Problème : Homographies du plan complexe On définit CC = C

Problème : Homographies du plan complexe
b = C ∪ {∞} l’ensemble étant égal au corps des complexes C auquel on adjoint un point
On définit C
que l’on note ∞.
b les règles de calcul suivantes :
On définit, sur C,
−
−
−
−
∀z
∀z
∀z
∀z
∈ C, z + ∞ = ∞,
∈ C? , z × ∞ = ∞,
∈ C? , z0 = ∞,
z
∈ C? , ∞
= 0.
Pour tout quadruplet v = (a, b, c, d) ∈ C4 , on note δ(v) = ad − bc.
On pose E = {v ∈ C4 / δ(v) 6= 0}.
Pour v ∈ E, on définit l’application
b −→ C
b
hv : C
az+b
z 7→
cz+d
z 7→
∞
a
z 7→
c
si z ∈ C \ − dc
si z = − dc
si z = ∞.
On appelle homographie du plan complexe toute application de la forme hv , avec v ∈ E.
L’objectif de ce problème est de prouver diverses propriétés vérifiées par les homographies.
Partie I : Le groupe des homographies
1. Identifier hv pour v = (1, 0, 0, 1) et v = (a, b, 0, d) avec a, d 6= 0.
2. Montrer que
∀u ∈ E, ∀λ ∈ C? , hλu = hu .
3. Soient u(a, b, c, d) et v = (a0 , b0 , c0 , d0 ) deux éléments de E. On pose
u ⊗ v = (aa0 + bc0 , ab0 + bd0 , ca0 + dc0 , cb0 + dd0 ).
Montrer que u ⊗ v ∈ E.
4. Montrer que hu ◦ hv = hu⊗v .
Remarque : On fera le calcul dans le cas où l’infini n’intervient pas et on pourra admettre le
résultat dans les autres cas.
b et que h−1
5. En déduire que hu est une permutation de C
u = hv avec v = (d, −b, −c, a).
6. Montrer que l’ensemble des homographies du plan complexe est un groupe pour la composition.
Partie II : Quelques résultats géométriques à l’aide des nombres complexes
1. Soient ∆ une droite de C ne passant pas par 0, ω l’affixe de la projection orthogonale de 0 sur
∆ et z un complexe.
Montrer que M (z) ∈ ∆ si, et seulement si, Re((z − ω)ω) = 0.
2. Soient Γ un cercle de C, u et v les affixes de deux points diamétralement opposés de Γ et z un
complexe.
Montrer que M (z) ∈ Γ si, et seulement si, Re((z − u)(z − v)) = 0.
Partie III : Étude d’une homographie particulière
1
b tout sous-ensemble de C
b de la forme ∆ ∪ {∞} où ∆ est une droite de C. On
On appelle droite de C,
b
note alors ∆ une telle droite.
b toute partie de C
b qui est soit un cercle de C, soit une droite de C.
b
On appelle cercle de C
Dans cette partie, on pose h = hv pour v = (0, 1, 1, 0).
1. Expliciter h. Que vaut h−1 ?
b une droite de C
b passant par 0. Montrer que h(∆)
b est une droite de C
b passant par 0.
2. Soit ∆
b
3. Soit Γ un cercle de C passant par 0. Montrer que h(Γ) est une droite de C.
b une droite de C
b ne passant par 0. Montrer que h(∆)
b est un cercle de C qui passe par 0.
4. Soit ∆
5. Soit Γ un cercle de C ne passant pas par 0. Montrer que h(Γ) est un cercle de C.
6. Quel résultat venez-vous de démontrer ?
b et homographies
Partie IV : Cercles de C
b est une similitude directe de C
b si h(∞) = ∞ et si h|C est une
On dit qu’une homographie h de C
similitude directe de C.
1. Expliquer pourquoi le résultat de la partie précédente se généralise aux similitudes directes de
b
C.
b qui n’est pas une similitude directe s’écrit
2. Montrer qu’une homographie quelconque h de C
b et de l’homographie h(0,1,1,0) .
comme la composée de deux similitudes directes de C
3. Généraliser le résultat de la partie précédente à une homographie quelconque.
* * * FIN DU SUJET * * *
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