Calcul différentiel et intégral sur des variétés Nicolas Louvet et

Master 1 Mathématiques : Calcul différentiel et intégral sur des variétés
Nicolas Louvet et Tilmann Wurzbacher
Examen partiel du 21 Avril 2007 : Durée 2 heures
Aucun document n’est admis — La couleur rouge est réservée à la correction.
Les exercices [*] sont hors barême.
I. “Atlas et variétés”
Soit (M, T ) un espace topologique et {Uα | α ∈ A} un recouvrement ouvert de M . Si pour
chaque α il existe une application φα : Uα → Rm telle que φα est un homéomorphisme sur
son image φα (Uα ), on appelle la famille A = {(Uα , φα ) | α ∈ A} un “atlas topologique” sur
M.
(I.a) Question de cours: Donner la définition d’un “atlas différentiable” et d’une “variété
différentiable”.
(I.b) Soit maintenant M =] − 2, 2[ avec sa topologie habituelle et soient
φ+ : U+ =] − 1, 2[→ R, φ+ (x) = x3 et φ− : U− =] − 2, 1[→ R, φ− (x) = x
ainsi que A = {(U+ , φ+ ), (U− , φ− )}.
Montrer que A est un atlas topologique et que A n’est pas un atlas différentiable sur M .
II. “Un exemple d’une variété quotient”
Soit R muni de sa structure habituelle de variété et soit
ϑ : Z × R → R, (n, x) 7→ ϑ(n, x) = x + n .
Posons ϑn : R → R, ϑn (x) = ϑ(n, x).
(II.a) Montrer que pour tout n ∈ Z, ϑn est un difféomorphisme.
Soient x, y ∈ R équivalents ( x ∼ y) si et seulement si il existe n dans Z tel que y = x+n, et
p : R → R/∼ la projection canonique. Munissons le quotient R/∼ de la topologie quotient
(i.e. U ⊂ R/∼ est ouvert ssi p−1 (U ) est ouvert dans R).
(II.b) Montrer que p est continue et ouverte.
(II.c) Montrer que R/∼ est compacte.
(II.d) Montrer que pour tout x dans R, la projection restreinte à Ix =]x − 21 , x + 21 [ est
bijective: p|Ix : Ix → p(Ix ). En déduire que p|Ix est un homéomorphisme sur son image.
(II.e) Soit pour chaque c ∈ R/∼ un élément x ∈ c choisi. Posons Uc = p(Ix ) et φc =
φc,x = (p|Ix )−1 . Montrer que A := {(Uc , φc ) | c ∈ R/∼} est un atlas topologique.
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(*II.f ) Montrer que A est un atlas différentiable.
[Indication: Soient, comme dans la définition de l’atlas A, xj dans R t.q. cj = p(xj ) pour
j = 1, 2. Posons U12 := Uc1 ∩ Uc2 et φ12 := φc1 ◦ φ−1
c2 : φc2 (U12 ) → φc1 (U12 ). Il suffit
maintenant de montrer que pour c dans U12 , φ12 est différentiable en c. En prenant les
uniques y1 resp. y2 dans Ix1 resp. Ix2 t.q. p(y1 ) = p(y2 ) = c on pourra d’abord montrer que
sur la composante connexe de U12 contenant c, φ12 est donnée par ϑn pour un n approprié.
Ensuite l’énoncé suit de la partie (II.a).]
Admettons dans la partie (II.g) –sans démonstration– que R/∼ avec l’atlas A construit
est une variété différentiable. Nous ne demandons donc pas de vérifier les conditions
topologiques supplémentaires exigées d’une variété!
(*II.g) Montrer que R/∼ est difféomorphe à S 1 .
√
[Indication: l’application E : R → S 1 , E(x) = exp(2π −1x) = (cos(2πx), sin(2πx)) induit une application F : R/∼ → S 1 . On pourra montrer que l’application F est un
difféomorphisme.]
III. “Applications alternées, anti-symétriques, ...”
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie et t : E k = E × ...E → R une application
k-linéaire (i.e. t ∈ ⊗k E ∗ ).
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) pour toute permutation σ dans Sk et toute famille v1 , ..., vk dans E
t(vσ(1) , ..., vσ(k)) = sign(σ) · t(v1 , ..., vk );
(ii) pour toute paire d’indices (i, j) tel que i 6= j et pour toute famille v1 , ..., vk dans E
on a t(v1 , ..., vj , ..., vi, ..., vk ) = −t(v1 , ..., vi, ..., vj , ..., vk );
(iii) pour toute paire d’indices (i, j) tel que i 6= j et pour toute famille v1 , ..., vk dans E
telle que vi = vj on a t(v1 , ..., vk ) = 0;
(iv) pour toute famille liée v1 , ..., vk dans E on a t(v1 , ..., vk ) = 0.
IV. “Le tangent d’une application et la matrice de Jacobi”
Soient U resp. V ouverts dans Rm resp. Rn et F : U → V différentiable. Soient, de plus,
p ∈ U , F (p) = q ∈ V et
Tp F : Tp U → Tq V
le tangent de F dans p. Soient finalement (x1 , ..., xm) et (y1 , ..., yn) les coordonnées canon∂
|p , ..., ∂x∂m |p } resp. C = { ∂y∂ 1 |q , ..., ∂y∂n |q } les bases
iques sur Rm resp. Rn , et B = { ∂x
1
naturelles de Tp U resp. Tq V , et
M = M atCB (Tp F )
la matrice de Tp F dans ces bases. (Comme d’habitude, nous identifions -pour ej le j-ième
∂
vecteur canonique de Rm - la classe [γej ]p de la courbe γej (t) = p + t·ej avec ∂x
|p et d’une
j
n
façon analogue en q ∈ V ⊂ R .)
Montrer que M est la matrice de Jacobi de l’application différentiable F au point p.
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