CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali Fonctions de Bessel Définitions et notations On appelle : Z 1 π cos(x sin t − nt)dt. – Fonction de Bessel d’ordre n ∈ Z la fonction ∀x ∈ R, Jn (x) = π 0 2 00 – Equation de Bessel d’ordre n ∈ Z l’équation différentielle En : x y + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0. Première partie Propriétés des fonctions de Bessel 1: Montrer que ∀n ∈ Z, Jn est définie sur R. 2: Montrer que ∀n ∈ Z, J−n = (−1)n Jn (Ce qui permet de se restreindre dans la suite au cas n ∈ N). 3: Montrer que ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Jn (−x) = (−1)n Jn (x). En déduire la parité de Jn . 4: Soit n ∈ N, x ∈ R et on considère les fonctions fx et gy définie sur R par fx (t) = eix sin t et gy (t) = fx (t)eint . 4 - 1: Montrer que fx est développable en série de Fourier sur R. 4 - 2: Calculer les coefficients de Fourier de fx en fonction des fonctions de Bessel. 4 - 3: Donner le développement de fx en série de Fourier sur R. +∞ +∞ X X 5: Montrer que ∀x ∈ R, Jp (x) = J0 (x) + 2 J2p (x) = 1. 6: Montrer que ∀x ∈ R, p=−∞ +∞ X p=−∞ p=1 +∞ X Jp2 (x) = J02 (x) + 2 Jp2 (x) = 1. p=1 7: Soit x ∈ R. Calculer les coefficients de Fourier de gx en fonction de ceux de fx . 8: En déduire que ∀x, y ∈ R : +∞ X Jn (x + y) = Jn−p (x)Jp (y) p=−∞ Deuxième partie Développement en série entière des fonctions de Bessel 1: 2: 3: 4: 5: 6: (p) Montrer que ∀n ∈ Z, Jn est de classe C ∞ sur R et donner l’expression de Jn sur R pour tout p ∈ N. Montrer que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, Jn0 (x) = 21 (Jn−1 (x) − Jn+1 (x)). Montrer que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, xJn+1 (x) + xJn−1 (x) = 2nJn (x). En déduire que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, xJn0 (x) + nJn (x) = xJn−1 (x). Montrer que ∀n ∈ N, Jn est développable en série entière sur R. Montrer que ∀n ∈ N, Jn est une solution globale de l’équation En . Z 7: Soit n ∈ N∗ . Montrer que pour tout polynôme trigonométrique P de degré ≤ n−1 on a Z sin(nt)P (t)dt = 2π cos(nt)P (t)dt = 2π 0. (k) 8: Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ {0, . . . , n − 1}, Jn (0) = 0. n (−1) 2 + P (t) si n est pair 2n−1 n−1 9: Montrer que ∀n ∈ N∗ , sinn t = avec P un polynôme trigonométrique de degré ≤ n − 1 (−1) 2 + P (t) si n est impair n−1 2 de même parité que n. (n) 10: Montrer que ∀n ∈ N, Jn (0) = 21n . +∞ X 11: Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe une suite (ap )p∈N de réels telle que ∀x ∈ R, Jn (x) = xn ap xp . p=0 12: Déterminer le développement en série entière sur R de Jn (n ∈ N). www.mathlaayoune.webs.com 1/2 [email protected] CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali Troisième partie Zéros des fonctions de Bessel 1: Soit n ∈ N. 1 - 1: Montrer que Jn se prolonge de façon unique en une fonction holomorphe sur C. 1 - 2: En déduire que les zéros de Jn sont isolés. √ Dans la suite, soit n ∈ N et on considère la fonction y : x ∈]0, +∞[7→ Jn (x) x. 2: Montrer que ∀n ∈ N les zéros de Jn sur ]0, +∞[ sont simples. 3: Montrer que la fonction y est solution sur ]0, +∞[ d’une équation de la forme y 00 (x) + 1 − 4n2 −1 4x2 y(x) = 0. 0 4: On suppose que n = 0 et soit l’application W : x ∈]0, +∞[7→ y(x) cos x − y (x) sin x. 4 - 1: Calculer W 0 sur ]0, +∞[. 4 - 2: Montrer que si on suppose que ∃k ∈ N∗ tel que y ne s’annule pas [kπ, (k+1)π] alors l’application f (x) = (−1)k y(kπ)W (x) est croissante sur [kπ, (k + 1)π]. 4 - 3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k ∈ N∗ , y s’annule au moins une fois sur [kπ, (k + 1)π]. x x 1 y(x) cos 2n − y 0 (x) sin 2n . 5: On suppose que n 6= 0 et soit l’application W : x ∈ [n, +∞[7→ 2n 0 5 - 1: Calculer W sur [n, +∞[. 5 - 2: Montrer que si on suppose que ∃k ∈ N∗ tel que y ne s’annule pas [2nkπ, 2n(k + 1)π] alors l’application f (x) = (−1)k y(2nkπ)W (x) est croissante sur [2nkπ, 2n(k + 1)π]. 5 - 3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k ∈ N∗ , y s’annule au moins une fois sur [2nkπ, 2n(k + 1)π]. 6: En déduire que Jn admet une infinité de zéros sur ]0, +∞[. 7: Montrer que l’ensemble des zéros de Jn sur ]0, +∞[ est dénombrable (On peux alors numéroter les zéros de Jn ). 8: On pose (xk )k∈N la suite strictement croissante des zéros strictement positifs de Jn . Montrer que lim xk = +∞ 9: Montrer que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, (xn Jn (x))0 = xn Jn−1 (x). 10: En déduire que, pour tout n ∈ N∗ , entre deux raçines strictement positifs de Jn il y a une raçine de Jn−1 (On dit que les raçines de Jn et Jn−1 sont entrelacées). Quatrième partie Fonctions de Bessel de seconde espèce Soit n ∈ N. 1: Montrer que ∃a > 0 tel que Jn ne s’annule pas sur ]0, a]. est solution sur ]0, a] 2: Montrer que y est solution de En sur ]0, a] si et seulement si la dérivée de l’application ϕ(x) = Jy(x) n (x) d’une équation différentielle du premier ordre à déterminer. 0 3: Soit y une solution de En sur ]0, a] et ϕ(x) = Jy(x) . Montrer que ∀x ∈]0, a], xJn2 (x)ϕ0 (x) = 0. (x) n Z a dt 4: Trouver un équivalent simple de . 2 x tJn (t) 5: En déduire l’existence d’une solution y de En sur ]0, a] telle que lim+ y(x) = +∞. x→0 6: Montrer que l’équation différentielle En admet une solution Nn sur ]0, +∞[ telle que lim Nn (x) = +∞. x→0+ Nn s’appelle fonction de Bessel de seconde espèce d’ordre n. 7: Donner la forme générale des solutions globales de En sur ]0, +∞[. 8: Montrer que l’ensemble des solutions globales de l’équation En est un espace vectoriel de dimension un. En déduire la forme générale des solutions de l’équation En . 8 - 1: Y a-t-il une contradiction avec le théorème du cours qui assure que l’espace des solutions globales des équations différentielles scalaires d’ordre deux est de dimension deux ? 9: Soient a, b ∈]0, +∞[ deux zéros consécutifs de Jn . 9 - 1: Montrer que Jn0 (a)Jn0 (b) < 0. 9 - 2: Montrer que W (a)W (b) = Nn (a)Nn (b)Jn0 (a)Jn0 (b) avec W le Wronskien de Jn et Nn . 9 - 3: Montrer que ∃!c ∈]a, b[, Nn (c) = 0 et en déduire que Nn admet une infinité de zéros. 10: Montrer que Jn et Nn n’ont pas de zéros communs sur ]0, +∞[. www.mathlaayoune.webs.com 2/2 [email protected]