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X Maths 2 MP 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Walter Appel (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
L’objet du problème est clairement annoncé en préambule dans l’énoncé : il s’agit
d’étudier deux caractéristiques classiques que l’on peut définir sur des surfaces de R3 ,
la courbure moyenne et la courbure totale.
• La première partie introduit rigoureusement quelques notions concernant des
hypersurfaces de dimension n de Rn+1 . Les deux premières questions concernent la définition du produit vectoriel de n vecteurs dans Rn+1 . Cet objet est
utilisé, dans les questions suivantes, pour définir convenablement la normale à
une hypersurface paramétrée.
• La deuxième partie revient aux surfaces paramétrées de R3 . On y définit la
courbure moyenne et la courbure totale ; suivent quelques exemples, dans lesquels des calculs sont effectués sur des cylindres et des surfaces de révolution.
• La dernière partie consiste à montrer que les notions de courbure moyenne et
de courbure totale sont invariantes par changement de paramétrage.
Ce problème est assez classique dans sa problématique globale, et correspond
globalement à un chapitre d’un cours de niveau première année de master de
géométrie différentielle. Le fait de rendre un tel sujet accessible à des élèves de classe
préparatoire est une démarche classique des sujets de l’École polytechnique. Remarquons également qu’il est possible de traiter la quasi-totalité du sujet sans comprendre
vraiment la problématique.
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Indications
Première partie
1.a Reconnaître dans le produit scalaire de V avec ei le déterminant d’un
(n + 1)-uplet de vecteurs contenant deux fois ei .
1.c Développer le déterminant par rapport à sa première colonne.
2.b Utiliser la caractérisation de W établie à la question 2.a.
3.a Vérifier que Q = t P P, où P est la matrice ayant pour vecteurs colonnes les ei .
3.b Exprimer (v|ej ) en fonction des qij et des ei , puis ramener les égalités obtenues
à une seule égalité matricielle.
4.b Reconnaître, dans la somme des deux termes, la dérivée partielle par rapport
à la k e variable d’une fonction.
4.d Appliquer la question 3.b avec v = (∂j W)(u) et ei = (∂i F)(u).
Deuxième partie
5 Utiliser le fait que R est une application linéaire (ce qui permet de faire facilement les calculs de dérivées partielles de composées).
6.a Effectuer les calculs de S(0) et Q(0). Compte tenu des hypothèses faites,
on trouve
r s
A(0) =
s t
7.a Calculer le produit vectoriel de (∂1 F)(u) avec (∂2 F)(u).
7.c Penser aux fonctions de trigonométrie hyperbolique.
7.d Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
8 Tenter une extrapolation de ce que l’on connaît sur les courbes du plan à courbure constante.
Troisième partie
9 Revenir strictement à la définition des ai,j (u) (question 4.c).
e
∂F ∂Ψ
∂F
=
. Pour la suite, prendre
10.a La composition des différentielles s’écrit :
∂e
u
∂u ∂e
u
les déterminants des matrices 2 × 2 extraites de chaque membre dans l’égalité
précédente.
10.b Utiliser le résultat de la question 10.a.
10.c Vérifier que l’égalité à la question 9 caractérise la matrice A, et utiliser cette
caractérisation.
10.d Nécessite le résultat de la question précédente.
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Première partie
Notation : étant donnée une famille (y0 , y1 , . . . , yn ) de n + 1 vecteurs de Rn+1 ,
on notera tout au long de corrigé [y0 , y1 , . . . , yn ] le déterminant de cette famille de
vecteurs dans la base canonique de Rn+1 .
1.a Soit i ∈ [[ 1 ; n ]]. On a
(V|x(i) ) =
n+1
P
k=1
(i)
Vk xk
On reconnaît
dans cette expression le développement par rapport à la première
colonne de x(i) , x(1) , x(2) , x(3) , . . . , x(n) . On y trouve deux fois le vecteur (x(i) ).
En conséquence, (V|x(i) ) = [x(i) , x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] = 0 et donc
V est orthogonal à tous les x(i) .
1.b Montrons que les deux conditions (i) et (ii) sont équivalentes en raisonnant
par équivalences successives :
V = 0;
⇐⇒ Vj = 0 pour tout j ;
(i)
⇐⇒ chaque déterminant de taille n × n extrait de la matrice (xj )16j6n+1 ,
16i6n
c’est-à-dire obtenu en enlevant une ligne, est nul ;
(i)
⇐⇒ la matrice (xj )16j6n+1 ∈ Mn,n+1 (R) est de rang strictement inférieur à n ;
16i6n
(i)
⇐⇒ la famille des n vecteurs colonnes de la matrice (xj )16j6n+1 est liée ;
16i6n
(i)
⇐⇒ la famille (x )16i6n est liée.
(i)
Afin d’avoir des notations en accord avec l’énoncé, xj
la matrice
(i)
(xj )16j6n+1
16i6n
est le terme de
situé en j ligne et i colonne, ce qui est une convene
e
tion inhabituelle.
1.c Effectuons un développement par rapport à la première colonne du déterminant
[V, x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] ; il vient
n+1
P
[V, x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] =
Vk · Vk
k=1
c’est-à-dire
(1)
[V, x
(2)
,x
(n)
,...,x
] = kVk2
’La construction de V est la généralisation à Rn+1 du produit vectoriel
dans R3 . V est parfois appelé le produit vectoriel de x(1) , x(2) , . . . , x(n) .
On note même parfois V = x(1) ∧ x(2) ∧ · · · ∧ x(n) .
2.a Pour l’existence, remarquons au préalable, en gardant les notations de la question 1, que comme la famille (x(1) , . . . , x(n) ) est libre, la question 1.b montre que
V 6= 0 ; posons alors
1
W=
V
kVk
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De la sorte, par construction kWk = 1. De plus, la question 1.a montre que W
est orthogonal à tous les x(i) , ce qui montre la condition (i). La question 1.c montre
alors que [W, x(1) , . . . , x(n) ] = kVk > 0, ce qui montre la condition (ii).
Pour l’unicité, comme la famille (x(1) , . . . , x(n) ) est libre, elle engendre un hyperplan de Rn+1 et son orthogonal est donc une droite vectorielle. Si W vérifie
la condition (i), il appartient à cette droite vectorielle et est de norme 1. Sous ces
deux conditions, le choix de W ne peut que se faire parmi deux vecteurs
possibles :
kVk−1 V ou bien son opposé. Comme le déterminant V, x(1) , . . . , x(n) est strictement
positif, seul kVk−1 V vérifie à la fois les conditions (i) et (ii).
2.b Utilisons la caractérisation établie à la question 2.a de W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) .
Si R est une rotation, c’est-à-dire que R ∈ SOn+1 (R), R préserve en particulier
la norme et le produit scalaire et donc, en notant W = W(x(1) , . . . , x(n) ) :
• kR(W)k = kWk = 1
(R préserve la norme)
• R(W) R(x(i) ) = W x(i) = 0
(R préserve le produit scalaire)
h
i
(1)
(n)
• R(W), R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = det
>0
| {zR} W, x , . . . , x
=1
La partie unicité de la question 2.a montre alors que
W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = R W(x(1) , . . . , x(n) )
3.a Notons (ei,k )16k6n les coordonnées dans la base canonique du vecteur ei .
n
P
On a donc qi,j =
ei,k ej,k . Ainsi, si P désigne la matrice de passage de la base
k=1
canonique de Rn à (e1 , . . . , en ), on reconnaît en qi,j le coefficient en position (i, j)
t
de la matrice P P. Ainsi,
t
Q = P P où P ∈ GLn (R)
Q est inversible et symétrique, donc diagonalisable.
donc
Montrons que Q est définie positive : on a, pour x ∈ Rn r {0}, Px 6= 0 (vu que P
est inversible) et
t
(Qx|x) = ( P Px|x) = (Px|Px) = kPxk2 > 0
Par suite,
Les valeurs propres de Q sont strictement positives.
En effet, si λ est valeur propre d’une matrice symétrique Q définie positive,
et x un vecteur propre associé (en particulier, un vecteur non nul) alors
(Qx|x) = λkxk2 > 0, donc λ > 0.
3.b On a v =
P
vi ei , donc
On en déduit que
en encore
(v|ej ) =
n
P
vi qij .
i=1
(v|e1 ), . . . , (v|en ) = (v1 , . . . , vn )Q
(v1 , . . . , vn ) = (v|e1 ), . . . , (v|en ) Q−1
La formule établie, ainsi que le raisonnement, est valable dans tout espace
euclidien de dimension n, et pas seulement Rn ; elle sera utilisée à la question
4.d dans le cas d’un hyperplan de Rn+1 .
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