1 Fonctions Usuelles Rappel Remarques

1
Fonctions Usuelles
Rappel
Théorème 1. Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle I.
Alors:
1. f (I) est un intervalle de même nature que I
2. f établit une bijection de I sur f (I)
3. La fonction réciproque f −1 est continue et strictement croissante sur f (I)
Remarques
1. On a un énoncé analogue avec f strictement décroissante
2. Dans un repère orthonormale, les graphes de f sur I et de f −1 sur f (I) sont symétriques
par rapport à la première bissectrice.
Théorème 2.
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert I. Elle
admet donc une fonction réciproque f −1 définie sur f (I). Si f est dérivable en x0 et
f ′ (x0 ) ̸= 0, alors f −1 est dérivable en y0 = f (x0 ) et on a
(f −1 )′ (y0 ) =
1
f ′ (x0 )
=
1
f ′ (f −1 (y
0 ))
Démonstration.
Soit y ∈ f (I) avec y ̸= y0 , on a alors y = f (x) avec x ̸= x0 et on peut écrire:
f −1 (y) − f −1 (y0 )
x − x0
=
y − y0
f (x) − f (x0 )
Lorsque y tend vers y0 , alors x = f −1 (y) tend vers x0 = f −1 (y0 ) car f −1 est continue.
x−x0
1
Comme de plus f ′ (x0 ) ̸= 0, f (x)−f
(x0 ) tend vers f ′ (x0 )) ce qui démontre le théorème.
2
Fonction logarithmique.
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée log, qui est la primitive de
x → x1 qui s’annule pour x = 1.
log est continue, dérivable sur ]0, +∞[ et vérifie log 1 = 0, pour tout x > 0, on a
(log x)′ = x1
La fonctionlog est strictement croissante sur ]0, +∞[
1. ∀x > −1, log(1 + x) ≤ x
2. ∀x > 0, ∀y > 0,
log(xy) = log(x) + log(y)
1
3. ∀x > 0,
log( x1 ) = − log x
4. ∀x > 0, ∀y > 0,
log( xy ) = log x − log y
lim log x = −∞
lim log x = +∞,
x→+∞
x→0+
log x
= 0, lim x log x = 0
x→+∞ x
x→0+
log(1 + x) ≈0 x
lim
L’image log([0, +∞[) est R tout entier.
3
Fonction exponentielle.
On appelle fonction exponentielle la fonction définie sur R qui est la réciproque de la
fonction logarithme.
{
log x = y
x ∈]0, +∞[
est équivaut à
{
x = ey
y∈R
1. a = b ⇔ log a = log b ⇔ ea = eb
2. ∀x ∈ R, ex > 0
3. ∀x ∈ R, e−x =
1
x
4. ∀x ∈ R ∀y ∈ R, ex−y =
ex
ey
5. ∀x ∈ R, ∀r ∈ R, erx = (ex )r
6. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
ex+y = ex ey
lim ex = +∞,
x→+∞
lim ex = 0,
x→−∞
ex
= +∞,
x→+∞ x
lim
4
{
{
{
ex
= +∞,
x→+∞ x
lim
lim xe−x = 0,
x→+∞
lim xe−x = 0
x→+∞
(1 + x) ≤ ex
Fonctions circulaires et leurs réciproques.
y = sin x
x ∈ [− π2 ,
{
π
2]
est équivaut à
y = cos x
est équivaut à
x ∈ [0, π]
y = tan x
x ∈] − π2 ,
π
2[
équivaut à
{
{
x = arcsin y
y ∈ [−1, 1]
x = arccos y
y ∈ [−1, 1]
x = arctan y
y∈R
Remarque: arcsin x + arccos x =
π
2
2
5
Fonctions hyperboliques
Pour tout réel x, on pose:
cosh x =
ex + e− x
ex − e− x
, sinh x =
2
2
tanh =
sinh x
cosh x
cosh est paire, sinh et tanh sont impaires.
1. cosh x + sinh x = ex
2. cosh x − sinh x = e−x
3. cosh2 x − sinh2 x = 1
Quelques propriétés.
cosh′ x = sinh x
sinh′ x = cosh x
1
= 1 − tanh2 x
tanh′ (x) =
2
cosh x
ex = cosh x + sinh x
Pour plus, voir apendice.
6
Fonctions hyperboliques réciproques.
1) La restriction de la fonction ch à [0, +∞[ établit une bilection entre [0, +∞[ et
[1, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction continue strictement croissante. Elle admet donc une fonction réciproque appelée argument cosinus hyperboliques et notée
argch. C’est une fonction définie et continue sur [1, +∞[
{
y = chx
x ∈ [0, +∞[
équivaut à
{
x = argchy
y ∈ [1, +∞[
3
2) La fonction sh est une bijection de R dans R car elle est continue et strictement croissante. Elle admet donc une fonction réciproque notée argsh et appelée argument
sinus hyperbolique
{
y = shx
y∈R
est équivaut à
{
x = argshy
x∈R
3) La fonction th étant continue et strictement croissante, est une bijection de R sur
] − 1, 1[ . Elle admet donc une fonction réciproque notée argth et appelée argument
tangente hyperbolique.
{
y = thx
y∈R
équivaut à
7
7.1
{
x = argthy
x ∈] − 1, 1[
Dérivées des fonctions réciproques.
Dérivées des fonctions circulaires réciproques.
1) On sait que:
(f −1 )′ (y0 ) =
En prenant:
1
1
= ′ −1
f ′ (x0 )
f (f (y0 ))
π π
y = f (x) = sin x, x ∈ [− , ]
2 2
on trouve:
(arcsin)′ (y) =
1
1
=
sin′ (x)
cos(x)
et on sait que:
cos2 x + sin2 x = 1 =⇒ cos x = +
√
donc
(arcsin)′ (y) =
π π
1 − sin2 x car cos x ≥ 0, (x ∈ [− , ])
2 2
1
1
=√
′
sin (x)
1 − sin2 x
Sachant que sin x = y, on obtient:
(arcsin)′ (y) = √
1
1 − y2
2) De même:
y = f (x) = cos x, x ∈ [0, π]
4
on trouve:
(arccos)′ (y) =
1
− sin(x)
et on sait que:
cos2 x + sin2 x = 1 =⇒ sin x = +
√
1 − cos2 x car sin x ≥ 0, (x ∈ [0, π])
donc
1
(arccos)′ (y) = − √
1 − cos2 x
Sachant que cos x = y, on obtient:
(arccos)′ (y) = − √
De même
(arctan x)′ =
7.2
1
1 − y2
1
1 + x2
Dérivées des fonctions hyperbliques réciproques.
On a:
(argch)′ (y) =
1
1
1
1
=√
=√
=
′
(chx)
shx
ch2 x − 1
y2 − 1
(argsh)′ (y) =
1
1
1
1
=√
=
=√
′
(shx)
chx
1 + sh2 x
1 + y2
et on a aussi :
et on a aussi :
(argth)′ (y) =
1
1
1
=√
=
′
2
(thx)
1 − th x
1 − y2
En utilisant le Théorème de composition de dérivation, on obtient
(arcsin f )′ = √
f′
1 − f2
,
(arccos f )′ = − √
f′
1 − f2
f′
f′
(argshf )′ = √
, (argchf )′ = √
,
1 + f2
f2 − 1
Exercice.
1. Résoudre dans R l’équation shx=2
2. Résoudre dans R l’équation chx=2
Réponse.
5
,
(arctan f )′ =
(argthf )′ =
f′
1 + f2
f′
1 − f2
√
5)
√
√
2. cosh x = 2 =⇒ x = log(2 + 3), x = log(2 − 3)
1. sinh x = 2 =⇒ x = log(2 +
Exercice.
On considère la fonction f définie sur I = [ π2 , π[ par
f (x) =
1
sin x
1 Démontrer que f réalise une bijection de I dans un intervalle J que l’on précisera.
2 Sans déterminer f −1 , déterminer le plus grand intervalle K ⊂ I sur lequel f −1 est
dérivable.
Démontrer que: ∀x ∈ K, (f −1 )′ (x) = x√x12 −1
Réponse.
f (x) =
1
sin x
cos x
π
≥ 0, I = [ , π[
2
2
sin x
′
ainsi la fonction f (.) est strictement croissante car f (x) = 0 ssi x = π2 , donc réalise une
bijection de [ π2 , π[ dans f ([ π2 , π[) = [1, +∞[, f −1 est dérivable sauf en f ( π2 ) et
f ′ (x) = −
(f −1 )′ (x) =
1
f (f −1 (x))
=−
sin2 (f −1 (x))
cos(f −1 (x))
(f ◦ f −1 )(x) = x
1
1
1
=x⇒
= x2 ⇒ sin2 (f −1 (x)) = 2
sin(f −1 (x))
x
sin2 (f −1 (x))
√
f −1 (x) ∈] π2 , π[⇒ − cos(f −1 (x)) ≥ 0 ⇒ − cos(f −1 (x)) = cos2 (f −1 (x))
− cos(f
ainsi
−1
√
(x)) =
√
1 − sin
2
(f −1 (x))
=
1
∀x ∈ K, (f −1 )′ (x) = √
x x2 − 1
6
1−
1
x2