a2 + + x − a ( x − a)2 Expl : a1 a2 P1 ( x) 75 x3 + 25 = + + ( x − 2)2 ( x + 3)( x ² + 1) x − 2 ( x − 2) 2 ( x + 3)( x ² + 1) calcul de a2 : Remarque : on ne peut pas calculer a1 par cette technique 24 avec d° P1 < 3 Chapitre 4 Prop : Fractions rationnelles si a est un pôle de multiplicité m de F ( x ) = P ( x ) / Q( x ) : am = ⎡⎣ ( x − a ) m F ( x) ⎤⎦ x=a On calcule directement am en simplifiant ( x − a) m F ( x) , puis en faisant x = a dans l’expression obtenue. On peut re-décomposer Expl : P1 ( x) par rapport à un autre pôle b de multiplicité p, et ainsi de suite. Q1 ( x) a1 b P ( x) 75 x3 + 25 25 = + + 1 + 2 2 2 ( x − 2) ( x + 3)( x ² + 1) x − 2 ( x − 2) x + 3 x² + 1 avec d° P2 < 2 calcul de b1 : 2) Décomposition dans c(x) Soit F ( x ) = P( x ) / Q( x ) une fraction rationnelle irréductible à coefficients réels ou complexes. Le dénominateur Q(x) se factorise dans c[x] en produit de facteurs du premier degré : Q( x) = α ( x − z1 ) m1 (x − zp ) mp zi pôle complexe de F ( x ) de multiplicité mi En décomposant successivement F(x) par rapport à chacun de ses pôles zi , on obtient le résultat suivant : F(x) se décompose en éléments simples de 1ère espèce dans c(x) sous la forme : Théorème : F ( x) = E ( x) + partie entière p ai1 ∑ x−z i =1 + i ai 2 + ( x − zi ) 2 + aimi ( x − zi ) mi les aik (1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ k ≤ mi ) étant des coefficients complexes partie polaire relative à zi Expl : 1 x ( x + 1) 2 3 2 = 3) Eléments simples de 2nd espèce Soit F ( x ) = P( x ) / Q( x ) une fraction rationnelle irréductible fractionnaire ( d° P < d°Q ) à coefficients réels Prop : Si ( x 2 + bx + c) n est un facteur irréductible dans r ( δ = b 2 − 4c < 0 ) de Q(x), alors : F ( x) = b1 x + c1 b x + c2 + 22 + x + bx + c ( x + bx + c) 2 2 avec + bn −1 x + cn −1 b x + cn P ( x) + 2n + 1 2 n −1 n ( x + bx + c) ( x + bx + c) Q1 ( x) Q( x) = ( x 2 + bx + c)n Q1 ( x) et P1 polynôme tq Les petites fractions rationnelles d° P1 < d°Q1 bk x + ck s’appellent éléments simple de 2nd espèce. k ( x + bx + c) 2 25 Module M1 Algèbre et Trigonométrie 4) Décomposition dans r(x) Soit F ( x ) = P( x ) / Q( x ) une fraction rationnelle irréductible à coefficients réels . Q(x) se factorise dans r[x] en produit de facteurs du 1er degré et du 2nd degré irréductibles dans r : p q Q( x) = α ∏ ( x − xi ) mi × ∏ ( x 2 + b j x + c j ) i =1 j =1 nj xi pôle réel de F ( x ) de multiplicité mi avec discriminant < 0 En décomposant successivement par rapport aux pôles puis aux facteurs du 2nd degré, on peut écrire : F(x) se décompose en éléments simples de 1ère et 2nde espèce dans r(x) sous la forme Théorème : F ( x) = E ( x) + partie entière p ai1 + ∑ i =1 x − xi + aimi ( x − xi ) mi éléments simples de 1ère espèce + q ∑x j =1 b j1 x + c j1 2 + bj x + c j + + b jn j x + c jn j ( x2 + bj x + c j ) nj éléments simples de 2nde espèce les aik (1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ k ≤ mi ) et les b jk , c jk (1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ k ≤ n j ) étant des coefficients réels Expl : 1 x ( x + 1) 2 3 2 = III - Calcul des coefficients Les théorèmes de décomposition dans r[x] ou c[x] affirment l’existence et donnent la forme de ces décompositions mais ne fournissent pas les valeurs des coefficients. pour les pôles a de multiplicité m. On sait déjà calculer am = ⎡⎣( x − a )m F ( x) ⎤⎦ x=a Il existe de nombreuses techniques pour calculer les autres coefficients... Expl : Reprenons la fraction F ( x) = a1 75 x3 + 25 25 8 cx + d = + − + 2 2 ( x − 2) ( x + 3)( x ² + 1) x − 2 ( x − 2) x+3 x² + 1 26 Chapitre 4 Expl : Fractions rationnelles Décomposition de F ( x) = 1 x3 ( x 2 + 1) 2 27 Module M1 Algèbre et Trigonométrie Fiche Pratique Soit F ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) une fraction rationnelle. Les principales étapes de sa décomposition sont : ⎧ P ( x ) = D( x) P0 ( x) On factorise P(x) et Q(x) par leur pgcd D(x) : ⎨ ⎩Q ( x) = D( x)Q0 ( x ) D ( x ) P0 ( x ) P ( x) On a alors : F ( x) = = 0 forme irréductible D ( x)Q0 ( x) Q0 ( x) 1) Mise sous forme irréductible : 2) Recherche de la partie entière et de la partie fractionnaire : P0 ( x) = Q0 ( x ) E ( x ) + R ( x) On effectue la division euclidienne de P0 ( x ) par Q0 ( x) : P0 ( x) Q0 ( x ) F ( x) = d’où : = R ( x) Q0 ( x) + E ( x) avec d° R <d°Q0 partie entière partie fractionnaire irréductible 3) Factorisation du dénominateur : Q0 ( x) = a( x − z1 ) m1 On décompose Q0 ( x) en produits de facteurs premiers (x − zp ) p q i =1 j =1 mp Q0 ( x) = a∏ ( x − xi ) mi × ∏ ( x 2 + b j x + c j ) R( x) Q0 ( x) = a ∑ x −i1z i =1 + i ( zi pôle complexe de multiplicité mi ) dans r(x) ( xi pôle réel de multiplicité mi ) discriminant < 0 4) Ecriture de la décomposition : p nj dans c(x) On écrit la décomposition en éléments simples de la partie fractionnaire : ai 2 ( x − zi ) 2 + + aimi dans c(x) , ( x − zi ) mi avec aik complexes éléments simples de 1ère espèce R( x) Q0 ( x ) = p a ∑ x −i1x i =1 + i + aimi ( x − xi ) mi + b j1 x + c j1 q ∑ x2 + b x + c j =1 éléments simples de 1ère espèce j + j + b jn j x + c jn j (x + bj x + c j ) 2 dans r(x ), avec nj aik , b jk , c jk réels éléments simples de de 2nde espèce 5) Recherche des coefficients : Notons G ( x) = R ( x) / Q0 ( x) la partie fractionnaire à décomposer - on peut exploiter une éventuelle parité (ou imparité) de G(x) pour obtenir des relations sur sur les coefficients en identifiant les éléments simples de G (− x) et de G ( x) (ou −G ( x ) ) - si a est un pôle de multiplicité m, on peut calculer le coefficient de l’élément simple am = ⎡⎣ ( x − a ) m G ( x) ⎤⎦ x =a (on multiplie par ( x − a) m et on « fait » am ( x − a) m par : x=a) - on peut écrire la décomposition de x × G ( x) et identifier les limites en +∞ . - on peut obtenir des équations supplémentaires sur les coefficients en évaluant les deux expressions de G(x) (forme fractionnaire et forme décomposée) pour des valeurs particulières de la variable x ( x = 0 ou 1 ...) - pour un facteur ( x 2 + b x + c) n irréductible dans r , on peut utiliser une racine complexe z0 de x 2 + b x + c On obtient l’élt simple de 2ème espèce bn x + cn ( x + bx + c) n 2 en calculant bn z0 + cn = ⎡ ( x 2 + b x + c) n G ( x) ⎤ ⎣ ⎦ x = z0 et en identifiant parties réelles et imaginaires des deux membres pour en déduire les réels bn et cn . - on peut procéder par identification en réduisant la décomposition cherchée au dénominateur commun Q0(x) puis en identifiant les puissances de x du numérateur obtenu avec celles de R(x). (on aboutit alors à un système d’équations linéaires dont les inconnues sont les coefficients cherchés) 28