c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/18 ENAC Physique toutes filières 2003 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Aurélien Fraisse (ENS Cachan) et Arnaud Gossart (Professeur en CPGE). Ce sujet est divisé en cinq parties totalement indépendantes, qui abordent une grande part du programme de première année : • La première partie est consacrée à l’électrocinétique. On y étudie un dispositif de mesure de fréquence par équilibrage d’un pont d’impédances. • La deuxième traite d’électrostatique et de magnétostatique par l’étude des interactions de deux fils infinis chargés ou parcourus par des courants. • La troisième présente un filtre linéaire à amplificateur opérationnel. • La quatrième étudie la cinématique de la chute d’une barre, connaissant le mouvement de ses extrémités. Il s’agit principalement de géométrie dans le plan et dans l’espace. • La cinquième partie, quant à elle, traite d’optique géométrique via un système de trois lentilles qui généralise le principe de la lunette de Galilée. Ce sujet est plutôt facile puisque constitué d’une juxtaposition de cinq exercices de type « colles » ne comportant généralement qu’une seule question un peu calculatoire. Chaque partie permet de vérifier que l’on a bien compris les chapitres du programme correspondants par des questions d’application du cours quasi-directes. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/18 Indications Électrocinétique 1 Faire un schéma faisant apparaître très clairement les différentes mailles du circuit, puis exprimer VC et VD en fonction de VB et E grâce à des diviseurs de tension. Électrostatique et magnétostatique 5 Utiliser les symétries du système pour appliquer le théorème de Gauss. HM pour obtenir dℓ en fonction de dθ. d 9 Utiliser les symétries du système pour appliquer le théorème d’Ampère. → − → − 11 Projeter − e→ ϕ sur ex et ey . 7 Différentier la relation tan θ = Filtre linéaire à amplificateur opérationnel 13 Utiliser les deux propriétés d’un amplificateur opérationnel en régime linéaire pour éliminer VA et VB de la relation de Millman en B. Cinématique 19 Le théorème d’Al Kashi s’écrit, pour un triangle ABC quelconque, [ AC2 = AB2 + BC2 − AB · BC cos ABC 20 Utiliser le fait que ρ est la projection de du segment [AB] sur le plan (xOy). 21 La projection de J sur le plan (xOy) est le milieu du segment [OB]. 23 Une valeur moyenne sur un temps T se calcule par la formule Z 1 T f (t) dt hf i = T 0 Optique géométrique 27 La lentille L2 ne joue aucun rôle pour des rayons en provenance de l’infini. 28 Utiliser la formule de conjuguaison de Newton FA × F′ A′ = −f ′ 2 30 Exprimer le grandissement γ en fonction de p ou p′ uniquement à l’aide de la formule de Descartes. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours I. Électrocinétique 1 Trouver la force électromotrice de Thévenin revient à calculer la différence de potentiel entre les bornes C et D à vide (on parle de tension de circuit ouvert). La difficulté principale est bien souvent de redessiner le circuit pour bien identifier les quantités à calculer. Dans cette optique, le circuit se réarrange comme sur le schéma ci-contre. On reconnaît ainsi deux diviseurs de tension : R E VD − VB = R + nR Z2 VC − VB = E Z1 + Z2 d’où VD − VC = Eth = 3/18 1 Z2 − n + 1 Z1 + Z2 D n R iDB VD VB E R A Z1 B Z2 VC V B E C Z1 − n Z2 E (n + 1) (Z1 + Z2 ) iCB Une autre méthode, efficace à coup sûr, consiste à utiliser la loi des nœuds et la loi des mailles. On a ainsi De plus d’où E = iDB (n R + R) et E = iCB (Z1 + Z2 ) iDB R = VD − VB et iCB Z2 = VC − VB VD − VC = iDB R − iCB Z2 1 Z2 VD − VC = − E n + 1 Z1 + Z2 Eth = Z1 − n Z2 E (n + 1) (Z1 + Z2 ) ce qui mène bien au même résultat. Remarquons que le choix, fait par l’énoncé, de représenter un générateur de tension alternative par le symbole d’un générateur de tension continue n’est pas des plus heureux. Nous conservons néanmoins cette notation qui a le mérite de rappeler comment remplacer le générateur lors du calcul de l’impédance équivalente d’un circuit : lorsqu’on enlève le cercle, le générateur de tension se transforme en fil tandis que le générateur de courant fait office d’interrupteur ouvert. A B C D E Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/18 2 Pour calculer l’impédance équivalente, on éteint les sources indépendantes du circuit en remplaçant les sources de tension par des fils et les sources de courant par des interrupteurs ouverts. Ici, seule la source de tension E devient un fil et on a D D nR R A Req B qui devient Z2 Z1 Zeq C avec C 1 1 1 = + Req R nR et 1 1 1 + = Zeq Z1 Z2 où l’on somme les conductances car il s’agit de montages parallèles. Il ne reste plus qu’à additionner les impédances restantes (assemblées en série) pour obtenir Zth = A B nR Z Z + 1 2 n + 1 Z1 + Z2 C D E 3 Le courant est nul dans la branche CD lorsque Eth = 0 c’est-à-dire Z1 = n Z2 ou encore Z1 Y 2 = n Un condensateur C1 en série avec une résistance R1 a une impédance Z1 = ZC1 + ZR1 = 1 + R1 j C1 ω Un condensateur C2 en parallèle avec une résistance R2 a une conductance Y2 = YC2 + YR2 = j C2 ω + 1 R2 La condition d’équilibre Z1 Y2 = n s’écrit alors 1 1 + R1 j C2 ω + =n j C1 ω R2 Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .