doc num

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche
Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
-Mohamed BoudiafFaculté de Génie Electrique
Département d’Electrotechnique
THESE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME
DE DOCTORAT EN SCIENCE
OPTION : COMMANDE ELECTRIQUE
Présentée par :
me
M
KENDOUCI Khedidja
TITRE
Contribution à la commande sans
capteur mécanique d’une machine
synchrone à aimants permanents
SOUTENU PUBLIQUEMENT EN 2012 DEVANT LE JURY COMPOSE DE :
Président
Mr A. TAIB BRAHIMI
Professeur
U.S.T.O (M.B)
Rapporteur
Mr B. MAZARI
Professeur
U.S.T.O (M.B)
Examinateur
Mr A. MANSOURI
Professeur
E.N.S.E.T Oran
Examinateur
Mr A. MEROUFEL
Professeur
Univ. Dj. Liabes- SBA-
Examinateur
Mr A. BOUHENNA
M.C.A
E.N.S.E.T Oran
Examinateur
Mr. K. ZEMALACH MEGUINI
M.C.A
U.S.T.O (M.B)
A
La mémoire de
Mon père el Hadj HAMMA
J’aurai aimé vous voir assister à mon soutenance
A la mémoire de tous les êtres chers que j’ai perdus
A TOUTE MA FAMILLE
^{xw|w}t
El.hamdou li.ALLAH !!! Enfin !!!
Une thèse peut être considérée comme le fruit des années de travail
personnel. Ce travail passe par différentes phases, certaines faciles et
agréables, d'autres laborieuses et déroutantes. Les premières apportent
beaucoup de satisfaction, voire d'autosatisfaction, et des avancées
encourageantes. Effectivement, ces phases apparaissent comme le fruit d'un
travail personnel. Les secondes apportent doutes et hésitations. Les résultats
sont lents à venir et l'orientation du travail se trouve compromise. A ce stade,
seuls trois facteurs m'ont permis de faire avancer ce travail : un encadrement
éclairé et présent à chaque instant, une ambiance de travail propice, à la fois
au sérieux et à la détente, ainsi qu'un soutien familiale, indirect mais
indispensable. A la suite de ces années de recherche, ma thèse n'a pris
réellement vie que par sa validation devant un jury rigoureux, volontaire,
entreprenant et encourageant. Une certitude m'apparaît alors clairement. Ma
thèse est tout, sauf le fruit d'un unique travail personnel. Elle est le fruit du
travail d'une très grande équipe, tant professionnelle que personnelle. Equipe
dont je ne serai jamais assez reconnaissante.
Il y a tellement de gens à qui je dois des remerciements pour être arrivé à ce
stade qu’il m’est vraiment difficile de pouvoir citer intégralement tout le
monde. Ainsi, je remercie d’une manière générale tous ceux qui, d’une
manière ou d’une autre, m’ont aidé durant ces années de thèse.
J’ai pu accomplir cette tâche au sein du Laboratoire de développement des
entrainements électriques (LDEE) de l’Université des Sciences et de
Technologie d’Oran – Mohamed Boudiaf – et le Laboratoire de Génie
Electrique de Paris (LGEP-SUPELEC) de Paris Sud. A ce propos :
Je tiens à exprimer mes chaleureuses remerciements à M. MAZARI
Benyounes, Professeur à l’Université des Sciences et de Technologie d’Oran,
directeur du LDEE. Je le remercie pour m'avoir accueilli au sein du
laboratoire, pour m'avoir proposée un sujet de thèse si intéressant et pour
avoir spontanément encouragé. Je profite de ces quelques lignes pour le
remercier pour l'ensemble de ces années d'encadrement passionné avec
I
grand professionnalisme, rigueur et gentillesse, en tant qu'enseignant
d'abord, en tant que précieux conseiller lors de mes études et mes tâches
d’enseignement et bien-sûr en tant que grand frère, pour ses grandes qualités
pédagogiques, scientifiques et humaines ainsi que ses remarques judicieuses,
son soutien, et sa disponibilité. Je ne peu m’en passer sans lui demander un
grand Pardon pour tous les samedis ratés en famille pour être au laboratoire
afin qu’on puisse finaliser au mieux ce travail. MERCI pour tout Hadj.
Je tiens également à adresser ma sincère et profonde reconnaissance à M.
TAIB BRAHIMI Abdelhalim, Professeur à l’Université des Sciences et de
Technologie d’Oran, pour avoir accepté d'être président de mon jury de
thèse. J’ai eu la chance de travailler avec lui. Sa bonne connaissance dans les
domaines de conception des machines a pu m’apporter beaucoup
d’informations sur les machines à aimants sujet de ma thèse. Ainsi mes
remerciements pour les différentes discussions afin de partager avec moi son
expérience.
Je souhaite remercier Mr MEROUFEL Abdelkader, Professeur à l'Université
Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes, d’avoir accepté d’examiner mon travail
ainsi de participer au jury. Ses questions pertinents pendant différentes
soutenances au LDEE et conférences m’ont permis de rendre plus claire ma
rédaction.
Je remercie vivement Mr MANSOURI Abdellah Professeur à l’Ecole
Normale Supérieure de l’Enseignement Technologique d’Oran ENSET,
d’avoir accepté de juger ce travail et de faire part de jury. Ces précieuses
remarques ainsi les discussions enrichissantes pendant ses passages à
l’USTO dans différents occasions m’ont donnés de nouvelles pistes de
réflexion.
J'exprime ma profonde gratitude à Mr BOUHENNA Aberrahmene,
Professeur à l’Ecole Normale Supérieure de l’Enseignement Technologique
d’Oran ENSET, pour l'honneur qu'il m'a fait en acceptant d’examiner cette
thèse et en participant à mon jury.
Je suis particulièrement reconnaissante envers M. ZEMALACH MEGUINI
Kadda, Maitre de Conférence à l’Université des Sciences et de Technologie
d’Oran, pour avoir accepté de participer à mon jury de thèse. Son aide, son
II
esprit critique et les discussions enrichissantes que nous avons eues ont
beaucoup contribué à l'aboutissement de ce travail.
Je tiens à exprimer toute ma gratitude et ma reconnaissance aux membres de
Laboratoire de Génie Electrique de Paris (LGEP-SUPELEC) de Paris Sud
pour l’accueil chaleureux et la disponibilité afin de rendre facile l’avant
dernière étape de mon travail, celle de la réalisation pratique sur un banc
d’essai. A ce propos je veux exprimer mes sincères remerciement à M.
Mikael Hilrait , Professeur à LGEP, M. Damba Diallo, Professeur à LGEP-,
et M. Ahmad Akrad Maître de Conférence à l’Université d’Alep - Syrie, pour
avoir accompagné mon travail dans de meilleur conditions avec un souris
constant et une patience incroyable en passant de plus de 10h par jour devant
le banc d’essai ! Les nombreuses discussions fructueuses que nous avons pu
avoir, leur très grande disponibilité ainsi que la qualité de leurs rapports
humains sont pour beaucoup dans les résultats obtenus lors de ce travail. Je
tiens à leur exprimer toute mon amitié et ma reconnaissance pour le climat
de bonne humeur qu’ils contribuent à créer et à maintenir.
Un Merci particulier à M. Benhadria Mohamed Rachid enseignant
chercheur à l’USTO pour son étude approfondie du manuscrit et pour les
remarques constructives dont il m'a fait part avant, pendant et après la
rédaction malgré ses grandes responsabilités professionnelle et familiale. Je
voudrais également insister pour remercier en lui l'enseignant qui m'a, le
premier, donné goût au génie électrique, qui m'a donné envie de percer les
mystères de cette option d’Electrotechnique alors que mon parcours me
dirigeait vers d'autres voies. Je le remercie pour tout ça et pour son immense
sympathie et son encouragement constamment prouvé depuis que nous
étions étudiants jusqu’à ce jour en me rappelant chaque jour (tu es forte, tu
arrives).
J’ai une pensée amicale sans oublier de le remercie M. Tahar Mohamed,
d’avoir accepté la lourde tâche, pour soulager la mienne durant la phase de
rédaction. Merci, pour ta disponibilité et ta gentillesse.
Que dirai-je de Mme Dadi Rachida ? Amie et sœur, c’est donc à toi que je
pense d’abord pour tes qualités humaines, ta générosité, ton impatience
jamais contenue mais toujours respectueuse et surtout une simplicité, si
complexe à définir, qui fait de toi une personne peu commune. Merci d’être à
mes côtés.
III
J’ai une pensée très particulière et chaleureuse pour Mme Fatiha Mekri,
malgré la distance qui nous sépare, elle toujours présente à l’écoute. Je ne
serais certainement pas oublier son soutien, son encouragement à travers
les communications téléphonique pendant des heures constant.
Je tiens aussi à exprimer ma profonde sympathie à toutes les personnes qui
composent LDEE, avec qui j'ai passé d'agréables moments ainsi que les
enseignants de la faculté de génie électrique pour leur soutien et
encouragement. Je remercie particulièrement tous les doctorants avec qui j'ai
partagé ces années de thèse, sans oublier personne.
Je voudrais maintenant présenter au delà du travail les plus précieux remerciements
à Rachid, Tahar, Kadda et Rachida !!! Je n'oublierai jamais les instants de
détente journaliers (la pause café de 10h...et les téléphone de midi en cherchant c’est
quoi le menu) et les innombrables fous rires si bienfaisants avec les variétés de
Kadda. Leurs présences, leurs sentiments fraternels, leurs soutiens solides et sûrs à
n’importe quelles occasions au pire et au meilleur ne seront jamais oubliés sans qui
rien ne pourrait tourner au laboratoire!! J’ai appris avec eux de pardonner de
retrouver l’espoir et de foncer !! C’est ma deuxième famille à L’USTO.
Enfin je tiens à terminer par un GRAND MERCI mon premier soutien, ma
chère famille que je porte toujours avec moi dans mes pensées. Sans leur
confiance immense en moi, sans leur aide et leur amour je n’aurai pu aller au
bout de mes projets. Je ne saurai jamais suffisant les remercier pour m'avoir
toujours poussé à faire ce qui me plaisait, même si cela m’a conduit à des
études bien longues. Jamais ils n'ont exprimé le moindre doute et m'ont
constamment encouragé et félicité tout au long de mes parcours. Qu’ils
trouvent en moi la fille redevable toute ma vie.
A la fin ce n’est pas un merci mais un IMMENSE PARDON à mes adorables
enfants !!
Kendouci Khadidja
IV
Table des matières
Table des matières
Avant propos
Table des matières
Listes des figures
Notations
I
1
4
8
Partie - A Introduction générale
Chapitre I
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
I.7
I.8
I.9
I.10
I.11
Chapitre II
Description et commande vectorielle du MSAP
11
24
Introduction
Applications industrielles d’un MSAP
Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents
Modélisation de l’onduleur de tension
La commandabilité du MSAP
Stratégies de commande du MSAP
Commande scalaire du MSAP
Commande vectorielle du MSAP
Calcul des régulateurs
Résultats de simulation
Conclusion
Références
25
25
28
32
34
35
37
38
43
48
52
54
Commande par mode glissant du MSAP
57
II.1
II.2
Introduction
Systèmes à structure variable
58
59
II.3
II.4
II.5
II.6
II.7
Théorie de la commande à structure variable
Conception de la commande par mode de glissement
Application du MG pour le réglage de la vitesse du MSAP
Résultats de simulation
Conclusion
Références
59
60
66
70
76
77
Commande par backstepping du MSAP
80
Chapitre III
Commande avec capteur mécanique
III.1
III.2
Introduction
Principe de la commande backstepping
81
81
III.3
Méthode récursive de conception de backstepping
1 82
Table des matières
III.4
III.5
III.6
III.7
III.8
Application du backstepping à la commande du MSAP
Résultats de simulation
Commande backstepping avec action intégrale
Résultats de simulations
Conclusion
Références
Partie - B -
Chapitre IV
IV.1
IV.2
IV.3
IV.4
IV.5
IV.6
IV.7
IV.8
IV.9
IV.8
Chapitre V
V.1
V.2
V.3
V.4
V.5
V.6
V.7
Chapitre VI
VI.1
VI.2
VI.3
Commande sans capteur mécanique
Commande sans capteur mécanique du MSAP par
observateur de Luenberger
102
Introduction
Observabilité du MSAP
Principe de fonctionnement de l'observateur
L’observateur de Luenberger linéaire
L’observateur de Luenberger étendu
Application à l’estimation de la vitesse et de la position du MSAP
Benchmark « Commande sans capteur mécanique »
Résultats de simulation avec régulateur classique PI
Résultats de simulation avec régulateur backstepping
Conclusion
Références
103
104
110
111
112
113
115
117
120
126
128
Commande sans capteur mécanique du MSAP par
Filtre de Kalman
131
Introduction
Principe du filtre de Kalman
Le Filtre de Kalman étendu
Le Filtre de Kalman à deux niveaux – FKDN –
FKDN pour l’estimation de la vitesse et de la position
Résultat de simulation
Conclusion
Références
132
132
135
137
143
148
160
162
Validation expérimentale
164
Introduction
Présentation du banc expérimental
Résultats expérimentaux pour la commande avec capteur
mécanique
165
166
170
2 86
90
93
95
99
100
Table des matières
VI.4
VI.5
Résultats expérimentaux pour la commande sans capteur
mécanique
Conclusion
195
Conclusion générale
196
Annexe A
Annexe B
Annexe C
Annexe D
Annexe E
299
201
217
221
222
Différentes structures des MSAP
Modélisation du MSAP dans les différents repères
Préliminaire sur l’observabilité et les observateurs
Paramètres du MSAP et de la charge
Coût d’algorithme du FK
3 182
Liste des figures
Listes des figures
Chapitre I
Fig. 1.1
Fig. 1.2
Fig. 1.3
Fig. 1.4
Fig. 1.5
Fig. 1.6
Fig. 1.7
Fig. 1.8
Fig. 1.9
Fig. 1.10
Fig. 1.11
Fig. 1.12
Fig. 1.13
Fig. 1.14
Fig. 1.15
Fig. 1.16
Fig. 1.17
Fig. 1.18
Fig. 1.19
Fig. 1.20
Fig. 1.21
Fig. 1.22
Fig. 1.23
Description et commande vectorielle du MSAP
Schéma de principe d’une éolienne à vitesse variable avec MSAP
Représentation du MSAP dans le repère triphasé (a,b,c)
Schéma équivalent du M.S.A.P dans les plan (abc) et (d,q).
Modèle de la MSAP
Représentation fonctionnelle du MSAP
Représentation simplifiée de l’onduleur
Schéma du principe de l’autopilotage d’un MSAP
Schéma global de la commande vectorielle du MSAP
Découplage des axes d, q du MSAP par retour d’état
Schéma global de la commande vectorielle simplifiée
Schéma bloc du FOC
Schéma global de la commande vectorielle indirecte
Boucle de régulation du courant direct
Boucle de régulation de la vitesse
Principe de découplage par compensation
Anti-Reset-Windup
Schéma global de la commande vectorielle directe
Comportement de la vitesse avec les paramètres nominaux du MSAP
Comportement des courants et du couple de la MSAP
Comportement de la vitesse avec benchmark
Comportement des courants et du couple de la MSAP
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par PI - Test de la
variation de la résistance statorique R
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par PI - Test de la
variation du moment d’inertie J
Chapitre II
Commande par mode glissant du MSAP
Fig. 2.1
Fig. 2.2
Différentes modes pour la trajectoire
Linéarisation exacte de l’écart
Fig. 2.3
Fig. 2.4
Définition de la fonction signe
Structure globale du réglage de la vitesse de la MSAP par mode glissant
Commande Un adoucie avec seuil
Fig. 2.6
Fig. 2.7
Fonction d’appartenance de l’entrée de l’entrée ‘e’ et de la sortie ‘Kω’
Comportement de la vitesse du MSAP réglé par MG - Cas de réglage avec
la fonction signe
Comportement de la vitesse du MSAP réglé par MG -Cas de réglage avec
la fonction seuil
Comportement de la vitesse du MSAP réglé par MG -Cas de réglage avec
Fig. 2.8
Fig. 2.9
4 Liste des figures
Fig. 2.10
Fig. 2.11
Fig. 2.12
Fig. 2.13
la logique flou
Comparaison du comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG
Comportement des courants et du couple
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG -Test de poursuite
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG (logique floue)
Test de la variation de la résistance statorique R du MSAP
Chapitre III
Fig. 3.1
Fig. 3.2
Fig. 3.3
Fig. 3.4
Fig. 3.5
Fig. 3.6
Fig. 3.7
Fig. 3.8
Fig. 3.9
Fig. 3.10
Structure globale du réglage de la vitesse du MSAP par backstepping
Structure interne du bloc régulateurs backstepping
Comportement de la vitesse du MSAP réglée par backstepping
Comportement des courants et du couple
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par backstepping
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par backstepping avec
l’action intégrale
Comparaison du comportement de la vitesse de la MSAP réglée par
backstepping avec et sans l’action intégrale
Comportement de la vitesse du MSAP réglée par backstepping avec
l’action intégrale – cas de la variation de la résistance statorique R du
MSAPComportement de la vitesse du MSAP réglée par backstepping avec
l’action intégrale – cas de la variation du moment d’inertie J du MSAP
Comparaison du comportement de la vitesse de la MSAP réglée par PI,
mode glissant –flou et backstepping avec action intégrale
Chapitre IV
Fig. 4.1
Fig. 4.2
Fig. 4.3
Fig. 4.4
Fig. 4.5
Fig. 4.6
Fig. 4.7
Fig. 4.8
Fig. 4.9
Fig. 4.10
Fig. 4.11
Fig. 4.12
Fig. 4.13
Fig. 4.14
Fig. 4.15
Fig. 4.16
Commande par backstepping du MSAP
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur
de Luenberger
Schéma fonctionnel d'un observateur d'état
Schéma d’un observateur linéaire
Structure d’observateur de Luenberger étendu de la MSAP
Domaine de placement de pôle dans le plan S
Benchmark pour la commande sans capteur mécanique
Comportement de la vitesse observée de la MSAP (régulateur PI)
Comportement des courants et du couple du MSAP (régulateur PI)
Comportement de la position (avec bruit de mesure)
Comportement de la vitesse (benchmark - régulateur PI)
Comportement de la position (benchmark - régulateur PI)
Comportement de la vitesse (régulateur backstepping)
Comportement de la position (régulateur backstepping)
Comportement de la vitesse (benchmark - backstepping)
Comportement de la vitesse (variation de R)
Comportement de la position (variation de R)
Comportement de la vitesse (variation de J)
5 Liste des figures
Fig. 4.17
Fig. 4.18
Fig. 4.19
Comportement de la position (variation de J)
Comportement de la vitesse (Backstepping) -(Inversion du sens de
rotation)
Comportement de la position (Backstepping)-(Inversion du sens de
rotation)
Chapitre V
Fig. 5.1
Fig. 5.2
Fig. 5.3
Fig. 5.4
Fig. 5.5
Fig. 5.6
Fig. 5.7
Fig.5.8
Fig. 5.9
Fig.5.10
Fig.5.11
Fig.5.12
Fig.5.13
Fig.5.14
Fig.5.15
Fig.5.16
Fig.5.17
Fig.5.17
Commande sans capteur mécanique du MSAP
par Filtre de Kalman
Schéma bloc d’un filtre de Kalman
Schéma bloc de la commande sans capteur mécanique avec le filtre de
Kalman a double niveaux Comportement de la vitesse (PI)
Comportement des courants et du couple (PI)
Comportement e de la position (PI)
Comportement de la vitesse (benchmark - r PI)
Comportement de la positon (benchmark - PI)
Comportement de la vitesse de la MSAP (Backstepping)
Comportement des courants et du couple du MSAP (Backstepping)
Comportement de la positon (Backstepping)
Comportement de la vitesse de la MSAP (backstepping)
Comportement de la position (benchmark-Backstepping)
Comportement de la vitesse (FKDN- variation de R)
Comportement de la position (FKDN- variation de R)
Comportement de la vitesse (FKDN- variation de J)
Comportement de la position (FKDN- variation de J)
Comportement de la vitesse (FKDN-inversion du sens de rotation)
Comportement de la position (FKDN-inversion du sens de rotation)
Chapitre VI
Fig. 6.1
Fig.6.2
Fig 6.3
Fig. 6.4
Fig 6.5
Fig 6.6
Fig 6.7
Fig 6. 8
Fig 6.9
Fig.6.10
Fig.6.11
Fig 6.12
Validation expérimentale
Photo du dispositif de commande du MSAP du LGEP
Mesure des deux courants de phase et de la position
Architecture et périphérique du DS1103
Configuration générale de la simulation numérique
Comportement de la vitesse (essai à vide - PI)
Comportement de la vitesse (essai en charge - PI)
Comportement des courants (essai en charge- PI))
Comportement de la vitesse (inversion du sens de rotation)
Comportement des courants (Benchmark commande avec capteur
Comportement de la vitesse (benchmark commande avec capteur - PI )
Comportement de la vitesse (variation de R - PI)
Comportement des courants (variation de R- PI)
6 Liste des figures
Fig 6.13
Fig 6.14
Fig 6.15
Fig 6.16
Fig 6.17
Fig 6.18
Fig 6.19
Fig 6.20
Fig 6.21
Fig 6.22
Fig 6.23
Fig 6.24
Fig 6.25
Fig 6.26
Fig 6.27
Fig 6.28
Fig 6.29
Fig 6.30
Fig 6.31
Fig 6.32
Fig 6.33
Fig 6.34
Fig 6.35
Fig 6.36
Fig 6.37
Fig 6.38
Fig 6.39
Fig 6.40
Fig 6.41
Fig 6.42
Fig 6.43
Fig 6.44
Fig 6.45
Comportement de la vitesse (variation de J - PI)
Comportement des courants (variation de J-PI)
Comportement de la vitesse (essai à vide- Backstepping)
Comportement de la vitesse ( variation de la charge - Backstepping)
Comportement des courants ( variation de la charge - Backstepping )
Comportement de la vitesse (en charge- Backstepping)
Comportement de s courants (essai en charge - Backstepping)
Comportement de la vitesse (benchmark commande avec capteurBackstepping)
Comportement des courants (benchmark commande avec capteur)
Comportement de la vitesse (variation R- Backstepping )
Comportement des courants (variation R- Backstepping )
Comportement de la vitesse (variation J- Backstepping )
Comportement des courants (variation J - Backstepping )
Comparaison du comportement de vitesse (PI et Backstepping)
Comparaison du comportement des courants entre PI et Backstepping
Comportement de la vitesse (FKDN –PI)
Comportement de la position (FKDN –PI)
Comportement des courants (FKDN –PI)
Comportement de vitesse (inversion du sens de rotation - FKDN –PI)
Comportement des courants (inversion du sens de rotation- FKDN –PI)
Comportement de la position (inversion du sens de rotation -FKDN–PI)
Comportement de vitesse (benchmark - FKDN –PI)
Comportement de la vitesse (FKDN –Backstepping)
Comportement de la position (FKDN –Backstepping)
Comportement des courants (FKDN –Backstepping)
Comportement de la
vitesse
(inversion de rotation -FKDN –
Backstepping)
Dynamique de la position (inversion de rotation -FKDN –Backstepping)
Comportement de la vitesse (benchmark- FKDN –Backstepping)
Comportement des courants (FKDN –Backstepping)
Comportement de la position (FKDN –Backstepping)
Comportement de vitesse (benchmark - FKDN –backstepping )
Comportement de vitesse (benchmark - FKDN –backstepping )
Comportement de la position (benchmark - FKDN – backstepping)
7 Notations NOTATIONS
Cem
Cemref
Cr
d q
αβ
E
ed , eq
F
ia , ib ,ic
va ,vb ,vc
id iq
vd vq
iα iβ
vα vβ
idref iqref
vdref vqref
J
Kiid
Kpid
Ld Lq
Lα Lβ
L
Ɵ
Couple électromagnétique
Référence de couple électromagnétique
Couple de charge
indices de composantes de PARK directe et en quadrature.
indices de composantes de Clark.
Tension continue d’alimentation de l’onduleur
Fem de couplage induite suivant l’axe d et q
Fréquence de modulation
Les courants statoriques suivant les axes a, b et c
Les tensions statoriques suivant les axes a, b et c
Les courants statoriques suivant les axes d, q
Les tensions statoriques suivant les axes d, q
Les courants statoriques suivant les axes αβ
Les tensions statoriques suivant les axes αβ
Les courants de référence suivant les axes d, q
Les tensions de référence suivant les axes d, q
Moment d’inertie de la partie mécanique
Gain du régulateur intégrateur de la vitesse
Gain du régulateur intégrateur du courant direct
Gain du régulateur proportionnel du courant direct
Gain du régulateur proportionnel de la vitesse
L’inductance suivant l’axe d et q
L’inductance suivant l’axe α et β
Inductance statorique
Position rotorique
Ɵe
Position électrique entre le rotor et le stator
R ou Rs
Resistance statorique
φa,φb ,φc
φf
φd, φq
Les flux statoriques suivant les axes a, b et c
Flux de l’aimant permanent
Les flux statoriques suivant les axes d et q
Nombre de paire de pôles
P
8
Notations x
u
y
S(x)
e(x)
λx
r
Ueq
Un
K
s
ki
(x)d
ε (x)
li
ωobs
ωmes
ωref
T32
P(θ)
|
X[k|k – 1]
|
|
K[k]
W[k]
η[k]
M[k] et N[k]
Vecteur d’état de dimension n
Vecteur d’entrée (La commande)
Vecteur de sortie (La mesure)
la surface de glissement
l'écart de la variable à régler
Constante positive de la bande passante de contrôleur MG
Degré relatif
Commande équivalente
Commande de convergence
Gain de reglage par MG
Indice de transformée de Laplace
paramètre de conception du régulateur backstepping de l’étape i
L’état désiré du régulateur backstepping de l’étape i
L’état estimé
L’écart entre la valeur estimée et l’état réel
La sortie estimée
Le gain de l’observateur de Luenberger
La vitesse observée
La vitesse mesurée
La vitesse de référence
Transformation de Clark
Transformation de Park
vecteur d’état à l’instant présent
L’estimation du vecteur d’état à l’instant présent
vecteur d’état à l’instant passé
Le vecteur de prédiction
L’estimation du vecteur d’état à l’instant présent
La matrice de variance-covariance
La matrice de gain du filtre de Kalman
Valeur des entrées inconnues
Bruits d’état
Bruits de mesure
l’état estimé si inconnue est parfaitement connu.
l’état estimé si inconnue est parfaitement connu
Matrice de passage
l’état optimal estimée égal la somme des états estimés
+
9
Notations MSAP
MSAPPL
MSAPPS
MCC
MCA
MG
MGF
FKE
FKDN
Machine /moteur synchrone à aimants permanents
Machine/moteur synchrone à aimants permanents à pôles lisses
Machine/moteur synchrone à aimants permanents à pôles saillants
Machine à courant continu
Machine à courant alternatif
Mode glissant
Mode glissant flou
Filtre de Kalman étendu
Filtre de Kalman à deux niveaux
10
INTRODUCTION GENERALE
Introduction générale
I. Introduction
Que ce soit pour accroître l'efficacité énergétique ou pour optimiser et
améliorer les contrôles des procédés, les industriels s'équipent de plus en
plus d'entraînements à vitesse variable par les moteurs électriques.
Ces dernières années, le domaine d’application des moteurs à courant
alternatif (MCA) s’est considérablement étendu avec le développement de
l’électronique de puissance et de la micro informatique. Les évolutions
technologiques leurs ont permis de retrouver la souplesse de contrôle et les
performances dynamiques naturellement obtenues jusqu’alors avec la
machine à courant continu (MCC).
Historiquement [LYS99], les premiers entraînements utilisaient des MCC
dont le contrôle s’avérait simple du fait de la séparation naturelle de
l’inducteur et de l’induit hormis le cas particulier du moteur série.
Cependant, la présence du système bagues-balais constituait un frein au
développement de ces machines notamment pour des applications dans des
environnements sévères.
Par ailleurs, des recherches approfondies ont permis de mettre au point des
matériaux nouveaux comme par exemple les aimants permanents à base de
terre rare, qui ont été introduits dans des machines synchrones présentant
ainsi beaucoup d’avantages [BOS02] par rapport aux autres types de
machines à courant continu ou alternatif avec un couple massique élevé, un
excellent rendement, une maintenance réduite, un faible moment d’inertie et
une grande capacité de surcharge sur toute la plage de vitesse.
C’est ainsi que les moteurs synchrones à aimants permanents (MSAP) ont
apparu et sont de plus en plus utilisés de nos jours dans plusieurs
applications industrielles [AKR10][EZZ10][KEN03] tel que les équipements
domestiques (machine à laver le linge), les équipements de technologie de
l’information (DVD drives), Les équipements de soins médicaux et de santé,
la propulsion des sous marins et des véhicules électriques ainsi que les
machines-outils et les applications de l’énergie de l’éolienne.
Il existe de nombreux principes de commande des MSAP, parmi lesquels
l’application des techniques de la commande vectorielle [BLA72] qui se
distingue comme un outil puissant et efficace, dotant la MSAP de
performances dynamiques aussi satisfaisantes que les MCC, mais posant
entre autre un problème majeur dû à la nécessité d'emploi d'un capteur
mécanique (vitesse, position ou couple de charge).
Dans ce contexte cette thèse est construite autour de deux sujets proches l’un
de l’autre. La première partie traite la commande du MSAP avec capteur
mécanique tout en cherchant des performances dynamiques élevées et la
11
Introduction générale
deuxième partie s’intéresse à la suppression de ce capteur où la commande
sans capteur mécanique tout en préservant les mêmes performances.
II. Contexte et état de l'art
Abordons le premier volet ! Dans la formulation d’un problème de
commande, il y a des anomalies spécifiques entre le système réel et le modèle
mathématique développé dans le but de concevoir la ou les lois de
commande. Cette particularité peut être due à la variation paramétrique du
système ou de l'approximation du comportement complexe du système par
un modèle direct. Concernant le modèle, celui-ci n’est autre qu’une
approximation du système physique qu’il doit représenter. L’écart entre le
modèle de commande et le procédé réel résulte d’une méconnaissance totale
ou partielle de certains phénomènes physiques qui sont mal connues ou
volontairement négligées. Il convient donc d’étudier la robustesse de la loi de
commande appliquée afin d’être capable de garantir la stabilité avec un
certain degré de performance, en dépit des incertitudes.
Lorsque la partie commandée du processus est faiblement perturbée, les
algorithmes de commande classique (à base de PI) en général peuvent
s’avérer suffisants si les exigences sur la précision et la performance du
système ne sont pas trop strictes. Cependant, lorsque la dynamique du
modèle s’éloigne de celle du processus réel (cas des procédés non linéaires
et/ou à paramètres variant dans le temps), les performances d’une
commande linéaire se dégradent au fur et à mesure que l’écart entre les
paramètres réels et ceux utilisés dans le calcul de la commande augmente.
Pour remédier à ce dysfonctionnement, les recherches se sont orientées vers
des techniques de commande assurant la robustesse du comportement du
processus vis-à-vis des incertitudes sur les paramètres et leurs variations. On
peut citer dans ce contexte la commande adaptative [FRE99], [KRI95],
[MAR95], [ÂST84], la linéarisation par retour d'état adaptatif [CAL99],
[KOK01], la commande H∞ [DOY89] [FRA87] [BAL91], et également des
méthodologies de commande non linéaire comme la commande par mode de
glissement (CMG) [LOU02][UTK99][BAR99][BÜH86][DRA69]. Cette dernière
commande s’inscrit dans la théorie des systèmes à structure variable qui a
pour vocation l’obtention, en boucle fermée, d’une dynamique largement
indépendante de celle du processus et surtout de ses variations éventuelles,
en ce sens, la commande à structure variable est une commande non linéaire
qui possède la propriété de robustesse [EFE04][EDW00][UTK77][EME67]
[ITK76]. La liste de ses applications est très large. Citons ici quelques
références intéressantes dans le domaine de la commande des machines
12
Introduction générale
[UTK93][UTK99][ZHA00][BEN98][LAS04][FAQ03][INA02][MAH99] PAN94]
[BOL93], et pour voir son efficacité notre choix a été guidé à l’étude et
l’application de cette loi de commande pour le réglage de la vitesse du
MSAP.
Il existe aussi d’autres types de commande robuste telle que la logique floue
[HAJ96] [MIH12], la commande prédictive [PER02], la linéarisation entrée
sortie [BEN01][ETI02], les réseaux de neurones [MIH02], et la commande par
backstepping [BEN00][BOU06]. Cette dernière commande est très récente,
elle présente une procédure récursive qui combine entre le choix de la
fonction de Lyapunov et la synthèse de la loi de commande. Cette méthode
transforme le problème de synthèse de la loi de commande pour le système
global en une synthèse de séquence de commande pour des systèmes
réduits. En exploitant la flexibilité de ces derniers, le backstepping peut
répondre aux problèmes de régulation, de poursuite et de robustesse avec
des conditions moins restrictives que d'autres méthodes [BOU06].
L’ingéniosité de l’idée nous a conduits à proposer l’utilisation de cette loi de
commande pour le réglage de la vitesse du MSAP avec capteur mécanique et
qui fera l’objet du premier volet de notre thèse.
Concernant le deuxième volet de notre travail on s’intéresse à l’amélioration
des performances de ces commandes appliquées à la MSAP sans l’utilisation
du capteur mécanique. Outre son coût financier, ce dernier est une source de
problèmes de différentes natures cités ci-dessous
• Il doit être suffisamment précis pour éviter des oscillations de vitesse dûes
à une quantification trop importante de la position et donc une réduction de
la fiabilité du système.
• Il doit être protégé contre les poussières et les chocs pour assurer sa sureté
de fonctionnement dans un environnement industriel sévère qui se traduit
par une sensibilité additionnelle aux perturbations extérieures.
• Il doit être logé entre la charge et le moteur puisque la plupart des
installations, un ventilateur occupe l’une des extrémités de l’arbre du
moteur, ceci pose aussi un problème d’encombrement voire l’impossibilité
d’intégrer de tels capteurs à la périphérie ou à l’intérieur du moteur,
induisant un plus grand accouplement élastique. Cette solution technique est
relativement coûteuse puisque l’accouplement et le capteur doivent
supporter les à-coups de couples imposés par le moteur.
• Une augmentation significative du coût du capteur de position et de sa
maintenance en cas de panne.
13
Introduction générale
Tenant compte de tous ces inconvénients et pour des raisons économiques,
de nombreuses études ont été faites sans capteur mécanique tout en
préservant le bon fonctionnement de la machine avec une sureté de
fonctionnement même en mode dégradé. Ces études ont abouti à différentes
méthodes de commande sans capteur, toutes fondées sur l'utilisation de
variables électriques, courants et tensions, afin d’estimer la position du rotor
d'après un modèle représentatif de la machine.
Il existe actuellement dans la littérature plusieurs techniques de synthèse
d’observateurs non linéaire permettant d’estimer la vitesse ou la position afin
de réaliser la commande sans capteur mécanique, parmi ces méthodes on
cite celles qui ne tient pas compte du modèle basé sur le principe d’injection
d’un signal d’excitation supplémentaire à haute fréquence indépendant de
l’alimentation fondamentale de la machine [MIR07][ARI07][PER07]. D’autres
utilisent l’approche basée sur le modèle de la machine. Cette approche est
réalisée par l’estimation des forces électromotrices f.e.m dans un repère
tournant hypothétique (δ −γ) [NAH01][VAS08][MOR02] ou dans un repère
fixe (α-β) [YAN02][ZHA07][CHE03] ou par des observateurs d’état, en effet,
cette approche a été appliquée avec succès à la commande sans capteur des
machines. Certains observateurs basés sur la technique de modes glissants
ont été l’objet de nombreux travaux soit d’ordre un [YAN02][PAP06][EZZ10]
ou d’ordre supérieur [ZAL10]. D’autres utilise les réseaux de neurones
artificiels [LIU06][HAL10], on trouve aussi les observateurs interconnectes à
grand gain [BES98][TRA08][GIR10] et les méthodes de modèle de référence
adaptatif [KIM03][RAS07][LAR10].
Le filtre de Kalman étendu (FKE) a été utilisé dans [DHA91] [XU03]. Bien
que ce filtre soit stable et bien connu, il entraine un coût de calcul important
nécessitant une initialisation bien précise. En revanche, [BOU04] a développé
un filtre de Kalman étendu discret. L’algorithme utilisé présente l’avantage
de réduire le coût de calcul (−3.6%) en comparaison à un filtre classique. Un
autre observateur plus efficace dit filtre de Kalman à deux niveaux a été
proposé [AKR08] permettant une réduction notable du temps de calcul tout
en conservant les performances du FKE conventionnel. Ce type de filtre a
attiré notre attention et a été appliqué par la suite.
Concernant la commande sans capteur mécanique, la plupart des méthodes
de commande est de type commande linéaire, on cite la commande
vectorielle classique (régulateur PI) [FUR92] [RAS07][GU04] ou
la
commande par retour d’état [ZHE07].
Récemment, de nouvelles commandes non linéaires pour le contrôle sans
capteur mécanique sont apparues. La commande modes glissants d’ordre
14
Introduction générale
supérieur quasi-continue a été proposée [CIA10]. La commande de type
backstepping a été présentée [KE05] avec la mesure de la position pour
estimer la vitesse.
Cependant, à notre connaissance, les méthodes de commandes sans capteur
mécanique proposées dans la littérature sont testées et évaluées dans des
conditions de fonctionnement à haute vitesse de la machine alors que les
difficultés sont essentiellement à basse vitesse à cause de l'inobservabilité de
la machine. Nous avons aussi constaté que pour ces lois de commandes sans
capteur mécanique proposées, il n'existait pas de démonstration
d’inobservabilité et de convergence globale de l'ensemble "Commande Observateur" en boucle fermée excepté quelques travaux.
III. Organisation du manuscrit
Dans cette thèse, on s’intéresse à la commande avec et sans capteur
mécanique du MSAP, en utilisant différentes commandes existantes dans la
littérature. L’objectif fixé est de concevoir des lois de commandes robustes et
de les associer à des observateurs afin de réaliser la commande sans capteur
mécanique du moteur synchrone à aimants permanents, ainsi que des tests
de robustesse et de procéder à la validation expérimentale de l’ensemble
(Commande - observateur)
La démarche adoptée est la suivante:
• La première partie du travail est consacrée à la commande non linéaire avec
capteur mécanique. Cette partie s’articule autour de trois chapitres.
• La deuxième partie est dévouée à la conception des lois de commande sans
capteur mécanique, traitée dans les trois derniers chapitres.
Le premier chapitre est consacré à la description de la machine synchrone à
aimants permanents et ses différentes applications. Les différents modèles
d’état non linéaires de cette machine, dans le repère fixe (α−β) et dans le
repère tournant (d−q), sont traités. Le principe de la commande vectorielle et
son application à la MSAP est présenté et la commandabilité de la MSAP est
étudiée.
Le deuxième chapitre concerne la commande à structure variable pour cela
nous avons choisi l’approche non linéaire par mode glissant (MG).
L’application pour la commande en vitesse de la MSAP est synthétisée. On
remarque cependant que le signal de commande obtenu présente des
variations brusques dues au phénomène de broutement (Chattering). Ceci
nous a poussés à effectuer une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement, afin de réduire les effets du phénomène de broutement et
d’améliorer davantage les performances de contrôle du MSAP. Plusieurs
15
Introduction générale
résultats de simulation obtenus sur différentes trajectoires sont fournis et
commentés.
Le troisième chapitre est consacré à la théorie de contrôle dite backstepping.
Elle offre une méthode systématique pour effectuer la conception d'un
contrôleur, pour des systèmes non linéaires. Une démonstration de
convergence par la théorie de Lyapunov de la loi de commande sera détaillée
L'avantage principal de cette méthode est de garantir la stabilité de
l’ensemble du système (contrôleur et moteur), mais présente cependant
quelques inconvénients. Sa structure, qui s'apparente à celle d'un
(proportionnel-dérivé) PD, est très sensible au bruit de mesure. En régime
permanent, des erreurs statiques persistent. Des solutions pour régler ces
problèmes ont été apportées, une action intégrale a été introduite dans le
contrôleur. Des résultats de simulation obtenus sur différents profils seront
donnés et commentés.
Le chapitre quatre porte essentiellement sur les rappels des notions de base
d’observabilités des systèmes linéaires et non linéaires ainsi qu’à la
présentation, en particulier, de synthèses d’observabilités quand le problème
des entrées pour le systèmes non linéaire est posé (observabilité non
uniforme) et la notion d’observabilité uniforme. Ensuite nous nous
intéresserons plus spécifiquement au problème de l’observation de l’état de
la MSAP. A travers cette étude, nous pourrons conclure sur les propriétés
d’observabilité de la MSAP. En d’autres termes, quand est ce qu’il est
possible de reconstruire les variables d’état électriques (courant) et
mécaniques (vitesse, position et couple de charge) ?. La deuxième partie est
consacrée à l’étude des performances de la commande sans capteur basée sur
l’observation d’état associé à un régulateur classique PI et un régulateur
backstepping. Nous avons choisi l'observateur de Luenberger appliqué pour
l’estimation des grandeurs mécanique. L’étude de la robustesse vis-à-vis des
incertitudes paramétriques ou de bruits a été menée et des résultats de
simulation obtenus sont présentés et commentés.
Le cinquième chapitre traite le filtre de Kalman étendu (FKE) et ses atouts
pour remédier aux insuffisances de l’observateur de Luenberger. On associe
la commande par PI et Backstepping à l’observateur FKE pour effectuer la
commande sans capteur mécanique de la MSAP. Une démonstration sera
faite au fur et à mesure pour chaque cas étudiés et des résultats de simulation
seront fournis et commentés.
Afin de valider nos résultats de simulation, un sixième chapitre destiné à la
mise en œuvre expérimentale des lois de commande associées à l’observateur
de vitesse complète ce travail afin de tester le système en temps réel. Les
16
Introduction générale
résultats expérimentaux obtenus sont présentés ainsi que des tests de
robustesse montrant ainsi la validité des algorithmes de commande
appliqués au MSAP.
Finalement, une synthèse des travaux réalisés conclut ce travail tout en
proposant également plusieurs perspectives de prolongement du travail
réalisé, ainsi les axes futurs à exploiter pour la poursuite des travaux sur la
commande sans capteur mécaniques des MSAP à faible vitesse.
17
Introduction générale
Références
[AKR08]
[ARI07]
[ÂST84]
[BAL91]
[BAR98]
[BEN01]
[BEN98]
[BEN00]
[BES98]
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19
Introduction générale
[FAQ03]
[FRA87]
[FRE99]
[FUR92]
[GIR10]
[GU04]
[HAJ96]
[HAL10]
[INA02]
[ITK02]
[KE05]
[KRI95]
[LAS04]
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Introduction générale
[LOU02]
[MAH99]
[MAR95]
[MOR02]
[MIH02]
[MIH12]
[MIR07]
[NAH01]
[PAN94]
[PÉR02]
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21
Introduction générale
[PAP06]
[TRA08]
[RAC07]
[UTK77]
[UTK99]
[UTK93]
[VAS08]
[VAS66]
[XU03]
[YAN02]
[ZAL10]
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D. Zaltni, M. Ghanes, J. P. Barbot and M. N. Abdelkrim. A HOSM
Observer with an Improved Zero-speed Position Estimation Design for
Surface PMSM Sensor-less Control , 2010 IEEE International Conference
on Control Applications, Part of 2010 IEEE Multi-Conference on
Systems and Control Yokohama, Japan, September 8-10, 2010.
22
Introduction générale
[ZEN07]
[ZHA07]
Z.Zheng, M. Fadel, and Y. Li. High Performance PMSM Sensorless
Control with Load Torque Observation, The International Conference on
Computer as a Tool, EUROCON, pp. 1851-1855, Warsaw, 9-12
September, 2007.
S. Zhao and X. Peng. A Modified Direct Torque Control Using Space
Vector Modulation (DTC-SVM) for Surface Permanent Magnet
Synchronous Machine (PMSM) with Modified 4-order Sliding Mode
Observer, Proceedings of IEEE International Conference on
Mechatronics and Automation, Harbin, China, 5-8 August, 2007.
23
CHAPITRE I
DESCRIPTION ET COMMANDE
VECTORIELLE DU MSAP
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Sommaire
I.1 Introduction
I.2 Applications industrielles d’un MSAP
I.2.1. Domaine Ferroviaire
I.2.2. Domaine de la propulsion navale
I.2.3. Domaine de l’avionique
I.2.4. Domaine du véhicule électrique ou hybride
I.3 Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents
I.3.1. Equations électriques
I.3.2. Equations mécaniques
I.3.3. Modèle d’état d'un MSAP dans le repère d-q
I.3.4. Modèle d’état d'un MSAP dans le repère fixe α−β
I.4 Modélisation de l’onduleur de tension
I.5 La commandabilité du MSAP
I.5.1. Accessibilité forte
I.5.2. Application à la MSAP
I.6 Stratégies de commande du MSAP
I.6.1. Réglage assurant un couple maximal
I.6.2. Réglage assurant un facteur de puissance unitaire
I.7 Commande scalaire du MSAP
I.7.1.L'amplitude des courants de référence
I.7.2.Le déphasage des courants par rapport aux forces
électromotrices
I.8 Commande vectorielle du MSAP
I.8.1. Principe de la commande vectorielle
I.8.2. Les différents types de la commande vectorielle du MSAP
I.8.2.1. Commande vectorielle simplifiée
I.8.2.2. Commande vectorielle indirecte
I.8.2.3. Commande vectorielle directe
I.9 Calcul des régulateurs
I.9.1. Régulateur du courant
I.9.2. Régulateur de vitesse
I.9.3. La fonction d’anti-saturation (anti-windup)
I.10 Résultats de simulation
I.11 Conclusion
24 Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
I.1. Introduction
L’électrotechnique moderne a été bouleversée par deux phénomènes,
l’apparition sur le marché d’aimants de plus en plus performant et le
développement de l’électronique de puissance de mieux en mieux adaptée
aux exigences industrielles [NOU94].
Les premiers aimants exploités sont les alnicos (aimants métalliques), ensuite
les ferrites qui sont des aimants robustes, surs et peu coûteux. Depuis une
vingtaine d’années les aimants à base de terres rares ( SmoCo5) et (Sm2Co17)
ont fait leur apparition. Ces aimants sont très appréciés par les constructeurs
et ont contribué à la conception des machines synchrones à aimants
permanents MSAP. Ils permettent de réduire l’inertie du rotor, d’avoir des
couples volumiques et massiques élevés et autorisent des courants
statoriques élevés [CLE93].
En dehors de ses avantages; l’association des machines à aimants
permanents aux convertisseurs de puissance fonctionnant selon un
principe assimilable à celui de la machine à courant continu assure des
performances appréciables exigées dans de nombreuses applications dans
divers domaines, tel que la technologie de l’espace (actionneurs d’aviation,
de satellites), la télécommunication, la robotique, les machines outils…etc.
[BOU98, BOU95, CHI99]
Ce chapitre est consacré à la description des ensembles convertisseursmachine MSAP et à leurs applications. Ainsi nous rappelons la commande
vectorielle des MSAP, tout en étudiant la commandabilité de ces machines.
I.2. Applications industrielles d’un MSAP
L’utilisation accrue d’actionneurs électriques remplaçant des actionneurs
pneumatiques ou hydrauliques dans les systèmes autonomes ou embarqués
(avions, automobile et propulsion navale), a permis d’augmenter la flexibilité
de contrôle, de réduire les coûts d’exploitation grâce aux économies
d’énergie et à la réduction des coûts de maintenance par la suppression des
circuits d’alimentation en air ou en huile, de gagner en compacité et de
réduire les émissions de gaz.
A titre d’exemple on cite quelques applications de la MSAP dans les
systèmes embarqués.
I.2.1. Domaine Ferroviaire
Les MSAP sont de plus en plus présent dans les chaînes de traction
ferroviaire ainsi que dans les véhicules électrique ou hybrides [ZER06] du
fait notamment de leur faible encombrement et du fort couple massique. Elle
25
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
est par exemple utilisée dans les nouvelles Automotrices Grande Vitesse
AGV qui sont un projet de train à grande vitesse de la société Alstom qui
permet d’optimiser l’espace et de réduire la masse des trains [AGV07]. Il
devrait entrer en service en 2010.
I.2.2. Domaine de la propulsion navale
Dans le domaine maritime, au début des années 90 est apparue l’idée de
combiner les avantages de manœuvrabilité des gouvernails mécaniques avec
la flexibilité de la propulsion électrique. L’idée de base consiste à loger le
moteur électrique de propulsion dans une nacelle, appelée POD (Propulsors
with Outboard Drives) fixée sous la coque à l’extérieur du navire. Ce moteur
va entraîner une hélice à pas fixe. Dans la propulsion par POD, afin
d’améliorer le rendement hydrodynamique, un faible diamètre de “bulbe”
est nécessaire. Cela nécessite un moteur qui, dispose d’un couple volumique
et massique important. Les MSAP à enroulements polyphasés se sont
naturellement imposés dans ce domaine [FIL01].
I.2.3. Domaine de l’avionique
Les évolutions de l’électronique de puissance ont permis d’introduire des
actionneurs électromécaniques spécifiques dans le domaine de l’avionique.
Ce développement contribue à la réduction de la pollution sonore et de la
pollution atmosphérique (moins de CO2 et moins de fluide). Les contraintes
de limitation de la masse embarquée favorisent l’utilisation des actionneurs
compacts à fort couple massique et volumique tels que les MSAP [BOT00].
Néanmoins à l’heure actuelle, les EHA (Electro Hydrostatic Actuator) sont
les actionneurs les mieux adaptés aux architectures actuelles des avions de
ligne car elles permettent de bénéficier des avantages des moteurs électriques
et des forces importantes développées par les vérins hydrauliques [LAN06].
I.2.4. Domaine du véhicule électrique ou hybride
Le secteur des transports routiers est responsable du tiers des émissions de
gaz à effet de serre. C’est également un secteur consommateur de ressources
fossiles dont l’épuisement est annoncé à l’horizon 2050 [MUL98]. La
communauté internationale a donc proposé des règles au sein du protocole
de Kyoto pour limiter les émissions de gaz polluants. Ces règles ont été
renégociées au sommet de Copenhague en 2009. La part importante du
secteur des transports a incité les constructeurs automobiles à développer
des solutions alternatives au moteur à combustion interne.
26
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Les véhicules à propulsion hybride (moteur thermique et moteur électrique)
ou à propulsion électrique sont les solutions les plus prometteuses à moyen
et long terme si les technologies de stockage d’énergie embarquée et les
énergies renouvelables deviennent efficientes et compétitives. Tous les
constructeurs ont développé ou commercialisé des modèles de véhicules
hybrides ou électriques. Parmi les moteurs électriques, les moteurs
synchrone et asynchrone [CHA08], [ZHU07] semblent être à l’heure actuelle
les plus prometteurs.
Néanmoins au delà des performances, les chaines de conversion d’énergie
électrique devront garantir d’une part la sûreté de fonctionnement du
système en passant par une conception judicieuse des composants le
constituant, et d’autre part développer la connaissance sur les défauts des
composants et leurs conséquences afin de mettre en place les stratégies de
contrôle adaptées[LIU09].
I.2.5. Domaine de l’énergie de l’éolienne
Les premiers générateurs éoliens étaient couplés directement au réseau, ce
qui imposait une vitesse de rotation constante. Le développement de
l’électronique de puissance a rendu possible le couplage de ces générateurs
éoliens au réseau par l’intermédiaire de convertisseurs d’électronique de
puissance fonctionnant à vitesse variable, afin d’extraire le maximum de
puissance du vent [LEC04].
La figure I.1 montre le schéma d’une éolienne à vitesse variable gouvernée
par une machine synchrone à aimants permanents destinée à alimenter un
réseau ou des charge isolées [CIM05].
Fig 1.1 – Schéma de principe d’une éolienne à vitesse variable avec MSAP
27
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
I.3. Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents
L‘étude des systèmes électromagnétiques ne peut se faire que moyennant des
hypothèses ou des transformations mathématiques afin d’obtenir un ou
plusieurs modèles simplifiés. Les hypothèses usuelles données dans la
majorité des références sont adoptées comme suit [BOS02, ARR06, NAH01,
LIP98]
ƒ Le circuit magnétique n’est pas saturé et l’effet de Peau et d’hystérésis est
négligé. Les flux sont des fonctions linéaires des courants qui leur donnent
naissance.
ƒ Le circuit magnétique est parfaitement feuilleté, que seuls les
enroulements (inducteur et induit) sont parcourus par des courants, ce qui
permet de négliger les courants de Foucault.
ƒ La densité de courant est uniforme dans les sections des conducteurs
élémentaires afin de négliger l’effet pelliculaire.
ƒ La force magnétomotrice créée le long de l’entrefer dans chaque phase de
l’induit est à répartition spatiale sinusoïdale, on ne considère que le
fondamental et on néglige les harmoniques d’espace.
ƒ On assimile le système d’alimentation à une source triphasée délivrant des
tensions symétriques et équilibrées et dont la composante homopolaire est
nulle.
I.3.1. Equations électriques
A partir de la représentation du MSAP de la figure (I.2), les équations
électriques dans un repère fixe lié au stator sont décrites par :
(1.1)
Les flux totaux statoriques qui sont exprimés par :
cos
avec :
cos
cos
28
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Sb
R1
ib
vb
θ
øf
ia
Sa
va
vc
ic
R2
Sc
Fig 1.2 - Représentation du MSAP dans le repère triphasé (a,b,c)
En appliquant les transformations de Park P(θ) et de Concordia T32 données
à l’annexe (A1) au système d’équations (1.1) on peut exprimer toutes les
grandeurs dans un repère lié au rotor comme le montre la figure (1.3).
Si θ est l'angle électrique désignant la position du rotor par rapport au stator,
nous avons :
(1.2)
et
sont fonctions linéaires des courants id et iq :
(1.3)
En reportant les expressions des flux (1.3) dans l'équation (I.2) le modèle de
Park s’écrit :
0
0
0
0
0
29
(1.4)
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
d
d
Sb
ids
ib
vb
vds
φ
f
φ
[P(θ)]
θ
0
ia
f
θ
Sa
Sa
va
vc
vqs
ic
iqs
q
Sc
q
Fig 1.3 Schéma équivalent du M.S.A.P dans les plan (abc) et (d,q).
I.3.2. Equations mécaniques
Apres la transformation de Park, le couple électromécanique développé par
les machines synchrones peut être donné par la relation suivante:
(1.5)
La conversion de l'énergie électrique en énergie mécanique dans les
machines tournantes est régie par la relation suivante :
Ω
Ω
(1.6)
La position du rotor θ évolue d'après l'équation différentielle suivante :
θ
Ω
(1.7)
En combinant les équations (1.2)- (1.7), on représente le modèle fonctionnel
de la MSAP à la figure 1.4
vds
+
1/(Rs+Lds)
+
vqs
+
-
Lq
P(Ld-Lq)
Ld
1/(Rs+Lqs)
-
Pφf
+
+
-
φf
Cr
Fig 1.4 Modèle de la MSAP
30
P/(fc+Js)
ω
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
I.3.3. Modèle d’état d'un MSAP dans le repère d-q
La représentation du modèle d'état demande, dans un premier temps, la
définition du vecteur d'état x, du vecteur d'entrée u et du vecteur de sortie y.
Dans le cas fréquent de la représentation d’une machine électrique dans le
plan d-q (I.4), les entrées de la machine sont les tensions statoriques vd et vq
lorsqu’elles est alimentées en tension et les courants statoriques id et iq
représentent le vecteur de sortie.
Dans le cas d'une régulation de couple ou de vitesse angulaire, le modèle
d'état dans le repère tournant d-q est décrit par le système ci-dessous :
Ω
0
Ω
Ω
Ω
(1.8)
0
C
0
0
Ce modèle est non linéaire à cause des termes id Ω, iq Ω, id iq.
Le couple de charge Cr est considéré généralement comme une perturbation
à compenser par le régulateur de vitesse ou de position θ du rotor. Il faut en
tenir compte de celle-ci comme une nouvelle variable d'état évoluant d’après
l'équation (1.7). Sa dynamique est en fonction de la vitesse angulaire Ω. Le
nouveau modèle d'état s'écrit :
0
Ω
Ω
0
Ω
Ω
C
Ω
0
0
0
0
(1.9)
I.3.4. Modèle d’état d'un MSAP dans le repère fixe α−β
Dans le repère fixe α,β décrit en annexe 01 les équations de la MSAP
peuvent s’écrire sous la forme données par (I.10) à partir du modèle (I.4)
[CHE03], [BIS06]:
(1.10)
La représentation fonctionnelle du modèle de Park des MSAP illustrée sur la
figure I.5
31
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Fig. 1.5 - Représentation fonctionnelle du MSAP
I.4. Modélisation de l’onduleur de tension
Dans notre travail nous avons choisi l’onduleur de tension commandé par la
technique de Modulation de Largeur d'Impulsions (MLI), la modulation
sinus-triangle a été choisie pour la génération des tensions d’alimentation du
MSAP.
Du fait que les constantes de temps des machines et des régulateurs sont très
grandes devant le temps de transition d'un état à l'autre des composants
semi-conducteurs, on peut faciliter la modélisation et réduire le temps de
simulation en modélisant l'onduleur par un ensemble d'interrupteurs idéaux.
La figure I.6 représente le schéma de cet onduleur et son modèle.
Les six interrupteurs de l'onduleur relient les deux bornes de la source
continue de tension aux trois phases de la machine. Les tensions de sortie
aux bornes de l’onduleur sont prises par rapport au point fictif "o" de la
source de l’onduleur. Une fonction logique décrit l’état de chaque
interrupteur, sa valeur vaut un (1) si l’interrupteur est fermé et zéro (0) s’il
est ouvert.
Cette fonction est définie par :
0
é
1
é
32
avec i = 1,2,3
S1
S2
Onduleur
Description et commande vectorielle du MSAP
S3
o
S’1
S’3
S’2
ia
ib
ic
vb
n
Stator de la
MSAP
Chapitre I
vc
va
Fig. 1.6 - Représentation simplifiée de l’onduleur.
Les tensions de sortie sont obtenues par la relation suivante :
2
1
1
1
2
1
1
1
(1.11)
2
Avec
2
Et
1
1
2
1
1
(1.12)
1
1
2
En utilisant les fonctions de connexion, les tensions composées de l’onduleur
sont exprimées de la manière suivante :
(1.13)
Les tensions de branches vao vbo vco peuvent être exprimées en fonction des
fonctions logiques par :
33
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
(1.14)
En remplaçant vao vbo vco dans la relation (1.11) on obtient
2
1
1
1
2
1
(1.15)
1
1
2
I.5. La commandabilité du MSAP
Avant de développer des structures de commande du MSAP, il convient
d'aborder la question de la commandabilité des modèles non linéaires.
L'étude de la commandabilité d'un système non linéaire est, dans notre cas,
effectuée localement. Elle est analysée autour d'un état x0. Ceci est
caractéristique d'un système non linéaire où le principe de superposition
n'est plus applicable. Nous introduisons ci-dessous une notion d'accessibilité
qui permet d'approcher la notion de commandabilité classique pour un
système non linéaire. [NIJ91, NAH01].
I.5.1. Accessibilité forte
L'accessibilité forte d'un système non linéaire et affine en entrée
∑
,
,
demande une distribution d'accessibilité D(x) de rang plein :
;
où :
Avec
,
,
2
1, … ,
;
0,1,2, … .
(1.16)
, où :
,
(1.17)
Dénote le crochet de Lie de deux champs de vecteurs.
34
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
I.5.2. Application à la MSAP
On calcule les distributions possibles d'accessibilité pour les deux modèles
(I.8) et (I.9)
0
,
0
,
(1.18)
0
,
0
Ω
,
0
,
Ω
0
0
0
0
0
Il s'ensuit :
(1.19)
0
3
4
⁄
.
Cette condition est en pratique satisfaite car id dans les MSAP est très
⁄
. Les deux modèles d'état (I.8) et (I.9) sont donc
inférieur à
localement commandable.
I.6. Stratégies de Commande du MSAP
Le MSAP peut fonctionner sur une large gamme de la caractéristique couplevitesse. En fait, le couple électromagnétique, hors couple de reluctance,
résulte d'une interaction de deux champs tournants fondamentaux. L'un est
appelé champ rotorique, il est fixé par les aimants permanents et il tourne à
la vitesse électrique du rotor. L'autre est appelé champ statorique. D'après le
théorème de Ferraris, les deux champs tournent à la même vitesse électrique
en régime permanent; ceci constitue le synchronisme. Cependant, la perte de
synchronisme peut être causée par une variation brusque de la vitesse de
rotation de la machine sous l'effet d'un changement brutal du couple
résistant. Elle peut aussi provenir, d'une surcharge en couple résistant qui
dépasse le couple maximal de la machine. Afin d'éviter cette perte, il est
nécessaire de synchroniser les formes des courants d'alimentation des
enroulements du stator sur la position du rotor. Dans ce cas, la machine est
dite autopilotée, ceci est représenté par la figure 1.7
35
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
D'autre part, pour améliorer les performances en régime dynamique, le
couple doit faire l'objet d'un réglage des amplitudes des champs tournants, et
ce, selon le type de fonctionnement désiré. Dans la littérature, nous
distinguons deux modes de réglage [GRE96][ERR10] :
Fig 1.7 Schéma du principe de l’autopilotage d’un MSAP
I.6.1. Réglage assurant un couple maximal
Le flux rotorique étant fixé par les aimants permanents. En imposant l'angle
de déphasage des champs tournants, nous pouvons facilement réguler le
couple de la machine par la régulation de l'amplitude du courant statorique
[GRE96][KAD00].
Dans les équations de Park, si nous utilisons la composante directe du
courant comme argument d'optimisation, le fonctionnement à couple
maximal est obtenu en dérivant l’expression du couple donnée par I.5 par
rapport à id et en posant cette dérivée égale à zéro, la solution de cette
dernière représente le courant de référence
0
(1.20)
Ce qui donne
Dans le cas où la machine est à pôles lisses
devient
36
, l’expression I.5
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
La composante directe est naturelle annulée pour l’optimum il suffit de
choisir :
0
(1.21)
Cette dernière équation est la plus utilisée même pour la machine à pôles
saillants de faible saillance.
Cependant, le fait de forcer la composante directe du courant à rester nulle
pour une machine à pôles saillants, conduit, d'une part, à une augmentation
du module du flux statorique et de ce fait, à une valeur plus élevée des pertes
fer, et d'autre part, à une augmentation de la tension statorique. Cette
augmentation vient du fait que le MSAP est caractérisé par une grande
valeur de l'inductance en quadrature par rapport à l'inductance directe. Pour
pallier à ce problème, nous pouvons réguler le module du flux statorique au
lieu de la composante directe du courant statorique.
I.6.2. Réglage assurant un facteur de puissance unitaire
Pour assurer cet objectif (un facteur de puissance unitaire) [ERR10][GRE96],
on prend
(1.22)
Il reste maintenant à prévoir les approches adéquates de commande
permettant d'asservir ces consignes. Dans ce contexte on peut procéder soit à
la commande scalaire ou à la commande vectorielle telle que nous allons les
définir.
I.7. Commande Scalaire du MSAP
La commande scalaire [GRE96] est une technique classique pour
l'entraînement des MCA et qui consiste à contrôler leur couple par la
régulation de l'amplitude des courants statoriques le plus souvent dans le
repère triphasé (abc). Pour ce faire, elle utilise le modèle établi. L'algorithme
de contrôle délivre deux consignes, à savoir:
37
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
I.7.1. L'amplitude des courants de référence
Elle est obtenue par un régulateur de vitesse tenant compte de l’erreur entre
la vitesse de consigne et la vitesse de rotation réelle du moteur est introduite
dans un régulateur, la sortie du régulateur élabore l'amplitude du courant de
référence.
I.7.2. Le déphasage des courants par rapport aux forces électromotrices
Cette technique est basée sur la position du rotor par rapport au stator et du
déphasage des courants statoriques par rapport à la f.e.m induite, afin de
faire fonctionner le MSAP à couple maximal ou facteur de puissance unitaire.
La régulation des courants statoriques est réalisée par deux méthodes à
savoir :
¾ Le contrôle par hystérésis : qui consiste à maintenir les erreurs entre les
courants mesurés et les courants de référence dans une bande, appelée bande
d'hystérésis définie au préalable. Ces erreurs sont introduites directement
dans des comparateurs, appelés comparateur à hystérésis. Les sorties des
comparateurs constituent les signaux de commande des interrupteurs du
convertisseur.
¾ Le contrôle par correcteur à MLI : où les erreurs des courants sont
introduites dans des régulateurs ou correcteurs. Les instants de commutation
des interrupteurs de l'onduleur sont déterminés par les points d'intersection
entre les signaux issus des régulateurs représentant la tension de commande
et un signal triangulaire de haute fréquence ou porteuse.
Remarque La commande scalaire est facile à implanter en temps réel. Elle est
cependant moins performante au niveau des performances dynamiques dûes au fait
qu'elle est basée sur le modèle établi en régime permanent. C'est pour cette raison
pour qu’elle ait été délaissée au profit de la commande vectorielle basée sur le modèle
transitoire.
I.8. Commande vectorielle du MSAP
La commande vectorielle introduite dés 1971 par Blaschke est basée sur
l'électromagnétisme, elle est définit par : « une force exercée sur un
conducteur parcouru par un courant placé dans un champ magnétique est
égale au produit vectoriel du vecteur courant par le vecteur champ» [BLA72].
Il en résulte évidemment que l'amplitude de cette force sera maximale pour
des intensités du courant et du champ donnés quand le vecteur courant sera
en quadrature avec le vecteur champ. Si ce principe est applicable aux
38
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
machines électriques à courant continu qui sont naturellement découplés, il
n'en est pas de même pour le MSAP où l'angle entre le champ tournant du
stator et celui du rotor varie avec la charge. Ceci induit des interactions
complexes et des réponses dynamiques oscillantes.
I.8.1. Principe de la Commande vectorielle
Quel que soit le but de la commande (régulation de couple, de vitesse ou de
position), le contrôle du couple du moteur est nécessaire. La stratégie de
commande repose sur le modèle de Park de la machine et consiste que la
composante id permet de modifier (si nécessaire) l’état magnétique de la
machine tout en minimisant les pertes joules. Il sera donc nul pour des
MSAPPL ou des MSAPPS à faible saillance (1.22) ou régulé à une valeur
donnée (1.21) dite optimal pour des MSAPPS. Le courant iq permet de
contrôler le couple. La régulation s’effectue donc sur des grandeurs du
référentiel tournant et donne la possibilité de placer les champs magnétiques
statoriques de manière précise. La structure de commande est décrite par le
schéma représenté par la figure 1.8. Elle s’appuie principalement sur une
connaissance de la position précise du champ magnétique statorique par la
mesure de la position mécanique. Une fois cette mesure connue, les
grandeurs électriques peuvent être changées de référentiel. La régulation des
courants s’effectue dans le repère tournant, les tensions de commande
déduites sont transformées en tensions triphasées et appliquées aux moteurs
par une commande MLI décrite plus haut.
Fig. 1.8 - Schéma global de la commande vectorielle du MSAP
I.8.2. Les différents types de la commande vectorielle du MSAP
Reprenons le modèle de la MSAP dans le référentiel de Park défini par les
équations (1.4) où on remarque que les courants ne sont pas indépendants
l’un à l’autre, ils sont reliés par des termes de coefficients non linéaires.
39
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
La commande d’un courant est donc sensible à la variation de l’autre. Ce
couplage qui constitue l’une des difficultés de contrôle des MSAP peut être
éliminé par une des trois méthodes de la commande vectorielle définies
comme suit :
1. Commande vectorielle simplifiée
2. Commande vectorielle indirecte
3. Commande vectorielle directe
Nous les exposons en mettant l’accent sur les avantages et les inconvénients
de chacune d’elles.
I.8.2.1. Commande vectorielle simplifiée
La structure de commande peut être simplifiée d’une part au niveau du
découplage et d’autre part au niveau des régulateurs. Le courant id peut être
naturellement maintenu nul si on découple le système au moyen du retour
des variables d’état par l’action calculée à partir des variables du système.
Le schéma de principe donné par la figure 1.9 peut être déduit de la figure
1.3, en représentant en trait discontinu l’action de retour de variable d’état
servant à l’annulation du courant id .
Son principal intérêt est de réduire la complexité de l’algorithme de
commande (réduction du taux de calcul) et par conséquent la réduction du
coût de la réalisation pratique mais tout en gardant des performances
élevées. [ROB92] [BUY89] [KEN03]
Lq
vds
+
1/(Rs+Lds)
+
vqs
+
-
Lq
P(Ld-Lq)
Ld
1/(Rs+Lqs)
Pφf
-
+
+
P/(fc+Js)
ω
-
φf
Cr
Fig. I.9 Découplage des axes d, q du MSAP par retour d’état
A partir de l’équation I.4, le courant id est maintenu nul en prenant :
(1.23)
40
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Cependant, en pratique, le découplage réalisé au moyen de l’expression
(1.23) n’est pas parfait à cause des incertitudes sur les paramètres, des
imprécisions de mesure ou encore le délai du temps de calcul et les effets de
ces imperfections sur la réponse du système peuvent néanmoins être réduits
en choisissant des régulateurs suffisamment robustes de vitesse ou de
position.
L’estimation du courant iq est obtenue à partir du modèle décrit par le
système d’équations I.4, par la relation suivante :
(1.24)
T : période d’échantillonnage de l’estimation
La figure 1.10 illustre la vue globale de cette commande simplifiée associée
au réglage de la vitesse où la tension de commande vdref est calculée par
l’équation (1.23) en utilisant l’estimation du iq (1.24) et la tension vqref est
fournie par le régulateur de vitesse Rω
Onduleur
vas
vbs
MSAP
vcs
Vp
ωref
+
ω
vqref
Rω
-
Ω
Commande MLI
varef
d, q
vbref
Estimation de iq
Calcul de vdref
vdref
vcref
a,b,c
∫
Fig 1.10 Schéma global de la commande vectorielle simplifiée
avec régulation de vitesse.
I.8.2.2. Commande vectorielle indirecte
La structure de découplage du contrôle vectoriel indirecte de la MSAP est
obtenue en choisissant un couple de référence Cemref ou un courant de
référence calculé à partir des systèmes d'équations suivantes :
41
ω
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
(1.25)
Le courant statorique est fixé en boucle ouverte, en posant les conditions
suivantes :
idref = 0 et
, nous obtenons la
structure de découplage de la MSAP où les tensions de commande vdref et
vqref sont :
(1.26)
étant la tension de sortie du régulateur de courant id
La commande découplée par la méthode indirecte est donnée par la figure
(1.11). La référence du couple Cemref étant fixée, et les tensions de commande
sont calculées par le bloc FOC.
Cemref
1/Pφf
iqref
+
vqref
Rs+Lqs
+
φf
-Lq
vd0
+
vdref
+
Ω
Fig 1.11 Schéma bloc du FOC
La structure de commande vectorielle indirecte en boucle fermée avec
régulation de la vitesse est présentée à la figure 1.12. Le bloc FOC fournit les
tensions statoriques assurant le contrôle des courants id et iq puis le passage
aux grandeurs réelles se fait par la transformation de Park.
42
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Onduleur
va
vb
MSAP
vc
idmes
idref +
ωref +
ω
-
Vp
PI
PI
Cemref
Ω
vd0
FOC
vdref
Commande MLI
d, q
vqref
a,b,c
∫
Fig 1.12 Schéma global de la commande vectorielle indirecte
avec régulation de vitesse.
I.8.2.3. Commande vectorielle directe
Dans la même mesure où un contrôle précis du couple est exigé comme pour
le cas des machines de fortes puissances une régulation du courant iq est
indispensable, afin d’éviter des surcharges importantes des courants dans la
machine [KEN03][BON95]. La structure de commande précédente est
complétée par un régulateur dans l’axe q.
La commande vectorielle directe est à base d’une méthode de compensation
classique, celle ci consiste à faire réguler les deux courants id et iq en
négligeant les termes de couplage, ces derniers étant rajoutés à la sortie des
correcteurs des courants afin d’obtenir les tensions de commande vdref et vqref
.[KEN03]
C’est cette dernière structure qui a été choisi pour la suite de l’étude.
I.9. Calcul des régulateurs
Dans la majorité des applications, la machine est alimentée par un onduleur
de tension et donc le contrôle des courants est réalisé par l’intermédiaire des
tensions appliquées au stator. Par contre, les équations des tensions sont
couplées par des termes croisés et par la f.c.é.m.; ces termes sont de plus
proportionnels à la vitesse. Donc, pour se ramener à deux systèmes
monovariables indépendants, on utilisant un découplage entre les axes.
A partir du modèle cité plus haut où :
43
ω
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
On remarque que les courants id et iq dépendent simultanément des
grandeurs d’entrée vd et vq. Nous avons ici un système multi variable à deux
entrées et deux sorties couplées.
En utilisant la commande vectorielle directe qui consiste à réguler les deux
courants id et iq en négligeant les termes de couplage ed et eq , ces deux termes
homogènes à une force contre-électromotrice qui agissent comme des
perturbations à compenser. Ces derniers étant rajoutés à la sortie des
régulateurs des courants (R)id et (R)iq afin d’obtenir les tensions de
commande vdref et vqref. [ BEN99, BON95, CAR95,KEN03]
On définie les termes de couplage :
(1.27)
Les tensions de commande vdref et vqref peuvent être décomposées en deux
tensions comme suit :
(1.28)
Avec le découplage mis en place on aboutit à deux systèmes monovariables
indépendants et linéaires. On peut donc utiliser une approche basée sur les
fonctions de transfert pour la synthèse des régulateurs de courant de type PI,
où vdr , vqr aient une relation de premier ordre avec les deux composantes de
courants statoriques id et iq
R
(1.29)
R
Avec G (R)id,q fonction de transfert du régulateur
I.9.1. Régulateur du courant
On peut donc utiliser une approche basée sur les fonctions de transfert pour
la synthèse des régulateurs. Le fait de pouvoir séparer les modes électriques
et mécaniques permet de décomposer un système d'ordre élevé en plusieurs
sous systèmes d'ordre faible et donc avoir une boucle externe et une boucle
44
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
interne (imbriquée) pour la synthèse des régulateurs aisée. Pour un
fonctionnement correct, il faut respecter un écart entre les dynamiques des
deux boucles. La dynamique de la boucle interne doit être sensiblement plus
rapide que la dynamique de la boucle externe. La commande par boucle
imbriquée est alors classiquement appliquée à la MSAP, puisqu'elle permet
de contrôler séparément les courants id et iq (et donc le couple) et la vitesse Ω.
Nous nous contenterons ici aux régulateurs classiques de type PI. Il utilise
une action proportionnelle sur la mesure et une action intégrale sur l’erreur
pour l’annulation de l’erreur en régime permanent. Ce régulateur est
généralement synthétisé dans le domaine continu, puis lors de passage à
l’expérimentation il est discrétisé par l’approximation d’Euler
, Te
désigne la période d’échantillonnage. Les gains du régulateur sont obtenus
par identification avec un modèle de référence en choisissant le coefficient
d’amortissement ξ et la pulsation naturelle ωn.
La boucle de régulation du courant id est donnée par la figure (1.13)
Fig 1.13 Boucle de régulation du courant direct
L’équation caractéristique de la fonction de transfert en boucle fermée est
donnée par:
d (s) = Ld s2 + ( R + Kpid ) s + Kiid = 0
(1.30)
En imposant toujours deux pôles complexes conjugués s1, 2 = ρ (-1 ± j) en
boucle fermée et par identification entre l’équation caractéristique et
l’équation désirée, on trouve les paramètres du régulateur.
2
2
I.9.2. Régulateur de vitesse
La boucle de régulation de la vitesse est donnée par la figure (1.14)
Fig 1.14 Boucle de régulation de la vitesse
45
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
L’équation caractéristique de la fonction de transfert en boucle fermée est
donnée par:
0
(1.31)
En imposant deux pôles complexes conjugués ( s1, 2 = ρ (-1 ± j) en boucle
fermée et par identification, on trouve les paramètres du régulateur.
(1.32)
La figure (1.15) donne le synoptique de cette commande.
L q ω iq
id
idref
+
-
PI
-
vdref
vd
Cd(s)
φf ω
iqref +
iq
PI
Cq(s)
vq
+
+
vqref
L q ω id
1
id
Lds+R
1
iq
Lqs+R
Commande découplée
Fig 1.15 Principe de découplage par compensation
I.9.3. La fonction d’anti-saturation (anti-windup)
Les sorties des régulateurs de courant i.e. vqref , vdref sont limitées à une valeur
maximale liées aux caractéristiques de la machine et du convertisseur
statique. Il est également nécessaire d’ajouter une fonction d’anti-saturation
(anti-windup) du terme intégral. Nous avons choisi d’appliquer celle
développée dans les travaux de L. Sicot [SIC97]. Lorsque la commande u
dépasse le seuil de saturation (limité à Vmax pour la régulation du courant), la
valeur de l’action intégrale est calculée de manière à ce que la somme de
l’action proportionnelle et de l’action intégrale au pas d’échantillonnage
suivant soit inférieure au seuil de saturation. Cette dernière perturbe
également le fonctionnement des régulateurs comportant une action
intégrale. En effet, la composante intégrale continue à croître, bien que la
sortie du régulateur soit limitée. Le délai nécessaire pour réduire la
46
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
composante intégrale excédentaire provoque un dépassement de la grandeur
à régler, dont l'amplitude est proportionnelle à la période de saturation
(problème de reset-windup) [SIC97].
De nombreuses méthodes, dites mesures anti-reset-windup (ARW), ont été
proposées pour la modélisation du circuit saturé et pour la correction de la
composante intégrale. Nous utilisons ici une approche dynamique qui
permet d'éviter les effets ARW. De plus, elle est applicable à la limitation
exacte d'une structure par boucle imbriquée.
Le principe de cette approche est montré sur la figure 1.16.
Fig 1.16 Anti-Reset-Windup.
r est la consigne de référence, y est la grandeur à réguler, us est la sortie
limitée du régulateur. C(z) désigne le régulateur numérique et rs la référence
limitée entre rmax et rmin. Ces valeurs de limitation sont calculées par :
La structure de commande vectorielle en boucle fermée avec régulation de la
vitesse est présentée à la figure (1.17) Les blocs Cd(s) et Cq(s) fournissent les
tensions statoriques vdref et vqref puis le passage aux grandeurs réelles se fait
par la transformation de Park
Onduleur
Uc
id
idref
ωref +
ω
-
+
vp
-
Rω i
qref iq
Cd(s)
Cq(s)
vdref
MSAP
Commande MLI
d, q
vqref
a,b,c
∫
Fig I.17 Schéma global de la commande vectorielle directe et régulation de la
47
ω
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
I.10. Résultats de simulation
Afin d’évaluer le comportement dynamique du MSAP munie de sa
commande vectorielle avec les boucles de régulations de courants id et iq,
nous avons testé les performances de la régulation de la vitesse sous
l’environnement Matlab/Simulink.
Le premier test simulé est réalisé pendant un temps de simulation de 2 sec,
ou on a appliqué un couple de charge de 5 Nm à l’instant t = 1 sec.
Les figures 1.18-1.19 présentent les résultats de simulation de la commande
vectorielle directe avec un régulateur PI de vitesse, les courbe montrent que
lors du démarrage à vide toutes les grandeurs se stabilisent après un temps
de réponse qui dure 0.2 s, la vitesse de rotation suis la vitesse de référence
sans présence de dépassement, un fort appel du courant au transitoire puis il
se stabilise en régime permanent. Le couple électromagnétique oscille lors de
la mise sous tension en atteignant une valeur maximale de 18 N.m et
disparaît une fois le régime permanent est atteint. Lors de l’application de la
charge, on remarque que le couple augmente de façon à compenser
instantanément le couple de charge avec quelques ondulations
supplémentaires au niveau du couple et du courant causées par la MLI.
vitesse rotorique mesurée et référence - PI 120
100
tr/mn
80
60
ωref
40
ωmes
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
Zoom demarrage
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
120
100.2
100
100.1
tr/mn
tr/mn
80
60
100
99.9
40
99.8
20
0
0
0.05
0.1
0.15 0.2
t(s)
0.25
99.7
0.3
1
1.2
1.4
t(s)
1.6
1.8
Fig 1.18 Comportement de la vitesse avec les paramètres nominaux du
MSAP
48
2
Description et commande vectorielle du MSAP
20
15
10
a b c
(A)
20
i ,i ,i
10
C
e
(Nm)
Chapitre I
5
0
0
-10
0
0.5
1
1.5
-20
2
0
0.5
1
1.5
t(s)
2
t(s)
Zoom des courants de phases
15
15
iq
10
d
a b c
i ,i ,i
5
i ,i
d q
(A)
(A)
10
5
0
-5
0
-10
-5
0
0.5
1
1.5
2
-15
1.5
1.52
1.54
1.56
1.58
t(s)
Fig 1.19
1.6
t(s)
Comportement des courants et du couple de la MSAP
Le deuxième test simulé est un essai de la poursuite effectué de la même
façon que le Benchmark qui sera traité par la suite dans la partie
expérimentale comme suit :
- Un démarrage à vide avec un échelon de référence de 100 tr/mn à t=0s
- changement de consigne à 100 tr/mn puis à 200 tr/mn puis à 400 tr/mn;
suivi d’une inversion de rotation donc – 400 tr/mn puis un arrêt 0 tr/mn
La figure 1.20 présente les résultats de simulation, nous remarquons que
cette commande présente des résultats très satisfaisants avec une bonne
dynamique de poursuite ainsi qu’un rejet relativement acceptable de la
perturbation. D’autre part on remarque que la vitesse s’établit à sa valeur
nominale avec une bonne dynamique et sans erreur statique, à l'instant où
l'on applique le couple de charge, la vitesse est réduite mais elle se rétablit à
nouveau sans erreur statique.
49
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence
ωmes
ωref
tr/mn
250
0
-250
0
1
2
3
4
5
6
t(s)
Zoom inversion de rotation
Zoom demarrage
7
8
9
10
Zoom freinage
0
100
250
-100
60
tr/mn
tr/mn
tr/mn
80
0
-200
40
-250
-300
20
0
0
0.2
0.4
0.6
-500
5.5
6
6.5
7
-400
8
8.1
t(s)
t(s)
8.2
8.3
t(s)
Fig 1.20 Comportement de la vitesse avec benchmark
100
60
40
a b c
15
i ,i ,i
C
e
(Nm)
(A)
50
-10
0
-50
-35
-100
-60
0
2
4
6
t(s)
8
10
0
2
4
12
50
6
t(s)
8
10
12
30
20
a b c
i ,i ,i
0
i ,i
d q
(A)
(A)
25
-25
iq
0
2
Fig 1.21
4
6
t(s)
8
10
0
-10
-20
id
-50
10
12
-30
2
2.05
2.1
t(s)
Comportement des courants et du couple de la MSAP
50
2.15
2.2
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
Test de robustesse
A fin de tester la robustesse vis à vis des variations paramétrique, on
présente les résultats de simulation du comportement dynamique pour les
cas suivants :
• Variation de la résistance R jusqu’à +100% fig (I.22)
• Variation du moment d’inertie J jusqu’à + 100% fig (1.23)
La variation de la résistance statorique R n’influe pas sur la dynamique de
la vitesse, mais elle présente des ondulations importantes au niveau du
couple surtout en basse vitesse. Par contre une augmentation de l’inertie J
augmente le temps de réponse avec apparition d’un dépassement important.
On constate qu’une mauvaise identification ou estimation des paramètres de
la machine dégrade son comportement et peut conduire à une instabilité du
système.
vitesse rotorique mesurée et référence
120
100
tr/mn
80
60
+100%R
+50%R
R
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
Zoom demarrage
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
120
100.05
100
100
tr/mn
tr/mn
80
60
99.95
99.9
40
99.85
20
0
0
0.05
0.1
0.15 0.2
t(s)
0.25
0.3
1
1.2
1.4
t(s)
1.6
Fig 1.22 Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par PI
Test de la variation de la résistance statorique R
51
1.8
2
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence
120
100
J
+50% J
+100% J
tr/mn
80
60
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.4
1.5
Zoom variation de la charge
Zoom demarrage
102
100.1
100.05
tr/mn
tr/mn
101
100
100
99.95
99.9
99
99.85
98
0.2
0.4
Fig 1.23
0.6
t(s)
0.8
1
99.8
1
1.1
1.2
1.3
t(s)
Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par PI
Test de la variation du moment d’inertie J
I.11. Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre les applications industrielles de la
machine synchrone à aimants permanents notamment dans le domaine du
transport pour lequel l’absence de pertes joule au rotor et un couple
massique important sont des avantages déterminants. Néanmoins, ces
applications ont un niveau élevé d’exigence en termes de sécurité et de sûreté
de fonctionnement. Où il est nécessaire de modéliser convenablement tout
l’ensemble du système dont ici le moteur synchrone à aimants permanents
(MSAP) est un élément majeur. La phase de modélisation a été destinée pour
définir un modèle suffisamment fin moyennant des hypothèses
simplificatrices pour décrire au mieux le comportement du procédé. Les
différents modèles linéaires et non linéaires du MSAP en vue sa commande
ont été donnés, ainsi des généralités avec quelques résultats munie de
régulateurs PI. Ce dernier possède une bonne réponse dynamique de la
vitesse et un très bon rejet de perturbation. Sauf qu'il faut noter qu'il présente
une faible robustesse de réglage lors de la variation paramétrique. Ce qui
52
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
nous a menés à proposer deux régulateurs non linéaire à savoir le mode
glissant et le backstepping dans les chapitres qui suivent.
53
Chapitre I
Description et commande vectorielle du MSAP
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56
CHAPITRE II
COMMANDE PAR MODE
GLISSANT DU MSAP
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
Sommaire
II.1
II.2
II.3
II.4
Introduction
Systèmes à structure variable
Théorie de la commande à structure variable
Conception de la commande par mode de glissement
I.4.1. Le choix de la surface de glissement
I.4.2. Condition de convergence
II.4.2.1. Fonction directe de commutation
II.4.2.2. Fonction de Lyapunov
I.4.3. Calcul de la commande
II.4.3. Elimination du phénomène de Chattering
II.5 Application du MG pour le réglage de la vitesse du MSAP
I.5.1. Réglage assurant un couple maximal
I.5.1.1. Réglage de la vitesse rotorique
I.5.1.2. Réglage du courant direct
I.5.2. La commande adoucie avec seuil
I.5.3. Commande continue avec logique flou
II.6 Résultats de simulation
II.7 Conclusion
57 Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
II.1. Introduction
Le développement de l’informatique industrielle et l’automatique appliquée
aux systèmes de conversion électrique met à notre disposition des moyens
qui permettent d’implanter des lois de commande (de position, de vitesse et
de couple) de plus en plus performantes et robustes, pour les machines
électriques et en particuliers pour la machine synchrone à aimants
permanents. Ces lois de
commandes sont traditionnellement conçues sur la base de boucles
imbriquées (asservissement en cascade), ou bien sur la base d’autres
approches telles que la linéarisation entrée-sortie [PIO91][ZHO05][GRC96],
la commande à modes glissants [EBR03][HAS06][PLE07][TAL 09], la
commande par platitude [CAZ97] ou les méthodes liées à la passivité
[ORT98][PET01] et récemment la commande par backstepping
[ZHO02][ZHO05]. Notons que d’autres méthodes de contrôle tel que la
technique de linéarisation entrée-sortie permet de décomposer le système en
sous systèmes linéaires et qui peuvent être facilement appliquées. Toutefois,
elle ne permet pas un contrôle de toutes les grandeurs internes du système,
telles que les courants.
Des solutions alternatives consistent à développer des commandes ne
supprimant pas les non-linéarités intrinsèques du système, et qui sont de
commande robuste aussi bien en stabilisation qu'en poursuite de trajectoire,
par exemple la commande par mode glissant et la commande basée sur
l’approche du backstepping.
Le mode de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systèmes à structure variable. La théorie de ces systèmes a été développée en
union soviétique, tout d’abord par le professeur Emel’yanov, puis par
d’autres collaborateurs comme Utkin [VAS66][YAM86][ZOI91], à partir des
résultats des études du mathématicien Filippov sur les équations
différentielles à second membre discontinu [ZAH00].
La commande par modes glissants dédiée au contrôle des systèmes nonlinéaires, est réputée pour ses qualités de robustesse mais aussi par ses
contraintes imposées aux actionneurs. Cependant, le réglage de ce type de
commande rend difficile son applicabilité dans l’industrie. Une extension aux
modes glissants d’ordres supérieurs [FRI02][LAG07] a commencé à lever ces
difficultés d’applicabilité [PLE07][TAL09].
Dans ce chapitre, nous nous proposons d’appliquer la technique mode
glissant au réglage de vitesse du MSAP. Pour cela, nous procédons à
58
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
remplacer les régulateurs de type PI utilisés dans la commande vectorielle du
moteur par des régulateur MG utilisés aux systèmes à structures variables.
II.2. Systèmes à structure variable
Le terme «système à structure variable » apparaît à cause de la structure
particulière du système ou du régulateur utilisé où ils changent d'une façon
discontinue entre deux ou plusieurs structures [BEL01][VAS66]
Un système est dit à structure variable s’il admet une représentation par des
,
équations différentielles du type :
x est un vecteur de dimension n
L'étude de tels systèmes présente un grand intérêt notamment en physique,
en mécanique et en électricité. Cela grâce aux propriétés de stabilité que peut
avoir le système global indépendamment de celles de chacun des soussystèmes Les circuits de conversion de l’énergie constituent un exemple
pratique de système à structure variable. En effet, pour chaque changement
d’état, le système est gouverné par un système d'équation différentielle.
II.3. Théorie de la commande à structure variable
La commande à structure variable (CSV) est par nature une commande non
linéaire. La caractéristique principale des systèmes à structure variable est
que leur loi de commande se base sur la commutation de fonctions de
variables d'état, utilisées pour créer une variété de glissement (ou hyper
surface), dont le but est de forcer la dynamique du système à correspondre
avec celle définie par l'équation de l'hyper surface. Quand l'état est maintenu
sur cette hyper surface, le système se trouve en régime glissant. Sa
dynamique est alors insensible aux perturbations extérieures et
paramétriques tant que les conditions du régime glissant sont assurées
[UTK78][UTK93][NOU94].
Dans la pratique, l'utilisation de cette technique de commande a été
longtemps limitée par les oscillations provoqués par les commutations de la
commande donnant naissance à un phénomène de Chattering et qui peuvent
se manifester sur les grandeurs asservies. Depuis, de nombreuses solutions
ont été proposées permettant de réduire ces oscillations telles que
l’augmentation de la fréquence de commutation [NOU94][VOR94], la
commande continue dans une bande autour de la surface de glissement
[UTK93] ou la décomposition la commande en une composante continue de
59
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
basse fréquence et une commande discontinue de haute fréquence
[GAY96][HAR86].
II.4. Conception de la commande par mode de glissement
La technique de la commande par mode glissant (MG) consiste à ramener la
trajectoire d'état d'un système vers la surface de glissement et de la faire
commuter à l'aide d'une logique de commutation appropriée jusqu'au point
d'équilibre [UTK92].Cette trajectoire est constituée de trois parties distinctes
(Fig 2.1)
• Le mode de convergence (MC) : durant le quel la variable à réguler se
déplace à partir du point d'équilibre initial et tend vers la surface de
commutation S( x ) = 0 caractérisé par le critère de convergence.
• Le mode de glissement (MG) : durant lequel la variable d'état atteint la
surface de glissement caractérisé par le choix de la surface de glissement.
• Le mode de régime permanent (MRP) : il est nécessaire pour l'étude de
comportement du système autour du point d'équilibre
Fig 2.1 Différentes modes pour la trajectoire
La conception des régulateurs par les modes glissants prend en charge les
problèmes de stabilité et les performances désirées d'une façon systématique
(régulation, poursuite de trajectoires et poursuite de modèles). La mise en
œuvre de cette méthode de commande nécessite principalement trois
étapes [UTK78a][UTK 78]:
• Le choix de la surface.
• L'établissement des conditions d’existence et de convergence
• La détermination de la loi de commande.
60
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
II.4.1. Le choix de la surface de glissement
Le choix de la surface de glissement concerne non seulement le nombre
nécessaire des surfaces, mais également leur forme, en fonction de
l'application et de l'objectif visé. En général, pour un système d’état décrit
par l'équation d'état suivante (2.1):
,
,
(2.1)
Il faut choisir m surfaces de glissement pour un vecteur y de dimension m.
En ce qui concerne la forme de la surface, deux possibilités se présentent, soit
dans le plan de phase ou dans l'espace d'état. Dans ce dernier cas, on utilise
la méthode dite loi de commutation par contre réaction d'état
[NOU94][RIK97], où on utilise les concepts du réglage par contre réaction
d'état pour synthétiser la loi de commutation.
Dans le cas de traitement dans le plan de phase, la fonction de commutation
est une fonction scalaire, telle que la variable à régler glisse sur cette surface
pour atteindre l'origine du plan de phase [MAH49][SLO86][UTK92] (c.à.d
convergence de la variable d'état vers sa valeur désirée). Ainsi la surface S(x)
représente le comportement dynamique désiré du système. J.J Slotine
propose une forme d'équation générale pour déterminer la surface de
glissement qui assure la convergence d'une variable vers sa valeur désirée
(2.2) [UTK93]:
(2.2)
Avec :
e (x): l'écart de la variable à régler ; e (x) = xref - x.
λx: une constante positive qui interprète la bande passante de contrôle
désirée
r : degré relatif ; égale au nombre de fois qu'il faut dériver la sortie pour faire
apparaître la commande.
Pour r = l
Pour r = 2
Pour r = 3
2
S(x)=0 est une équation différentielle linéaire dont l'unique solution est e (x)
= 0.
En d'autre terme, la difficulté revient à un problème de poursuite de
trajectoire dont l'objectif est de garder S (x) égale à zéro. Ceci est équivalent à
une linéarisation exacte de l'écart de la variable à régler en respectant la
61
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
condition de convergence. La linéarisation exacte de l'écart a pour but de
forcer la dynamique de l'écart entre sa référence et la sortie à être une
dynamique d'un système linéaire autonome d'ordre ‘ r ‘ comme le montre la
Figure 2.2.
S (x)
+
er (x)
∫
er-1 (x)
∫
e (x)
λr-1
λ0
Fig 2.2
Linéarisation exacte de l’écart
II.4.2. Condition de convergence
Les conditions de convergence sont réalisées afin de contraindre les points
représentatifs de la trajectoire de converger vers les surfaces de glissement.
Nous retenons de la littérature deux conditions, celles correspondent au
mode de convergence de l'état du système décrites ci-dessous.
II.4.2.1. Fonction directe de commutation
C'est la première condition de convergence ; elle est proposée par Emilianov
et Utkin [UTK78]. Elle s'exprime sous la forme
0
0
0
0
Ces deux inégalités peuvent être formulées par la condition suffisante
suivante :
0
(2.3)
Dans cette condition, il faut introduire pour S(x) et sa dérivée Ś(x), les valeurs
justes à gauches et à droites de commutation. Elle est équivalente à exiger à
S(x) de changer de signe lorsqu’on passe d’un coté à l’autre de la droite. Ceci
s’exprime par :
,
,
(2.4)
62
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
II.4.2.2. Fonction de Lyapunov
Il s'agit de formuler une fonction scalaire positive (V (x) > 0) pour les
variables d'états du système, et de choisir la loi de commutation qui fera
décroître cette fonction (c.à.d V(x) < 0)
Cette fonction est utilisée pour garantir la stabilité des systèmes non
linéaires.
En déduisant la fonction de Lyapunov et sa dérivée par :
0
0
On définit la fonction de Lyapunov par :
(2.5)
Pour que la fonction de Lyapunov décroisse, il suffit d'assurer que sa dérivée
soit négative. Ceci est vérifié si :
0
Cette équation montre que le carré de la distance vers la surface mesurée par
S2(x) diminue tout le temps, contraignant ainsi la trajectoire du système à se
diriger vers la surface des deux cotées. Cette condition suppose un régime
glissant idéal.
Dans le cas pratique cette condition prend la forme suivante :
|
|
(2.6)
Où η est une constante positive définissant le temps de convergence vers la
surface de glissement. La satisfaction de la condition (2.6) garantit que si la
condition x (t = 0 ) n’est pas vérifiée exactement, ce qui revient à supposer
que x ( t = 0) soit en dehors de xref ( t = 0) , la surface sera atteinte en un
temps Tr fini plus petit tel que :
à
(2.7)
L’idée est de choisir une fonction de l’erreur de poursuite, ensuite de
sélectionner une loi de commande telle que
reste une fonction de
Lyapunov pour le système en boucle fermée.
II.4.3. Calcul de la commande
Une fois la surface de glissement choisie, ainsi que le critère de convergence,
il reste à déterminer la condition nécessaire pour ramener la variable à
63
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
contrôler vers la surface et ensuite vers son point d'équilibre en maintenant la
condition d'existence des modes glissants.
La structure d’un contrôleur par mode de glissement est composée de deux
thèmes Ueq et Un [BUH88][ZAH00]:
(2.8)
Ueq est nommée commande équivalente proposée par Filipov et Utkin
[SLO86][UTK78], considérée comme la plus directe et la plus simple. Elle est
utilisée lorsque l’état du système entre dans le mode de glissement et pour
but de composer les dynamiques indésirables. Cette commande est déduite
en posant la surface
.
La commande Un est déterminée afin de vérifier la condition de convergence
en dépit de l’imprécision sur les paramètres et le modèle.
On considère un système d’état défini par l’équation (2.1). Le but est de
chercher une expression de la commande U.
La dérivée de la surface est :
,
(2.9)
Par substitution, nous obtenons :
,
,
,
,
,
(2.10)
Sachant que la surface est nulle pendant le mode de glissement et en régime
permanent, la dérivée et la partie discontinue Un sont aussi nulles :
0
,
(2.11)
0
L’expression de la commande équivalente peut être donnée par :
,
.
,
(2.12)
Durant le mode de convergence, en remplaçant la commande équivalente
par son expression (2.12) dans (2.1), nous obtenons une nouvelle expression
de la dérivée de la surface
, :
,
,
(2.13)
Le problème revient à trouver Un tel que :
,
64
0
(2.14)
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
La forme la plus simple que peut prendre la commande Un est :
(2.15)
,
Où
,
est la fonction définie par :
1
,
0
1
,
0
,
(2.16)
L’utilisation de la fonction Signe signifie que la commande Un commute entre
deux valeurs ± k avec une fréquence théoriquement infinie. Si le gain k est
très petit, le temps de réponse sera long, si k est très grand, le temps de
réponse sera rapide mais des oscillations indésirables risquent d'apparaître
(couramment appelées Chattering) sur les réponses en régime permanent. Ce
premier choix de la fonction discontinue est représenté sur la figure 2.3
un
+k
S(x)
-k
Fig. 2.3 Définition de la fonction signe
Ainsi, la commande est commutée à fréquence élevée entre umax et umin
II.4.4. Elimination du phénomène de Chattering
La phase de glissement correspond à celui d'un relais commutant avec une
fréquence infinie. Une fréquence d'oscillation infinie suppose des éléments
idéaux de commutation (relais sans seuil, ni hystérésis, ni retard de
commutation), ce qui n'est pas le cas en pratique. En présence de ces
imperfections, la fréquence de commutation devient alors finie et se
manifeste par des oscillations autour de la surface de glissement S, ces
derniers auront une amplitude d'autant plus grande et une fréquence
d'autant plus basse que les imperfections sont importantes. Ce phénomène
est appelé phénomène de broutement (Chattering en anglais). Pour remédier
à ce problème qui peut aller jusqu'à détruire les équipements des systèmes, la
fonction discontinue signe, est remplacée par des fonctions continues, en
créant une bande autour de la surface de glissement [HUN93].
65
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
D'autres méthodes sont proposées pour limiter
[BOS85][KEN03] dont on cite :
ƒ Commande adoucie avec seuil
ƒ Commande continue avec composante intégrale
ƒ Commande continue avec logique flou
ƒ L'utilisation d'une surface augmentée (super twisting)
ce
phénomène
II.5. Application du MG pour le réglage de la vitesse du
MSAP
Pour la synthèse de la loi de commande à structure variable , on va
considérer que toutes les grandeurs sont mesurables et que les
caractéristiques du moteur ne varient pas ou peu, ce qui constitue des
hypothèses acceptables pour la mise en pratique.
Le choix de la commande pour l’asservissement de vitesse et de position est
basée sur l’application de la commande par MG afin d’atteindre les objectifs
suivants :
ƒ Assurer la rapidité et la précision de la réponse des grandeurs asservies,
ƒ Assurer la robustesse du système vis-à-vis des perturbations, des erreurs
de modélisation, des variations des paramètres et des charges mécaniques
sur l’arbre du moteur
ƒ Limiter les amplitudes des tensions et des courants lors des régimes
transitoires.
La synthèse de la loi de commande à structure variable pour l’asservissement
de vitesse de la machine synchrone considérée est effectuée à partir du
modèle de la MSAP et de l’équation mécanique donnée au chapitre 1:
ω
ω
0
ω
ω
(2.17)
0
C
0
0
En se basant sur la commande vectorielle directe, le réglage de la vitesse est
effectuée MG à deux surfaces indépendantes où la régulation de la vitesse
suivie de la limitation indirecte du courant. Le schéma de principe est donné par la
figure 2.4
66
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
θ
d,q
a,b,c
id
iq
ωref
idref
∫
vdref
Sid
Ond
MLI
d,q
Sω,iq
a,b,c
MSAP
ω
vqref
ω
Fig 2.4 Structure globale du réglage de la vitesse de la MSAP par mode glissant
La structure comprend une boucle de régulation de vitesse qui génère la
référence de courant iqref laquelle impose la commande vqref. Alors que la
régulation du courant idref impose la commande vdref. Le choix des surfaces
pour chaque boucle est décrit comme suit :
II.5.1. Réglage de la vitesse rotorique
La surface de glissement est déduite de l’équation générale de J.J Slotine, et
le degré relatif est pris égal à deux afin que la commande apparaisse
implicitement dans sa dérivée.
ω
ω
ω
Ω
ω
ω
Ω
ω
ω
On résulte la dérivée de la surface :
ω
ω
ω
ω
ω ω
(2.18)
(2.19)
ω
En substituant (2.18) et (2.19) dans (2.17) et en tenant compte de la condition
(2.11) du régime glissant ω est nul on obtient :
ω (2.20)
ω
67
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
Durant le mode de convergence
ω
ω 0 en choisissant :
on
ω
doit
sgn
satisfaire
la
condition
ω
(2.21)
Ce qui nous donne la commande de sortie du régulateur vqref pour le contrôle
de la vitesse :
ω
sgn
ω
(2.22)
Remarque : Un limiteur de courant est jugé utile afin de prévoir tout dépassement
possible du courant iq
II.5.2. Réglage du courant direct
Soit ed l’erreur de courant direct :
(2.23)
Le degré r de la surface de glissement est égal à un, déduit la surface :
0
(2.24)
En utilisant l’équation du système citée en (2.17) et ( 2.24) on obtient :
ω
(2.25)
Durant le mode de glissement la surface
devient nulle de même sa
0 , on trouve la loi de commande
dérivée
ω
Durant le mode de convergence on satisfait la condition
choisissant :
sgn
La commande de référence
(2.26)
0 en
(2.27)
est donnée par l’expression suivante
sgn
Soit
ω
68
sgn
(2.28)
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
II.5.3. Elimination du phénomène de Chattering
L’utilisation de la fonction Signe signifie que la commande Un commute entre
deux valeurs ± k avec une fréquence théoriquement infinie. Ce qui cause un
phénomène dit « Chattering ». Afin d’atténuer ce phénomène, nous utilisons
deux types de commande, la commande adoucie et l’élimination par logique
floue
II.5.3.1. La commande adoucie avec seuil
Il est possible d’éliminer le phénomène de Chattering par l’introduction
d’une couche limitée autour de la surface de glissement (S=0) sous forme de
saturation comme on la présenta par la figure 2.5. [BUT95] [UTK78][KEN04].
Fig. 2.5 commande Un adoucie avec seuil.
Alors l’état e est dans la couche limite si S < φ , et hors de la couche limite
S > φ . Si la couche limite est incorporée dans la commande Un, on obtient :
(2.29)
Où sat signifie la fonction de saturation définie comme suit [UTK78]
[KEN04]:
1
1
(2.30)
II.5.3.2. Commande continue avec logique flou
Pour améliorer et obtenir de bon résultat on propose une combinaison entre
la logique floue et le contrôle par mode glissant. L’idée clé de cette
combinaison est inspirée par le fait que dans le cas idéal et quand ‘e’ est loin
de la surface de glissement, le paramètre‘Kω’ doit être ajusté au fur et à
mesure. Dans cette voie on doit proposer une adaptation de ce paramètre par
69
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
le biais d’un système à une inférence floue tout en gardant les mêmes lois de
commande du contrôleur MG.
‘e’ dans notre cas représente l’espace d’entrée du système flou, l’ajustement
du gain ‘Kω’ est écrit sous la forme de la règle flou
Si
‘e’ est Ai
Alors
Kω est Bi
Où i=1…n et n représente le nombre total de règle.
Le terme Kω est donc adapté par un adaptateur flou ayant une entrée e de
cinq fonctions d’appartenance et une sortie Kω de cinq
fonctions
d’appartenance qui sont représentées dans la figure 2.6.
Fig. 2.6 Fonction d’appartenance de l’entrée de l’entrée ‘e’ et de la sortie ‘Kω’
Les ensembles flous associés utilisés dans la génération de la base de règle sont
définis comme suit : Grand Négative (GN), Moyen Négative (MN) Zéro (ZE) Moyen
Positive (MP), Grand Positive (BP), Très Faible (TF), Faible (F), Moyen (M) Grand
(G) Très Grand (TG).
II.6. Résultats de simulation
Les performances sont évaluées par le biais d’une simulation numérique
dans les mêmes conditions de fonctionnement présentés dans les sections
précédentes sous l’environnement Matlab/Simulink.
Le premier test simulé est réalisé pendant un temps de simulation de 2 sec,
où on a appliqué un couple de charge de 5 Nm à l’instant t = 1 sec.
Les figures 2.7- 2.12 présentent les résultats de simulation de la commande
vectorielle et un régulateur MG de la vitesse avec les trois fonctions étudiées
précédemment à savoir la fonction signe, la commande adoucie par la
saturation et logique flou.
70
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence -MG signe 120
100
tr/mn
80
60
ωmes
40
ωref
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
120
100
100.05
tr/mn
tr/mn
80
60
100
40
99.95
20
0
0
0.1
0.2
t(s)
0.3
99.9
0.999
0.4
0.9994
0.9998 1
t(s)
1.0004
1.0006
1.001
Fig 2.7 Comportement de la vitesse du MSAP réglé par MG
Cas de réglage avec la fonction signe
vitesse rotorique mesurée et référence - MG sat 120
100
tr/mn
80
60
ωref
40
ωmes sat
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
120
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100.01
100
100
tr/mn
tr/mn
80
60
40
99.99
20
0
0
0.05
0.1
0.15
t(s)
0.2
0.25
0.3
99.98
0.999
0.9995
1
t(s)
Fig 2.8 Comportement de la vitesse du MSAP réglé par MG
Cas de réglage avec la fonction seuil
71
1.0005
1.001
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence - MG flou 100
80
ωmes
tr/mn
60
ωref
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100.15
100
100.1
tr/mn
tr/mn
80
60
40
100
99.95
20
0
100.05
0
0.1
0.2
t (s)
0.3
0.4
99.9
0.999
0.9994
0.9998
1.0002
t (s)
1.0006
1.001
Fig 2.9 Comportement de la vitesse du MSAP réglé par MG
Cas de réglage avec la logique flou
vitesse rotorique mesurée et référence - MG flou 120
100
tr/mn
80
flou
60
ref
40
sat
sign
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100.15
100
100.1
100.05
60
40
tr/mn
tr/mn
80
20
99.95
0
100
0
0.1
0.2
t (s)
0.3
0.4
99.9
0.999
0.9994
0.9998 1.0002
t (s)
1.0006
Fig 2.10 Comparaison du comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG
72
1.001
Commandes par mode glissant du MSAP
30
20
20
15
10
c
i ; i ; i (A)
25
a b
10
e
C (Nm)
Chapitre II
5
0
-5
0
-10
-20
0
0.5
1
t(s)
1.5
-30
2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
Zoom des courants de phase
30
15
id
5
c
i ; i ; i (A)
10
a b
d q
i ; i (A)
10
iq
20
0
-5
0
-10
-10
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
-15
1.5
1.52
1.54
1.56
t(s)
1.58
Fig 2.11 Comportement des courants et du couple
Les courbes de vitesse pour les trois cas montrent que lors du démarrage à
vide toutes les grandeurs se stabilisent après un temps de réponse qui dure
0.2 s, la vitesse de rotation suis la vitesse de référence sans présence de
dépassement dû au changement ralenti de la consigne, un fort appel du
courant au transitoire puis il se stabilise en régime permanent. Le couple
électromagnétique oscille lors de la mise sous tension en atteignant une
valeur maximale de 18 N.m et disparaît une fois le régime permanent est
atteint. Lors de l’application de la charge, on remarque que le couple
augmente de façon à compenser instantanément le couple de charge dont son
élimination a été nettement améliorée par rapport au régulateur PI où la
durée est diminuée de 1s à 0.002s L’effet de Chattering apparait sur la
courbe de vitesse avec la fonction signe et s’améliore légèrement avec
l’adoucissement de la fonction sat et une nette amélioration avec la logique
floue. Ceci est clairement remarqué par la figure (2.10) qui présente une
comparaison des dynamiques de la vitesse de la MSAP.
Le deuxième test effectué est un essai sévère de la poursuite de la vitesse
avec un Benchmark qui sera traité par la suite dans la partie expérimentale.
Nous remarquons que cette commande présente des résultats très
satisfaisants avec une bonne dynamique de poursuite ainsi qu’un bon rejet
73
1.6
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
de la perturbation (Fig. 2.12). D’autre part on remarque que la vitesse
s’établit à la valeur désirée sans erreur statique, une très bonne dynamique
lors de l’application du couple de charge
vitesse rotorique mesurée et référence
MG - flou 500
ωmes
tr/mn
ωref
0
-500
0
1
2
3
Zoom demarrage
4
5
t(s)
6
7
500
9
10
Zoom freinage
Zoom inversion de sens de rotation
120
8
0
100
-100
60
tr/mn
tr/mn
tr/mn
80
0
-200
-300
40
-400
20
0
0
0.2
0.4
0.6
-500
5.5
-500
6
t(s)
6.5
7
8
8.1
t(s)
8.2
t(s)
Fig 2.12 Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG
Test de poursuite de consigne
II.6.1 Test de robustesse
A fin de tester la robustesse vis à vis des variations paramétriques, on
présente les résultats de simulation du comportement dynamique de la
vitesse pour les cas suivants :
• Variation de la résistance R jusqu’à +100% fig. (2.13.)
• Variation du moment d’inertie J jusqu’à + 100% fig. (2.14)
La variation de la résistance statorique R et de l’inertie J n’influent pas sur
la dynamique de la vitesse. On constate que ce régulateur est très robuste
74
8.3
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence
120
100
80
tr/mn
R
60
1.5*R
2*R
40
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100
100.1
tr/mn
tr/mn
80
60
100
40
99.9
20
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t(s)
0.25
99.8
0.98
0.3
0.985
0.99
0.995
t(s)
1
1.005
1.01
Fig 2.13 Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG (logique floue)
Test de la variation de la résistance statorique R du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence
120
100
tr/mn
80
J
1.5*J
2*J
60
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
Zoom variation de la charge
100
100,1
tr/mn
tr/mn
80
60
100
40
99.90
20
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t(s)
0.25
99,80
0,98
0.3
0,99
1
t(s)
1,01
Fig 2.14 Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par MG (logique floue)
Test de la variation du moment d’inertie J du MSAP
75
2
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
II.7. Conclusion
Dans ce chapitre, on a présenté en premier lieu les bases théoriques des
régulateurs à mode glissant, après on a procédé à leurs applications dans la
commande vectorielle du MSAP.
Nous avons analysé et ce pour diverses conditions de fonctionnement du
MSAP, le comportement du système à mode glissant à plusieurs variantes de
types de commandes et de surfaces, et même dans le cas d'une structure
mixte où l'on a associé régulateurs floue et à mode glissant. Etant donné les
résultats obtenus avec les différents types de commandes et de surfaces, on
conclut, que la réponse en vitesse obtenue avec la MG est plus rapide que
celle obtenue avec un régulateur classique PI, l'erreur de vitesse provoquée
par la perturbation de la charge est compensée instantanément, tandis que
celle de la commande PI classique ne l'est qu'après un certain temps. Le
système commandé par la MG est plus robuste vis-à-vis des perturbations
de charge, et aux variations des paramètres du moteur.
Notons que les gains de la commande discontinue K, sont très délicats à
manipuler car, des valeurs trop petites entraînent une dynamique du
système lente, tandis que des valeurs trop grandes amplifient le phénomène
du Chattering.
La commande hybride (flou - mode glissant) n'a pas apportée apparemment,
une grande amélioration vis-à-vis de la robustesse de la commande en
termes de réponse et de rejet rapide des perturbations de la charge.
76
Chapitre II
Commandes par mode glissant du MSAP
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79
CHAPITRE III
COMMANDES PAR BACKSTEPPING
DU MSAP
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
Sommaire
III.1 Introduction
III.2 Principe de la commande backstepping
III.2.1Fonctions de Lyapunov
III.3 Méthode récursive de conception de backstepping
III.3.1. 1ère étape - Calcul de la première commande virtuelle III.3.2. 2ème étape - Calcul de la deuxième commande virtuelle III.3.3. nième étape - Calcul de la loi de commande finale III.4 Application du backstepping à la commande du MSAP
III.4.1 1ère étape - Calcul de la loi de commande vdref
III.4.2 2ème étape - Calcul de la loi de commande virtuelle iqref
III.4.3 3ème étape - Calcul de la loi de commande finale vqref
III.5 Résultats de simulation
III.6 Commande backstepping avec action intégrale
III.7 Résultats de simulations
III.7.2 test de robustesse
III.7.2 Comparaison des trois régulateurs traités
III.8 Conclusion
80 Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
III.1. Introduction
Les lois de commande classique de type PI donnent de bons résultats dans le
cas des systèmes linéaires à paramètres constants. Pour un système non
linéaire ayant des paramètres non constants, ces lois de commande classiques
peuvent être insuffisantes et non robustes lorsque les exigences sur la
précision et autres caractéristiques dynamiques du système sont exigées. On
doit faire appel à des lois de commande insensibles aux variations
paramétriques, aux perturbations et aux non linéarités, d’où la conception
d’un contrôleur pour un tel système peut souvent s'avérer une tâche difficile
voire impossible. La technique du backstepping offre une méthode
systématique pour répondre à ce type de problème. Elle combine la notion de
fonction de contrôle de Lyapunov avec une procédure récursive de
conception. Cela permet de surmonter l'obstacle de la dimension des
systèmes d'ordre plus élevé et d'exploiter la souplesse de conception de
leurs contrôleurs.
Le backstepping a été développé par Kanellakopoulos et al. En 1991 [KAN91]
et inspiré par les travaux de Feurer et Morse de 1978 d'une part et Tsinias en
1989, Kokotovit et Sussmann en 1989 d'autre part. L'arrivée de cette méthode
a donné un nouveau souffle à la commande adaptative des systèmes non
linéaires, qui malgré les grands progrès réalisés, manquait d'approches
générales. Le backstepping présente une alternative prometteuse aux
méthodes de contrôle des systèmes nonlinéaires, il combine le choix de la
fonction de Lyapunov avec celui des lois de commande et d'adaptation. Ceci
lui permet, en plus de la tâche pour laquelle le contrôleur est conçu
(poursuite et/ou régulation), de garantir en tout temps, la stabilité globale
du système compensé.
Ce chapitre est consacré à la présentation du principe de la commande
backstepping, de sa méthode de mise en application ainsi qu’une variante de
cette commande utilisant l’action intégrale.
III.2. Principe de la commande backstepping
Depuis quelques années, beaucoup de progrès ont été faits dans le domaine
de la commande des systèmes non linéaires dont la technique du
backstepping fait partie. Elle propose une méthode de synthèse systématique
destinée à la classe des systèmes non linéaires ayant une forme triangulaire.
Elle est basée sur la décomposition du système entier de commande, qui est
généralement multivariable et d’ordre élevé en une cascade de sous systèmes
de commande du premier ordre. Pour chaque sous système, une loi de
commande dite virtuelle est calculée. Cette dernière servira comme référence
81
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
pour le sous système suivant jusqu'à l’obtention de la loi de commande pour
le système complet. Par ailleurs, cette technique a l’avantage de conserver les
non linéarités utiles pour la performance et la robustesse de la commande,
contrairement aux méthodes de linéarisation. La détermination des lois de
commande qui découle de cette approche est basée sur l’emploi des fonctions
de Lyapunov de commande.
III.2.1. Fonctions de Lyapunov
La commande des systèmes non linéaire s’appuie sur deux approches de
Lyapunov :
• La première méthode vise à linéariser le système à commander, afin de
profiter des techniques consacrées aux systèmes linéaires. Elle ne permet
d'étudier que la stabilité locale et ne donne pas d’information sur le domaine
de stabilité global [BEN00]. De plus, dû aux approximations du premier degré
(linéarisation), il n'est pas possible de tenir compte de tous les types de
phénomènes non-linéaires. En fait, l’étude locale est surtout intéressante
pour justifier ou non la poursuite de l’étude de la stabilité. Si on trouve que le
système linéarisé est instable, le système non linéaire le sera nécessairement
aussi.
• La deuxième méthode consiste à trouver une fonction de commande de
Lyapunov garantissant certaines performances pour le système en boucle
fermée. Cette méthode est basée sur le concept d'énergie du système. de
telles fonctions peuvent être très difficiles à trouver pour un système non
linéaire d'ordre élevé. La technique du backstepping permet de réduire
avantageusement cette complexité.
L’analyse de la stabilité dans le cadre de l’utilisation du Backstepping
constitue un outil très puissant pour tester et trouver des conditions
suffisantes à la stabilité des systèmes dynamiques, sans avoir à résoudre
explicitement les équations différentielles les décrivant. La fonction de
Lyapunov représentative de l'énergie de signe défini, dont la dérivée
temporelle est semi définie et de signe opposé dans le même domaine.
Cette dernière méthode sera appliquée pour la conception du régulateur du
backstepping introduit à la commande vectorielle du MSAP.
III.3. Méthode récursive de conception de backstepping
Cette méthode s’applique à des systèmes ayant une forme dite triangulaire,
telle que l’indique la représentation d’état suivante :
82
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
,
,
,
,
(3.1)
,
,
, , ,
,
Avec
On désire faire suivre à la sortie
le signal de référence
supposée
connue. Le système étant d’ordre n, la conception s'effectue en n étapes.
III.3.1. 1ère étape - Calcul de la première commande virtuelle On commence par la première équation du système (3.1) où x2 sera
considérée comme une commande virtuelle intermédiaire. On définit la
première référence désirée du sous système
doit suivre la référence
définie
tel que :
(3.2)
Où
est l’état désiré.
La première variable d'erreur du sous système est définit par :
(3.3)
(3.4)
Et
Pour un tel sous système, nous construisons d’abord la fonction de
Lyapunov V1 sous une forme quadratique
(3.5)
Sa dérivée temporelle est donnée par :
(3.6)
Afin d’assurer la stabilité du sous système d’après Lyapunov, il faut que
soit négative. Pour cela on choisit sous la forme :
0
(3.7)
Où
0 est un paramètre de conception.
En substituant 3.7 dans 3.6 on trouve :
(3.8)
Cela donne la commande virtuelle
(3.9)
83
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
D’où la stabilité asymptotique de l’origine.
Cette dernière sera la nouvelle référence désirée
suit.
du sous système qui
III.3.2. 2ème étape - Calcul de la deuxième commande virtuelle On considère les deux premières équations du système définie en (3.1)
,
,
sera la variable de commande pour le
Où la nouvelle référence désirée
sous système précédent
tel que :
(3.10)
Et la nouvelle variable d'erreur
(3.11)
De la même manière, on définit la fonction de Lyapunov pour assurer la
stabilité du sous système suivant :
,
,
(3.12)
Ces fonctions dépendent forcément des états précédents du sous système
définie par :
On choisit comme fonction de Lyapunov étendue pour le sous système (3.12)
(3.13)
Cette dernière a pour dérivée :
,
,
(3.14)
Afin d’assurer la stabilité du sous système d’après Lyapunov, il faut que
soit négative. Pour cela on choisit sous la forme :
0
(3.15)
Où
0 est un paramètre de conception.
84
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
En substituant (3.15) dans (3.14) on trouve :
,
,
1
2
1
2
2
2
(3.16)
Cela donne la commande virtuelle
,
,
(3.17)
Avec
(3.18)
Cette dernière sera la nouvelle référence désirée
du sous système qui
suit.
On pose
et on continue jusqu’à la dernière expression du sous
système (3.1) où on atteindra le calcul de la loi de commande réelle.
III.3.3. La nième étape - Calcul de la loi de commande finale Le système (3.1) est maintenant considéré dans sa globalité. De la même
façon, pour cette étape la référence à suivre sera :
(3.19)
La variable d’erreur de régulation :
(3.20)
Sa dérivée est :
,
,
,
(3.21)
,
Avec comme fonction de Lyapunov étendue :
(3.22)
La dérivée devient
,
,
(3.23)
Dans cette dernière étape, on est arrivé à déduire la vrai loi de commande u
qui permet d’atteindre les objectifs de conception pour le système global qui
contrairement aux lois xi qui sont des lois virtuelles. Un bon choix de celle-ci
doit satisfaire :
,
,
(3.24)
85
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
Où
0 est un paramètre de conception
Ainsi, la loi de commande pour le système entier sera donnée par :
,
, ,
,
(3.25)
Ce qui garanti la négativité de la dérivée de la fonction de Lyapunov étendue
0
(3.26)
Nous avons ainsi défini la méthodologie de la commande backstepping que
nous allons mettre en application sur le MSAP.
III.4. Application du backstepping à la commande du MSAP
Dans cette partie, nous présentons
l’application de la commande
backstepping au moteur MSAP. Cette approche [HUA99][MEH09] est
conçue de telle façon à garder la même structure générale d’une commande
vectorielle, comme le montre la figure (3.1) tout en assurant une régulation et
une limitation des courants.
idref =0
Régulateurs
ωref
ω
vdref
varef
dq
Backstepping
vbref
abc
vqref
iq
id
dq
abc
Onduleur
MLI
vcref
ia
ib
MSAP
Charge
Fig 3.1 Structure globale du réglage de la vitesse du
MSAP par backstepping
Le modèle donné en (1.8) peut être réécrit sous la forme suivante :
(3.27)
L’idée de base de la commande par backstepping est de rendre le système
bouclé en sous-systèmes d’ordre un en cascade stable au sens de Lyapunov,
86
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
ce qui lui confère des qualités de robustesse et une stabilité globale
asymptotique. L’objectif fixé est d’asservir la vitesse en choisissant comme
sous système les expressions de
et comme variables intermédiaires
les courants statoriques (id et iq). Ces variables (id et iq) sont considérées
comme étant des commandes virtuelles telles que définis dans le paragraphe
III.3. A partir de ces variables (id et iq), on calcule ainsi les commandes en
tension (vd et vq) nécessaire pour assurer la commande en vitesse du MSAP
ainsi la stabilité du système global.
Régulateurs
Backstepping
idref =0
id
1ère étape iqref
ωref
ω
vdref
3ème étape 2ème étape vqref
iq
Fig 3.2 Structure interne du bloc régulateurs backstepping
III.4.1. 1ère étape - Calcul de la loi de commande vdref
Etant donné le courant direct est une grandeur de régulation, on définit sa
valeur désirée et son erreur de régulation par :
0
(3.28)
A partir des équations (3.27) et (3.28), les équations dynamiques de l’erreur
sont :
(3.29)
Du fait que l’objectif exige que l’erreur
converge vers zéro, et exige aussi
que le courant doit être régulé et limité, on utilise la fonction de Lyapunov
qui représente en quelque sorte, l'énergie de l’erreur
(3.30) 87
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
La dérivée de la fonction s'écrit à partir des équations (3.28) et (3.29) comme suit :
(3.31)
Afin que la dérivée du critère soit toujours négative, il faut que la dérivée de
prenne la forme
V1
introduit par la méthode du backstepping, d’où
(3.32)
Cette équation nous permet de définir la commande en tension vd du sous
système afin d’assurer la stabilité de Lyapunov et de forcer le courant id de
suivre sa référence idref =0
On obtient la tension de référence vdref :
(3.33)
III.4.2. 2ème étape - Calcul de la loi de commande virtuelle iqref
La vitesse rotorique étant la principale grandeur de régulation, on définit sa
trajectoire désignée par la valeur de référence et l’erreur de régulation par :
(3.34)
Notre objectif exige que l’erreur
converge vers zéro, ce qui est satisfait en
choisissant iq comme commande virtuelle dans l’équation (3.34).
La fonction de Lyapunov étendue sera définie comme au paragraphe III.3
(3.35)
En choisissant
Semi défini négative tel que :
88
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
(3.36)
0
On obtient
–
0
(3.37)
En considérant que idref = 0 ce qui amène à définir la commande iqref
nécessaire pour déterminer la tension vqref comme le montre la figure (3.2)
D’où
(3.38)
III.4.3. 3ème étape -Calcul de la loi de commande finale vqref
Cette étape permet de déterminer la tension de référence du système globale (3.27),
le nouvel objectif de régulation est le courant considéré comme commande virtuelle
de cette étape. On définit une nouvelle erreur de régulation soit :
–
(3.39)
Ainsi, les équations dynamiques de l’erreur d’après le système (3.27) sont:
(3.40)
Du fait que l’objectif exige que cet erreur converge aussi vers zéro, et exige
aussi que le courant doit être régulé et limité, on utilise l’extension de la
fonction de Lyapunov suivante :
(3.41)
La dérivée de la fonction s'écrit comme suit :
(3.42)
En choisissant
Semi défini négative tel que :
0
89
(3.43)
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
On obtient
0
(3.46)
On en déduit la loi de commande finale vqref :
(3.47)
Dans cette partie, nous avons définie à partir de la commande par
backstepping, les variables de références
nécessaires à la
commande de la vitesse du MSAP, tout en exigeant une stabilité des sous
systèmes en cascade afin d’assurer une stabilité asymptotique du système
globale.
III.5. Résultats de simulation
Les performances sont évaluées par le biais d’une simulation numérique
dans les mêmes conditions de fonctionnement présentés dans les sections
précédentes sous l’environnement Matlab/Simulink.
Le premier test simulé est réalisé pendant un temps de simulation de 2 sec,
où on a appliqué un couple de charge de 5 Nm à l’instant t = 1 sec.
Les figures 3.3- 3.4 présentent les résultats de simulation de la commande
vectorielle de type backstepping pour le réglage de la vitesse.
90
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping 100
tr/mn
80
ωmes
60
ωref
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
Zoom demarrage
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100
100
80
99.9
60
99.8
tr/mn
tr/mn
1.4
99.7
40
99.6
20
0
99.5
0
0.1
0.2
t(s)
0.3
0.4
99.4
0.98
1
1.02
1.04
t(s)
Fig 3.3 Comportement de la vitesse du MSAP réglée par backstepping
15
30
20
e
a b c
C (Nm)
i ; i ; i (A)
10
5
10
0
-10
-20
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
-30
2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
Zoom des courants de phase
6
15
id
a b c
i ; i ; i (A)
d q
i ; i (A)
10
iq
4
2
5
0
-5
0
-10
-2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
-15
1,6
1,62
1,64
1,6581,67
t(s)
Fig 3.4 Comportement des courants et du couple
Les courbes de vitesse montrent que toutes les grandeurs se stabilisent après
un temps de réponse qui dure 0.2 s, la vitesse de rotation suit la vitesse de
référence. Le couple électromagnétique oscille lors de la mise sous tension en
91
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
atteignant une valeur maximale de 12 N.m et disparaît une fois le régime
permanent est atteint. Le découplage est maintenu (où le courant direct est
parfaitement annulé). Lors de l’application de la charge, on remarque que le
couple augmente de façon à compenser instantanément le couple de charge.
Par contre la réponse de la vitesse suite à une variation de charge est
meilleure et dont la est plus rapide que celle remarquée en présence du
régulateur PI. On remarque qu’une erreur statique apparait due
principalement au caractère du régulateur backstepping qui est de nature
Proportionnel – dérivatif (PD)
Le deuxième test effectué est un essai sévère de la poursuite de la vitesse
avec un Benchmark qui sera traité par la suite dans la partie expérimentale.
- Un démarrage à vide avec un échelon de référence de 100 tr/mn à t=0s
- Changement de consigne de 100 tr/mn à 200 tr/mn puis à 400 tr/mn; suivi
d’une inversion de rotation à – 400 tr/mn puis un arrêt 0 tr/mn.
Nous remarquons que cette commande présente des résultats très
satisfaisants avec une bonne dynamique de poursuite ainsi qu’un bon rejet
de la perturbation (Fig.3.5). D’autre part on remarque une très bonne
dynamique lors de l’application du couple de charge.
92
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
400
ωmes
ωref
tr/mn
200
0
-200
-400
0
1
2
3
Zoom demarrage
4
5
t(s)
6
7
9
10
Zoom freinage
Zoom inversion de sens de rotation
120
8
400
0
200
-100
100
60
tr/mn
tr/mn
tr/mn
80
0
40
-200
-300
-200
20
0
0
0.2
0.4
0.6
-400
5.5
-400
6
t(s)
6.5
7
8
8.1
8.2
t(s)
t(s)
Fig 3.5 Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par backstepping
III.6. Commande backstepping avec action intégrale
Il est clair que la structure du contrôleur généré par la version classique du
backstepping est composée d’une action proportionnelle, à laquelle est
ajoutée une action dérivée sur les erreurs. Une telle structure rend le système
sensible aux bruits de mesure. L’absence d’intégrateur entraîne également
l’apparition d’une erreur statique constante non nulle [BEN02]. La solution
de ce problème est la conception d’une nouvelle version du backstepping
dotée d’une action intégrale. Ceci revient à introduire des intégrateurs dans
le modèle du MSAP et procéder à l’application de la méthode
conventionnelle du backstepping sur ce nouveau modèle. L’action intégrale
sera transférée automatiquement du modèle à la loi de commande [BEN00]
[BOU07].
Nous définissons l’erreur de poursuite en vitesse :
–
–
93
(3.48)
8.3
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
La dynamique de cette erreur
est
–
–
(3.49)
A partir des équations (3.27) et (3.50), nous obtenons :
(3.50)
Définissant :
Alors :
(3.51)
Une première fonction de contrôle de Lyapunov est choisie :
(3.52)
Sa dérivée temporelle est donnée par :
(3.53)
En prenant :
(3.54)
Avec
(3.55)
Constante positive de commande
En considérant les équations (3.51) et (3.55), la dynamique de
devient :
(3.56)
L'état est ensuite utilisé comme commande intermédiaire afin de garantir
la stabilité. La dérivée temporelle de donné par :
(3.57)
(3.58)
La dérivée de ce nouveau critère donne :
94
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
(3.59)
Pour que
; soit stable, il faut que sa dérivée soit toujours négative.
0
(3.60)
est donnée par :
D’où la tension de commande
(3.62)
1
III.7. Résultats de simulations
La figure 3.6 présente les résultats de simulation de la commande vectorielle
de type backstepping avec action intégrale pour le réglage de la vitesse.
Les courbes de vitesse montrent que toutes les grandeurs se stabilisent après
un temps de réponse qui dure 0.2 s, la vitesse de rotation suit la vitesse de
référence sans présence de dépassement. Lors de l’application de la charge,
on remarque que la réponse est meilleure et plus rapide que celle remarquée
sans présence de l’action intégrale, où la disparition de l’erreur.
vitesse rotorique mesurée et référence
120
80
ωref
ref
60
ωmes
mes
; ω (rad/s)
ωtr/mn 100
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
Zoom demarrage
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100.05
(rad/s)
80
;ω
mes ref
tr/mn 60
40
100
99.95
99.9
ω
mes
ref
; ω (rad/s)
tr/mn ω
100
99.85
20
0
0
0.1
0.2
t(s)
0.3
0.4
0.99
0.995
1
1.005
t(s)
1.01
1.015
Fig 3.6 Comportement de la vitesse de la MSAP réglée par backstepping
avec l’action intégrale
95
1.02
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
La figures 3.7 présente une comparaison des résultats de simulation de la
commande vectorielle de type backstepping avec et sans action intégrale.
vitesse rotorique mesurée et référence
120
100
ωmes backsteppig+integrale
tr/mn
80
ωref
60
ωmes backsteppig
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
120
100
100
99.9
tr/mn
tr/mn
80
60
40
99.7
99.6
20
0
99.8
99.5
0
0.05
0.1
0.15 0.2
t(s)
0.25
99.4
0.99
0.3
0.995
1
1.005
t(s)
1.01
1.015
1.02
Fig 3.7 Comparaison du comportement de la vitesse de la MSAP réglée par
backstepping avec et sans l’action intégrale
III.7.1 Test de robustesse
A fin de tester la robustesse vis à vis des variations paramétrique, on présente les
résultats de simulation du comportement dynamique pour les cas suivants :
• Variation de la résistance statorique R jusqu’à +100% fig (3.8)
• Variation du moment d’inertie J jusqu’à + 100% fig (3.9)
96
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence
120
tr/mn ωmes;tr/mn ωref (rad/s)
100
80
60
40
R
1.5*R
2*R
20
ωref
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
1.4
Zoom demarrage
2
Zoom variation de la charge
100
80
ωmes; ωref (rad/s)
tr/mn tr/mn ;ω
(rad/s)
ωmestr/mn ref
1.8
100.05
100
60
40
20
0
1.6
0
0.05
0.1
0.15 0.2
t(s)
0.25
99.95
99.9
99.85
0.3
0.98
1
1.02
1.04
t(s)
1.06
1.08
1.1
Fig 3.8 Comportement de la vitesse du MSAP réglée par backstepping avec
l’action intégrale – cas de la variation de la résistance statorique R du MSAPvitesse rotorique mesurée et référence
120
; ω (rad/s)
ωtr/mn mes ref
100
80
2*J
60
ωref
40
1.5*J
J
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
1.4
Zoom demarrage
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100
; ω (rad/s)
ωtr/mn mes ref
tr/mn ωmes; ωref (rad/s)
100.05
80
60
40
20
0
100
99.95
99.9
99.85
0
0.05
0.1
0.15 0.2
t(s)
0.25
0.3
0.99
1
1.01
1.02
t(s)
1.03
1.04
Fig3.9 Comportement de la vitesse du MSAP réglée par backstepping avec
l’action intégrale – cas de la variation du moment d’inertie J du MSAP -
97
1.05
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
On constate que la variation de la résistance statorique R et de l’inertie J
n’influent pas sur la dynamique de la vitesse lorsqu’on utilise un régulateur
de type backstepping. Ceci est du principalement au caractère récursif de ce
dernier qui permet de considérer le système global en sous système en
cascade, à stabiliser au fur et à mesure.
III.7.2 Comparaison des trois régulateurs traités pour une vitesse de 100
tr/mn
Dans cette partie, nous présentons une analyse comparative des différentes
commandes utilisées (PI, mode glissant et backstepping) pour
l’asservissement de vitesse dans les mêmes condition de fonctionnement
(consigne, charge,… ) à faible vitesse et dans les mêmes configurations de
simulations numérique. On s’intéresse à la rapidité des réponses, ainsi qu’à
la précision et la robustesse vis à vis des variations paramétriques de la
machine.
Le but des essais à basse vitesse est de tester la stabilité du système suite à
une variation de la charge. Le fonctionnement du moteur à basse vitesse est
plus difficilement maîtrisable que celui à vitesse élevée. Le système devient
plus sensible aux variations paramétriques, à la charge et aux erreurs de
mesure.
La figure (3.10) représente les vitesses dans le cas d'un démarrage à vide
pour un échelon de vitesse 100tr/mn suivi d'un échelon de couple résistant
(5Nm) à t=1s . En régime transitoire au démarrage, la vitesse est quasiment
identique pour les trois régulateurs. Néanmoins lors de la variation de la
charge on remarque que dans le cas d’un régulateur backstepping, la réponse
de la vitesse est meilleure par rapport à celle obtenue par les régulateurs PI et
mode glissant. A noter que le régulateur mode glissant permet une meilleur
dynamique que le régulateur PI mais en contre partie le phénomène de
Chattering est maintenu.
98
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
vitesse rotorique mesurée et référence
120
ωmes; tr/mn ωref (rad/s)
100
80
MG flou
60
Ref
Backstteping
PI
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
Zoom demarrage
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
100.05
99.4
;ω
(rad/s)
ωmestr/mn ref
ωmes;tr/mn ωref (rad/s)
100.1
99.3
99.2
99.1
0.25
0.252
0.254
0.256
t(s)
0.258
0.26
100
99.95
99.9
99.85
0.99
0.995
1
1.005
t(s)
1.01
1.015
Fig 3.10 Comparaison du comportement de la vitesse de la MSAP réglée par
PI, mode glissant –flou et backstepping avec action intégrale
III.8. Conclusion
Les résultats obtenus concernent la mise en œuvre du régulateur
backstepping avec et sans action intégrale pour le contrôle en vitesse du
MSAP. Ils ont été comparés avec ceux obtenus avec ceux de type
proportionnel - intégral (PI) et le mode glissant-Flou (MGF).
Différentes consignes ont été appliquées au système afin de comparer les
performances des régulateurs étudiés. Les réponses en présence de
différentes charges et de variations paramétriques ont été également
analysées. On conclut que les réponses avec régulateur backstepping sont
plus rapides à vide et plus robustes lors des variations charge. Les tests
effectués en présence de variations des paramètres du moteur montrent aussi
que le système contrôlé par backstepping est très peu sensible vis-à-vis des
variations d'inertie de l'arbre moteur ou de la résistance statorique, ce qui
confirme la supériorité de la commande par backstepping.
99
1.02
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
Références
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commande décentralisée des systèmes non linéaires’ Thèse Ph.D, Univ
Laval Quebec, Fevrier 2000.
[BEN02] A. R. Benaskeur, A. Desbiens, ’Backstepping-based adaptive PID
control’, IEE proc. In control theory and applications, Vol. 49, Issue
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(EIT 2007) , 17-21 May 2007, Illinois Institute of Technology
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[CHA03] J.Yu, J. Chang, “A New Adaptive Backstepping Design for Motion
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Industrial Electronics Society, (IECON '03). Vol. 1, pp.140- 144,
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[JOV07] M.R Jovanovic, B. Bamieh, “Architecture Induced by Distributed
Backstepping Design”,IEEE Transactions on Automatic Control, Vol
52, Issue 1, pp. 108 – 113, January 2007.
[KAN91] I. Kanellakopoulos, P. V. Kokotovic and A. S. Morse, “Systematic
Design of Adaptive Controllers for Feedback Linearizable Systems”,
IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 36, Issue 11, pp.
1241-1253, November 1991.
[KEN10] K.KENDOUCI, B. MAZARI, M. R. BENHADRIA “Speed Tracking
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Experimentation” International Review of Electrical Engineering (IREE Vol. 5 N. 6) December 2010
[KEN11] K.KENDOUCI,
B.MAZARI,
M.R.BENHADRIA
et
I.K.BOUSERHANE “Adaptive Backstepping controller using to
PMSM Speed Tracking Control” Journal of Electrical Engineering
(JEE); jan2011
[KOK92] P. V. Kokotovic, “Bode lecture: The joy of feedback”, IEEE Control
Systems Magazine, Vol. 12, Issue 3, pp. 7-17, June 1992.
[KRS95] M. Krstic, I. Kannellakopoulos, and P. Kokotovic, “Nonlinear and
Adaptive Control Design”, Wiley and Sons Inc., New York, 1995.
100
Chapitre III
Commande par backstepping du MSAP
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Speed Control”, 2nd IEEE Conference on Information and
Communication Technologies, Vol 1, pp. 1422-1427, April 24-28,
2006.
[HUA99] T.Hualin and J. Chang, “Field Orientation and Adaptative
Backstepping for InductionMotor Control”, Thirty-Fourth IAS Annual
Meeting, IEEE Industry Applications Conference, Vol.4, pp. 2357 –
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[MEH09] F. Mehazzem, A. Reama, Y. Hamam and H. Benalla, “Real time
Implementation of Backstepping Controller in Indirect field oriented
control of Induction motor drive”, Second International Conference
on Power Engineering, Energy and Electrical Drives, POWERENG,
March 18-20, 2009, Lisbon, Portugal.
[PAQ00] L.N.Paquin ‘Application du backstepping à une colonne de
flottation’ Thèse Maitre Es-sience, Univ Laval Quebec, Juillet2000.
[YAN02] J.H.Yang, W.Jie, H.Yue-ming, “Backstepping method and its
applicatons to nonlinear robust control”, Control and Decision, Vol. 17,
pp. 641-653, 2002.
[YAO00] T.Yaolong, J. Chang, T.Hualin, and H.Jun, “Integral Backstepping
Control and Experimental Implementation for motion system”,
Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Control
Applications Anchorage, September 25-27, 2000, Alaska, USA.
101
CHAPITRE IV
COMMANDE SANS CAPTEUR
MECANIQUE DU MSAP PAR
OBSERVATEUR DE LUENBERGER
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Sommaire
IV.1 Introduction
IV.2 Observabilité du MSAP
IV.2.1. Observabilité avec mesure de la vitesse et de la position
IV.2.2. Observabilité sans mesure de la vitesse et de la position
IV.3 Principe de fonctionnement de l'observateur
IV.4 L’observateur de Luenberger linéaire
IV.5 L’observateur de Luenberger étendu
IV.6 Application à l’estimation de la vitesse et de la position du MSAP
IV.7 Benchmark « Commande sans capteur mécanique »
IV.8 Résultats de simulation avec régulateur classique PI
IV.9 Résultats de simulation avec régulateur backstepping
IV.9.1 Essai avec les paramètres nominaux
IV.9.2 Analyse de robustesse de l’observateur Luenberger
IV.8 Conclusion
102 Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
IV.1. Introduction
La commande des systèmes statiques ou dynamiques repose implicitement
sur l'hypothèse que tout l'état est connu à chaque instant. Pour des raisons
technologiques (de matériel, de réalisabilité, etc), de fiabilité (panne des
éléments de mesure) ou encore économiques (coût des capteurs), dans de
nombreuses applications la mesure de tout l'état n'est pas possible. Il est
nécessaire, à l'aide des mesures disponibles de reconstruire les variables
d'état non mesurées. C'est le problème bien connu de l'observation. Nous
retrouvons cette problématique dans un contexte plus général que celui de la
commande, comme par exemple le diagnostic, la détection de panne, la
sécurité où la connaissance de l'état du système peut être nécessaire
[GHA05].
Les observateurs sont des outils pour la reconstruction de l’état des systèmes
à partir de l’observation de leur sorties, pour lesquels la pertinence de
reconstruction de l’état dépend bien sûr de la pertinence du modèle. La
possibilité de réaliser un observateur pour un système donné est étroitement
liée à la possibilité d’identifier l’état à partir de l’observation des sorties du
système, ce qui se traduit par la propriété structurelle d’observabilité. En ce
qui concerne la théorie des observateurs dans le cas non linéaire, la littérature
est riche de travaux, mais peu de techniques sont effectivement utilisables en
l’état pour une large classe de systèmes. On peut néanmoins citer quelques
travaux : Le filtre de Kalman étendu, l’observateur de Luenberger étendu et
l’extension non linéaire de l’observateur de Luenberger proposée par
Kazantzis et Kravaris [KAZ 98], l’observateur dit à “grand gain”[BOR 91].
De nombreuses méthodes ont été présentées pour l’estimation de la vitesse et
de la position de la MSAP. La littérature se concentre principalement sur
trois approches différentes : La première approche, basée sur la
reconstruction de la position directement à l’aide d’un modèle de référence,
prenant en compte ou pas les bruits de mesure et utilisant des mesures
électriques. Cette voie peut aussi se décliner en beaucoup de solutions
suivant le modèle de la machine utilisé (abc,dq,αβ), les mesures accessibles
(tensions simples, tensions composées, courants de ligne, tension continue
de l’onduleur, etc.) ou encore suivant la nature de l’observateur (filtre de
Kalman, observateur de Luenberger, observateur en régime glissant,
observateur à redondance analytique, etc.[AKR08][ZHU01][HOL06][KIM99]
[ POU08].
103
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
La première partie du chapitre est une introduction au problème
d'observabilité et de synthèse d'observateurs pour le moteur synchrone à
aimants permanents sans capteur mécanique abordé par la suite
Puis on s’intéresse à l’application de l’observateur de Luenberger pour
l’estimation de la vitesse et de la position du MSAP puis on l’applique dans
les deux cas de régulation cités aux chapitres précédents à savoir la
commande vectorielle avec régulateur classique PI et avec backstepping.
IV.2. Observabilité du MSAP
L’étude de l’observabilité du moteur synchrone à aimants permanents n’est
pas souvent abordée dans la littérature. Elle est traitée quand même dans
[VAC07][EZZ11], Il est évident que l’analyse de l’observabilité des systèmes
linéaires est relativement simple. Par contre, cette analyse dans les cas non
linéaires est complexe car l’observabilité peut dépendre de l’entrée du
système et qu’il peut y avoir des singularités d’observation dans l’espace
d’état. La machine synchrone à aimants permanents est fortement non
linéaire.
Nous verrons que lorsque la mesure de vitesse est effectuée, le système est
localement observable. Par contre, lorsque la mesure de vitesse n'est pas
autorisée, l'observation de la vitesse mécanique se heurte à des problèmes
d'observabilité à basse vitesse. Nous donnons ici quelques éléments sur ce
sujet et nous montrons dans le cas où la vitesse est non mesurée, la possibilité
ou pas de retrouver l'observabilité du système en utilisant les dérivées
d'ordre supérieures des mesures.
IV.2.1. Observabilité avec mesure de la vitesse et de la position
Lorsque la vitesse et/ou la position est mesurée, le modèle (1.4)
machine synchrone donné au chapitre I est réécrit comme suit :
de la
( 4.1)
ω
,
,
104
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
1
0
,
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Soit l’ensemble de fonctions P1(x) obtenue à partir des mesures de la façon
suivante :
(4.2)
A l'espace d'observabilité de système est associé le jacobien de P1(x) par
rapport à l'état x.
Le jacobien de P1(x) par rapport à l'état x permet donc de caractériser
l'observabilité du système au sens du rang :
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
(4.3)
Le déterminant D1 de J1(x) est :
D1 = 1
Le rang de la matrice J1(x) est égal à l’ordre du système et ce qui est une
condition suffisante d’observabilité. La machine synchrone avec mesures de
vitesse et/ou de position et de courants est donc localement observable.
Dans ce cas, il est donc inutile d’introduire des dérivées d’ordres supérieurs
des mesures.
IV.2.2. Observabilité sans mesure de la vitesse et de la position
Considérons le modèle de la machine synchrone (4.10) où la vitesse n'est pas
mesurée et de plus le couple de charge est supposé constant alors :
( 4.4)
105
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Ω
,
,
1
0
,
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Soit l’ensemble de fonctions P2(x) obtenue à partir des mesures de la façon
suivante :
(4.2)
A l'espace d'observabilité de système est associé le jacobien de P2(x) par
rapport à l'état x.
Le jacobien J2(x) de P2(x) par rapport à l'état x permet donc de caractériser
l'observabilité du système (4.13) au sens du rang :
1
0
0
0
0
1
0
0
Ω
0
(4.6)
0
Ω
Il est évident que le déterminant de cette matrice est nul. Par conséquent, le
système est donc non-observable. Quelque soit l’ordre des dérivées de h1 et h2
utilisé, il est constaté que le système est toujours non-observable.
Donc, à partir du modèle dans le repère (d−q), la machine synchrone à
aimants permanents n’est pas observable car aucun état ne dépend de la
position du rotor (θ). Donc, étudions l’analyse de l’observabilité dans le
106
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
repère fixe (α−β) [EZA11]. Alors, à partir du modèle (1.12) donnée au
chapitre I
Notons que :
2
2
2
2
2
On peut donner le modèle d’état dans le repère fixe (α−β).
Α′
Α′
Ω
Ω Β′
–
(4.7)
Où
Α′
Β′
2
2
Α′
Soit l’ensemble de fonctions P3(x) obtenue à partir des mesures de la façon
suivante :
(4.8)
A l'espace d'observabilité de système est associé le jacobien de P3(x) par
rapport à l'état x.
107
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Le jacobien J3(x) de P3(x) par rapport à l'état x permet donc de caractériser
l'observabilité du système (4.16) au repère (α,β) au sens du rang :
1
0
0
0
0
1
0
0
(4.9)
Avec :
2
Ω
2
Ω
2
2
2
Ω
2
2
4
2
Ω
2
Ω
2
Ω
2
2
2
2
2
4
Ω
2
2
Ω
4
2
Ω
4
Ω
2
2
Le déterminant D3 de J3(x) est :
Ä
Dans le cas où la machine est à pôles lisses (Ld = Lq = L0 ⇒ L1 = 0). La
valeur du déterminant sera :
Ω
( 4.10)
Sachant que le flux de l’aimant ainsi que l’inductance (L0) sont toujours
constants et également différents de zéro, le système est localement
observable si la vitesse diffère de zéro (Ω ≠0).
108
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Remarque 1 : Si on remarque le comportement dynamique de la partie inobservable
lors de la perte d’observabilité :
Si
Ω
0
0,
ce qui signifie :
0
• Si sin
0 : dans ce cas, la vitesse est observable mais la position n’est pas
observable. La dynamique inobservable est donc à la limite de stabilité. Si ce cas
persiste dans le temps, une technique alternative d’observation serait une injection de
signaux.
• Si sin
0
: dans ce cas, ni la vitesse ni la position ne sont
observables.
Même en utilisant les dérivées d’ordre supérieur des mesures, aucune information
supplémentaire pour l’analyse de l’observabilité n’est obtenue. Donc si la
singularité d’observabilité est franchie suffisamment rapidement, la perte
d’observabilité ne pose pas de problème. (Zone d’inversion de sens de rotation
par exemple où la vitesse passe par zéro)
Ä
Dans le cas où la machine est à pôles saillants (Ld ≠ Lq). La valeur du
déterminant sera :
2
4
4
2
4
Si une stratégie type commande vectorielle est utilisée, le courant id est
contraint à zéro (sauf pour les cas où la machine tourne à une vitesse très
élevée "field weakening" [VAC07]. Alors, le déterminant peut être simplifié :
2
2
4
4
4
1,2, …
Si la valeur de position (θ) est égale
déterminant comme suit :
2
4
109
4
cela réduit le
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Le rang est plein si et seulement si :
2
2
( 4.11)
D’après ces analyses, le déterminant dépend de la tension ainsi que du
courant. Sauf pour certaines valeurs de l’entrée ud et iq et de sa dérivée, le
rang est plein. Toutefois, si le rang n’est pas plein, une solution serait
d’injecter des signaux à hautes fréquences comme cela est utilisé
[WAL05][ARI07], Dans ces conditions, la machine synchrone à aimants
permanents à pôles saillants devient observable.
Une fois l’observabilité du MSAP est étudiée, la suite du chapitre sera
conservé à l‘application de l’observateur de Luenberger pour la commande
sans capteur du MSAP.
IV.3. Principe de fonctionnement de l'observateur
La structure de l'observateur est celle indiquée sur la figure 4.1. Elle fait
intervenir tout d'abord un estimateur fonctionnant en boucle ouverte qui est
caractérisé par la même dynamique que celle du système. La structure
fonctionnant en boucle fermée obtenue par l'introduction d'une matrice de
gains L permet d'imposer la dynamique propre à cet observateur.
Fig 4.1 Schéma fonctionnel d'un observateur d'état.
110
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Les différentes grandeurs mentionnées sur la figure représentent
respectivement : un vecteur d'entrée U du système réel et de l'observateur,
un vecteur d'état X constitué des grandeurs à observer et un vecteur de sortie
Y dont les composantes sont mesurables (courants, tensions dans le cas du
MSAP sans capteur mécanique). Le dernier vecteur est comparé au vecteur
équivalent donné par l'observateur pour assurer le fonctionnement en boucle
fermée. Cette différence est multipliée par une matrice de gain L et envoyée à
l'entrée de l'observateur pour influencer les états estimés. Ainsi, par un choix
judicieux de la matrice de gain L tel que les valeurs propres de A-LC soient à
parties réelles strictement négatives, on peut modifier la dynamique de
l’observateur, et par conséquent faire évoluer la vitesse de convergence de
l'erreur vers zéro plus ou moins rapidement.
IV.4. L’observateur de Luenberger linéaire
Il existe une solution et optimal au problème de l’observateur des systèmes
linéaires donné par des estimateurs de type Luenberger. Un observateur
linéaire peut être décrit suivant le schéma présenté sur la figure 4.2. La
matrice de gain K qui réalise une pondération de l’état estimé par l’erreur de
mesure estimée est linéaire et constante. On peut voir comme références
[LUE64, LUE66, LUE71]
C y + ­ Système
K Fig 4.2 Schéma d’un observateur linéaire
Le but d’un observateur est de faire converger l’état estimé vers la véritable
valeur de l’état. Ceci peut s’écrire de la manière suivante :
lim
∞
0
(4.12)
D’où la définition de la dynamique l’erreur dans ce cas est donnée par
(4.13)
111
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
La question reste de savoir s’il existe une matrice K qui assure la convergence
de manière à ce que l’erreur soit stable.
Si le système est observable alors on peut trouver la matrice K telle que la
matrice (A-CK) soit de Hurwitz avec ses valeurs propres fixées à l’avance.
On procède alors à une technique de placement de pôles. En pratique on
choisit la dynamique d’erreur rapide à celle du processus. Néanmoins on ne
peut pas choisir des dynamiques infiniment rapides car on ne peut pas
utiliser des gains réalisables et l’augmentation de la bande passante de
l’observateur ne permet plus de négliger les bruits qui deviennent
prépondérants en hautes fréquences.
IV.5. L’observateur de Luenberger étendu
Dans le cas du système non linéaire donnée au chapitre 4 par
,
L’observateur est spécifie de la même manière que dans le cas linéaire
,
,
(4.14)
Le but d’un observateur est de faire converger l’état estimé vers la véritable
valeur de l’état. Ceci peut s’écrire de la manière suivante :
lim
(4.15)
0
∞
On peut aussi décrire la dynamique de l’erreur par
,
,
(4.16)
,
La dynamique (rapidité, stabilité) de l’observateur est donnée par l’équation
caractéristique :
det
0
(4.17)
Ainsi, par un choix judicieux du gain (K), on peut modifier la dynamique de
l'observateur et par conséquent faire évoluer la vitesse de convergence de
l'erreur vers zéro.
112
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Pour obtenir les performances désirer de l’observateur en fixe l’équation
caractéristique désirer par :
…
(4.18)
En choisi les K tel que :
La structure d'un observateur d'état est basée sur un modèle du système,
appelé l’estimateur ou prédicteur, fonctionnant en boucle ouverte. La
structure complète de l’observateur inclut une boucle de contre-réaction
permettant de corriger l’erreur entre la sortie du système et celle du modèle
[ELL02] [ZHU00].
Le gain K de l’observateur est choisi par placement de pôles. La méthode
traditionnelle est décrite en [BOR91, ELL02]. La règle générale est de choisir
les pôles de l’observateur 5 à 6 fois plus rapides que les pôles du système
(3.1) [ZHU00]. Ceci s’explique par le fonctionnement en boucle fermée où le
gain de la boucle de retour est représenté par une matrice de gains, notée L et
le dimensionnement de cette matrice est effectué de telle sorte à assurer la
convergence le plus rapidement possible entre le modèle ou l’estimateur et le
système réel. Le vecteur de sortie y est comparé au vecteur équivalent ŷ,
donné par l'observateur, pour assurer le fonctionnement en boucle fermée.
Ainsi on définit une nouvelle variable, l'erreur d’observation. Celle-ci est
multipliée par la matrice de gains (K) et envoyée à l'entrée de l'observateur
pour influencer les états estimés ( ). Ainsi, par un choix judicieux de la
matrice de gains (K), on peut modifier la dynamique de l'observateur et par
conséquent faire évoluer la vitesse de convergence de l'erreur vers zéro, tout
en conservant la condition sur la matrice (A-KC) qui doit être une matrice
Hurtwitz, c’est-à-dire que ses valeurs propres soient à parties réelles
négatives dans le cas continu ou possèdent un module inférieur à 1 dans le
cas discret [ELL02].
IV.6. Application à l’estimation de la vitesse et de la position du
MSAP
Donc, dans cette étude nous choisirons le modèle non linéaire de
l’observateur de Luenberger [ZHU00], et nous l'appliquerons sur le système
(MSAP - commande vectorielle).
Le modèle d’équations d’états simplifie aux valeurs non mesurés de la MSAP
s’écrit :
113
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Ω
0
0
1
0
0
,
0
0
(4.19)
,
0
0
L’observateur d’état peut être décrit par le système suivant :
(4.20)
Le schéma fonctionnel est donné par la figure 4.3. Les états estimés sont
ajustés par la différence entre la position estimée ŷ et la position mesurée y
issue de l’encodeur. La grandeur l2 détermine l’accélération ou le
ralentissement de l’évolution des grandeurs estimées vers les états réels
[ELL02]. Un plus grand gain accélérera le processus et un plus petit gain le
ralentira. Le gain intégral l3 peut réduire l'erreur statique en régime établi de
l'observateur.
0 0 0
0
On prend
0 0
Fig 4.3 Structure d’observateur de Luenberger
étendu de la MSAP
114
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Pour assurer la stabilité de l’observateur, il faut que l’erreur dynamique
(équation 4.14) soit stable. Par conséquent, les valeurs propres de
l’observateur doivent être placées dans le demi-plan complexe gauche.
D’où la détermination des pôles de systèmes par la résolution de l’équation
0
0
(4.21)
Par identification avec l’équation caractéristique désirée qui peut être écrite
sous la forme suivante :
3
1
2
0
(4.22)
On détermine les coefficients de l’observateur :
(4.23)
La figure 4.4 montre comment peut-on choisir les trois pôles afin de garantir
une bonne dynamique et un amortissement relativement optimal. On impose
toujours deux pôles complexes conjugués
(s1, 2 = ρ (- 1± j)) en boucle fermée et un pôle réel de valeur s3 = - ρ avec ρ ≥
ρmin.
Fig 4.4 Domaine de placement de pôle dans le plan S
Les calculs effectues pour dimensionner la matrices de gains utilisée dans
l’observateur de Luenberger donnent : l1=25 ; l2=200 , l3=0.5
IV.7. Benchmark « Commande sans capteur mécanique »
Pour compléter
les tests de simulation et d’expérimentation des
observateurs, nous avons utilisé le benchmark déjà élaboré au sein de l’interGDR CE2 représenté sur la figure 4.6 Ce benchmark a pour objectif de
115
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
valider les algorithmes de commande sans capteurs du MSAP et donc de
l’observation des grandeurs mécaniques dans des trajectoires sévères
définies selon des contraintes industrielles [WEB01]. Les trajectoires de
référence du Benchmark, présenté par la même figure sont définies de la
manière suivante : la valeur initiale de la vitesse est prise de telle manière
que la machine soit dans des conditions observables. A t=t1 la vitesse de la
machine est portée à ω1 ( 200tr/mn ) et reste constante jusqu’à t= t4. Puis, le
couple de charge (5Nm) est appliqué entre t2 et t3. Cette première phase
permet de tester et d’évaluer les performances et la robustesse des lois de
commandes sans capteur en basse vitesse avec charge nominale.
Ensuite, nous accélérons la machine jusqu’à atteindre une vitesse
ω2 ( 1000 tr/mn ) puis, à t = t6, nous appliquons à nouveau le couple de
charge nominal. Cette deuxième phase a pour but de tester le comportement
des lois de commande sans capteur durant un grand transitoire de vitesse,
ainsi que leur robustesse en haute vitesse. Ensuite, tout en maintenant le
couple de charge nominal, on décélère rapidement à t = t7, la machine, pour
atteindre,
à t = t8, une vitesse nulle. Par ailleurs, des tests de robustesse
sont définis par la variation de la résistance, le moment d’inertie ainsi que
l’inductance statorique dans le cas des MSAPPL
Fig 4.5 Benchmark pour la commande sans capteur mécanique
Définition de la trajectoire de vitesse et du couple de charge
116
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
IV.8. Résultats de simulation avec régulateur classique PI
Pour la validation de cet observateur en simulation associé au réglage de la
vitesse d’un MSAP avec un PI, des testes sont été réalisés sous
l’environnement Matlab/Simulink.
Dans les mêmes conditions de fonctionnement que les chapitres précédents.
Les régulateur (PI ou backstepping) reçoit l’erreur entre la valeur de consigne
ωref et la valeur observée ωobs par l’observateur de Luenberger.
Les figures (4.6 – 4.8) représentent le cas nominal. Ces résultats de simulation
montrent de bonne performance de cet observateur. L’écart entre la vitesse
estimée et sa mesure est très faible environ 0.8%. Une erreur est survenue au
moment du changement de la charge.
Le découplage n’est pas affecté. Concernant l’estimation de la position on
constate une bonne poursuite entre la mesure et l’observation dans la
première partie mais à l’échelle microscopique le déphasage entre la position
réelle et observée devient remarquable lors du passage par zéro de la vitesse,
une nette perte d’observabilité de cette dernière avec l’erreur d’estimation
qui devient importante au fur et à mesure ou cette perte persiste.
vitesse rotorique mesurée et observée
120
100
tr/mn
80
ωobs
60
ωmes
40
ωref
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Zoom demarrage
1
t(s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
101
100
100.8
80
tr/mn
tr/mn
100.6
60
100.4
40
100.2
20
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s)
1.49
1.495
1.5
1.505
t(s)
1.51
1.515
Fig 4.6 Comportement de la vitesse observée de la MSAP (régulateur PI)
117
1.52
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
8
20
6
i ; i ; i (A)
10
a b c
e
C (Nm)
4
2
-10
0
-2
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
-20
2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
Zoom des courants de phase
10
15
id
8
10
iq
a b c
4
d q
5
i ; i ; i (A)
i ; i (A)
6
2
0
-2
0
-5
-10
0
0.5
1
t(s)
1.5
-15
0.9
2
0.95
1
t(s)
1.05
1.1
Fig 4.7 Comportement des courants et du couple du MSAP (régulateur PI)
Zoom demarrage
8
6
6
4
θobs
4
2
2
0
-2
θmes
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position mesurée et observée
8
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
-2
0
0.05
erreur d'observation de la position
0.2
8
6
θmes θobs (rad)
0
4
-0.5
θ
0.15
Zoom variation de la charge
0.5
ε = θmes-θobs
0.1
t(s)
2
-1
-1.5
0
0
Fig 4.8
0.5
1
t(s)
1.5
2
-2
1.7
1.72
1.74
1.76
t(s)
Comportement de la position (avec bruit de mesure)
118
1.78
1.8
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Les figures (4.9 – 4.10) représentent les résultats de simulation avec le
benchmark dédié commande sans capteur mécanique. On remarque l’écart
entre la vitesse observée et mesurée est très faible environ 0.8%. Une erreur
est survenue au moment du changement de la charge. Concernant
l’estimation de la position on constate une bonne poursuite entre la mesure
et l’observation mais une perte d’observabilité remarquable lors de
l’annulation de la vitesse ou l’erreur d’estimation de la position devient
importante
vitesse rotorique mesurée et observée
1200
ωref
1000
ωmes
ωobs
600
400
200
0
-200
0
1
2
3
4
t(s)
5
6
7
8
erreur dobservation de la vitesse 'ωobs -ωmes
2
tr/mn
tr/mn
800
1
0
-1
0
1
2
3
4
t(s)
5
6
7
Fig 4.9 Comportement de la vitesse (benchmark - régulateur PI)
119
8
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
position mesurée et observée - PI-
erreur d'observation de position
8
5
θmes
0
θobs
εθ = θmes-θobs
θmes θobs (rad)
6
4
2
0
-10
-15
-20
-25
-30
0
2
4
t (s)
zoom demarrage
6
8
0
2
4
t (s)
Zoom variation de la charge
8
6
6
6
2
0
-2
θmes θobs (rad)
8
4
4
2
0
0
0.05
t (s)
Fig 4.10
0.1
6
8
Zoom freinage
8
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
-2
-5
4
2
0
-2
1.2
1.25
t (s)
1.3
-2
6
7
t (s)
Comportement de la position (benchmark - régulateur PI)
IV.9. Résultats de simulation avec régulateur backstepping
Les mêmes essais sont effectués avec le régulateur backstepping : d’une part,
l’observateur est testé avec les paramètres nominaux, et d’autre part avec des
variations paramétriques pour tester la robustesse les performances du
système d'entraînement global.
IV.9.1. Essai avec les paramètres nominaux
Les figures (4.11 – 4.13) représentent le cas nominal. Ces résultats de
simulation montrent de bonne performance de cet observateur. L’écart entre
la vitesse observée et mesurée est très faible environ 0.2% pour le cas de
réglage avec la référence de 200tr/mn et pour le cas de l’essai avec le
benchmark dédié à la commande sans capteur mécanique. Un très bon rejet
de la perturbation au moment du changement de la charge.
Concernant l’estimation de la position on constate une bonne poursuite entre
la mesure et l’observation dans la première partie mais à l’échelle
microscopique le déphasage entre la position réelle et observée devient
remarquable lors du passage par zéro de la vitesse, une nette perte
d’observabilité de cette dernière
120
8
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
vitesse rotorique mesurée et observée
250
tr/mn
200
150
ωmes
100
ωobs
ωref
50
0
-50
0
0.2
0.4
0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t(s)
erreur dobservation de la vitesse
1.4
1.6
1.8
2
1.4
1.6
1.8
2
1
tr/mn
0.5
0
-0.5
0.8
1
t(s)
1.2
Fig 4.11 Comportement de la vitesse (régulateur backstepping)
Zoom demarrage
8
6
6
θobs
4
θref
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée
8
4
2
0
-2
2
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
-2
2
0
erreur d'observation de position
0.15
Zoom variation de la charge
8
6
θmes θobs (rad)
2
1
θ
ε = θmes-θobs
0.1
t(s)
3
0
-1
0.05
4
2
0
0
0.5
Fig 4.12
1
t(s)
1.5
2
-2
1.5
1.52
1.54
1.56
1.58
t(s)
Comportement de la position (régulateur backstepping)
121
1.6
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
vitesse rotorique observée , mesurée et référence
tr/min
1000
800
ωmes
600
ωref
400
ωobs
200
0
0
1
2
3
Zoom demarrage
4
t(s)
5
6
Zoom variation de la charge
7
8
Zoom freiange
200.5
200
1000
200.4
800
200.3
100
200.2
tr/min
tr/min
tr/min
150
200.1
200
600
400
200
50
199.9
0
0
199.8
0
0.1
0.2
0.3
1
1.05
t(s)
1.1
t(s)
1.15
1.2
4.8
5
5.2
5.4
t(s)
Fig 4.13 Comportement de la vitesse (benchmark - backstepping)
IV.9.2. Analyse de robustesse de l’observateur Luenberger
La robustesse d’un observateur (ou estimateur) est sa capacité d’assurer la
stabilité du système face à un type de perturbation. Plusieurs types de
perturbations sont envisageables, soit au niveau des signaux mesurés soit au
niveau du modèle mathématique considéré. Dans ce travail, nous nous
intéressons particulièrement à la robustesse par rapport à l’imprécision du
modèle mathématique du processus en tenant compte des variations
paramétrique.
Les figures (4.14 – 4.17) montrent les performances de l’observateur lors des
variations de la résistance statorique de +50% et +100% de sa valeur
nominale et d es variations du moment d’inertie J de+50% et puis de +100%
de sa valeur nominale.
Un autre test avec inversion du sens de rotation montré à la figure 4.18
122
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
vitesse rotorique mesurée et observée
120
100
80
ref
+50% R
+100% R
R
tr/mn
60
40
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
100.2
100.5
100.15
100.1
100
tr/mn
tr/mn
100.05
100
99.95
99.5
99.9
99.85
99
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
1.51
1.512
1.514
Fig 4.14
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
8
4
2
0
4
2
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
-2
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s)
erreur d'observation de position
Zoom variation de la charge
0.5
8
6
-0.5
θmes θobs (rad)
0
εθ +100%R
εθ +50%R
θ
ε = θmes-θobs
1.52
Zoom demarrage
position observée et mesurée pour +100% R
-1
-1.5
1.518
Comportement de la vitesse (variation de R)
8
-2
1.516
t(s)
t(s)
4
2
0
0
0.5
1
t(s)
Fig 4.15
1.5
2
-2
1.5
1.55
1.6
t(s)
1.65
Comportement de la position (variation de R)
123
1.7
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
vitesse rotorique mesurée et observée
200
tr/mn
150
100
50
ref
+50% J
+100% J
J
0
-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
200
115
tr/mn
tr/mn
150
100
110
105
50
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.9
1.92
1.94
1.96
1.98
2
t(s)
t(s)
Fig 4.16 Comportement de la vitesse (variation de J)
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée pour +100% J
8
4
2
0
-2
4
2
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
-2
2
0
erreur d'observation de position
0.3
0.4
0.5
Zoom variation de la charge
8
εθ +100% J
0
6
εθ +50% J
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
0.2
t(s)
100
-100
-200
-300
0.1
4
2
0
0
0.5
1
t(s)
Fig 4.17
1.5
2
-2
1.5
1.55
1.6
t(s)
1.65
Comportement de la position (variation de J)
124
1.7
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
vitesse rotorique mesurée et observée
300
ωref
100
ωmes
tr/mn
200
ωobs
0
-100
-200
-300
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
2.5
3
3.5
4
3
3.5
4
erreur d'observation de la vitesse
1
tr/mn
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2.5
Zoom variation de la charge
Zoom inversion du sens de rotation
200.2
300
200
200
200
150
199.8
100
100
tr/mn
250
tr/mn
tr/mn
Zoom demarrage
2
t(s)
199.6
0
50
199.4
-100
0
199.2
-200
-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
199
1
t(s)
1.2
t(s)
1.4
1.6
-300
2
Fig 4.18 Comportement de la vitesse (Backstepping)
(Inversion du sens de rotation)
125
2.2
2.4
2.6
t(s)
2.8
3
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
position reelle et observée
erreur d'observation
7
1
0
5
εθ = θ mes-θ obs
θ mes θ obs (rad)
6
4
3
2
0.5
1
1.5
2
t(s)
2.5
3
demarrage
3.5
-4
4
0
0.5
1
1.5
inversion de rotation
7
6
6
6
5
5
5
3
2
1
0
0.2
θ mes θ obs (rad)
7
4
4
3
2
1
0.25
0.3
t(s)
0.35
0.4
0
3.9
2
t(s)
2.5
3
4
4
3
2
1
3.91
3.92
3.93
3.94
3.95
0
2.4
t(s)
2.45
2.5
t(s)
Fig 4.19 Comportement de la position (Backstepping)
(Inversion du sens de rotation )
IV.10.
3.5
passage par zero
7
θ mes θ obs (rad)
θ mes θ obs (rad)
-2
-3
1
0
0
-1
Conclusion
Dans la première partie du chapitre, nous avons présenté l’étude de
l'observabilité de la machine synchrone à aimant permanent. En se basant sur
le critère de rang.
Nous avons pu extraire trois conclusions :
9 La machine synchrone à aimants permanents est observable si la vitesse
et/ou la position sont mesurées
9 Si ni la vitesse, ni la positon, ne sont mesurées, l’observabilité de la
machine synchrone à aimants permanents à pôles lisses ne peut être établie
dans le cas où la vitesse est nulle (ω=0), mais ne pose pas de problème si la
perte d’observabilité est franchie suffisamment rapidement
9 Si ni la vitesse, ni la positon, ne sont mesurées, l’observabilité de la
machine synchrone à aimants permanents à pôles saillants ne peut pas être
établie dans le cas où la vitesse est nulle sauf sous la condition (4.11).
Dans la deuxième partie, l’observateur de Luenberger a été utilisé pour la
commande sans capteur du moteur synchrone à aimant permanent.
Suite à son application, il est en ressort que cet observateur possède une
bonne réponse dynamique de la vitesse et un très bon rejet de perturbation.
126
2.5
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
Il faut noter qu'il présente une faible robustesse d’observation lors de la
variation paramétrique ainsi une instabilité pour l’estimation de la position
dans la zone inobservabilité. Ce qui nous a menés à proposer le filtre de
Kalman au chapitre suivant.
127
Chapitre IV
Commande sans capteur mécanique du MSAP par observateur de Luenberger
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128
Chapitre IV
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[KAZ98]
[KIM99]
[LOP98]
[LUE64]
[LUE66]
[LUE71]
[POU08]
[ROB95]
[SON90]
[SOU01]
[VAC07]
[WAL05]
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130
CHAPITRE V
COMMANDE SANS CAPTEUR
MECANIQUE DU MSAP PAR
FILTRE DE KALMAN
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Sommaire
V.1
V.2
V.3
V.4
Introduction
Principe du filtre de Kalman
Le Filtre de Kalman étendu
Le Filtre de Kalman à deux niveaux – FKDN –
V.4.1. Equations d’état discrètes du modèle augmenté
V.4.2. Filtre de Kalman et linéarisation du modèle augmenté
V.4.3. Les transformations pour obtenir les équations du FKDN
V.5 FKDN pour l’estimation de la vitesse et de la position
V.5.1. Discrétisation du modèle continu
V.5.2. Application du FKDN au système discret du MSAP
V.5.3. Le chois des matrices de variances – covariances Q et R
V.6 Résultat de simulation
V.6.1. Résultat de simulation avec régulateur PI
V.6.2. Résultat de simulation avec régulateur backstepping
V.6.3. Analyse de robustesse de l’observateur de Kalman
V.7 Conclusion
131 Chapitre V
V.1.
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Introduction
L’observateur de Luenberger s’appuie sur les équations des systèmes sans
prendre en compte les bruits de mesure et les perturbations. L’observateur se
caractérise donc la plupart du temps par une sensibilité aux perturbations et
aux variations des paramètres. De plus, dans la version nonlinéaire,
l’observateur de Luenberger est assez difficile à synthétiser et à régler. Donc
on peut dire que si le processus est décrit par un modèle linéaire et ne
comprend pas de perturbations aléatoires, l’observateur de Luenberger
donne de très bons résultats [COM00]. Si le système est affecté de
perturbations aléatoires (ce qui est le cas des machines à courant alternatif),
la solution envisagée est l’utilisation de filtre de Kalman [AKR08]. Afin de
faire la linéarisation, on utilise le filtre de Kalman étendu. Bien qu’il existe
d’autres observateurs basés sur la commande par logique floue ou par mode
de glissement….
En ce chapitre on s’intéresse à l’application de la commande sans capteur
mécanique du moteur synchrone à aimants permanents, en utilisant
l’algorithme du filtre de Kalman étendu pour l’estimation de la vitesse. Puis
on l’applique dans les deux cas de régulation citée aux chapitres précédents à
savoir la commande vectorielle avec régulateur classique PI et avec
régulateur backstepping.
V.2. Principe du filtre de Kalman
L’observateur d’état de Kalman doit être capable de décrire l’état du système.
Le nombre de mesures avec leur précision disponibles impose un
observateur d’ordre complet. Ce système étant soumis à des perturbations
extérieures (frottement, couple, modification des paramètres, bruit de
mesure...) non prévues par le modèle, de même que pour la commande,
pénalisant les performances voire la stabilité. Une autre solution est de
prendre en compte ces bruits par un observateur optimal de type Kalman
dont la première description est [KAL60]. Cette structure permet de prendre
en compte les bruits de mesures ainsi que des incertitudes sur le modèle
assimilées à des bruits d’état. La présentation de cette fonctionnalité impose
en premier de décrire le nouveau modèle et les spécificités de ses
composantes.
Le filtre de Kalman est adapté au filtrage linéaire récursif de données
discrètes. Il fournit une estimation du vecteur d’état et de sa matrice de
variance-covariance des erreurs qui contient les informations concernant la
132
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
précision des variables. Pour les systèmes linéaires, c’est le filtre de Kalman
standard qui est appliqué. Le processus est défini par un modèle linéaire
d’état à temps discret, composé de deux termes supplémentaires pour la
prise en compte des bruits d’état W[k] et de mesure η[k] :
Quelques hypothèses sont faites sur les bruits de
[AKR10][GRE01]. Ils sont blancs et Gaussiens, c.-à-d. :
– Leur moyenne est nulle,
– Ils possèdent un écart-type défini,
– Ils ne sont corrélés ni entre eux ni avec les variables d’état.
De ces propriétés découlent les équations suivantes :
1
1
1
1
ce
modèle
1
(5.1)
– Espérance mathématique nulle :
0
0
– Absence de corrélation entre les bruits :
0
– Absence de corrélation entre les bruits et l’état :
0
0
La mise en œuvre d’un filtre de Kalman nécessite 2 phases montrées à la
figure (5.1), dont la première est une phase de prédiction qui consiste à
déterminer le vecteur de prédiction X[k|k − 1] à partir des équations d’état
du processus.
|
1
1
1|
1
1
1
(5.2)
|
1
1|
1
1
1
La seconde phase est celle de la correction. Elle consiste à corriger le vecteur
de prédiction par le vecteur de mesure, afin d’obtenir l’estimation du vecteur
|
d’état à l’instant présent
133
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
|
|
1
|
|
1
|
|
1
1
|
|
1
(5.3)
1
Où K désigne la matrice de gain du filtre de Kalman et P c’est la matrice de
variance-covariance d’erreur d’estimation du filtre de Kalman. Dans les
observateurs déterministes classiques, les gains de contre-réaction sont
déterminés de façon à imposer la dynamique de convergence souhaitée
(Luenberger), généralement par une technique de placement de pôles. Dans
le filtre de Kalman, le gain K[k] est calculé pour que l’erreur d’estimation soit
|
statistiquement orthogonale à l’innovation
1 . Cette
orthogonalité statistique permet de minimiser la variance de l’erreur
d’estimation, lorsque les bruits sont gaussiens.
Comme tous les observateurs, le filtre de Kalman utilise donc d’une part la
connaissance du processus pour prédire le vecteur d’état, et d’autre part les
mesures réelles pour corriger la prédiction.
La prédiction de l’état futur étant incertaine, les termes de la matrice de
variance-covariance d’erreur d’estimation a priori P[k|k−1] sont augmentés.
Par contre, la correction à partir des mesures réduit les termes de la matrice
de variance-covariance d’erreur d’estimation a posteriori P[k|k]. On notera
que la matrice de gain est définie si la matrice C[k] P[k|k −1]Ct [k] + R est
régulière. Ceci est toujours vérifié lorsque la matrice R est définie positive,
c’est-à-dire si toutes les sorties sont bruitées, ce qui est pratiquement toujours
Le cas en réalité. La matrice Q quant à elle doit être définie non négative.
Fig. 5.1 Schéma bloc d’un filtre de Kalman
134
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
V.3. Le Filtre de Kalman étendu :
L’application de l’algorithme de Kalman standard est restreinte du fait que la
représentation linéaire ne se vérifie que rarement pour les systèmes
physiques. Le système d’équations d’état s’écrit :
1
,
,
(5.4)
,
Pour résoudre ce problème, un développement limité en série de Taylor
d’ordre 1 est effectué afin de linéariser le système, et puis lui appliquer le
filtre de Kalman standard.
Pour que le reconstructeur puisse estimer les grandeurs internes ou externes
(perturbations, entrées inconnues, etc.) au système, il est nécessaire
d’augmenter l’ordre du modèle du nombre de grandeurs à estimer. Les
incertitudes proviennent de perturbations extérieures (par exemple un
couple résistant...), de variations des paramètres internes du système
(résistances et inductances...) et d’erreurs de modélisation (discrétisation ...).
Les grandeurs à estimer (notées par exemple ) peuvent évoluer de
différentes manières au cours du temps (à l’échelle de la période
d’échantillonnage). Ils peuvent être très lentement variables vis-à-vis des
autres grandeurs, on pose alors
1
. Dans le cas où les variables évoluent au cours d’une
période d’échantillonnage, on doit utiliser des équations d’évolution plus
complexes. Pour l’estimation de la vitesse des machines électriques par
exemple, le principe de séparation des grandeurs mécaniques et électriques
n’étant pas toujours valide, on pose
ω dans le cas de la machine
synchrone [AKR10].
Les équations développées ci-dessous supposent que les paramètres évoluent
de manière aléatoire et
1
] afin d’employer par la suite les
notions de découplage des états. On construit ainsi le modèle d’état
augmenté discret suivant :
1
0
1
0
0
0
135
(5.5)
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
L’ensemble des opérations du filtre de Kalman étendu (EKF) est résumé
comme suit :
•
Prédiction des états et des paramètres à l’instant k+1
Θ |
1|
Θ
•
Linéarisation à l’instant k du modèle augmenté
|
Linéarisation de l’estimation par dérivation de la fonction de sortie
|
Θ
1|
1|
Correction des états et des paramètres
1|
Θ
•
|
Calcul du gain de Kalman
1
•
|
Calcul de la matrice de variance-covariance d’erreur de prédiction
1|
•
|
Θ
0
•
|
Θ
Θ |
1|
Θ |
•
|
1|
1
1|
1
Θ
1
1|
1
1|
Calcul de la matrice de variance-covariance d’erreur de l’estimation
optimale
1|
1
1|
1
136
1|
Chapitre V
V.4.
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Le Filtre de Kalman à deux niveaux – FKDN –
Le coût algorithmique du filtre de Kalman étendu est généralement
considéré comme rédhibitoire en vue de son utilisation dans des applications
génériques. Afin de pallier ce problème, nous allons aborder une forme
équivalente au filtre de Kalman traditionnel, appelé filtre de Kalman à deux
niveaux (FKDN). En 1969, Friedland [FRI69] a proposé une nouvelle
structure de filtre de Kalman pour l’estimation de l’état et des paramètres
inconnus basée sur deux estimateurs en parallèle :
– Le premier estimateur calcule l’état
en supposant que les entrées Θ
inconnues sont parfaitement connues. Cela devient un problème standard
d’estimation linéaire [AKR10].
– Le second estimateur calcule la valeur des entrées inconnues Θ [AKR10].
Finalement, l’état est la somme de l’état et d’une pondération des entrées
inconnues Θ X X
Θ. Cette décomposition proposée par Friedland est
optimale lorsque le biais est constant mais sous-optimale lorsque le biais est
variable dans le temps. Tanaka étendit en 1975 le concept de filtrage de
Kalman à deux niveaux lorsque le biais est une variable aléatoire [TAN75].
C.S. Hsieh et F.C. Chen [HSI99], [HSI00] ont généralisé cette structure pour
retrouver l’optimalité du filtre lorsque le biais est une variable aléatoire. Ils
ont nommé leur filtre OTSKE pour ”Optimal Two-Stage Kalman Estimator”
et OMSKE pour ”Optimal Multistage Kalman Estimator” [AKR10].
V.4.1. Equations d’état discrètes du modèle augmenté
Le point de départ de l’étude de C.S. Hsieh et F.C. Chen est basé sur le
modèle d’état discret linéaire suivant :
1
Θ
Θ
1
Θ |
( 5.6 )
Θ
Où Θ[k] est une variable aléatoire entrant linéairement dans le système. Les
matrices BΘ et D déterminent l’action des entrées inconnues Θ[k] intervenant
dans la dynamique du système ou sur la valeur des grandeurs mesurées. Ce
système représente donc un cas général. Dans le cas où seules les mesures
137
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
sont biaisées alors BΘ = 0. De façon similaire, si seul l’état du système est la
grandeur biaisée, D = 0. [AKR10],
Lle concept proposé par C.S. Hsieh et F.C. Chen a été étendu afin d’appliquer
le filtrage de Kalman à deux niveaux au cas des systèmes non-linéaires où les
grandeurs inconnues sont modélisables par une équation d’état linéaire
[HIL01][HIL09]. Cette extension de filtre de Kalman à deux niveaux a été
appliquée pour estimer la vitesse mécanique d’une machine asynchrone
(système nonlinéaire) [HIL06][HIL09]. Le système d’équations d’état discret
ci-dessous est pris comme point de départ de l’étude:
Θ
1
Θ
1
Θ
Θ
Θ
u
Θ
Θ
U
Θ
Θ
Θ
(5.7)
Θ
y
Θ
Θ
U
Où X[k] et Θ[k] sont considérés respectivement comme vecteur d’état
principal et vecteur de paramètres (composé des paramètres et des entrées
inconnues à estimer). L’équation d’état (5.7) discrète peut se réécrire de la
manière suivante :
1
U
Y
Θ
(5.8)
U
Avec
Θ
Θ
Θ
0
Θ
0
Θ
Θ
Θ
Le système d’équations d’état discret ainsi obtenu est nonlinéaire par rapport
aux paramètres Θ .
Nous avons reformulé le problème précédent pour être encore plus général
dans le cas où le système est nonlinéaire par rapport à l’état principal X et
aux paramètres Θ [AKR 08a], [AKR 08b]. En effet, l’estimation de la position
138
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
et de la vitesse mécanique d’une machine synchrone à aimants permanents,
si on ne prend pas en compte l’équation mécanique (ω˙ = 0), conduit à un
système nonlinéaire par rapport à Θ qui représentent la position et la vitesse.
Par contre, le fait d’introduire l’équation mécanique, conduit à un système
nonlinéaire par rapport à l’état principal (id, iq, θ, ω) et à l’état augmenté (Cr le
couple de charge).
Donc, nous avons pris l’équation d’état (5.8) avec
X
Θ
0
X
X
X
Θ
0
X
En fait, la décomposition n’est possible qu’à condition que les paramètres
inconnus Θ à estimer suivent une relation d’évolution de la forme
Θ [k + 1] = G(Θ [k]) Θ [k].
Le vecteur d’état X n’intervient donc pas dans l’évolution des paramètres,
ceci se traduit par une matrice de transition triangulaire supérieure par bloc.
V.4.2. Filtre de Kalman et linéarisation du modèle augmenté
L’équation d’état (5.8) étant non linéaire, cette équation est donc linéarisée à
chaque itération autour de la trajectoire nominale. L’application du filtre de
Kalman, dont les expressions sont rappelées dans le tableau (5.1), au système
d’équations nonlinéaire donne les équations récurrentes suivantes
|
|
1
1
1
|
1
|
|
|
1|
1
1U
1
1
|
1
|
|
1|
Q
(5.9)
|
|
Avec
139
1
1
1
1
1
1
1
U
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
F
E
′
0
Θ
′
Θ
Θ
Θ
U
Θ
U
Θ
Θ
Θ
U
Θ
U
V.4.3.
Les transformations pour obtenir les équations du FKDN
Le filtre de Kalman à deux niveaux est obtenu en recherchant une
transformation T telle que la matrice de variance-covariance d’erreur
d’estimation P[.] soit diagonale par blocs [HSI99]:
.
.
0
0
0
(5.10)
.
Où I est la matrice d’identité.
Le principal avantage de la matrice de passage T est que l’inversion de cette
matrice T−1(J) = T(−J) nécessite seulement un changement de signe. Le filtre
FKDN est obtenu grâce à deux matrices de transformation T(M[k]) et T(N[k]).
Les termes surlignés correspondent aux vecteurs d’état et aux matrices de
variance-covariance dans la nouvelle base :
|
|
|
1
|
1
|
|
|
|
|
|
140
1
1
1
(5.11)
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Où
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
(5.12)
1
|
|
|
Les deux matrices de passage M[k] et N[k] sont définies respectivement par
M[k] = PxΘ[k|k − 1] (PΘ[k|k − 1])−1 et N[k] = PxΘ[k|k] (PΘ[ [k|k])-1 .
Finalement, le filtre de Kalman non-linéaire à deux niveaux est composé
comme pour le filtre de Kalman conventionnel d’une étape de prédiction,
suivie d’une étape de correction (voir [HSI 99], [HIL 09] [AKR10] pour
l’obtention des expressions) :
Prédiction de l’état et des paramètres :
|
1
1
Θ |
1
|
1
1
1|
1
1
1 Θ
1|
1
1
1U
1
1G
1|
1
1
1 Θ
1|
1
1
1
(5.13)
1
1
1|
1
1
|
|
1
1
1
1
|
1
1
1
1
|
1
1|
1
141
1
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Correction de l’état et des paramètres :
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
1
1
1
5.14
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
1
Maintenant, il est possible de définir l’état optimal comme étant la somme
de l’état estimé par un premier filtre et de l’état Θ estimé par un second
estimateur :
|
|
1
|
Avec N
1
|
Θ |
M
N
1
(5.15)
Θ |
|
M
Les conditions initiales du filtre de Kalman nonlinéaire à deux niveaux sont
établies en utilisant les paramètres de réglage d’un filtre de Kalman étendu
classique et en effectuant les transformations nécessaires, nous obtenons :
0
0|0
0|0
|
0|0
Θ 0|0
0 Θ 0|0
Θ 0|0
|
0|0
|
0|0
142
0
0|0
0
1
1
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Dans la nouvelle base utilisée, les matrices de variance-covariance sont
diagonales par bloc. Ceci permet de décomposer les équations du filtre en
plusieurs équations (multi-niveaux) couplées. Ainsi, le système de départ est
décomposé en plusieurs sous-systèmes de plus petites tailles, ce qui permet
de réduire non seulement la complexité algorithmique mais également les
problèmes numériques liés au calculateur [AKR10].
V.5.
FKDN pour l’estimation de la vitesse et de la position :
Le modèle de la MSAP est représenté par un système d’équations d’état
suivant :
Θ
Θ
Θ
Θ Θ
(5.16)
Θ
Dans lequel
U
Θ
cos
Θ
sin
sin
0
Θ
cos
Θ
Les tensions statoriques
courants statoriques
Θ
0
Θ
cos
sin
0
sin
cos
constituent le vecteur des entrées, et les
le vecteur des mesures. Le vecteur d’état
principal X est composé des courants statoriques
et le vecteur d’état
augmenté
est composé de la position et de la vitesse électrique.
V.5.1. Discrétisation du modèle continu
Le modèle précédent de la MSAP doit être discrétisé pour l’implantation de
l’estimateur dans un processeur. Si l’on suppose les tensions de commande
quasi-constantes sur une période d’échantillonnage Ts, le modèle d’état
continu peut être approximé par :
143
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
1
Θ
Θ
Θ Θ
(5.17)
Θ
L’évaluation de
peut être obtenue par l’utilisation du théorème de
Sylvester [BOU04][AKR10]. Mathématiquement, cela conduit à une
discrétisation exacte du modèle continu, mais les variations paramétriques
(résistance, inductance,...) produisent de plus importantes erreurs
d’estimation d’état comparées à l’erreur produite par une approximation de
l’exponentielle de matrice. Ceci réduit ainsi l’intérêt d’un calcul exact
gourmand en temps de calcul [AKR10]. Les matrices de ce modèle sont donc
calculées par un développement limité, qui est couramment utilisé, d’ordre
un de l’exponentielle de matrice :
Cela conduit à :
cos
Θ
sin
sin
0
Θ
cos
0
0
1
Θ
1
V.5.2. Application du FKDN au système discret du MSAP
L’application du filtre de Kalman à deux niveaux (FKDN ) au système discret
du MSAP conduit aux expression suivantes :
Θ
1
Θ
1
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
(5.18)
Θ
Θ
Θ
Θ
Où X[k] et Θ[k] sont considérés respectivement comme vecteur d’état
principal et vecteur de paramètres (composé des paramètres et des entrées
144
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
inconnues à estimer). L’équation d’état (précédente 5.18) discrète peut se
réécrire de la manière suivante :
1
(5.19)
Θ
Donc, nous avons pris l’équation d’état (5.8) avec :
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
0
Θ
0
1
Θ
Θ
1
0
0
En appliquant les expressions de (5.6) à (5.19) et après calcul on trouve:
:
0
0
cos
sin
cos
sin
̀
Dans la détermination de la matrice de pseudo-covariance initiale P[0|0], on
se limite généralement au choix des éléments sur la diagonale[BAB02]. Ces
éléments sont choisis de telle sorte qu'ils correspondent à l'incertitude sur les
estimations des variables d'état initiales
145
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Remarque 1- Dans le cas de l’observation de l’état d’une machine électrique, le choix
de et P[0|0], est particulièrement aisé si le filtre est initialisé juste avant le
démarrage. Dans ce cas, toutes les variables du système, excepté la position initiale
du rotor θ0, valent zéro et donc le choix de 0 est justifié. Du fait que cet état initial est
connu avec certitude (sauf pour la position initiale), on peut donc choisir P[0|0] = 0
(l'élément diagonal qui correspond à l'incertitude sur la position initiale du rotor
peut être une valeur positive).
V.5.3. Le chois des matrices de variances – covariances Q et R
Le choix des matrices de pondération Q et R est primordial dans la
performance du filtre de Kalman, notamment en présence d'erreurs
d'initialisation importantes. La détermination des caractéristiques
stochastiques s'avère très difficile voire impossible dans la pratique ; et dans
le cas où le système contient des non linéarités, non seulement elles
dépendent des caractéristiques stochastiques, mais aussi de l'erreur de
linéarisation. C'est le point le plus délicat de l'application du filtre de Kalman
à l'observation [BAB01]
En résumé, nous pouvons considérer le choix des matrices Q et R, ainsi que
les valeurs initiales du vecteur d'état estimé
et de matrice P0, comme des
degrés de liberté du filtre de Kalman.
Les états initiaux, les matrices de variance-covariance d’erreur d’estimation
initiale, de variance-covariance sur les bruits de mesures et d’états sont les
suivants :
0
0|0
0|0
|
0|0
0 Θ 0|0
Θ 0|0
Θ 0|0
|
0|0
|
0|0
146
0
0|0
0
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
̂
0|0
0
̂
0|0
Θ 0|0
0
0
0
0
0
0|0
0
0
0
0
0
0
0
0
0|0
0
0
0
0
1
0
2
0
0
0
1
0
0
1
0
2
0
0
0
1
La figure 5.2 montre le schéma bloc de la commande vectorielle sans capteur
mécanique en utilisant les observations issues du filtre de Kalman pour la
vitesse et la position ceci soit pour les utiliser avec le régulateur classique PI
ou le régulateur à base de backstepping.
Blocs de
Régulation
idref =0
id
ωref
ωest
Vdref
Varef
dq
Vbref
(PI)
(Backstepping)
iq
abc
Vqref
Onduleur
Vcref
MLI
θest
ωest
ia
dq
θest
iq
FKDN
ib
id
abc
Sensor
MSAP
Fig. 5.2: Schéma bloc de la commande sans capteur mécanique
avec le filtre de Kalman a double niveaux
147
Charge
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
V.6. Résultat de simulation
Dans les mêmes conditions de fonctionnement sous l’environnement
Matlab/Simulink que les cas précédents traités dans cette thèse, le test de la
commande sans capteur avec filtre de Kalman à été effectué. Les paramètres
des matrices de réglage du filtre de Kalman Q et R ont été choisies de la
manière suivante : La matrice R a été fixée égale à une matrice identité et les
valeurs des paramètres de réglage (α1, ..., αn) de la matrice Q ont été obtenus
par la minimisation de l’erreur moyenne quadratique de l’erreur
d’estimation de la position.
10
;
10 ;
10
V.6.1. Résultat de simulation avec régulateur PI
Les figures (5.3) - (5.5) illustrent les résultats de simulation de FKDN (θ, ω)
lors d’une inversion de vitesse avec un couple de charge Cr constant égal à
5 N.m. Nous pouvons constater que la position et la vitesse mécanique
estimées suivent bien les références, aussi bien en régime permanent que lors
des transitoires, et que l’erreur d’estimation des variables mécaniques est très
faible. Le découplage est parfait même durant les transitoires avec une bonne
dynamique.
Pour compléter les tests de simulation de l’observateurs, nous avons utilisé le
benchmark représenté par la figure 4.5 (chapitre 4), déjà utilisé au laboratoire
LGEP issue au sein de l’inter-GDR CE2 où ω1 = 200 tr/min, ω2 = 1000
tr/min et le couple de charge nominal Cr de la machine est de 5 N.m. La
position et la vitesse estimées (θ,ω) par le filtre de Kalman FKDN sont
représentées respectivement sur les figures (5.6)-(5.7) . Globalement, les
estimations sont bien reconstruites, et l’on peut constater la nette
amélioration des estimations lors des transitoires de vitesses lorsque le
couple de charge est appliqué.
148
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
vitesse rotorique mesurée et observée
200
ωmes
tr/mn
150
ωobs
ωref
100
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t(s)
Zoom variation de la charge
Zoom demarrage
1.4
1.6
1.8
2
erreur d'observation
200.02
0.01
200
0
200
100
-0.01
199.98
tr/mn
tr/mn
tr/mn
150
199.96
-0.02
-0.03
50
199.94
-0.04
0
0
0.2
t(s)
0.4
199.92
1.49
1.5
1.51
1.52
0
t(s)
1
t(s)
2
1.75
1.8
erreur dobservation de la vitesse
0.02
-4
0.01
15
x 10
-0.039
0
-0.0392
tr/mn
10
-0.01
-0.0394
5
-0.02
-0.0396
0
-0.03
-5
-0.0398
1.7
0
0.005
0.01
-0.04
0
0.2
Fig 5.3
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
1.2
1.4
Comportement de la vitesse (régulateur PI)
149
1.6
1.8
2
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
20
10
10
a b c
i ; i ; i (A)
C (Nm)
les courants de phase
15
e
5
0
-5
0
-10
0
0.5
1
t(s)
1.5
-20
2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
Zoom des courants de phase
10
20
8
id
10
iq
a b c
i ; i ; i (A)
i ; i (A)
6
d q
4
2
0
-10
0
-2
0
0.5
Fig 5.4
1
t(s)
1.5
-20
2
0
0.5
6
6
4
2
0
0
0.5
-6
1
t(s)
1.5
0.2
θmes
4
2
-2
2
0
erreur d'observation de position
0.05
0.1
Zoom variation de la charge
8
0
6
θmes θobs (rad)
θ
0.15
θobs
0
x 10
ε = θmes-θobs
2
Zoom demarrage
8
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée
-0.5
-1
-1.5
4
2
0
-2
-2.5
1.5
Comportement des courants et du couple (régulateur PI)
8
-2
1
t(s)
0
0.5
Fig 5.5
1
t(s)
1.5
2
-2
1.2
1.25
1.3
Comportement e de la position (régulateur PI)
150
1.35
1.4
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
vitesse rotorique mesurée et observée
1000
800
ωmes
ωobs
tr/mn
600
ωref
400
200
0
0
1
2
3
Zoom demarrage
4
t(s)
5
6
Zoom variation de la charge
250
7
8
Zoom freinage
200.01
1000
150
100
tr/mn
800
tr/mn
tr/mn
200
199.97
400
200
50
0
600
0
0.2
t(s)
0.4
199.93
0
1
1.1
1.2
1.3
4.5
5
t(s)
6
7
t(s)
5.5
erreur dobservation de la vitesse
1
tr/mn
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
Fig 5.6
1
2
3
4
t(s)
5
Comportement de la vitesse (benchmark - régulateur PI)
151
8
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée
8
4
2
θobs
θmes
0
-2
2
0
-2
0
2
-6
5
4
x 10
4
6
t(s)
erreur d'observation de position
8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t(s)
Zoom variation de la charge
0.5
8
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
6
0
-5
4
2
0
-10
0
2
Fig 5.7
V.6.2.
4
t(s)
6
8
-2
1.5
1.55
1.6
t(s)
1.65
Comportement de la positon (benchmark - régulateur PI)
Résultat de simulation avec régulateur backstepping
Les figures (5.8) - (5.10) illustrent les résultats de simulation de FKDN (θ, ω)
pour un échelon de vitesse de 200tr/mn avec un couple de charge Cr
constant égal à 5 N.m. Nous pouvons constater que la position et la vitesse
mécanique estimées suivent bien les références, aussi bien en régime
permanent que lors des transitoires, et que l’erreur d’estimation des variables
mécaniques est très faible. Le découplage est parfait même durant les
transitoires avec une bonne dynamique.
Les figures (5.11)-(5.12) représente les résultats de simualtion pour une
référence présentée par la le benchmark appliqué avec le régulateur PI où ω1
= 200 tr/min, ω2 = 1000 tr/min et où le couple de charge nominal Cr de la
machine est de 5 N.m. La position et la vitesse estimées par le filtre de
Kalman FKDN (θ,ω) sont bien reconstruites, et l’on peut constater la nette
amélioration des estimations lors des transitoires de vitesses lorsque le
couple de charge est appliqué.
152
1.7
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
vitesse rotorique mesurée et observée - Backstepping 250
200
ωobs - kalman
tr/mn
150
ωmes
ωref
100
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage
250
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Zoom variation de la charge
200.06
200.04
200
150
tr/mn
tr/mn
200.02
100
200
199.98
199.96
50
0
199.94
0
0.1
0.2
0.3
199.92
1.49
0.5
0.4
1.495
1.5
t(s)
Fig 5.8
1.505
t(s)
1.51
1.515
1.52
Comportement de la vitesse de la MSAP (régulateur Backstepping)
10
10
a b c
i ; i ; i (A)
20
5
e
C (Nm)
les courants de phase
15
0
-5
0
-10
0
0.5
1
t(s)
1.5
-20
2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
Zoom des courants de phase
10
20
8
id
10
iq
a b c
i ; i ; i (A)
d q
i ; i (A)
6
4
2
0
-10
0
-2
0
0.5
1
t(s)
1.5
2
-20
0
0.5
1
t(s)
Fig 5.9 Comportement des courants et du couple du MSAP
(Régulateur Backstepping)
153
1.5
2
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
position réelle et observée
zoom demarrege
8
8
θmes
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
6
θobs
6
4
2
4
2
0
0
-2
-2
0
0.5
-9
x 10
0.5
1
1.5
t(s)
erreur d'observation
0.1
t(s)
0.15
0.2
zoom variation de la charge
6
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
0.05
8
0
-0.5
-1
-1.5
4
2
0
-2
-2.5
0
2
0
0.5
1
t(s)
1.5
-2
0.9
2
0.95
1
t(s)
1.05
1.1
Comportement de la positon (régulateur Backstepping)
Fig 5.10
vitesse rotorique mesurée et observée -backstepping / FKDN 1000
ωref
tr/mn
800
ωobs
ωmes
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
t(s)
Zoom variation de la charge
Zoom demarrage
7
8
201
200
1000
200.5
100
800
tr/mn
tr/mn
150
tr/mn
6
Zoom inversion du sens de rotation
200
600
400
199.5
50
0
0
Fig 5.11
0.1
0.2
0.3
t(s)
0.4
199
1.49
200
1.5
1.51
t(s)
1.52
0
4.5
5
5.5
t(s)
Comportement de la vitesse de la MSAP (régulateur Backstepping)
154
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
erreur dobservation de la vitesse 'ωobs -ωmes
-3
x 10
2
0
tr/mn
-2
-4
-6
-8
-10
0
1
Fig 5.11.
2
3
4
t(s)
5
6
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée
4
2
0
0
2
x 10
4
t(s)
6
2
0
0.05
0.1
0.15
t(s)
erreur d'observation de position
Zoom variation de la charge
8
6
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
4
-2
8
0
-2
-4
-6
-8
θobs
θmes
0
-9
2
8
Erreur de vitesse de la MSAP (régulateur Backstepping)
8
-2
7
4
2
0
0
2
Fig 5.12
4
t(s)
6
8
-2
1.5
1.52
1.54
1.56
1.58
1.6
t(s)
Comportement de la position (régulateur Backstepping)
V.6.3. Analyse de robustesse de l’observateur de Kalman :
Nous définissons la même trajectoire de vitesse avec les paramètres biaisés
suivants : Rs = +50%, R = +100%, et J = +50%, J = +100%,
Les figures (5.13)-(5.16) montrent respectivement les résultats de simulation
obtenus lors d’une diminution ou d’une augmentation des paramètres de la
machine pour le filtre de Kalman OTSKE (θ, Ω). Nous pouvons constater la
bonne robustesse de l’observateur vis-à-vis des variations paramétriques et
du bruit injecté aux valeurs mesurées.
155
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
vitesse rotorique mesurée et observée -FKDN250
200
ωref
tr/mn
150
ωobs +50% R
100
ωobs R
50
ωobs +100% R
0
-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t(s)
Zoom variation de la charge
Zoom demarrage
200
1.4
201
2
200.5
2
-4
xerreur
10 d'obsrvation de la vitesse
0
50
tr/mn
tr/mn
100
tr/mn
1.8
1
150
200
-1
-2
-3
199.5
0
-50
1.6
-4
0
0.05
0.1 0.15
t(s)
Fig 5.13
0.2
199
1.49
1.5
-5
1.52 0
1.51
0.5
1
t(s)
t(s)
1.5
2
Comportement de la vitesse (variation de R)
Zoom demarrage
position observée et mesurée
8
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
θobs R
4
2
2
-2
0
0.5
x 10
1
t(s)
1.5
2
0.05
erreur d'observation de position
0.1
0.15
Zoom variation de la charge
8
6
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
0
t(s)
0
-0.5
-1
-1.5
4
2
0
-2
-2.5
θobs +150% R
0
-9
0.5
θobs +50% R
4
0
-2
θref
0
0.5
Fig 5.14
1
t(s)
1.5
2
-2
1.5
1.52
1.54
1.56
t(s)
Comportement de la position (variation de R)
156
1.58
1.6
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
vitesse rotorique mesurée et observée -FKDN250
200
ωref
tr/mn
150
ωobs J
100
ωobs +50% J
50
ωobs +100% J
0
-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t(s)
Zoom variation de la charge
Zoom demarrage
200
201
150
200.5
100
200
1.4
2
1.6
1.8
2
-4
xerreur
10 d'obsrvation de la vitesse
1
50
tr/mn
tr/mn
tr/mn
0
199.5
-1
-2
-3
0
-50
199
0
0.05
0.1 0.15
t(s)
Fig 5.15
0.2
198.5
1.49
-4
1.5
1.51
-5
1.52 0
0.5
1
t(s)
t(s)
1.5
2
Comportement de la vitesse (variation de J)
Zoom demarrage
position observée et mesurée
8
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
θobs J
4
2
0.5
x 10
1
t(s)
1.5
2
0.05
erreur d'observation de position
0.1
0.15
Zoom variation de la charge
8
6
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
0
t(s)
0
-0.5
-1
-1.5
4
2
0
-2
-2.5
θobs +150% J
2
-2
0
-9
0.5
θobs +50% J
4
0
0
-2
θref
0
0.5
Fig 5.16
1
t(s)
1.5
2
-2
1.5
1.52
1.54
1.56
t(s)
Comportement de la position (variation de J)
157
1.58
1.6
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Un dernier test concernant l’inversion du sens de rotation où un passage par
zéro de la vitesse (ω =0 tr/mn) est donné par les figures (5.17)-(5.18). Les
estimations durant cette zone d’inobservabilité sont bien reconstruites aussi
bien pour la vitesse que pour la position. On constate une nette amélioration
des estimations lors des transitoires de vitesses.
vitesse rotorique mesurée et observée
-FKDN - Backstepping-
300
ωref
200
ωobs
tr/mn
100
ωmes
0
-100
-200
-300
0
0.5
1
1.5
Zoom demarrage
2
t(s)
2.5
3
Zoom variation de la charge
250
201
200
200.5
150
200
3.5
4
Zoom inversion du sens de rotation
300
200
100
tr/mn
tr/mn
tr/mn
100
199.5
0
-100
50
0
199
0
0.5
t(s)
1
-4
2
198.5
-200
1
1.2
t(s)
1.4
-300
2
2.5
t(s)
3
3.5
3
erreur de l'observation de la vitesse
x 10
ωmes - ωobs (tr/mn)
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
2.5
4
Fig 5.17 Comportement de la vitesse (inversion du sens de rotation)
158
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
position mesurée et observée
Zoom demarrage
8
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
θobs
4
2
0
-2
2
0
1
2
t(s)
3
2
-2
4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s))
-9
x 10 erreur d'observation de la position
Zoom inversion de sens de rotation
8
6
θmes θobs (rad)
εθ = θmes-θobs
4
0
1
0
-1
-2
-3
θmes
4
2
0
0
1
2
t(s)
3
4
-2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
t(s))
Fig 5.18 Comportement de la position (inversion du sens de rotation)
V.7. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons d’abord présenté le modèle de la MSAP en vue
de la commande vectorielle sans capteur mécanique. Nous avons ensuite
présenté l’étude et le développement de la méthode d’estimation de la
position et de la vitesse de la machine synchrone à aimants permanents basée
sur le filtre de Kalman à deux niveaux ce dernier a permis une réduction
notable du coût de calcul (- 21%) tout en conservant les performances de
l’EKF conventionnel. De plus, cette nouvelle structure montre très clairement
que l’état augmenté Θ peut être calculé séparément du calcul de l’état X, ce
qui ne se voit pas forcément avec les équations classiques du filtre. Ainsi, de
nouvelles stratégies algorithmiques peuvent être mises en œuvre.
La réduction du coût algorithmique peut permettre aussi d’estimer d’autres
paramètres pour augmenter la robustesse de la commande, ou bien encore
d’implanter l’algorithme dans un processeur de plus faible performance, ou
d’augmenter la fréquence d’échantillonna pour accroître les performances
dynamiques du système bouclé.
159
2.8
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par filtre de Kalman
Suite à son application, il est en ressort que cet observateur possède une
bonne réponse dynamique de la vitesse et un très bon rejet de perturbation.
En le comparant à l’observateur Luenberger ; le FKDN présente une bonne
robustesse d’observation lors de la variation paramétrique ainsi une bonne
stabilité pour l’estimation de la position dans la zone inobservabilité Les
résultats obtenus en simulation confirment la validité de cet observateur.
160
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par Filtre de Kalman
Références
[AKR08] A. Akrad, M. Hilairet, D. Diallo, ”A sensorless PMSM drive using
a two stage extended Kalman estimator,” 34th Annual Conference
of IEEE Industrial Electronics, IECON 2008, pp. 2776-2781,
Orlando, USA, 10-13 Nov. 2008.
[AKR10] A. Akrad, Analyse et synthèse d’un contrôleur numérique pour la
commande tolérante aux défauts du capteur mécanique d’une machine
synchrone à aimants permanents Thèse de doctorat, Université de
Paris-Sud11, Mars 2010.
[BAB01] Babak.Nahid.Mobarakeh ‘ Commande vectorielle sans capteur
mécanique des machines synchrones à aimants permanents :
méthodes, convergence, robustesse, identification’ en ligne’ des
paramètres’ 2001 Institut polytechnique de Lorraine
[BAB04] Babak. Nahid-Mobarakeh, F. Meibody-Tabar, F. Sargos, “Mechanical
sensorless control of PMSM with online estimation of stator
resistance, ”IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 40,
N°2, pp. 457-471, 2004.
[BOU04] Z. Boulbair, M. Hilairet, F. Auger, L. Loron, “Sensorless Control
of a PMSMUsing an Efficient Extended Kalman Filter,”
International Conference of Electrical Machines ICEM04 ,
Cracovie, Pologne, 2004.
[FRI 69] B. Friedland, ”Treatment of bias in recursive filtering,” IEEE
Transactions of Automatic Control, Vol. AC-14, No. 4, pp 359367, 1969.
[GRE 01] M. S. Grewal, A. P. Andrews, ”Kalman filtering, theory and
practice, Using MATLAB” John Wiley & sons, Inc, New York,
2001.
[HIL00] M. Hilairet, F. Auger, C. Darengosse, ”Two efficient Kalman filters
for flux and velocity estimation of induction motors,” IEEE PESC’00,
Vol 2, pp 891-896, juin2000.
[HIL01] M. Hilairet, ”Application des outils du traitement du signal à la
commande des machines tournantes,” Thèse de doctorat de
l’Université de Nantes, 2001.
[HIL06] M. Hilairet, E. Berthelot, “Application du Filtrage de Kalman à
Double Niveau à l’estimation de la Vitesse Mécanique d’une Machine
Asynchrone,”
Congrès
Internationale
Francophone
d’Automatique CIFA, Bordeaux France, 2006.
161
Chapitre V
Commande sans capteur mécanique du MSAP par Filtre de Kalman
[HIL09]
M. Hilairet, F. Auger, E. Berthelot, “Speed and rotor flux
estimation of induction machines using a two-stage extended Kalman
filter” Automatica, Vol. 45, N°8,pp. 1819-1827, Aou. 2009.
[HSI99] C.S. Hsieh, F.C. Chen, ”Optimal solution of the two-stage Kalman
estimator,” IEEE Transactions on automatic control, Vol. 44, N°1,
1999, pp. 194-199.
[HSI00] F. C. Chen, C. S. Hsieh, ”Optimal multistage Kalman estimators,”
IEEE Transactions on automatic control, Vol. 45, N°11, 2000, pp.
2182-2188.
[KAL60] R. E. Kalman, ”A new approach to linear filtering and prediction
problems”, Journal of basic Engineering, Vol. 82, No. 1, pp. 35-45,
1960.
[TAN75] A. Tanaka, ”Parallel computation in linear discrete filtering,” IEEE
Transactions on automatic control, Technical notes and
correspondence, vol. AC-20, p 573-575, 1975.
162
CHAPITRE VI
VALIDATION
EXPERIMENTALE
Chapitre VI
Validation expérimentale
Sommaire
VI.1 Introduction
VI.2 Présentation du banc expérimental
VI.2.1. La commande numérique
VI.2.2. Constitution de l’ensemble électromécanique
VI.2.3. Équipements de mesure
VI.2.4. Le dispositif de commande
VI.3 Résultats expérimentaux pour la commande avec capteur
mécanique
VI.3.1. Réglage de la vitesse avec PI
VI.3.2. Réglage de la vitesse avec intégral backstepping
VI.3.3. Comparaison entre les deux régulateurs pour la commande
avec capteur mécanique
VI.4 Résultats expérimentaux pour la commande sans capteur
mécanique
VI.4.1. Réglage de la vitesse avec PI
VI.4.1.1. Essai avec le Benchmark
VI.4.2. Réglage de la vitesse avec backstepping
VI.4.2.1. Essai avec profil simple
VI.4.2.2. Essai avec le Benchmark
VI.4.2.3. Essai à vide
VI.4.2.4. Essai en charge
VI.5 Conclusion
163 Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.1. Introduction
Depuis quelques années les équipements numériques tendent à supplanter
les dispositifs analogiques dans les domaines de la mesure, de la commande
de la surveillance des procédés de conversion d’énergie électrique. En effet
lors du développement théorique d’une commande donnée, parfois, on a
recourt à des hypothèses simplificatrices, soit au niveau de la modélisation,
soit au niveau de la commande. La validation par simulation permet d’avoir
une idée sur l’efficacité de la commande comme l’erreur de poursuite, la
robustesse, le temps de réponse, …etc.
Cependant, ces simulations ne peuvent pas refléter tous les phénomènes
physiques car il est difficile, si ce n’est impossible, de les modéliser. Par
ailleurs, des contraintes technologiques, dans la plupart des cas, ne sont pas
prises en compte lors de la simulation comme les erreurs de mesures dues
aux capteurs, le temps d’échantillonnage, les retards, les temps de traitement
de données, les bruits de mesures, …etc.
Pour cela, l’implémentation en temps réel d’une commande sur un banc
d’essais, est très importante car elle permet de mesurer réellement l’efficacité
de l’approche développée et validée en simulation. Elle permet également de
détecter ou mettre en évidence certaines contraintes physiques négligées lors
de la mise en œuvre.
Dans ce qui suit nous présentons chacun des éléments du banc expérimental
comprenant un moteur synchrone à aimants permanents, un onduleur de
tension MLI régulé en courant, des capteurs de courant, de vitesse et de
position et enfin une carte de commande DSpace. La plate forme d’essais
permet à l’utilisateur d’implémenter directement les algorithmes de
commande développés en simulation. Le passage de la phase de simulation
à l’aide de logiciel Matlab/ Simulink à la phase d’expérimentation est réaliser
à l’aide du logiciel Real Time Interface ‘RTI’ et la carte DSpace.
L'objectif de toute notre étude est de réaliser – enfin - la commande vectorielle
de la machine synchrone à aimants permanents avec et sans utiliser de
capteur mécanique. Dans les chapitres précédents nous avons fait l'étude des
observateurs et nous avons fait la simulation de la commande avec et sans
capteur.
Dans ce chapitre, nous présenterons les résultats expérimentaux de
l'implantation de la commande toujours dans les deux cas avec et sans
capteur mécanique à l'aide d'une carte DSP dédiée à ce genre d'application.
Nous commandons la machine numériquement à partir du PC via la carte
DS1103. Puis nous présentons l’ensemble des essais expérimentaux que nous
164
Chapitre VI
Validation expérimentale
avons effectués. Ils nous permettent de vérifier les résultats de simulation et
de juger la faisabilité et la qualité du contrôle réalisé. Les courbes
expérimentales sont relevées pour différents types de fonctionnement :
• Commande en vitesse avec capteur mécanique (régulateur PI et régulateur
backstepping)
• Commande en vitesse sans capteur mécanique avec observation par le
filtre de Kalman (régulateur PI et régulateur backstepping)
La grande flexibilité de la commande numérique est mise en évidence par la
possibilité d’apporter des modifications en temps réel, sans interrompre le
déroulement du processus. Cette flexibilité est illustrée, en particulier, par la
possibilité de changer la valeur de consigne, les coefficients des régulateurs
ou de choisir l’un des fonctionnements indiqués ci-dessus.
VI.2. Présentation du banc expérimental
L’expérimentation a été effectuée au LGEP (Laboratoire de Génie Électrique
de Paris). Le dispositif de commande est celui de la figure (6.1)
Fig. 6.1 – Photo du dispositif de commande du MSAP du LGEP
VI.2.1. La commande numérique
La commande numérique Constituée de qui est constituée de :
un micro-ordinateur qui gère le système DSP
système de calcul et de contrôle (Carte DSPACE DS1103)
quatre interfaces sont disponibles :
165
Chapitre VI
Validation expérimentale
•
Une carte permettant de commander l’onduleur de tension en
Modulation de Largeur d’Impulsion (MLI) et d’imposer les tensions aux
bornes de la machine,
•
Une carte permettant la mesure des deux courants,
•
Une carte permettant la mesure du couple et la commande du frein à
poudre,
•
Une carte permettant la mesure de la position angulaire à partir d’un
codeur incrémental placé sur l’arbre du moteur.
VI.2.2. Constitution de l’ensemble électromécanique
L’ensemble électromécanique constitué d’une machine synchrone à aimants
permanents MSAP associé au convertisseur de puissance et de son
alimentation et une charge (le frein à poudre).
•
Caractéristique de la machine synchrone :
Le moteur synchrone à aimants permanents utilisé dans nos
expérimentations est une machine à pôles lisses de faible puissance (1.1 KW)
dont les paramètres sont donnés en annexe D
•
Charge du MSAP
La charge de la MSAP est constituée d’un frein à poudre monté en bout
d’arbre dont on peut régler la valeur du couple résistant.
VI.2.3. Équipements de mesure
L’ensemble de mesure comporte deux capteurs de courants à effet Hall.
Ceux-ci fournissent chacun un signal conditionné et filtré à l’aide de filtres
d’ordre deux, comme représenté sur la figure (6.2). La mesure de la position
est donnée par un capteur optique incrémental
Fig.6.2 – Mesure des deux courants de phase et de la position.
166
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.2.4. Le dispositif de commande
Le système informatique qui est constitué d’un micro-ordinateur (PC) ; une
carte de commande temps réel DS1103 ; une interface de connexion entre le
banc d’essais et le système de commande.
La carte DSpace est conçue pour développer des systèmes de commande
numérique en temps réel. Elle permet en ligne, de faire l’acquisition des
différentes mesures, d’implémenter des algorithmes et de transmettre des
signaux de commande. Elle se connecte directement sur la carte du PC par la
liaison bus extensible.
Elle est basée sur le Digital Signal Processor (DSP) d’une fréquence de
60MHz qui constitue l’unité principale de traitement. Elle est ainsi
idéalement adaptée aux algorithmes numériques les plus complexes.
Fig 6.3 Architecture et périphérique du DS1103
Autour de cette carte, nous retrouvons tout ce qui nécessaire au
développement et à la mise en œuvre d’un système de commande tel que les
convertisseurs Analogique/Digital (ADC) et Digital / Analogique (CAD),
des interfaces de codeur incrémental, entrée/sortie numérique, etc.…
167
Chapitre VI
Validation expérimentale
D’autre part, les signaux des mesures ou de commande transitent entre le
banc d’essais et le système de commande par l’intermédiaire d’une interface
de connexion.
Le logiciel Simulink fait appel aux options logiciels complémentaires à
Matlab/ Simulink pour exécuter l’application avec la carte DS1103 où il faut
convertir les algorithmes du langage graphique (schémas-blocs de Simulink)
en langage C. Ensuite compiler les lignes de programmes puis établir les
liens d’adressage avec la carte et télécharger les données. Ce sont les
logiciels : Real Time Workshop (RTW) et Real Time Interface (RTI) qui
réalisent ces taches et qui s’engagent avec tous les avantages que cela
supposent en gain de temps et en fiabilité. La figure 6.4 présente les
différentes liaisons par la configuration générale de simulation numérique
Fig. 6.4 Configuration générale de la simulation numérique.
Dés que l’algorithme de commande est chargé dans la carte DS1103,
l’application s’exécute en temps réel tout en visualisant les signaux et en
réajustant les paramètres dans la carte, comme on peut les enregistrer sous
Matlab fichier « .mat » afin d’analyser le comportement du processus en
temps différés.
168
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.3. Résultats expérimentaux pour la commande avec capteur
mécanique
VI.3.1. Réglage de la vitesse avec PI
Les résultats expérimentaux de l’ensemble "commande vectorielle par PI sont
effectués sur des différents essais et présentés comme suit :
• Un test à vide sur un profil rapide, avec un échelon de référence
100tr/min donné par figure (6.5 ) ; puis à la figure (6.6) on reprend le
même test effectué mais cette fois en charge (5Nm) pour une vitesse de
100tr/mn suivi d’un freinage à t=1.7 s .
• Un troisième test effectué avec une vitesse de référence 400tr/mn suivit
d’une inversion du sens de rotation -400tr/mn à t=1.9s figure (6. 7) on
donne les courants directe et quadratique pour ce cas à la figure (6.8)
• Le dernier essai sur un benchmark dédié commande avec capteur
mécanique figure (6.9) ; où un test d’asservissement de vitesse on
applique la référence comme suit ( 0 ; 100 ; 200 ; 400 ; -400 ; 0 ) tr/mn
vitesse rotorique mesurée et référence - PI à vide 120
100
80
tr/mn
60
ωmes
40
ωref
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t(s)
Zoom demarrage
1.4
1.6
1.8
2
Zoom regime permanent
104
100
102
60
tr/mn
tr/mn
80
100
40
98
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
96
1
1.2
t(s)
Fig 6.5 Comportement de la vitesse (essai à vide)
169
1.4
t(s)
1.6
1.8
2
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence - PI 120
100
tr/mn
80
60
ωmes
40
; ωref
20
0
-20
0
1
2
3
4
Zoom demarrage
120
6
6
t(s)
100
5
80
4
60
3
tr/mn
tr/mn
5
Zoom freinage
40
2
20
1
0
0
-20
3.5
4
t(s)
-1
4.5
2
2.5
3
3.5
t(s)
Fig 6.6 Comportement de la vitesse (essai en charge)
Zoom inversion du sens de rotation
8
6
6
4
id
4
iq
2
2
A
A
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
0
1
2
3
4
5
6
t(s)
-8
2
2.1
2.2
2.3
t(s)
Fig 6.7 Comportement des courants (essai en charge)
170
2.4
2.5
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence - PI 500
400
300
200
ωmes
100
tr/mn
ωref
-100
-200
-300
-400
-500
0.5
1
1.5
2
Zoom demarrage l
2.5
3
t(s)
450
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Zoom variation sens de rotation la vitesse
400
300
400
200
100
tr/mn
tr/mn
350
300
0
-100
-200
250
-300
-400
200
0.2
0.25
0.3
0.35
t(s)
0.4
0.45
1.8
0.5
1.9
2
2.1
t(s)
2.2
2.3
2.4
Fig 6.8 Comportement de la vitesse (inversion du sens de rotation)
10
1.5
iqref
idmesr
1
iqmes
5
0
A
A
0.5
0
-0.5
-5
-1
-1.5
0
2
4
6
8
t(s)
-10
0
2
4
6
t(s)
Fig 6.9 Comportement des courants (Benchmark commande avec capteur)
171
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence - PI -
ωmes
tr/mn
250
ωref
0
-250
0
1
2
3
Zoom demarrage
4
5
t(s)
Zoom inversion de rotation
6
7
8
9
Zoom freinage
0
100
250
-100
60
tr/mn
tr/mn
tr/mn
80
0
-200
40
-250
-300
20
0
0
0.2
0.4
0.6
-500
5.5
-400
6
6.5
t(s)
t(s)
7
8
8.1
t(s)
8.2
Fig 6.10 Comportement de la vitesse (benchmark commande avec capteur )
Test de robustesse
Nous définissons la même trajectoire de vitesse
du benchmark de
commande avec capteur mécanique mais avec les paramètres biaisés
suivants : Rs = +50%, et J = +50%,
Remarques
Sur la plate-forme d'essai située à LGEP (Supelec-Paris) , il est difficile de faire
varier les paramètres du moteur. Pour vérifier la robustesse, nous avons effectué des
variations paramétriques sur le régulateur par rapport aux valeurs identifiées au
laboratoire LGEP. La comparaison est faite par rapport à l'essai précédent.
172
8.3
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence
500
400
ω100% R
300
ω150% R
200
ωref
tr/mn
100
0
-100
-200
-300
-400
-500
0
1
2
3
5
6
t(s)
Zoom inversion de sens de rotation
500
Zoom demarrage
120
4
7
8
9
10
Zoom freinage
0
100
-100
60
tr/mn
-200
tr/mn
tr/mn
80
0
-300
40
-400
20
0
0
0.1
0.2
0.3
t(s)
0.4
-500
0.5
-500
6
6.2
6.4
8
8.1
t(s)
8.2
8.3
t(s)
8.4
8.5
Fig 6.11 Comportement de la vitesse (variation de R)
8
1.5
1
id (100% R)
6
id (150% R)
4
2
A
A
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
-2
iq (100% R)
-4
iq (150% R)
-6
-8
0
2
4
6
8
t(s)
0
2
4
6
t(s)
Fig 6.12 Comportement des courants (variation de R-)
173
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence
500
400
300
ωref
200
ω100%j
tr/mn
100
ω150 % j
0
-100
-200
-300
-400
-500
0
1
2
3
4
5
t(s)
Zoom variation sens de rotation l
Zoom demarrage
500
6
7
8
9
Zoom freianage
100
0
100
250
0
-250
tr/mn
50
tr/mn
tr/mn
-100
0
-200
-300
-400
-50
0
0.2
0.4
0.6
-500
6
6.25
t(s)
t(s)
-500
6.5
8
8.1
8.2
8.3
t(s)
Fig 6.13 Comportement de la vitesse (variation de J-)
10
1.5
1
id
100% J
id
150% J
5
iq
150% J
iq
100% J
A
A
0.5
0
0
-0.5
-5
-1
-1.5
0
2
4
6
8
t(s)
-10
0
2
4
6
t(s)
Fig 6.14 Comportement des courants (variation de J-)
VI.3.2. Réglage de la vitesse avec intégral backstepping
Les résultats expérimentaux de l’ensemble "commande vectorielle par
backstepping sont effectués sur des différents essais que pour le cas avec
un PI et présentés comme suit :
• Un test à vide sur un profil rapide, avec un échelon de référence
100tr/min figure (6.15) ; puis le même test effectué en charge (5Nm) pour
une vitesse de 100tr/mn suivi d’une inversion de sens de rotation à 100tr/mn.
174
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
• Un deuxième test sur le même profile effectué avec une vitesse de
référence 100tr/mn suivit d’une inversion du sens de rotation -100tr/mn à
t=1.9s représenté à la figure (6. 19)
• Le dernier essai sur un benchmark dédié commande avec capteur
mécanique donné par la figure (6.20) où un test d’asservissement de vitesse
est appliqué avec la référence comme suit (0 ; 100; 200; 400, -400 et 0) tr/mn
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping 120
100
(tr/m n)
80
ωmes
60
ωref
40
20
0
-20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
Zoom demarrage la vitesse
1.2
1.4
Zoom
1.6
1.8
2
1.8
2
regime permanent
104
100
102
(tr/m n)
(tr/m n)
80
60
100
40
98
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s)
96
1
1.2
1.4
1.6
t(s)
Fig 6.15 Comportement de la vitesse (essai à vide)
175
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping 120
100
(tr/mn)
80
ωmes
60
ωref
40
20
0
-20
0
1
2
t(s)
Zoom demarrage la vitesse
3
4
5
6
7
8
Zoom variation de la charge
100
105
(tr/mn)
80
100
60
40
95
20
0
0
0.2
0.4
t(s)
0.6
90
0.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
6
8
t(s)
Fig 6.16 Comportement de la vitesse (essai variation de la charge )
4
8
idmse
2
iqref
6
idref
iqmse
0
A
A
4
2
-2
-4
0
0
2
4
t(s)
6
8
-2
0
2
4
t(s)
Fig 6.17 Comportement des courants ( variation de la charge )
176
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping -
100
ωref
70
(tr/mn)
ωref
40
0
0
1
2
Zoom demarrage la vitesse
3
4
5
6
Zoom variation de la charge
t(s)
130
7
800
100
10
(tr/mn)
(tr/mn)
70
40
5
0
0
-5
-40
4.1
4.2
4.3
-10
2.5
2.7
2.9
3.1
3.3
3.5
t(s)
t(s)
Fig 6.18 Comportement de la vitesse (en charge)
10
5
id
5
iq
A
0
A
0
-5
-5
-10
0
1
2
3
t(s)
4
5
6
-10
2
2.1
2.2
2.3
t(s)
Fig 6.19 Comportement de s courants (essai en charge)
177
2.4
2.5
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping -
ωref
tr/mn
250
ωmes
0
-250
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t(s)
Zoom demarrage
Zoom freinage
Zoom inversion de rotation
0
100
250
-100
tr/mn
60
tr/mn
tr/mn
80
0
-200
40
-300
-250
20
0
0
0.2
0.4
0.6
-400
-500
5.5
6
t(s)
6.5
8
7
8.1
t(s)
8.2
8.3
t(s)
8.4
8.
Fig 6.20 Comportement de la vitesse (benchmark commande avec capteur )
1.5
10
idref
1
5
idmes
0.5
A
A
0
0
-5
-0.5
iqref
-1.5
iqmes
-10
-1
0
2
4
6
8
t(s)
-15
0
2
4
t(s)
6
Fig 6.21 Comportement des courants (benchmark commande avec capteur)
Test de robustesse
Nous définissons la même trajectoire de vitesse et on effectue le même essai
mais avec les paramètres biaisés suivants : Rs = +50%, et J = +50%,
178
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
Remarques
Sur la plate-forme d'essai située à LGEP (Supelec-Paris) , il est difficile de faire
varier les paramètres du moteur. Pour vérifier la robustesse, nous avons effectué des
variations paramétriques sur le régulateur par rapport aux valeurs identifiées au
laboratoire LGEP. La comparaison est faite par rapport à l'essai précédent.
vitesse rotorique mesurée et référence -backstepping 500
400
300
200
tr/mn
100
ωref
0
-100
ωmes + 50%R
-200
ωmes R
-300
-400
-500
0
1
2
3
4
t(s)
5
6
7
8
9
10
Zoom freianage
Zoom variation sens de rotation l
500
0
-100
250
tr/mn
-200
0
-300
-250
-500
-400
-500
6
6.25
6.5
8
8.1
8.2
t(s)
t(s)
8.3
8.4
8.5
Fig 6.22 Comportement de la vitesse (variation R )
10
2
idref
5
idmes R
1
idmes 1.5*R
A
A
0
0
-5
iqmes R
-1
-2
iqref
-10
0
2
4
6
8
t(s)
-15
iqmes 1.5*R
0
2
4
t(s)
Fig 6.23 Comportement des courants (variation R)
179
6
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et référence -backstepping 500
400
300
200
tr/mn
100
ωref
0
-100
ωmes +50% J
-200
ωmes J
-300
-400
-500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8.4
8.5
t(s)
Zoom freianage
Zoom variation sens de rotation l
500
0
-100
250
-200
0
-300
-250
-500
-400
-500
6
6.25
6.5
8
8.1
8.2
8.3
t(s)
t(s)
Fig 6.24 Comportement de la vitesse (variation J)
10
2
idref
5
idmes
1
i
dmes
1.5*J
0
A
A
0
-5
-1
iqref
i
J
i
1.5*J
qmes
-10
qmes
-2
0
2
4
6
8
-15
0
2
t(s)
Fig 6.25 Comportement des courants (variation J)
180
4
t(s)
6
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.3.3. Comparaison entre les deux régulateurs pour la commande avec
capteur mécanique
comparaison entre - PI / Backstepping - Commande avec capteur
500
400
300
200
tr /m n
100
0
-100
ωref
-200
ωmes PI
-300
ωmes Backstepping
-400
-500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t(s)
Zoom accelération
Zoom variation sens de rotation
20
400
15
Zoom f reinage
10
5
10
350
0
5
300
-5
0
-5
250
-10
-10
-15
-15
200
6
4
4.1
4.2
4.3
4.4
-20
4.5 6.12
6.145 6.15
t(s)
-20
8.2
8.3
8.4
8.5
t(s)
t(s)
Fig 6.26 Comparaison du comportement de vitesse
PI et Backstepping
comparaison des courants
1.5
10
id PI
1
id backstepping
5
0
A
A
0.5
0
-0.5
iq PI
-5
iq backstepping
-1
-1.5
0
2
4
t(s)
6
8
-10
0
2
4
t(s)
Fig 6.27 Comparaison du comportement des courants entre PI et
Backstepping
181
6
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.4. Résultats expérimentaux pour la commande sans capteur
mécanique
VI.4.1. Réglage de la vitesse avec PI
Les résultats expérimentaux de l’ensemble "commande vectorielle sans
capteur mécanique associé à un régulateur PI pour le réglage de la vitesse
sont effectués pour différents essais
• Les figures (6.28 – 6.33) représentent les résultats du test à vide avec un
échelon de référence de 100tr/min puis en charge, avec un échelon de
référence de 400tr/min sui d’une inversion à -400tr/mn.
• L’essai sur un benchmark dédié commande avec capteur mécanique est
donné à la figure (6.34) ; où un test d’asservissement de vitesse on applique
la référence comme suit (0 ; 100 ; 200 ; 400 ; -400 ; 0) tr/mn.
Les différents comportements de la vitesse observée et mesurée, ainsi la
position observée et mesurée puis les courants direct et quadratique sont
exposés. On remarque une bonne poursuite d’observation pour la vitesse et
la position avec des erreurs assez importantes pour d’observation au
démarrage puis lors des passages par zéro qui disparaissent après la stabilité
du système. Le découplage n’est pas affecté.
182
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et observée PI à vide-
tr/mn
100
ωobs
ωmes
50
ωref
0
0
0.5
1
1.5
Regime permanent
Zoom demarrage
t(s)
tr/mn
tr/mn
100
50
100
0
-50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1
0.5
1.05
t(s)
1.1
t(s)
1.15
1.2
erreur d'observation de la vitesse - PI à vide30
tr/mn
20
10
0
-10
0
0.5
1
t(s)
Fig 6.28 Comportement de la vitesse (FKDN –PI)
183
1.5
Chapitre VI
Validation expérimentale
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée -PI FKDN 8
4
2
0
-2
4
2
0
0
0.5
1
-2
1.5
t(s)
0
0.1
erreur d'observation de la position
ε = θmes - θobs
t(s)
0.4
0.5
8
6
θmes θobs (rad)
1
(rad)
0.3
Zoom regime permanent
θ
1.5
0.5
0
-0.5
0.2
4
2
0
-2
0
0.5
1
1.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
t(s)
t(s)
Fig 6.29 Comportement de la position (FKDN –PI)
Zoom régime permanent
1.5
1.5
id
1
0.5
0.5
0
0
A
A
1
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
0.5
1
-1.5
1
1.5
t(s)
iqmes
2.5
1.15
t(s)
1.2
1
iqres
2
0.8
1.5
0.6
A
A
1.1
Zoom régime permanent
3
1
0.4
0.5
0.2
0
1.05
0
0.5
1
1.5
t(s)
0
1
1.05
Fig 6.30 Comportement des courants (FKDN –PI)
184
1.1
t(s)
1.15
1.2
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et observée PI à vide500
400
tr/mn
300
200
ωobs
100
ωmes
ωref
0
-100
-200
-300
-400
-500
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t(s)
3.5
4
4.5
5
Zoom inversion du sens de rotation
Zoom demarrage
400
450
400
tr/mn
3
200
350
0
300
-200
250
200
0.2
0.25
0.3
0.35
t(s)
0.4
0.45
0.5
-400
1.8
1.9
2
t(s)
2.1
2.2
4.5
5
erreur d'observation de la vitesse - PI ε = ωobs - ωmes
ω
tr/mn
50
0
-50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t(s)
3
3.5
Fig 6.31 Comportement de vitesse
(Inversion du sens de rotation - FKDN –PI)
185
4
Chapitre VI
Validation expérimentale
1.5
1.5
idmes
1
1
0
0
A
0.5
A
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
1
2
3
4
-1.5
1.8
5
t(s)
6
1.9
2
1.9
2
t(s)
2.1
2.2
2
4
0
2
-2
A
A
0
-2
-4
iqmes
-4
iqest
-6
0
1
2
3
4
-6
1.8
5
t(s)
t(s)
2.1
2.2
Fig 6.32 Comportement des courants
(Inversion du sens de rotation- FKDN –PI)
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée -PI FKDN 8
4
2
0
-2
4
2
0
0
1
2
3
4
-2
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s)
erreur d'observation de la position
ε = θmes - θobs
Zoom inversion de sens de rotation
θ
8
1
6
θmes θobs (rad)
1.5
(rad)
0.5
0
-0.5
2
0
-1
-1.5
4
0
1
2
3
4
5
-2
1.6
1.8
t(s)
Fig 6.33 Comportement de la position
(Inversion du sens de rotation -FKDN–PI)
186
2
t(s)
2.2
2.4
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.4.1.1. Essai en charge avec le Benchmark commande sans capteur
mécanique
vitesse rotorique mesurée et référence - PI FKDN -
tr/mn
1200
1000
ωobs
800
ωmes
600
ωref
400
200
0
1
2
3
1200
200
1000
150
800
100
400
0
200
0
0.1
0.2 0.3
t(s)
6
0.4
0
2.2
7
8
Zoom freinage
150
100
600
50
-50
5
Zoom variation de la vitesse
250
tr/mn
tr/mn
Zoom demarrage
4
t(s)
tr/mn
0
50
0
2.4
2.6
t(s)
2.8
5.1
5.2
5.3
5.4
t(s)
5.5
5.6
Fig 6.34 Comportement de vitesse
(avec le benchmark - FKDN –PI)
VI.4.2. Réglage de la vitesse avec backstepping
Les résultats expérimentaux de l’ensemble "commande vectorielle sans
capteur mécanique associé à un régulateur backstepping pour le réglage de
la vitesse sont effectués pour différents essais
• Les figures (6.35 – 6.39) représentent les résultats du test à vide avec un
échelon de référence de 100tr/min puis en charge, avec un échelon de
référence de 100tr/min et un essai avec une référence de 400tr/min suivi
d’une inversion à -400tr/mn.
Les différents comportements de la vitesse observée et mesurée, ainsi la
position observée et mesurée puis les courants direct et quadratique sont
exposés. On remarque une bonne poursuite d’observation pour la vitesse et
la position avec des erreurs assez importantes pour d’observation au
démarrage puis lors des passages par zéro qui disparaissent après la stabilité
du système. Le découplage n’est pas affecté.
187
Chapitre VI
VI.4.2.1.
Validation expérimentale
Essai avec profil simple
vitesse rotorique mesurée et observée backstepping à vide-
125
tr/mn
100
75
ωobs
50
ωmes
ωref
25
0
-25
-50
0
0.25
0.5
0.75
t(s)
1
Zoom demarrage
1.25
1.5
Regime permanent
125
105
100
102.5
tr/mn
tr/mn
75
50
100
25
0
95.5
-25
-50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
95
1
1.05
1.1
t(s)
t(s)
erreur d'observation de la vitesse
1.15
1.2
εω = ωmes -ωobs
0
tr/mn
-25
50
25
0
-25
0
0.5
1
t(s)
Fig 6.35 Comportement de la vitesse (FKDN –Backstepping)
188
1.5
Chapitre VI
Validation expérimentale
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position mesurée et observée
8
4
2
4
2
0
0
-2
-2
0
0.5
1
1.5
0
0.1
0.2
0.5
0.6
0.7
Zoom régime permanent
8
6
θmes θobs (rad)
-0.45
θmes θobs (rad)
0.4
t(s)
t(s)
erreur d'observation de la position
-0.5
-0.55
-0.6
4
2
0
-0.65
-0.7
0.3
2
0
0.5
1
1.5
-2
2
1
1.2
t(s)
1.4
1.6
1.8
2
t(s)
Fig 6.36 Comportement de la position (FKDN –Backstepping)
Zoom demarrage
1.5
1.5
idest
1
1
0.5
A
A
0.5
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
0
0.5
t(s)
1
1.5
-1.5
0.9
0.95
t(s)
1
1.05
1.1
1.05
1.1
Zoom demarrage
2
0.5
iqmes
1.5
0.4
iqest
A
A
1
0.3
0.5
0.2
0
-0.5
0
0.5
t(s)
1
1.5
0.1
0.9
t(s)
0.95
1
Fig 6.37 Comportement des courants (FKDN –Backstepping)
189
Chapitre VI
Validation expérimentale
vitesse rotorique mesurée et observée - backstepping en charge 500
400
300
ωobs
200
ωmes
tr/mn
100
0
-100
-200
-300
-400
-500
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
2.5
3
3.5
Zoom demarrage
4
4.5
5
Zoom regime permanent
450
400
400
200
tr/mn
350
0
300
-200
250
200
0.2
0.25
0.3
0.35
t(s)
0.4
0.45
0.5
-400
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
t(s)
erreur d'observation de la vitesse - backstepping ε = ωmes -ωobs
ω
100
tr/mn
50
0
-50
-100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t(s)
3
3.5
4
4.5
5
Fig 6.38 Comportement de la vitesse (Inversion de rotation-FKDN)
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position observée et mesurée -backstepping FKDN 8
4
2
4
2
0
0
-2
-2
θmes
θobs
0
1
2
3
4
5
t(s)
0
0.1
Fig 6.39 Comportement de la position
190
0.2
0.3
t(s)
0.4
0.5
Chapitre VI
Validation expérimentale
erreur d'observation de la position
-θ
ε =θ
θ
0.2
mes
Zoom inversion de sens de rotation
obs
8
6
θmes θobs (rad)
(rad)
0.1
0
4
2
-0.1
-0.2
0
0
1
2
3
4
-2
1.6
5
1.8
2
t(s)
t(s)
2.2
2.4
Fig 6.39( la suite ) Comportement de la position
(Inversion de rotation -FKDN –Backstepping)
VI.4.2.2.
Essai avec le Benchmark commande sans capteur mécanique
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping à vide FKDN -
1200
1000
ωobs
tr/mn
800
ωmes
600
ωref
400
200
0
-200
0
1
2
3
Zoom demarrage
4
t(s)
5
7
8
Zoom freinage
Zoom variation de vitesss
250
1200
200
200
1000
150
150
800
100
100
tr/mn
6
600
50
50
400
0
-100
0
200
-50
0
0.1
0.2
0.3
t(s)
0.4
0
2.2
-50
2.4
2.6
t(s)
2.8
5.2
5.4
t(s)
5.6
5.8
erreur d'observation de la vitesse
ε = ωmes -ωobs
ω
80
tr/m
n
60
40
20
0
-20
-40
0
1
2
3
4
5
6
7
t(s)
Fig 6.40 Comportement de la vitesse (benchmark- FKDN –Backstepping)
191
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
Zoom demarrage
- backstepping FKDN -
1.5
1.5
idref
1
1
idmes
0
A
0.5
A
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
0
0.5
1
t(s)
1.5
-1.5
0.9
0.95
1 t(s)
1.05
1.
Zoom demarrage
2
0.2
iqest
1.5
0.1
iqmes
0.5
A
A
1
0.4
0.5
0.3
0
-0.5
0.2
0
2
4
6
t(s)
8
0.1
0
0.5
1
1.5
2
Fig 6.41 Comportement des courants (FKDN –Backstepping)
Zoom demarrage
8
6
6
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position mesurée et observée - backstepping à vide FKDN -
8
4
2
θmes
4
2
0
0
-2
θobs
-2
0
2
4
6
8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
t(s)
erreur d'observation de la position
ε = θmes - θ obs
Zoom variation de la vitesse
θ
8
6
6
θmes θobs (rad)
4
4
2
2
0
-2
0
-2
0
2
4
6
8
t(s)
2
2.2
2.4
2.6
Fig 6.42 Comportement de la position (FKDN –Backstepping)
192
2.8
3
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.4.2.2.1.
Essai en charge
vitesse rotorique mesurée et référence - backstepping FKDN -
tr/mn
1200
1000
ωmes
800
ωobs
ωref
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
t(s)
Zoom variation de la vitesse
Zoom demarrage
400
6
8
Zoom freinage
150
1200
1000
300
100
tr/mn
200
100
tr/mn
800
tr/mn
7
600
50
400
200
0
0
0.1
0.2 0.3
t(s)
0
0
2.2
0.4
2.4
2.6
t(s)
5.1
2.8
5.2
5.3
5.4
t(s)
5.5
5.6
erreur d'observation de la vitesse
ε = ωmes -ωobs
ω
400
tr/mn
300
200
100
0
-100
0
1
2
3
4
5
t(s)
Fig 6.43 Comportement de vitesse
(benchmark - FKDN –backstepping )
193
6
7
8
Chapitre VI
Validation expérimentale
Zoom demarrage
- backstepping FKDN -
2
2
iqmes
iqref
1
A
1
A
0
-1
-1
-2
0
-2
0
2
4
t(s)
6
8
0
0.5
1.5
2
1.5
2
Zoom demarrage
8
7.5
iqmes
6
iqest
5
4
A
2
A
1
t(s)
2.5
0
0
-2
-4
0
2
4
t(s)
6
8
0
0.5
Fig 6.44 Comportement de vitesse
(benchmark - FKDN –backstepping )
8
6
6
4
θmes
2
θobs
θmes θobs (rad)
θmes θobs (rad)
position mesurée et observée - backstepping FKDN 8
1
t(s)
Zoom demarrage
4
2
0
0
-2
-2
0
2
4
6
0
0.2
0.4
8
0.6
0.8
1
2.8
3
t(s)
t(s)
erreur d'observation de la position
ε = θmes -θobs
Zoom régime permanent
θ
8
0.3
0.2
θmes θobs (rad)
6
rad/s
0.1
0
-0.1
-0.2
4
2
0
0
2
4
6
8
-2
2
2.2
2.4
2.6
t(s)
Fig 6.45 Comportement de la position
(Benchmark - FKDN – Backstepping)
194
Chapitre VI
Validation expérimentale
VI.5. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons validé sur le banc d’essai la commande
vectorielle indirecte avec les deus types de régulateurs étudiées à savoir le
régulateur classique PI et le régulateur backstepping avec action intégrale, en
utilisation le capteur mécanique puis en faisant appel aux observateurs afin
d’observer des grandeurs mécanique par le filtre de Kalman.
L'utilisation du système de développement en temps réel (Dspace 1103) a
permis l'implantation des algorithmes élaborés, de tester leurs performances
dynamiques et d'évaluer par la suite leurs efficacités. Les tests ont été
implantés pour les mêmes conditions de fonctionnement ‘référence, couple
de charge et temps d’exécution). Le contrôleur backstepping a donné une
amélioration de performances dynamiques pour les régimes transitoires
relatifs à tous les essais et le découplage a été maintenu pour tous les essais.
Nous signalons que nous avons effectué, dans un premier temps, des essais à
vide puis d’autre en charge. Les réponses obtenues ne sont pas loin des
résultats trouvés en simulation, donc la simulation reste une étape cruciale
qui doit précéder toute mise en œuvre expérimentale d'un algorithme. Les
différents résultats obtenus démontrent également la complémentarité qui
existe entre la simulation et la pratique
On a remarqué une légère différence sur les erreurs d’observation pour le cas
de commande sans capteur ceci ce justifie par les hypothèses simplificatrices
utilisés sur le modèle du MSAP ainsi sur l’observateur de Kalman.
Suite à des facteurs indépendants de notre volonté, où on a été confronté à la
contrainte du temps, il est important de souligner que malheureusement
nous n’avons pas pu réaliser les tests de robustesse du filtre de Kalman pour
des variations paramétriques.
195
CONCLUSION
GENERALE
Conclusion générale
Le moteur synchrone à aimants permanents est un actionneur électrique
d’un grand intérêt industriel, à cause de sa compacité, sa faible inertie, son
rendement, sa robustesse et sa puissance massique élevée, par contre sa
structure non linéaire rend sa commande plus complexe, ce qui nous a
conduit à utiliser des modèles de commande non linéaires susceptibles de
fournir de bonnes performances. Ainsi, le travail présenté dans cette thèse
présente essentiellement une contribution à la commande vectorielle avec et
sans capteur mécanique dont les objectifs fixés étaient les suivants :
• Proposer des lois de commande robuste qui garantissent de hautes
performances statiques et dynamiques à faible et à grande vitesse.
• Réduire les coûts de mise en œuvre de la commande en réduisant le
nombre de capteurs et leur maintenance en utilisant des observateurs qui
estiment les grandeurs mécaniques
• Élaborer et valider chaque loi de commande sur un benchmark industriel
pour la commande sans capteur mécanique.
Pour répondre à ces objectifs notre travail s’est axé sur deux volets :
Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés à l’amélioration des
performances de la commande vectorielle avec capteur ceci en appliquant
des commandes linéaires puis nonlinéaires.
Pour cela nous avons établi le modèle mathématique du MSAP dans les
différents repères triphasé, fixe (αβ) et tournant (dq) en se basant sur quelques
hypothèses simplificatrices adoptées en littérature.
Sur le plan théorique l’expérience était très enrichissante et nous a permis de
développer plusieurs techniques de commande appliquées au MSAP.
La commande vectorielle et ses principales stratégies à courant direct nul
basé sur un régulateur classique PI a été étudiée. Suite au test de robustesse
il apparaît que le réglage de la vitesse par PI n’est pas robuste face aux
variations paramétriques de la machine dû essentiellement au calcul du
régulateur basé sur le modèle linéaire.
Devant l’insuffisance des performances dynamiques de ce régulateur, nous
avons fait appel aux régulateurs non linéaires.
Le problème de la robustesse paramétrique a été résolu par des algorithmes
de commande à structure variable tel que le mode glissant. Dans ce type de
commande, l’approche non linéaire a été traitée et présente l’avantage de se
rapprocher du système réel sans passer nécessairement par le modèle
linéaire.
196
Conclusion générale
Cette commande a donné des résultats intéressants concernant la poursuite
de consigne et la robustesse vis à vis des variations paramétriques. Elle offre
le réglage en cascade ce qui autorise son application à des machines de
grandes puissances. On a rencontré deux inconvénients, le premier est la
nécessité d’utiliser un certain nombre élevé de dérivée des variables d’état, ce
qui peut être une source d’amplification des bruits dûs aux mesures. Le
second est lié au phénomène de Chattering qu’on a pu minimiser en
associant à la loi de commande de type signe un réglage à base de logique
flou.
Un autre commande nonlinéaire a été proposé à savoir un régulateur de type
backstepping. Ce régulateur est basé sur une récente méthodologie faisant
appel à la fonction de Lyapunov. La synthèse a conduit à un contrôleur
nonlinéaire globalement asymptotiquement stable. Le régulateur
backstepping dont la conception et de type PD présente l’inconvénient de la
persistante de l’erreur statique. Pour y remédier, on a associé une action
intégrale afin d’éliminer cette erreur. Ce régulateur a donné les mêmes
résultats en termes de performances dynamiques, statiques et de robustesse
vis-à-vis des variations paramétriques qu’une commande avec des
régulateurs de type mode glissant tout en éliminant les inconvénients liés à
ce dernier.
Le deuxième volet du travail concerne l’étude de la commande sans capteur
mécanique du MSAP. Dans cette partie, on a jugé utile de présenter une
étude sur les conditions d’observabilité de la machine. Cette étude nous a
permis de conclure que la machine synchrone à aimants permanents à pôles
lisses (MSAPPL) est inobservable à vitesse nulle tandis que l’observabilité de
la machine synchrone à aimants permanents à pôles saillants (MSAPPS) ne
peut être établie dans le cas où la vitesse est nulle à l’exception de certaines
conditions.
Afin de commander la machine sans capteur, deux observateurs nonlinéaires
ont été proposé représentant la principale contribution de nos travaux. Ces
observateurs estiment les grandeurs mécaniques non mesurables vitesse et
position à partir des mesures électriques disponibles, courants statoriques et
tensions statoriques.
La première technique d’observation est basée sur l’observateur de
Luenberger et la deuxième s’appuie sur le filtre de Kalman étendu à deux
niveaux dont on développées pour l’estimation de la position et de la vitesse
du MSAP.
197
Conclusion générale
L’observateur de Luenberger possède une bonne réponse dynamique de la
vitesse et un très bon rejet de perturbation. Il faut noter qu'il présente une
faible robustesse d’observation lors de la variation paramétrique et au bruit
de mesure ainsi qu’une instabilité pour l’estimation de la position dans la
zone d’inobservabilité. Ce qui nous a menés à proposer le filtre de Kalman
afin de palier à ces deux inconvénients.
Le filtre de Kalman à deux niveaux a comme principaux avantages :
– L’état augmenté peut être calculé séparément du calcul de l’état principal,
ce qui n’apparait pas forcément en utilisant les équations classiques du filtre.
– La réduction du coût algorithmique peut permettre d’estimer d’autres
paramètres afin d’augmenter la robustesse de la commande, ou encore
d’implanter l’algorithme dans un processeur de plus faible performance.
La contribution majeure consiste à élaborer ces observateurs sur un banc
d’essai dont les résultats expérimentaux et de simulations ont permis de
valider ces structures du point de vue des performances statiques et
dynamiques. Il nous a été possible aussi de vérifier la robustesse de la
commande vectorielle avec un réglage de type backstepping associé à
l’observateur du filtre de Kalman vis-à-vis des incertitudes paramétriques et
de bruit.
Ces travaux de thèse nous ont permis de conclure que la commande du
MSAP sans capteur à très basse vitesse reste un champ d’investigation ouvert
et que d’autres techniques que çà soit de commande ou d’observabilité
peuvent être utilisées et exploitées.
198
Annexes
Annexes
Annexe A
Différentes structures des MSAP
A.1 Structure des MSAP
La structure d'un MSAP triphasée est constituée au stator d'un enroulement
triphasé représenté par les trois axes (a, b, c) décalés, l'un par rapport à
l'autre, d'un angle de 120° électrique, ainsi que l'illustre la figure (A.1), et au
rotor des aimants permanents assurant son excitation.
En fonction de la manière dont les aimants sont placés, on distingue deux
structures principales de machines synchrones à aimants permanents
A.1.1 Machine synchrone à aimants permanents à pôles lisses –MSAPPL Dans le premier type, les aimants sont disposés sur la surface du rotor offrant
un entrefer homogène et quasi-constant en fonction de la position du rotor.
Le moteur est appelé à rotor lisse (MSAPPL) et les inductances propres et
mutuelles ne dépendent pas de la position du rotor.
Le MSAPPL à une forme d'une couronne d'aimants en forme de «tuile». Son
sens d'aimantation est orienté en vu de constituer les pôles. Il est
généralement plaqué contre un noyau magnétique par un dispositif
amagnétique frette. Afin de tirer la meilleure partie des aimants, on les dote
d'une aimantation radiale au niveau des pôles et azimutale entre deux pôles
et parfois inclinées. On constate que les structures à rotor lisse se
caractérisent par un entrefer magnétique important accentué par l'épaisseur
des aimants et souvent par celle de la frette de maintient. Figure(A.1)
A.1.2 Machine synchrone à aimants permanents à pôles saillants MSAPPS
Dans le deuxième type, les aimants sont montés à l'intérieur de la masse
rotorique et l'entrefer, dans ces conditions, sera variable à cause de l'effet de
la saillance. Dans cette structure, les inductances dépendent fortement de la
position du rotor. De plus, le diamètre du rotor dans la première structure est
moins important que celui de la deuxième, ce qui réduit considérablement
son inertie en lui offrant la priorité dans l'entraînement des charges rapides.
199
Annexes
Ce type de machine est caractérisé par l'inductance directe Ld inférieur à
'inductance transversale Lq et l'inductance dans l'entrefer dépend de
l’épaisseur radiale des aimants, on peut réaliser selon le sens de l'aimantation
où de la disposition des pièces polaires plusieurs variétés de structures.
Figure (A.1)
Aimants perpendiculaires à
l’entrefer
Aimants avec directions
mixtes
Pôles lisses
Aimants perpendiculaires à
l’entrefer
Aimants inclus à
l’entrefer
Fig (A.1)
Aimants avec directions
mixtes
Pôles saillants
Autres structures
Aimants insérés à
l’entrefer
Différentes structures du rotor de la MSAP
200
Annexes
Annexe B
Modélisation du MSAP dans
les différents repères
B.1. Modèle du MSAP
B.1.1 Equations électriques du MSAP
Le modèle électrique de la machine consiste à modéliser le circuit des
enroulements de phases illustrés dans la figure (B.1). Cette figure définit les
tensions de phase Vsa, Vsb et Vsc et les courants instantanés isa, isb et isc circulant
dans ces phases ainsi que les fem induites.
Le point neutre du circuit en question est défini par la tension Vn et la
résistance électrique d'une phase dans l'enroulement est désignée par Rs. A
partir de la Figure (1.3), quatre équations de base peuvent être trouvées:
0
(B.1)
Les tensions s'expriment en fonction des courants et des flux par les
équations suivantes:
d
φ sa + V n
dt
d
φ sb + V n
+
dt
d
φ sc + V n
+
dt
V
sa
= R s i sa +
V
sb
= R s i sb
V
sc
= R s i sc
(B.2)
Dans ces équations, φsn correspond au flux magnétique total induit à travers
chacun des bobinages n = a, b ou c. Le flux total dans chaque phase peut être
écrit par les équations qui suivent:
φ sa = φ saa + φ sab + φ sac + φ f + φ sal
φ sb = φ sba + φ sbb + φ sbc + φ f + φ sbl
φ sc = φ sca + φ scb + φ scc + φ f + φ scl
Où les notations suivantes de flux ont été adoptées:
φsni est le flux provenant de la phase ‘i’ et traversant la phase ‘n’,
201
(B.3)
Annexes
φf représente le vecteur des flux dus aux aimants seuls
φsnl étant le flux de fuite dans la phase ‘n’.
Vsa
Vsb
Vsc
isa
isb
isc
Rs
Rs
Rs
+
d
Φ sa
dt
+
d
Φ sb
dt
+
d
Φ sc
dt
Vn
Fig. (B.1) Structure électrique du stator d'une MSAP.
La variation temporelle du flux magnétique Φfn donne naissance à une force
électromotrice induite notée en. Celle-ci étant fonction de la position
électrique du rotor θ, de la vitesse mécanique du rotor ω et de la constante du
moteur Kt. Il est à noter que les formes d'ondes des tensions induites les plus
communes sont trapézoïdales ou sinusoïdales. Leurs fonctions peuvent être
développées en séries de Fourier et elles s'écrivent ainsi:
∞
∞
d
ea = φ fa = ∑ anω sin( nθ ) + ∑ bnω cos(nθ )
dt
n =1
n =1
eb =
∞
∞
d
2π
2π
φ fb = ∑ anω sin( nθ − ) + ∑ bnω cos(nθ − )
dt
3
3
n =1
n =1
(B.4)
∞
∞
d
2π
2π
ec = φ fc = ∑ anω sin( nθ +
) + ∑ bnω cos(nθ +
)
dt
3
3
n =1
n =1
Kt=pφf, φf est la valeur crête du flux à vide à travers l'entrefer.
Les quatre autres termes de flux dans l'expression (B.3) peuvent être c en
employant la définition des inductances. Si on calcul le flux créé par le
courant isb et traversant la phase ‘ ( exemple et idem pour les autres phases)
on aura dans ces conditions:
Lsab = φ
φ sab
isb
L'extension de la dérivée du flux mutuel donne finalement:
202
(B.5)
Annexes
d
d
d
φ sab = Lsab i sb + i sb L sab
dt
dt
dt
(B.6)
Nous notons que Lsab représente l'inductance mutuelle entre les deux phases
statoriques ‘a’ et ‘b’.
La machine étant triphasée et montée en étoile, il est intéressant de rappeler
ici que la composante homopolaire représente la moyenne arithmétique des
grandeurs triphasées (courants, tensions et flux) est nulle
Si toutes les bornes triphasées a, b et c sont reliées à une source de tension
sinusoïdale triphasée, la tension au point neutre sera égale à zéro, Vn = 0.
Si la tension induite ea+eb+ec égale à zéro, alors Vn peut être donnée par:
1
(Vsa + Vsb + Vsc )
(B.7)
3
Les équations (B.1)-(B.7) résument les équations de base pour le système
électrique du processus. Dans la pratique, plusieurs hypothèses
simplificatrices peuvent être considérées (chapitre1)
Vn =
B.1.2 Equations mécaniques de la MSAP
Nous notons que les seules pièces mobiles dans une MSAP sont le rotor et les
roulements du rotor. Ainsi, la robustesse et la fiabilité d'une MSAP sont une
conséquence directe de sa structure non compliquée. La modélisation de la
partie tournante de la machine s'articule sur l'emploi de la deuxième loi de
newton.
On aura donc:
J
d
ω = ∑Ci
dt
i
(B.8)
L'expression du couple électromagnétique présent dans la machine
synchrone est obtenue par un bilan énergétique ou un bilan de puissance
[LES81] [MUL93]. Ainsi, le couple électromagnétique Cem peut être trouvé
aisément. Il est défini comme étant la somme de produit des courants
instantanés, ii, circulant dans les phases et tensions induites ei, dans chaque
phase.
P
C em = em = ω
(B.9)
ω
Dans la relation (B.9), Pem représente la puissance électromagnétique.En
employant les tensions induites prises de le couple électromécanique d'une
MSAP triphasée prend la forme suivante:
203
Annexes
2π
2π ⎞
⎛
(B.10)
C em = −Kt ⎜ isa sin(θ ) + isb sin(θ −
) + isc sin(θ +
)⎟
3
3 ⎠
⎝
On suppose que ce couple de frottement est une fonction non linéaire de la
C f = f (ω )
forme:
(B.11)
Des équations (B.8)-(B.11), la relation suivante entre les courants de phase et
l'accélération du rotor peut être établie:
2π
2π ⎞
d
⎛
) + i sc sin( pθ m +
) ⎟ − C f (ω ) − C c (B.12)
J ω = −K t ⎜ i sa sin( pθ m ) + i sb sin( pθ m −
dt
⎝
3
3 ⎠
avec J: l'inertie des parties tournantes.
Bien évidemment, cette équation établie le rapport nécessaire entre le
système mécanique et électrique. Dans quelques applications, le couple de
charge Cc n'est pas connu a priori. Ainsi, la relation donnée par (B.12) joue,
cependant, un rôle fondamental dans l'établissement du modèle mécanique.
Afin de simplifier le modèle, nous rappelons les hypothèses qui ont été
prises:
dL
• les inductances propres et mutuelles sont indépendantes du temps,
=0,
dt
• les inductances propres et mutuelles sont indépendantes de la position
dL
mécanique du rotor,
=0,
dθ m
• les forces électromotrices sont considérées sinusoïdales
correspondent à ce qui a été donnée dans la relation (B.4),
et
elles
L'équation (B.5) peut donc être utilisée pour exprimer la relation du flux en
fonction de l'inductance L et du courant i. Ceci nous donne, immédiatement,
trois variables d'état relatives à la partie électrique du système.
φsA = φsa − φ fa = (Lsaa + Lsal )isa + Lsabisb + Lsacisc
φsB = φsb − φ fb = Lsbaisa + (Lsbb + Lsbl )isb + Lsbcisc
φsC = φsc − φ fc = Lscaisa + Lscbisb + (Lscc + Lscl )isc
(A.13)
Quant à la variable d'état relative à la partie mécanique de la machine, la
vitesse rotorique ω semble être un bon candidat puisqu'elle représente la
seule dérivée de l'équation (A.12). Dans le contexte d'une commande en
position, la relation (B.14) doit être ajoutée afin de compléter la modélisation
du système mécanique, on écrit donc:
204
Annexes
dθ m
(B.14)
=ω
dt
En utilisant les notations matricielles, l'équation (B.13) peut être réécrite
comme suit:
φ = Li
(B.15)
Un exemple de système singulier serait une machine où le flux de fuite peut
être pris nul. Dans ces conditions:
Lsnl = 0
(B.16)
Lsaa = Lsbb = Lscc = L
(A.17)
L
2
La transformation de Clarke est employée. Cette dernière permet de
transformer une matrice symétrique (3x3) en une matrice (2x2). Cette matrice
(2x2) peut être inversée dans un système de coordonnées bidimensionnel au
lieu du système de coordonnées tridimensionnel.
Ainsi, les éléments de L-1 peuvent être donnés par:
Lsna = Lsnb = Lsnc = −
⎡L*saa
⎢ *
⎢Lsba
⎢L*sca
⎣
L*sab
L*sbb
L*scb
L*sac ⎤
⎥
L*sbc ⎥
L*scc ⎥⎦
(B.18)
Finalement, le modèle d'état peut être obtenu en introduisant les variables
d'état définies précédemment: φsA, φsB, φsC, ω et θm dans les équations (B.2) et
(B.12). Les tensions induites ea, eb et ec peuvent être définies Si les relations
(B.2)- (B.16) sont utilisées, le modèle d'état de la MSAP sera donné par:
205
Annexes
2
1
1
d
φ sA = Vsa − Vsb − Vsc − R s (L*saaφ sA + L*sab φ sB + L*sac φ sC ) − e a
3
3
3
dt
2
1
1
d
φ sB = Vsb − Vsa − Vsc − R s (L*sbaφ sA + L*sbb φ sB + L*sbc φ sC ) − e b
3
3
3
dt
2
1
1
d
φ sC = Vsc − Vsa − Vsc − R s (L*scaφ sA + L*scb φ sB + L*scc φ sC ) − e c
3
3
3
dt
d
J Ω = −K t (L*saaφ sA + L*sabφ sB + L*sac φ sC ) sin( pθ m )
dt
2
− K t (L*sbaφ sA + L*sbb φ sB + L*sbc φ sC ) sin( pθ m − π )
3
2
− K t (L*scaφ sA + L*scb φ sB + L*scc φ sC ) sin( pθ m + π ) − C f (Ω ) − C
3
d
θm = ω
dt
(B.19)
Dans les sections qui suivent, plusieurs simplifications possibles seront
présentées et un modèle réduit de la MSAP sera donné
La tension au point neutre peut souvent être assumée à zéro, c'est-à-dire:
Vn = 0
(B.20)
la somme des tensions appliquées à la machine, montée en étoile, vaut:
Vsa + Vsb + Vsc = 0
(B.21)
Dans un système triphasé rotationnel d'une MSAP, on met l'inductance
mutuelle égale à la moitié de l'inductance propre Cette hypothèse est basée
sur les propriétés géométriques des enroulements statoriques. En plus, si les
enroulements sont symétriques, les inductances propres dans chaque phase
sont égales, ce qui nous permet d'écrire:
Lsaa + Lsal = Lsbb + Lsbl = Lscc + Lscl = L
L
2
(B.22)
L
Lsba = Lsbc = −
2
L
Lsca = Lscb = −
2
Dans le modèle donné en (B.20), il est supposé que l'inductance est constante
par rapport au temps, i.e:
Lsab = Lsac = −
d
L=0
dt
(B.23)
206
Annexes
Mais il est cependant nécessaire de rappeler que cette hypothèse n'est pas
toujours valide. En revanche, pour plusieurs types de moteurs, l'inductance
dépend de la position du rotor, du courant de phase et de la température
En utilisant uniquement le premier harmonique dans les séries de Fourier, en
devient:
d
d
φ fa = φ f cos( pθ m ) = − pφ f Ω sin( p mθ ) = −K t Ω sin( p mθ )
dt
dt
d
d
2π
2π
2π (B.24)
e b = φ fb = φ f cos( pθ m −
) = − pφ f Ω sin( p mθ −
) = −K t Ω sin( pθ m −
)
dt
dt
3
3
3
d
d
2π
2π
2π
e c = φ fc = φ f cos( pθ m +
) = − pφ f Ω sin( p mθ +
) = −K t Ω sin( pθ m +
)
dt
dt
3
3
3
ea =
Si le flux est sinusoïdal, la dérivée sera aussi sinusoïdale et ceci n'engendrera
pas d'harmonique de couple supplémentaire. Les seules ondulations de
couple apparentes seront alors liées à une distorsion des courants ou à des
harmoniques liés au couple de détente.
Sur la base des hypothèses introduites le système (B.21) peut être simplifié et
le schéma électrique présenté dans la figure (B.2) peut être repris selon la
figure (B.3).
Vsa
Vsb
Vsc
isa
Rs
isb
Rs
Lsbb +Lsbl
isc
Rs
Lscc +Lscl
Lsaa +Lsal
+ ea
+ eb
Vn
+ ec
Fig B.3 Schéma électrique simplifié d’une MSAP triphasée.
En se référant au schéma précédent, il est préférable de redéfinir les variables
d'état, on obtient:
φ sA = (L saa + L sal )i sa = Li sa
φ sB = (L sbb + L sbl )i sb = Li sb
φ sC = (L scc + L scl )i sc = Li sc
(B.25)
A partir de ces définitions et selon la figure (B.6), le modèle simplifié de la
machine peut être réécrit comme suit:
207
Annexes
R
d
φsA = Vsa − s φsA + K t ω sin(pθ m )
dt
L
R
2π
d
φsB = Vsb − s φsB + K t ω sin(pθ m − )
3
dt
L
Rs
2π
d
(B.26)
φsC = Vsc − ιsC + K t ω sin(pθ m + )
3
dt
L
φ
2π φ
2π ⎞
d
⎛φ
J ω = −K t ⎜ sA sin(pθ m ) + sB sin(pθ m − ) + sC sin(pθ m + ) ⎟ − f c ω − C c
3
3 ⎠
dt
L
L
⎝ L
d
θm = Ω
dt
Remarque: Malgré les simplifications apportées au modèle de la MSAP, on
remarque que le système (B.28) engendre toujours des équations fortement
non-linéaires et couplées. Pour simplifier ce problème, la majorité
des travaux dans la littérature choisissent des transformations
triphasées/biphasées [PAR 29].
Pratiquement, plusieurs manières pour commander le vecteur courant dans
les entraînements à courant alternatif existent [VAS98]. La méthode la plus
communément utilisée est basée sur l'emploi des transformations, dites, de
Clarke/Park. Le système de coordonnées pour la transformation de Clarke
s'appelle la transformation (αβ). Quant au système de coordonnées pour la
transformation de Park, il s'agit d'une transformation (dq) où ’d’ et ‘q’
désignent respectivement l'axe direct et l'axe en quadratique du système
biphasé.
Nous allons dans un premier temps rappeler les transformations de Clarke et
de Park appliquées
u = [ua , ub ]
(B.26)
Ce vecteur peut être représenté dans un système de coordonnées
orthogonales, où chaque coordonnée d'axe représente une phase, selon la
figure (B.4).
ub
uq
u
ud
N
θ
ua
S
Fig.B.4 Projection du vecteur tension de deux phases d’une
MSAP dans un système de référence (dq).
208
Annexes
Le passage du repère (ab) au repère (dq) s'effectue impérativement par
projection du vecteur tension du premier repère dans l'autre. La
transformation du vecteur courant ou flux ainsi que les paramètres de la
machine s'effectuent exactement de la même manière.
B.2 Transformation de Clarke T32
Géométriquement, la transformation de Clarke remplace un enroulement
triphasé (a, b, c) par un autre diphasé équivalent (αβ). fig(A.6).
La transformation de Clarke exploite les propriétés résultantes de la structure
triphasée de la machine. Plus particulièrement, elle permet une
diagonalisation de la matrice d'inductance.
Dans un système sinusoïdal triphasé équilibré, les courants et les tensions
sont normalement déphasés, l'un par rapport à l'autre, par un angle de 120°.
Ceci signifie qu'il y a une ‘’information’’ redondante dans les vecteurs de
courant et tension. Le vecteur de tension par exemple est défini par les
tensions triphasées:
u = [ua , ub , uc ]
(B.27)
Ce vecteur peut cependant être exprimé dans un système de coordonnées
orthogonales avec deux vecteurs seulement, appelés uα et uβ.
(B.28)
u = [uα , u β ]
La figure (B.5) montre la façon dont les trois vecteurs de tension de (B.29)
peuvent être projetés au sens de Clarke sur les axes (αβ).
ub
ua
uα
-120°
uc
Fig.B.5 Application de la transformation de Clarke pour projeter trois
vecteurs de tension sur l'axe (αβ).
209
Annexes
L'expression mathématique pour la transformation de Clarke peut être
trouvée facilement en se basant sur une trigonométrie simple appliquée à la
configuration des vecteurs dans la Figure (B.7).
uα = ua
(B.30)
1
uβ =
(ub − uc )
3
La transformation, pour un système équilibré, s'écrit sous la forme matricielle
suivante:
1
1 ⎤
⎡
− ⎥
1 −
⎢
2
2
2
T32 = ⎢
(B.31)
⎥
3
3⎥
3⎢
−
0
⎢⎣
2
2 ⎥⎦
A noter que la relation ua+ub+uc= 0 a été utilisée dans ce qui a été trouvée en
(B.32). Employant de nouveau les relations trigonométriques usuelles dans la
figure B.8, la transformation inverse de Clarke peut également être trouvée et
il en résulte:
ua = uα
1
3
ub = − uα +
uβ
2
2
1
3
uc = − uα −
uβ
2
2
(B.32)
Soit encore:
⎡
⎤
⎢ 1
0 ⎥
⎢ 1
3 ⎥
⎥
T23 = ⎢−
(B.33)
2 ⎥
⎢ 2
⎢ 1
3⎥
−
⎢−
⎥
2 ⎦
⎣ 2
Remarque Le but principal de la transformation de Clarke est de réduire la
complexité du système. Ceci peut être très utile dans le contexte de
l'élaboration d'une commande en temps réel basée sur un modèle du
système. Si l'ordre du système peut être réduit de trois à deux sans perdre
d'information, les calculs nécessaires peuvent être certainement réduits.
Dans la présente étude, la transformation de Clarke est employée ainsi que la
transformation de Park afin de transformer le modèle triphasé de la MSAP
en un modèle biphasé (dq).
Finalement, il devrait être noté que le repère (αβ) est fixé au stator, par contre
le repère (dq) tourne à la vitesse du rotor de la machine.
210
Annexes
B.3 Transformation de Park P(θ)
Appliquée aux variables réelles (tensions, courants et flux), la transformation
de Park permet d'obtenir des variables fictives appelées les composantes (dq)
ou les équations de Park. Du point de vue physique, cette transformation est
interprétée comme étant une substitution des enroulements immobiles (a, b,
c) par des enroulements (dq) tournant avec le rotor.
Si le rotor à p paires de pôles et tourne avec la vitesse angulaire Ω, l'angle θ
entre le repère (αβ) fixé au stator et le repère (dq) peut être écrit comme suit:
t
θ = p ∫ ωdt
(B.34)
0
Dans le but de simplifier les illustrations dans l'exemple suivant, on prend
p=1. La figure (B.6) est une représentation graphique de la transformation de
Park.
L'application de quelques relations trigonométriques simples, à la
configuration illustrée dans la figure (A.9), donne directement les
expressions de la transformation de Park suivantes:
ud = uα cos(θ ) + uβ sin(θ )
(B.35)
uq = −uα sin(θ ) + uβ cos(θ )
De même, la transformation inverse de Park est donnée par:
uα = ud cos(θ ) − uq sin(θ )
(B.36)
uβ = ud sin(θ ) + uq cos(θ )
La relation entre l'angle mécanique θm et l'angle électrique θe peut être
exprimée par: θ = pθ m
Il est important de noter que l'angle électrique est employé dans la
transformation de Park dans une MSAP et la vitesse angulaire du repère de
Park (dq) s'écrit donc: ω = pΩ
uβ
uq
u
θ
S
ud
uα
Fig B.6 Transformation de Park, p=1.
211
Annexes
B.4 Application des transformations 3/2 au modèle de la MSAP
Nous appliquerons d'une manière séparée les transformations citées plus
haut T32 et P(θ)
di
Vsa = R s i sa + L a − K t ω sin(θ )
dt
di
2π
)
Vsb = R s i sb + L b − K t ω sin(θ −
(B.37)
3
dt
di
2π
)
Vsc = R s i sc + L b − K t ω sin(θ +
3
dt
La transformation de Clarke donnée en (B.33) peut être appliquée
directement au modèle donné par (B.37). Il en résulte un modèle de la MSAP
exprimé dans un repère fixe (αβ):
di
Vsα = R s i sα + L sα − K t ω sin(θ )
dt
(B.39)
di sβ
Vsβ = R s i sβ + L
+ K t ω cos(θ )
dt
Le modèle exprimé en (B.39) est référencé dans un système de coordonnées
fixe lié au stator. Ce modèle peut être transformé en un système de
coordonnées lié au rotor via la transformation de Park. Afin d'appliquer cette
transformation, il est préférable d'écrire les transformations exprimées en
(B.35) et (B.36) sous une forme matricielle.
⎡ cos(θ ) sin(θ ) ⎤
P(θ ) = ⎢
(B.40)
⎥
⎣− sin(θ ) cos(θ )⎦
Etant donné que la matrice de transformation P(θ) est orthogonale et normée,
la matrice de transformation possède les propriétés suivantes : P (θ)-1= P (θ)t=
P (-θ). En effet:
⎡cos(θ ) − sin(θ )⎤
p(θ ) −1 = ⎢
(B.41)
⎥
⎣ sin(θ ) cos(θ ) ⎦
Les équations (B.39) peuvent être également réécrites sous forme matricielle.
Il vient:
212
Annexes
⎡Vsα ⎤ ⎡ R s
⎢
⎥=⎢
⎢⎣Vsβ ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎡ i sα ⎤ d ⎡ L 0 ⎤ ⎡ i sα ⎤
⎡− sin(θ )⎤
⎥⎢ ⎥ + ⎢
⎥⎢ ⎥ + K tω ⎢
⎥
R s ⎥⎦ ⎢⎣i sβ ⎥⎦ dt ⎢⎣0 L ⎥⎦ ⎢⎣ i sβ ⎥⎦
⎢⎣ cos(θ ) ⎥⎦
(B.42)
La prochaine étape consiste à multiplier le côté gauche et droit de cette
équation par la matrice de transformation de Park P (θ ) et de développer, à
part, chaque terme de cette expression. Notons parfois qu'il est nécessaire de
multiplier par la matrice d'identité I= P (θ ) P (θ ) −1 dans l'expansion des
différents termes individuels.
⎡Vsα ⎤
⎡ Rs
P(θ )⎢ ⎥ = P(θ )⎢
⎢⎣Vsβ ⎥⎦
⎢⎣ 0
⎛ d ⎡L 0 ⎤ ⎡i sα ⎤ ⎞
0 ⎤ ⎡i sα ⎤
⎡− sin(θ )⎤
⎥ ⎢ ⎥ + P(θ )⎜⎜ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎟ + K t ωP(θ )⎢
⎥ (B.43)
dt ⎢⎣0 L⎥⎦ ⎢i sβ ⎥
Rs ⎥⎦ ⎢⎣i sβ ⎥⎦
⎢
⎥⎦
cos(
)
θ
⎣
⎣ ⎦⎠
⎝
⎡Vsα ⎤ ⎡Vsd ⎤
⎥=⎢ ⎥
P (θ ) ⎢
⎢⎣Vsβ ⎥⎦ ⎢⎣Vsq ⎥⎦
(B.44)
Par contre, le développement du premier terme du côté droit de l'expression
(B.39) produit:
⎡ Rs
P (θ ) ⎢
⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎡ i sα ⎤
⎥ ⎢ ⎥ = P (θ )
Rs ⎥⎦ ⎢⎣ isβ ⎥⎦
⎡ Rs
⎢
⎢⎣ 0
⎡ i sα ⎤ ⎡ R s
0⎤
⎥ P (θ ) − 1 P (θ ) ⎢ ⎥ = ⎢
⎢⎣ isβ ⎥⎦ ⎢⎣ 0
Rs ⎥⎦
0 ⎤ ⎡isd ⎤
⎥⎢ ⎥
Rs ⎥⎦ ⎢⎣isq ⎥⎦
(B.45)
et le deuxième terme du côté droit donne:
⎛ d ⎡L 0⎤⎡isα ⎤ ⎞
⎡isα ⎤ ⎞
⎡L 0⎤⎛⎜ d
−1
⎟
(
)
=
(
)
(
)
P(θ )⎜ ⎢
θ
θ
θ
P
P
P
⎢i ⎥ ⎟⎟
⎢0 L⎥⎜ dt
⎜ dt ⎣0 L⎥⎦⎢isβ ⎥ ⎟
⎣
⎦⎝
⎣ ⎦⎠
⎣ sβ ⎦ ⎠
⎝
⎛⎛ d
⎡0 −1⎤⎡isd ⎤
d ⎡isd ⎤ ⎞
d ⎡isd ⎤
⎞⎡isd ⎤
= LTP(θ )⎜ ⎜ P(θ )−1 ⎟⎢ ⎥ + P(θ )−1 ⎢ ⎥ ⎟ = ωL⎢
+L ⎢ ⎥
⎢
⎥
⎥
⎜ ⎝ dt
dt ⎣isq ⎦ ⎟⎠
dt ⎣isq ⎦
⎠⎣isq ⎦
⎣1 0 ⎦⎣isq ⎦
⎝
Finalement, le développement du dernier terme
⎡0⎤
⎡− sin(θ )⎤
K t ω P(θ ⎢
⎥ = K tω ⎢ ⎥
⎢⎣− 1⎥⎦
⎢⎣ cos(θ ) ⎥⎦
(B.46)
(B.47)
A partir de l'équation matricielle (B.44) et se basant sur les développements
faits dans (B.45)-(B.47), le modèle du système peut être écrit dans un repère
(dq) lié au rotor de la MSAP comme suit:
213
Annexes
di sd
− ωLi sq
dt
di sq
+L
+ ωLi sd + K t ω
dt
Vsd = R s i sd + L
Vsq = R s i sq
(B.48)
Dans les développements faits au niveau des transformations, seules les
équations électriques ont été considérées. Le modèle d'état complet devrait
également inclure l'expression du couple électromécanique développé par le
moteur. En utilisant les transformations de Clarke/Park données en (B.32) et
(B.35), cette équation peut être développée ainsi:
2π
2π ⎞
⎛
) + i sc sin(θ +
)⎟
Pem = −K t ω ⎜ i sa sin(θ ) + i sb sin(θ −
3 ⎠
3
⎝
3
= K t ω (− i sα sin(θ ) + i sβ cos(θ ) )
2
3
= K t ωi sq
2
(B.49)
Le couple électromécanique dans le repère (dq) peut être directement trouvé
a partir de (B.49)
P
3
(B.50)
C em = em = K t i sq
ω
2
En effet, le modèle d'état final de la MSAP dans le repère de Park peut être
écrit comme suit:
di
L sd = − R s i sd + ωLi sq + v sd
dt
di sq
(B.51)
L
= − R s i sq − ωLi sd − K t ω + v sq
dt
f
J dω 3
= K t i sq − c ω − C c
p
p dt 2
Soit sous forme matricielle:
⎡
⎤ ⎡1
R
− s i sd + ωi sq
⎥ ⎢
⎡i sd ⎤ ⎢
⎢ R L
⎥ ⎢L
⎢
⎥
K
d
⎢i sq ⎥ = ⎢ − s i sq − ωi sd − t ω ⎥ + ⎢ 0
⎥ ⎢
L
dt ⎢ ⎥ ⎢
L
f
p
pK
⎢
⎥ ⎢
3
⎢⎣ ω ⎥⎦
t
i sq − c ω − C c ⎥ ⎢ 0
⎢
J
J ⎦ ⎣
⎣2 J
214
⎤
0⎥
1 ⎥ ⎡ v sd ⎤
⎥⎢ ⎥
L ⎥ ⎢ v sq ⎥
⎣ ⎦
0⎥
⎥⎦
(B.52)
Annexes
Annexe C
Préliminaire sur l’observabilité
et les observateurs
C.1
Introduction
Une étude préliminaire à la synthèse d’observateurs est celle de
l’observabilité du système linéaire ou non linéaire, pour lequel un
observateur est envisagé. Il est donc nécessaire de définir au préalable la
notion d’observabilité des systèmes.
L’observabilité est une analyse habituelle du système qui indique, les
conditions sous lesquelles, la possibilité de calculer les états non mesurés à
partir des sorties mesurées. Dans les paragraphes suivants, nous donnons
d’abord, la définition de l’observabilité des systèmes linéaires et non
linéaires. Ensuite, l’analyse d’observabilité de notre machine. Nous allons
utiliser, le critère de rang d’observabilité [CON99] dans nos études.
C.1 Systèmes linéaires
Les résultats classiques sur l'observabilité et la synthèse d'observateurs pour
les systèmes linéaires ont les trouvent dans [HER77][KAI80][SON90]
[LOP98] [BES96][SOU01]
Considérons ici un système linéaire de la forme :
(C.1)
Où
,
et
La propriété d'observabilité d'un tel système correspond au fait que l'état x(t)
peut être déterminé sur tout intervalle [to,t1] à partir de la connaissance de
u(t) et y(t), et peut être formalisée de la façon suivante :
Définition 1 Observabilité : Le système (4.1) est observable si, étant donné
l'instant t0, il existe un instant t1 tel que la connaissance de y(t0,t1) et u(t0,t1)
permette de déterminer de manière unique l'état x(t0) = x0 et ceci quelque soit
l'entrée du système. [KAI80, SON90]
215
Annexes
Définition 2 Reconstructibilité. Un état x1 est dit reconstructible à l'instant t1
si, quelque soit u(t), il existe t0 ≤ t1 tel que la connaissance de u(t) et de y(t) avec t
[t0,t1], permettent de déterminer x1 = x(t1). Si tout état est reconstructible à l'instant
t1, le système est dit complètement reconstructible.
Pour tester l'observabilité d'un système, différents critères existent. On peut,
par exemple, appliquer le test du rang de la matrice d'observabilité, définie
par :
Θ
(C.2)
La condition du rang s'énonce comme suit.
Définition 3 Le système (4.1) est observable si et seulement si le rang de la matrice
Θ est égal à n. On dit alors que la paire(C, A) est observable.
Ce résultat signifie que le sous espace non observable défini par
(Le plus petit sous-espace vectoriel invariant contenu dans le
) est réduit à 0.
noyau de
Dans ces conditions, il est possible de construire un observateur de type
Luenberger [LUE64][LUE66][LUE71] pour le système (4.1) :
(C.3)
En posant
, l'erreur entre l'état réel et l'état estimé, on obtient
l'équation de la dynamique de l'erreur d'observation :
(C.4)
C.2 Systèmes nonlinéaires
Soit le système non linéaire de la forme :
,
(C.5)
Où
, représente l′ état,
l′ entrée et
la sortie
f(.,.) et h (.,.) sont des fonctions analytiques
On suppose également que la fonction u(t) est admissible, c’est à-dire
mesurable et bornée. Selon Hermann [HER77], l’observabilité des systèmes
non linéaires est définie à partir de la notion d’indistinguabilité (ou
216
Annexes
d’indiscernabilité). Une bonne synthèse sur ces notions est donnée dans
[BOR93].
Définition 4 Indiscernabilité : Deux états initiaux x(t0) = x1 et x(t0) = x2 sont dit
indiscernables pour le système (4.5) si t [t0,t1], les sorties correspondantes y1(t)
et y2(t) sont identiques quelle que soit l'entrée admissible u(t) du système. [HER77]
Définition 5 : Observabilité Le système non linéaire (4.5) est dit observable s'il
n'admet de paire indiscernable. En d'autres termes, un système est observable s'il
n'existe pas d'états initiaux distincts qui ne puissent être départagés par examen de
la sortie du système.
Définition 6 : Espace d'observabilité: Soit le système (4.5). L'espace
d'observabilité, noté O, est le plus petit sous-espace vectoriel contenant les sorties h1,
h2,...,hp et qui soit fermé sous l'opération de la dérivation de Lie par rapport au
champ de vecteur f(x,u), u étant fixé. [HER77]
On note dO l'espace des différentielles des éléments de O.
Définition 7 : L'espace dO(x0) (c'est à dire évalué en x0) caractérise l'observabilité
faible locale en x0 du système (4.5) [BOS96]. Le système (4.5) est dit satisfaisant la
condition de rang d'observabilité en x0 si :
dim dO(x0)= n
(C.6)
Le système (4.5) satisfait la condition de rang d'observabilité si, pour tout
dim dO(x)= n
:
(C.7)
Remarque 2 Dans le cas du système linéaire (4.1), on considère alors l'espace
vectoriel O des fonctions de
à valeurs dans
engendré par Cx, CAx, ..., CAn1x
et l'espace dO, l'espace des différentielles (constantes) de chacunes de ces
fonctions. En chaque point x, l'évaluation de dO est alors donnée par [C, CA, ...,
CAn-1] : on retrouve donc la condition de rang donnée précédemment (4.2).
On introduit ici la notion d'espace d'observabilité générique [CON99].
Définition 8 : Le système (4.5) est génériquement observable si et seulement si :
dim O = n.
Cette condition est appelée condition de rang d'observabilité générique.
On peut alors vérifier :
217
Annexes
(C.8)
Cela implique que l'état x peut être déduit de la connaissance de la sortie et d'un
nombre fini de ses dérivées.
Un critère seulement suffisant pour l’observabilité locale est que
Le jacobien de
,…,
,…,
218
soit de rang plein.
(C.9)
Annexes
Références
[BES96]
[CON99]
[HER77]
[KAI80]
[LES81]
[LOP98]
[LUE64]
[LUE66]
[LUE71]
[MUL93]
[PER05]
[ROB95]
[SON90]
[SOU01]
[VAS98]
G. Besançon, "Contributions à l'étude et à l'Observation des Systèmes
Non Linéaires avec recours au Calcul Formel", Thèse de doctorat,
Université de Grenoble, INPG, Novembre 1996.
G. Conte, C.H. Moog and A.M. Perdon, "Nonlinear Control Systems
- AnAlgebraic Setting" Springer-Verlag, London, 1999.
R.Hermann, and A.J.Krener, "Nonlinear controllability and
observability", IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 22, pp. 728740, 1977.
T. Kailath, "Linear Systems" Prentice-Hall, Englewood, New Jersey,
1980.
J. Lesenne, F. Notelet, G. Seguier, ″Introduction à l’électrotechnique
approfondie,″ Edition technique et documentation, 1981.
V. Lopez-M, "Systèmes non linéaires généraux, a_ne en l'état et
linéaires modulo une injection : Equivalence et observateurs", Thèse de
doctorat, Université de Nantes, Ecole Centrale de Nantes,
IRCCyN, 1998.
D.G.Luenberger, "Observing the state of a linear system", IEEE,
Trans.Mil. Electron. Vol.6, pp.74-80, 1964.
D.G.Luenberger, "Observers for multivariable systems", IEEE,
Trans.Autom. Contr., Vol.11, pp.190-197, 1966.
D.G.Luenberger, "An introduction to observers", IEEE, Trans.
Autom.Contr., Vol.16, No.6, pp.596-602, 1971.
B. Multon, ″Les machines synchrones autopilotées″, polycopié de
l’ENS de Cachan, 1993.
J. Persson, ″Innovative standstill position detection combined with
sensorless control of synchronous motors″, Thèse de doctorat de
l’Ecole Fédérale de Lausanne, 2005.
B.Robyns, Y.FU, F.Labrique et H.Buyse, “ Commande numérique de
moteurs synchrones à aimants permanents de faible puissance ”, J.Phy.
III France 5, August 1995.
E.D.Sontag, "Mathematical control theory - deterministic finite
dimensional systems ", Springer-Verlag, 1990.
I. Souleiman, "Transformation de systèmes non linéaires sous forme
a_ne en l'état et synthèse d'observateurs", thèse de doctorat,
Université de Nantes, Ecole Centrale de Nantes, IRCCyN, 2001.
P. Vas, ″Sensorless vector and direct torque control″, Oxford, U.K,
Oxford Univ. Press, 1998.
219
Annexes
Annexe D
Paramètres du MSAP et de la charge
Le moteur synchrone à aimants permanents utilisé dans nos
expérimentations est une machine à pôles lisses de faible puissance (1.1 KW)
dont les paramètres sont donnés
TAB. D.1 – Paramètres de la MSAP.
Puissance nominale
Pn = 1.1 KW
Couple nominal
Cn = 5 Nm
Vitesse nominale
ω = 3400 tr/mn
Tension nominale
Vn = 260 V
Courant nominal
In = 6 A
Resistance statorique
Rs = 1.67 Ω
Inductance statorique
L = 1.45 mH
Flux nominal
φf = 0.17 Wb
Nombre de paire de pôles
Inertie du moteur
Inertie de l’ensemble du banc
Frottement visqueux
P=3
J = 3 10-4 Kg.m2
Jt = 0.013 Kg.m2
f = 0.013 Nm/s
La charge de la MSAP est constituée d’un frein à poudre monté en bout
d’arbre dont on peut régler la valeur du couple résistant. Les caractéristiques
sont :
• le couple nominal : 5 N.m
• le couple minimum : 0. 33 N.m
• la puissance sans ventilation : 200 W
• la puissance avec ventilation : 1000 W
• le courant nominal de commande : 1A
220
Annexe E
TAB. E.1 – Coût algorithmique du filtre de Kalman conventionnel.
TAB E.2 – Coût algorithmique du filtre de Kalman non-linéaire à deux niveaux.
221
Résumé Le moteur synchrone à aimants permanents (MSAP) est de plus en plus utilisé dans le domaine industriel grâce à ses performances supérieures aux autres types de moteurs. Ce travail de recherche porte sur la commande du MSAP. La première partie traite la commande avec capteur mécanique en cherchant des performances dynamiques élevées en utilisant deux types de régulateurs à savoir le mode glissant et l’approche backstepping, faisant appel à la théorie de Lyapunov. La deuxième partie s’intéresse à la commande sans capteur mécanique. Une méthode pour estimer la position et la vitesse est présentée sur la base d’une nouvelle structure du filtre de Kalman étendue dite à deux niveaux. De nombreuses expérimentations sur le MSAP sont conduites afin de valider les performances obtenues en simulation. Mots Clés Le moteur synchrone à aimants permanents (MSAP) , le mode glissant, contrôle par backstepping, la théorie de Lyapunov, le filtre de Kalman . ‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫( ﻓﻲ اﻟﻤﻴﺪان اﻟﺼﻨﺎﻋﻲ ﻧﻈﺮا ﻷداﺋﻪ اﻷﺣﺴﻦ‬PMSM) ‫ﻳﺘﺰاﻳﺪ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﺤﺮآﺎت اﻟﻤﺘﺰاﻣﻨﺔ ذوات اﻟﻤﻐﺎﻧﻂ اﻟﺪاﺋﻤﺔ‬
.‫ ﻳﺘﻨﺎول هﺬا اﻟﻌﻤﻞ دراﺳﺔ اﻟﺘﺤﻜﻢ ﻓﻲ هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺤﺮآﺎت‬.‫ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﺎﻷﻧﻮاع اﻷﺧﺮى ﻣﻦ اﻟﻤﺤﺮآﺎت‬
‫اﻟﺠﺰء اﻷول ﻣﻦ هﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻳﻌﺎﻟﺞ اﻟﺘﺤﻜﻢ ﺑﺎﻟﻤﺠﺲ اﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻲ و داﻟﻚ ﻟﻠﺘﻮﺻﻞ اﻟﻰ أداء دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ أﻋﻠﻰ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل‬ ‫ اﻋﺘﻤﺎدا ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﺎﺑﻴﻨﻮف‬ backstepping‫ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﻈﻤﺎت أﻻ و هﻤﺎ اﻟﻨﻤﻂ اﻻﻧﺰﻻﻗﻲ و‬
‫ ﻋﺮﺿﺖ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ﺗﻘﺪﻳﺮ‬.‫ اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ اﻟﺒﺤﺚ ﻳﻬﺘﻢ ﺑﺎﻟﺘﺤﻜﻢ ﻣﻦ دون اﻟﻤﺠﺲ اﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻲ‬.(Lyapunov) .‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ و اﻟﺴﺮﻋﺔ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﺮآﻴﺒﺔ ﺟﺪﻳﺪة ﻟﻤﺮﺷﺢ آﺎﻟﻤﺎن اﻟﻤﻤﺪد اﻟﻤﺴﻤﺎة أﻳﻀﺎ اﻟﺘﺮآﻴﺒﺔ ذات اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
‫آﻠﻤﺎت ﻣﻔﺘﺎﺣﻴﺔ‬
، ‫ ﻣﺮﺷﺢ آﺎﻟﻤﺎن‬، ‫ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﺎﺑﻴﻨﻮف‬،backstepping ،‫ اﻟﻨﻤﻂ اﻻﻧﺰﻻﻗﻲ‬، ‫اﻟﻤﺤﺮآﺎت اﻟﻤﺘﺰاﻣﻨﺔ ذوات اﻟﻤﻐﺎﻧﻂ‬
‫اﻟﺪاﺋﻤﺔ‬ Abstract The permanent magnet synchronous motor (PMSM) is increasingly used in industry due to its superior performance to other types of machines. This work focuses on the control of PMSM. The first part deals with the sensor control in order to have high dynamic performance using two types of regulators sliding mode and backstepping approach, using Lyapunov theory. The second part looks at the sensorless control. A method to estimate the position / speed is presented based on a new structure called two levels extended Kalman filter. Numerous experiments on the PMSM are conducted to validate the performance obtained in simulation. Key Word The permanent magnet synchronous motor (PMSM), the sliding mode, the backstepping control, Lyapunov theory, Kalman filter