Vacances scientifiques 2013
P1 :
CINEMATIQUE
Prof : M.Diagne
Mouvements dans un repére R (O, i , j, k)
Exercice I:
Dans un repère
accélération constant
une particule est animée d’un mouvement curviligne avec un vecteur
=4
.
1) Exprimer le vecteur vitesse en fonction du temps sachant qu’à l’instant initial
2) Exprimer le vecteur position
=2 .
de la particule en fonction du temps sachant qu’à l’instant
initial
=3 .
3) Exprimer les équations horaires du mouvement : x(t) et y(t).
4) Donner l’équation cartésienne de trajectoire : y(x).
Exercice II:
Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d’un
repère orthonormé
sont :
y = -3t2 + 15t et x = t2 + 2
1) Calculer la vitesse moyenne Vmoy du mobile entre les instants t1 = 2 s et t2 = 5 s.
2) Calculer l'accélération moyenne amoy entre ces mêmes instants.
Exercice III:
Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère
orthonormé
est :
= 2t + (2t2 -5t)
+3
(x et y en mètres et t en secondes)
1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan.
2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile ; quelle est la nature de la
trajectoire ?
3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m ? calculer sa vitesse à cet
instant.
4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la
distance d = 5 m ?
Dépassements et rencontres
Exercice I:
Une automobile démarre lorsque le feu passe au vert avec une accélération a = 2,5 m.S -2 pendant
une durée de t= 6,0 S ; ensuite le conducteur maintient sa vitesse constante.
Lorsque le feu passe au vert un camion, roulant à vitesse V = 45Km.h -1, est situé à une distance d
= 20 m du feu, avant celui-ci. Il maintient sa vitesse constante.
Dans un premier temps, le camion va doubler l’automobile, puis dans une deuxième phase , celle-ci
va le dépasser. En choisissant comme origine des dates, l’instant où le feu passe au vert, comme
origine des espaces, la position du feu tricolore, déterminer :
1)Les dates des dépassements;
2)Les abscisses des dépassements;
3)Les vitesses de l’automobile à ces instants.
Exercice II:
Deux automobiles A et B, considérées comme ponctuelles, se suivent à la même vitesse constante
Vo = 72 km/h à la distance d = 25 m. A t = 0 s, l’automobile A prend une accélération a = 1m/S 2 ,
dépasse B et se rabat devant elle lorsqu’elle en est à une distance d’ =30m. 1. Donner les
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équations horaires des mouvements de A et B 2. Quel espace a parcouru l’automobile B pendant
cette manœuvre ?
Exercice III:
Deux voitures M1 et M2 se suivent à une distance d à la même vitesse constante Vo = 108 km/h. A
un certain moment correspondant à l’origine des temps (t = 0 s), la voiture M1 commence à freiner
avec une décélération a1 = 6 m/s2 ; la voiture M2 ne commence à freiner qu’avec un retard d'une
seconde et une décélération a2 = 5 m/s2.
1. Quelle condition doit satisfaire d pour que la voiture M2 s'arrête sans heurter
M1?
2. Si d = 30 m la voiture M2 heurte M1. A quel instant aura lieu le choc. Déterminer les vitesses
respectives de M1 et M2 au moment du choc.
3. Si d = 55 m la collusion n’aura pas lieu. Déterminer la distance D séparant les deux voitures
lorsqu’elles s’arrêtent.
Exercice IV:
Un navire N longe une cote rectiligne à la vitesse v. A l’instant t = 0 choisi comme origine des
temps, il passe en N0 en face d’un port P à une distance PN0= D. Une vedette B de vitesse
>V
part du port P pour rejoindre le navire. Son capitaine désire quitter le port le plus tard possible.
On note
l’angle entre la trajectoire de la vedette et la normale à la cote, t 1 l’instant de départ
de la vedette , t2 l’instant de la rencontre, N2 le point de rencontre.
1. Donner l’expression de t2 en fonction de D,
et V
2. Exprimer le temps mis par la vedette entre le port P et le lieu de rencontre N 2en fonction de
D,
et
3. Donner l’expression de t1 en déduire l’angle
qu’il faut choisir pour quitter le port le plus tard
possible
Mouvements circulaires
Exercice I:
Dans un repère orthonormé R
, les équations paramétriques du mouvement d'un point
mobile M, sont :
x = A.cos t et y = A.sin t avec: A = 10cm et
= 10rad.s-1
1) Caractériser le vecteur vitesse
et le vecteur accélération
du mobile. Que peut-on dire?
2) Calculer le produit scalaire
. , conclure.
d) Quelle est la trajectoire du mobile ?
Exercice II:
Une particule se déplace sur une circonférence de rayon R = 2m suivant la loi:
= -2t2 + 10.t
est exprimé en radian et t en seconde.
1) Donner l’expression de la vitesse linéaire de la particule en fonction du temps. Calculer sa
valeur initiale.
2. Donner l’expression de l’accélération normale et celle de l’accélération tangentielle.
3) Calculer la vitesse angulaire Vang et l'accélération angulaire aang à l'instant t0 = 3s.
4) A quelle date t1, la vitesse angulaire s'annule-t-elle ? Quel est alors le nombre n de tours
effectués ?
Exercice III:
Un cycliste se déplace sur une route horizontale. Sur la jante (cercle en métal qui forme le
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pourtour d’une roue de bicyclette) de la roue arrière à une distance r de son centre I est fixée
un objet M décrivant par rapport au cycliste un cercle de centre I, de rayon r et de vitesse
angulaire . On désigne par L le point de contact du cercle avec Ox. On suppose qu’à l’instant
initial le point M du cercle coïncide avec l’origine O.
1- Quelles sont dans le repère (0, x, y) les coordonnées du point M à l’instant t et la nature de sa
trajectoire ?
2- Donner les coordonnées et le module de la vitesse
de M. dans le repère (0, x, y)
3- Sachant qu’à l’instant initial s(0) = 0, donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) pour 0
t
T=
. En déduire la distance parcourue par M quand t = T
4- Calculer les coordonnées et le module de l’accélération de M.
5- Calculer l’accélération tangentielle et l’accélération normale.
6- Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point M.
Mouvement sinusoïdal
Exercice I:
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal. Il se déplace sur un segment
de longueur 6m, la fréquence du mouvement est de 5Hz à l’instant initial, le mobile est à
son abscisse maximum.
1) Déterminer son équation horaire.
2) Déterminer la vitesse et l’accélération au temps t=0
3) Déterminer sa nouvelle équation horaire si à t=Os le mobile passe à l’origine avec une
vitesse positive.
Exercice II:
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal. L’axe xx’ est le support de la
trajectoire, l’origine O est le centre du mouvement. La période du mouvement est T=2,0s. A
l’instant choisi pour origine des dates, l’abscisse du mobile est xo= 1,2cm, sa vitesse est nulle.
1)
2)
3)
4)
Déterminer l’équation horaire du mouvement.
Quelle est la vitesse maximale du mobile ?
Quelle est l’accélération maximale du mobile ?
Calculer l’abscisse, la vitesse et l’accélération du mobile à la date t= 1,5s
3
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