Polycopié de Travaux Pratiques de Mécanique des Milieux Continus
publicité
Université Ibn Tofail Faculté des Sciences Département de Physique Kénitra Polycopié de Travaux Pratiques de Mécanique des Milieux Continus Pr. M. IGOUZAL [email protected] / [email protected] 0 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Table des Matières - Consignes importantes 2 - TP 1: Mesure de la viscosité d’un milieu liquide Méthode de la chute d'une bille 6 - TP 2: Etude et optimisation d’un profil d’aile d’avion: soufflerie numérique 14 23 - TP 3: Instrument de mesure de débit: le tube de Venturi - TP 4: Ecoulement entre deux plaques planes parallèles: Ecoulements de Poiseuille, de Couette et de Couette généralisé 1 28 Consignes importantes I- Rotation et rapport de TP Les travaux pratiques de mécaniques des milieux continus comprennent quatre séances avec la rotation montrée ci-dessous: Les comptes rendus doivent être regroupés dans un seul rapport de TP à soumettre le jour de la séance de révision. Ce rapport doit contenir : - un sommaire et une introduction générale sur l’apport des simulations numériques en mécanique des milieux continus. - les quatre comptes rendus de TP. - une conclusion générale. - des références bibliographiques à la fin. Le rapport de TP doit être fourni aussi sous format numérique (CD). II- Rédaction des comptes-rendus de TP Objectif Chaque TP se compose de quatre parties: 1. Définition des objectifs du TP. 2. Définition du problème et de son cadre théorique. 3. Réalisation de la manipulation: C’est une phase d’exécution qui, pour un travail expérimental ou de simulation, se décompose en une étape d’acquisition de données et une étape de dépouillement. 4. Appréciation des résultats: discussion et interprétation des résultats. Souvent bâclée par les étudiants, cette étape est néanmoins primordiale. Elle permet de situer les résultats vis-à-vis du problème posé et des objectifs à atteindre et d’en déduire la politique à suivre par la suite (validation des résultats, remise en cause des objectifs ou de la démarche….). 2 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Ainsi, le compte-rendu de TP doit être rédigé dans cet esprit. Tout doit y être consigné: les objectifs, la démarche, les conditions de réalisation, les problèmes rencontrés, l’analyse des résultats et les perspectives qui en découlent. Il doit cependant rester clair, simple et concis. Introduction L’introduction doit exposer de façon générale le cadre du TP. Elle ne doit pas reprendre l’introduction du texte de TP. Cette partie du compte-rendu doit également mettre en évidence les objectifs des manipulations et les différentes étapes pour y parvenir. Figures et tableaux Les figures doivent présenter les résultats des mesures. Il est toujours préférable de tracer une courbe plutôt que de se contenter d’un tableau de valeurs, qui ne permet pas une bonne interprétation des résultats. Chaque figure doit posséder un titre global et un numéro. Les titres des axes des abscisses et des ordonnées doivent figurer et donner la grandeur représentée. Il ne faut pas hésiter à employer des couleurs pour distinguer les différentes courbes Calculs Une calculatrice scientifique est toujours indispensable pour réaliser les calculs pendant une séance de TP. Pour éviter un certain nombre d’erreurs dans les conversions d’unité, il est fortement conseillé d’effectuer les applications numériques en utilisant des unités SI. Il faut aussi distinguer l’expression littérale de l’application numérique. Commentaires Le texte du compte-rendu doit comporter le développement des calculs et les résultats numériques qui sont demandés dans le texte du TP. Chaque figure et tableau doit faire l’objet d’un commentaire qui doit commencer par la description des axes et des courbes. Par exemple: « la figure 3 représente l’évolution de la vitesse en fonction de la hauteur». Il faut être précis dans l’emploi du vocabulaire. Conclusion La conclusion a pour but de faire la synthèse de façon concise des principaux résultats obtenus au cours du TP. Les problèmes qui ont été rencontrés en cours de manipulation peuvent être mentionnés à ce niveau. Il est appréciable d’évoquer à ce niveau les applications générales du TP. 3 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 4 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 TP N°1: Mesure de la viscosité d’un milieu liquide Méthode de la chute d'une bille But du TP Le but de ce TP est dee mesurer la viscosité d'un milieu liquide (deux deux types d’huile d’ et la glycérine). Cette mesure est réalisée réalisé à partir d’une expérience de chute d’une bille en métal de faible diamètre à travers ce milieu liquide. I- Définitions et cadre théorique La viscosité est une mesure de la résistance qu’oppose un milieu fluide à l’écoulement, en raison de son frottement interne. Elle représente la force tangentielle requise pour déplacer un plan parallèle de ce fluide par rapport à un autre plan parallèle du même fluide. Plus le fluide est visqueux ett plus grande est cette force tangentielle. La viscosité des liquides est beaucoup plus grande que celle des gaz. Pour tous les fluides, la viscosité augmente avec la pression. L’effet de la température est toutefois plus important, En règle générale, la viscosité des liquides diminue quand la température augmente. II- Viscosité dynamique Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de ∆z. z. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit ∆v, à leur surface S et inversement proportionnelle à ∆z : Le facteur de proportionnalité est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. L’unité la plus courante de la viscosité est le pascal-seconde seconde (Pa·s). La viscosité d’un fluide vaut 1 Pa·s si une force de 1 N est requise pour déplacer un plan de 1 m2 du fluide quand le changement de vitesse entre les couches adjacentes du fluide est de 1 m/s sur 1 m. Pour l'eau, η=1,793.10-3 Pa.S à 0°C et η = 0,282.10-3 Pa.S à 100°C. 5 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Corps hydrogène Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Viscosité (Pa.s) 9,3 × 10 -6 air 1,94 × 10-5 xénon 2,12 × 10-5 eau 0,5470 × 10-3 mercure 1,526 × 10-3 benzène 0,64 × 10-3 glycérine 1,49 miel 101 huile d'olive de 0,081 à 0,1 café crème 10-2 sang de 4 à 25 (généralement 6)× 10-3 pétrole 0,65 × 10-3 Tableau 1 : Viscosité dynamique de quelques milieux fluides III- Viscosité cinématique Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique et de la masse volumique, Ce rapport est appelé viscosité cinématique : Dimension de υ : m2.s-1. IV- Mesure de la viscosité 1 – Viscosimètre à tube capillaire (viscosimètre d'Ostwald) On mesure la durée d'écoulement t d'un volume V de liquide à travers un tube capillaire. On montre que la viscosité cinématique υ est proportionnelle à la durée t. Si on connaît la constante de l'appareil (C) fournie par le constructeur : η = C·t 6 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Si on ne connaît pas cette constante, on la détermine préalablement à l'aide de l'eau dont la viscosité est connue 3 - Viscosimètre rotatif ou viscosimètre de Couette Un cylindre plein (A) tourne à vitesse constante dans un liquide contenu dans un récipient cylindrique (B) ; celui-ci, mobile autour de son axe de révolution, est entraîné par le liquide. Un ressort, exerçant un couple de torsion après avoir tourné d'un angle α, retient (B) en équilibre. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à l'angle a : η = L· α 4- Viscosimètre à chute de bille ou viscosimètre d'Hoepler Une bille sphérique tombe, sans vitesse initiale, dans un tube gradué renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine distance. On montre que la viscosité dynamique η peut être calculée en fonction de la vitesse de chute et des caractéristiques du liquide et de la bille. La bille a une masse volumique ρ, un rayon R et une masse M = g. 4/3ρ.π.R3. Le liquide visqueux a une masse volumique µ. La bille est soumise à trois forces : - Son poids P = M.g 7 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 - la poussée d'Archimède Pa = − M.g.µ / ρ - la force de freinage exercée par le liquide sur la bille. Cette force est donnée par la formule de Stokes. En régime laminaire, elle est proportionnelle à la viscosité dynamique, au rayon de la bille et à la vitesse. Si l'on considère un axe vertical Oz orienté vers le bas: Fz = − 6π.η.R. (dz / dt ) On pose K = 6π.η.R Le principe de la dynamique donne : M.(d2z / dt2 )= M.g − M.g.µ / ρ − K.(dz / dt) (1) En divisant par la masse de la bille, on obtient: (d2z / dt2) = g (1 − [µ / ρ] − [9η / (2R2ρ)].(dz / dt). (2) Quand la vitesse augmente, le terme de frottement croît: la valeur de la vitesse tend vers une valeur limite qui correspond à une accélération nulle. Ainsi, après une phase de mouvement accéléré, la bille suit un mouvement rectiligne uniforme car le poids P de la bille devient égal à la somme de la poussée d'Archimède Pa et de la force de frottement Fz. NB : expérimentalement, on doit procéder avec attention au lâcher de la bille au centre de la section de l’éprouvette utilisée. Une chute de la bille trop près des bords entraîne des effets perturbateurs qui modifient de manière non négligeable la mesure effectuée. V- Questions Théoriques : 1- Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement de la bille est de type : (dv/dt) =A+B. V où A et B sont des constantes. Donner l'expression littérale de ces constantes en fonction des données. 2- Montrer que l’expression de la vitesse limite est VL = 2.g (ρ − µ).R2 / 9.η - En déduire l’expression de la viscosité en fonction de la vitesse limite. 3- En résolvant l'équation (2), montrer que l'expression de la vitesse est donnée par : V(t) = VL[1 − e(−K.t / M)] 4- En déduire que z(t) est donnée par: z(t) = VL(t − [1 − e (−K.t / M).M / K]). 8 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 V- Manipulation Lancer la simulation viscosimètre d'Hoepler.s 1- Pour un rayon de la bille de 2.00 mm, réaliser la simulation pour le liquide de rinçage pour les trois types de billes. a- Identifier graphiquement les deux phases d'évolution de la vitesse et les nommer. b- Comment le graphe v =f(t) permet-il d'étudier l'évolution de l'accélération au cours du temps ? Décrire cette évolution. 2- Pour un rayon de la bille de 2.00 mm, réaliser la simulation pour les deux liquides glycérine et huile minérale et pour les billes en aluminium et en plomb. Remplir le tableau suivant: Glycérine – bille en fer z (m) t (s) Vitesse (m/s) 9 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Glycérine – bille en aluminium z (m) t (s) Vitesse (m/s) Huile minérale – bille en fer z (m) t (s) Vitesse (m/s) Huile minérale – bille en aluminium z (m) t (s) Vitesse (m/s) a- pour les quatre cas précédents, tracer les courbes z(t) et comparer avec les courbes théoriques de z (t) (utiliser dans chaque cas la valeur de la viscosité exacte donnée en haut du programme). b- représenter l’évolution de la vitesse en fonction du temps dans chaque cas. c- calculer dans chaque cas la viscosité du liquide étudié à partir de la valeur limite VL de la vitesse. d- comparer les valeurs des viscosités trouvées à l’aide de la simulation avec les valeurs réelles. 3- Quelle est l’incertitude relative sur le calcul de la viscosité si l’incertitude relative sur la mesure de la vitesse est de 1%. 4-. Citer des applications industrielles de la mesure de la viscosité d’un liquide. 10 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 11 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 TP N°2: Conception onception optimisée d’une aile d’avion: d’avion Soufflerie numérique But du TP - Etudier, par la simulation, le comportement et les performances aérodynamiques d’un profil d’aile. - Optimiser la géométrie d’un profil d’aile. I- Notions de base et cadre théorique On considère un corps en mouvement dans un fluide. Ce corps subit deux forces de la part du fluide : une ne force qui s’oppose au mouvement (traînée) et une autre perpendiculairement à la direction du mouvement (portance). I.1- La traînée Elle représente la composante des efforts exercés sur le corps, dans le sens opposé à la vitesse relative de celui-ci par rapport au fluide. La relation 1 relative à la figure 1 définit la traînée Fx d’un corps plongé dans un fluide en mouvement à la vitesse Vt. Cx Sx V2t (1) Avec: - Vt : vitesse relative (m/s), ρ : la masse volumique du fluide, S : surface de la coupe du corps prise perpendiculairement au vecteur de vitesse Vt, (S est appelée maître couple). couple - Cx: est un nombre sans dimension caractéristique de la forme du corps considéré. Le vecteur de force Fx a dans cette expérience la même orientation orientation que le vecteur de vitesse. Les forces de traînées sont classées en trois types: - La traînée de forme liée à la forme de l’objet aérodynamique - La traînée induite provoquée par la portance des ailes. ailes - La traînée de friction induite par la friction de l’air sur les surfaces 12 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 I.2- La portance Cette force (Fz) se situee dans un plan perpendiculaire au vecteur Vt. Dans la figure 2 la portance Fz est verticale vers le haut. haut C’est cette force qui permet à un avion de s'élever et de se maintenir en altitude. Elle est donnée par: Cz Sa V2t (2) - Sa : surface de la plaque. - Cz : coefficient de portance.. Cz = a . α avec a : coefficient de pente et α : angle d’incidence et peut eut varier d’environ -20° à environ 20° 0° (plus pour les ailes delta) ; au-delà delà le phénomène de décrochage (apparition de turbulence à l’aval du profil qui tend à augmenter la trainée) trainée fait disparaître la portance et la formule (2) ne s’applique plus. Figure 3:: Courbe théorique de l’évolution de la portance en fonction de l’angle d’incidence I.3- Effet d’échelle Pour concevoir des avions performants, on cherche les valeurs des coefficients de trainée et de portance optimales. On travail généralement aves des souffleries sur des maquettes d’aile d’avion ressemblant aux ailes réelles. Pour que l’écoulement réel et l’écoulement dans le modèle réduit soient similaires,, il faut qu’ils présentent le même nombre de Reynolds Re : 13 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Re = ρ.L.Vt/µ (3) avec : L - dimension caractéristique [m], µ - viscosité dynamique du fluide [m²/s] I.4 Caractéristiques des profils d’aile L’étude des performances des ailes est complexe car l’écoulement est en trois dimensions. Pour cette raison on étudie toujours dans un premier temps les profils, les ailes étant étudiées dans leur globalité dans un second temps. Un profil est une section d’aile dans la direction de l’écoulement du fluide choisie à un endroit donné de l’aile. L’étude se fait en créant, matériellement ou par la simulation, une aile d’envergure infinie dont la section est celle du profil à étudier. L’écoulement se fait alors en deux dimensions dans le plan du profil. Ainsi, pour étudié les performances d’un profil d’aile donné, on doit analyser : - Sa portance en fonction de l’angle d’incidence. - Sa trainée en fonction de sa portance. - Le couple de basculement en fonction de l’angle d’incidence. Un profil avançant dans l'air a tendance à basculer dans un sens ou dans l'autre selon ses caractéristiques propres. Le basculement est dû à un couple dont le moment peut être soit positif (tendance à cabrer) soit négatif (tendance à piquer). Principales caractéristiques des ailes - Polaire: un graphique qui met en relation les coefficients Cz, Cx et l’angle d’incidence α. - Epaisseur relative : rapport de l'épaisseur maximale du profil à sa longueur t/c (figure 4). - Corde: distance du bord d'attaque au bord de fuite. - Flèche: distance entre la corde et le sommet de la ligne moyenne. - Cambrure: rapport de la flèche à la corde. Les voiles d'un navire, l'hélice d'un avion, le rotor d'un hélicoptère, les pales d’éoliennes et aussi les nageoires des poissons et les ailes des oiseaux peuvent être décrits selon ces mêmes caractéristiques. Figure 4 : principales caractéristiques géométriques d’une aile. 14 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 I-4 Exemple de profils Clark Y : profil à 11,7 % d’épaisseur relative et environ 4 % de courbure, courbure Cz max 1,3, Cx min 0,007 à Cz 0,4. Figure 5 : profil Clark Y Figure 6 : polaire du profil Clark Y II- Choix d’un profil La façon classique de choisir un profil est de le sélectionner à partir de listes liste de profils bien étudiés comme celle téléchargeables à partir du site web: http://aerospace.illinois.edu/m selig/ads/coord_database.html http://aerospace.illinois.edu/m-selig/ads/coord_database.html Une autre méthode consiste à partir d’un profil proche de celui recherché et de l’étudier dans une soufflerie numérique, puis de le modifier jusqu’à obtenir un profil parfaitement optimisé pour son application. III- Soufflerie numérique JAVAFOIL Les souffleries servent à tester et optimiser les profils (souffleries 2D). 2D) Les souffleries numériques ont supplanté les vraies souffleries car elles sont plus faciles et moins coûteuses à mettre en œuvre. 15 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 La soufflerie numérique utilisée dans ce TP est un logiciel d’aide à la conception d’ailes appelé JAVAFOIL. L’analyse d’une aile est décomposée en étapes successives, accessible via des menus spécifiques: - Géométrie : introduction du profil via un ensemble de points définissant la surface du profil. - Modifications : modification du profil par changement d’échelle, zoom, homothétie, duplication, translation. - Design : modification automatique du profil ; optimisation du profil. - Vitesses : calcul de la vitesse relative de l’air sur le profil à diverses angles d’incidence. - Ecoulement : calcul de l’écoulement de l’air autour du profil. - Couche limite: étude de l’effet de la friction de l’air sur le profil. - Polaires : Courbes de portances en fonction de la trainée et de l’angle d’incidence. IV- Manipulation 1- étude des profils NACA a- dans le menu géométrie, sélectionner un des profils suivant NACA4, NACA5 ou NACA6. b- donner les valeurs et la signification des paramètres apparaissant dans ce menu. Figure 7: menu principal du logiciel JAVAFOIL Le menu "Vitesses" donnent la vitesse relative v/V (vitesse au point considéré du profil divisée par la vitesse amont du profil à l’infini) de l'écoulement le long du profil pour 16 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 différents angles d'incidence. Il est toujours souhaitable que la vitesse sur l'extrados varie aussi régulièrement que possible en allant vers le bord de fuite. Figure 7 : distribution des vitesses sur un profil en fonction de l’incidence c- pour un angle d’incidence de 4.0 ° interpréter la courbe obtenue. d- visualiser la courbe ’’pression coefficient Cp’ et l’interpréter. et Avec: p: pression au point considéré, p∞ et U : pression et vitesse à l’amont très loin du profil. Le menu Ecoulement montre l'écoulement de l'air autour du profil pour un angle d’attaque égal à 20°. e- cocher ‘velocity ratio’ puis ‘flux d’air’. Interpréter l’allure des lignes de courants obtenus. f- cocher ‘velocity ratio’ puis ‘brain de laine’. Interpréter le champ de vitesse dans le domaine étudié. g- cocher ‘velocity ratio’ puis ‘plaine en couleur’. Interpréter les données de l’intensité de vitesse dans le domaine étudié. 17 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 h. changer la valeur de l’angle d’attaque (0°, 30°) et noter les modifications par rapport au cas précédent (angle d’attaque de 20°) i. cocher ‘’pression coefficient Cp’’ puis ‘’plaine en couleur’’ et interpréter l’évolution de Cp au tour du profil. Comment la différence de Cp entre l’intrados et l’extrados peut-elle expliquer la naissance de la portance (et donc le vole de l’avion) ?. Figure 8 : visualisation du flux d’air autour du profil Etude de la couche limite La couche limite est définie comme la fine zone juste au-delà du profil où l'air est freiné par la friction sur le profil (figure 9). A l'avant du profil, la couche limite est laminaire et dissipe relativement peu d’énergie. Après un point dit de transition (T.U. pour l'extrados et T.L. pour l'intrados), la couche limite devient turbulente et dissipe nettement plus d'énergie. Ainsi, les concepteurs cherchent un profil qui recule le plus le point de transition dans les conditions d’utilisation (incidence la plus grande). a- Dans le menu ‘Couche limite’, sélectionner le sous menu ‘épaisseur’. Interpréter l’évolution de la couche limite le long du profil. b- étudier l’effet de l’angle d’attaque sur la couche limite et sur la position des points de transitions. 18 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 Figure 9 : couche limite c- dans le menu déroulant ‘finition de surface’ choisir ‘poussière et insecte’ noter les modifications introduites par ce facteur externe sur l’évolution de la couche limite. Figure 10 : couche limite le long du profil Etude de la polaire de l’aile L’étude de la polaire de l’aile constitue la synthèse de l'analyse aérodynamique. Elle indique la portance en fonction de la traînée pour différents nombres de Reynolds et donc vitesses choisies. Plus les polaires sont décalées vers la gauche moins le profil traîne. traîne. Plus les polaires sont hautes, meilleur est le Czmax, donc la portance. a- sélectionner le menu ‘Polaire’. Interpréter l’évolution de la portance en fonction de la traînée pour un angle d’attaque considéré. 19 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 b- Interpréter l’évolution de la portance en fonction de l’angle d’incidence. c- étudier l’influence de l’angle d’incidence et de l’état de la surface. Figure 12 : polaires d’un profil 2- Etude des performances d’une aile portante réelle - Tracer le profil (plan 2D) de l’aile portante mise à votre disposition. - Dans le menu Géométrie de JavaFoil crée le tableau de données correspondant à ce profil. il faudra respecter le standard « JavaFoil » suivant: - la première ligne représente une brève description du profil, - chaque ligne suivante représente l’abscisse suivie de l’ordonnée d’un point du profil, - l’abscisse du point varie entre 0 pour le bord d’attaque et 1 pour le bord de fuite), - l’ordonnée du point est donnée en fraction de corde. On part du bord de fuite (première ligne), on parcourt l’extrados jusqu’au bord d’attaque, enfin on revient au bord de fuite par l’intrados. - Prendre un nombre de points entre 40 et 50. - Etudier les performances de ce profil (vitesse, écoulement, couche limite et polaire). - le menu ‘desing’ permet de modifier automatiquement la géométrie du profil pour produire un profil optimisé. Appliquer le réglage ‘DESING’ et analyser le profil optimisé final. 20 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 TP N°3: Instrument de mesure de débit : le tube de Venturi I. Objectifs de la manipulation − Mesurer le débit au moyen d’un tube de Venturi. − Vérifier la loi de Bernoulli. II- Rappel théorique Définition: Un tube de Venturi est une conduite dont la section est variable. Dans une première partie les sections vont en décroissant (zone convergente), dans la deuxième partie les sections vont en augmentant (zone divergente). Un tube de Venturi est donc un «convergent-divergent» (figure1), utilisé pour mesurer le débit d'un fluide. Figure 1: Tube de Venturi En appliquant le théorème de Bernoulli entre les sections S1 et S2 on obtient : (1) 21 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences La différence Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 se détermine à l’aide de deux tubes piézométriques où à l’aide d’un ρ manomètre différentiel relié à deux prises de pression statique. Le débit dans la conduite repose sur une mesure de pression entre deux sections : Q (m3/s) = U2S2 = U1S1 Dans le relation (1) : =Ph : la hauteur de pression, z : cote, =Vh: hauteur cinétique, : hauteur piézométrique. Le terme = Th représente la hauteur totale du fluide. Exemple d’utilisation du tube de venturi: Dans les sites industriels pour mesurer le débit d'un fluide dans une canalisation. III- Manipulation - Exécuter le programme Effet Venturi qui simule l’écoulement dans un tube de Venturi (Figure 2). - Sur ce programme, la première section, S1, (rétrécissement) a pour rayon R1=2.5cm. La section S2 a pour rayon R2. - Vous pouvez changer le débit (4<Q<7 103cm3/s) et la section de sortie (2.5 cm<R2< 6 cm) à l'aide de la souris (en sélectionnant et faisant glisser les points jaunes carrés) ou directement au clavier. 22 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 - Le fluide est supposé incompressible, non visqueux et de masse volumique égale à celle de l'eau (ρ=103 kg m-3). - On dispose de tubes de prise de pression au niveau des sections 1 et 2 et une troisième au centre de la section 2. - L'accélération de la pesanteur est g=9.81 m s-2 Figure 2: Aperçu du programme Effet Venturi 1- Prendre R2= 6 cm, faites varié le débit (Q) d’entrée de 4000 cm3/s à 7000 cm3/s, calculer la pression relative P1 et remplir le tableau suivant : Débit (cm3/s) 4000 4250 4500 4750 5000 5250 5500 5750 6000 6250 6500 6750 7000 Pression relative P1 (N/m2) 23 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 2- Tracez sur un papier millimétré la figure P1 = f(Q2). 3- Vérifier que: P1 = A Q2 + B (A et B paramètres que l'on déterminera (attention aux unités)). Interpréter la figure. 4- Déterminer théoriquement la vitesse V1 et la hauteur cinétique VH1 fonction de Q. 5- En déduire des questions précédentes l'expression de PH1 et TH1 en fonction de Q. Donner l’expression de Vh1, Ph1, et Th1 avant les questions 6- Déterminer enfin P2 (pression relative), V2, PH2, VH2 et TH2 en fonction de Q. 7- Vérifier expérimentalement la relation donnant vos résultats littéraux à l'aide du programme. Débit (cm3/s) 4000 4250 4500 4750 5000 5250 5500 5750 6000 6250 6500 6750 7000 P1 P2 VH2 Ph2 Th2 8- faite varier le rayon de la section de sortie entre 6 cm et 2.5 cm et notez l’influence de cette variation sur le calcul du débit et sur les autres variables en sortie du tube de Venturi (P2, VH2, PH2 , TH2). 9- Interpréter vos résultats 10- Conclure en citant quelques applications de l’effet Venturi. Lexique du TP Flow velocity pressure velocity head piezometric head radius total head water height Debit Vitesse Pression énergie cinétique par unité de poids hauteur piézométrique Rayon charge totale. hauteur d'eau 24 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 25 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 TP N°4: Ecoulement entre deux plaques planes parallèles: Ecoulement de Poiseuille – Ecoulement de Couette But du TP Le but de ce TP est de visualiser, à l’aide d’un logiciel, les solutions analytiques relatives aux écoulements entre deux plaques planes d’un liquide visqueux, incompressible et Newtonien. Les situations simulées correspondent aux de Poiseuille, de Couette et de Couette généralisé. I- Cadre théorique I. Ecoulement de Couette Plan Considérons l'écoulement bidimensionnel et établi entre deux plaques planes, fixes, et séparées par une distance d=h . Le système de coordonnées est centré entre les plaques, avec x1 la direction de l'écoulement et x2 la direction perpendiculaire a l'écoulement, voir (voir figure 1). Figure 1 On montre que la vitesse suivant la direction x ne dépond que de la coordonnée y et vérifie: (1) Pour un écoulement plan de Couette, on considére les hypothèses suivantes : - Plaque supérieure en mouvement de translation avec une vitesse égale à U. - Plaque inférieure fixe. En tenant compte des conditions aux limites, la relation (2) donne l’évolution du profil de vitesse: 26 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 (2) Avec U la vitesse de déplacement de la plaque mobile. II- Ecoulement de Poiseuille plan Considérons l'écoulement bidimensionnel et établi entre deux plaques planes, fixes, et séparées par une distance d=h. Le système de coordonnées est défini par la coordonée x1 (dans la direction de l'écoulement) et la coordonée x2 (la direction perpendiculaire àl'écoulement) voir la figure ci-dessous. Figure 2 L’équation de base est donnée par la relation (1): - On suppose que : les plaques sont au repos et que l’écoulement est engendré par le gradient de pression. - En tenant compte des conditions aux limites, la relation (3) donne l’évolution du profil de vitesse entre les deux plaques : (3) 27 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences III- Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 Ecoulement Plan de Couette généralisé Dans ce cas l’écoulement entre les deux plaques se fait selon les hypothèses: - plaque supérieure en mouvement de translation (U) - plaque inférieure fixe - le gradient de pression dp/dx2 ≠ 0 L’équation de base est toujours l’équation (1). En tenant compte des conditions aux limites de l’écoulement, on obtient l’expression de la vitesse entre les deux plaques: (4) Manipulation: A- Ecoulement de Couette A-1 Questions théoriques : 1- rappeler les hypothèses qui ont permis d’établir la relation (1) à partir des équations de Navier-Stokes. 2- dans le cas d’un écoulement de Couette, retrouver la relation (2) à partir de la relation (1) en utilisant les conditions aux limites du problème. A-2 Simulation à l’aide du logiciel 1Lancer le logiciel de calcul et ouvrir la simulation : Couette.mw (fichier sur le bureau de l’ordinateur). 28 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 2- Executer la ligne de commande ci-dessous qui donne l’évolution de la vitesse entre les deux plaques pour h=2m, U=1m/s : - Comment évolue la vitesse entre les deux plaques planes ? 3- Variation de la vitesse de la plaque mobile. La ligne de commande siuvante permet de visualiser l’effet de la variation de la vitesse de la plaque mobile sur le profil de vitesse entre les deux plaques. U varie de 1m/s à 10 m/s. > - Executer cette ligne de commande - Quel effet produit une augmentation de la vitesse de la plaque mobile sur le profil general de la vitesse? - Comparer avec la théorie et donner une interprétation. B- Ecoulement de Poiseille B-1 Questions théoriques : a- Definir les termes suivants: viscosité dynamique d’un fluide, viscosité cinématique. b- Quelle sont les hypothèses adoptées pour étudier l’écoulement de Poiseuille Plan ? c- Retrouver la relation (3) à partir de la relation (1) en utilisant les conditions aux limites relatives à lécoulement de Poiseuille plan. 29 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 d- Donner l’expression de la vitesse entre les deux plaques en fonction de la vitesse maximale. e- Donner l’expression du débit d’écoulement entre les deux plaque en fonction de la vitesse maximale. d- définir la vitesse moyenne Umoy et donner l’expression du débit en fonction Umoy. B-2 Simulation à l’aide du logiciel 1Lancer la simulation : Poiseuille.mw (fichier sur le bureau de l’ordinateur). 2- la ligne de commande ci-dessous visualise la relation de la vitesse u(x2) en fonction de Umax. executer cette ligne de commande, avec h=1.5m, Um=1m/s. > - Comment évolue la vitesse entre les deux plaques planes ?. - Comparer avec le profil obtenu dans le cas de l’écoulement de Couette. - Pour quelle valeur de x2 la vitesse u (x2) sur la courbe est-elle maximale ?. - Monter que ce résultat est conforme à la théorie. - à l’aide de la commande ci-dessus, faite varier la valeur de Umax (0.5, 1 et 1,5 m/s) et executer la commande. interpreter le résultat obtenu. > > 30 Université Ibn Tofail-Faculté Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP S –P2- Semestre 6 - Onn utilise un liquide dont la viscosité est le double. - determiner la variation de la vitesse maximale par rapport au cas initial -Visualiser l’influence de la variation de la viscosité sur le profil de la vitesse (modifier la ligne de comande précedente). - En reprenant la question théorique B-1-d, B d, exprimer la vitesse en fonction de la viscosité dynamique, du gradient de pression dp/dx2 et h. - Modifier la ligne de command precedente pour visualiser cette relation. - Etudier tudier l’effet de la variation de h sur le profil de vitesse (varier h entre 1 et 1.5 m). m) C- Ecoulement Plan de Couette ette généralisé C-1 Questions théoriques théorique : a- A partir de l’expression analystique de la vitesse dans le cas de l’écoulement plan de Couette generalié, monter que l’écoulement est une combinaison entre les deux écoulement de Poiseuille et de Couette. b- Selon le signe du gradient de pression, citer les différents cas d’écoulements possibles. c- si dp/dx2 est nul, quel type d’écoulement retrouve t-on t ?. d- On définit la variable P qui traduit l’influence relative des deux forces motrices du mouvement « pression longitudinale longitudinal et viscosité à la paroi mobile » par : (5) - Réécrire la relation (4) sous la forme suivante : . (6) C-2 Questions pratiques: pratiques a- la ligne de commande suivante visualise la relation (6), avec P=2.. Executer cette ligne de commande et comparer la figure obtenue avec celle des écoulements de Couette et de Poiseuille. > 31 Université Ibn Tofail-Faculté des Sciences Licence Fondamentale SMP –P2- Semestre 6 b- donner à P la valeur -1. Executer la ligne de commande et interpréter la courbe obtenue. - Execuer cette commande pour des valeurs de la variable P égales -2, -1, 0, 1, 1, 2. - Interpreter les figures obtenues. Donner des exemples d’application des types d’écoulements étudiés dans le cadre du TP4. NB : - Toutes les figures tracées à l’aide du logiciel doivent être reproduites dans le compte rendu. Réferences - Brizard M,. Megharfia et Verdier C (2005), Estimation of falling ball viscosity measurement uncertainties, Metrologia, 42, 1-6. - Char b. w., Geddes k.o., Gonnet g.h., Leong b.l., Monagan m.b., Watt, S., Maple V Langage References Manual; Maple V. http://www.maplesoft.com/ - Maslouhi (2013) Cours de mécanique des milieux continus. Faculté des Sciences, Université Ibn Tofail. - Noel J. et Lepretre J-B (2010) Soufflerie aérodynamique, Ecole Polytechnique de Montreal. - Philippe Kauffmann (2006), Aéromodélisme RC, Techniques et conception. http://techniquemodelisme.free.fr/. - Streeter V., Wylie B. and Bedford W (1998) Fluid mechanics, Nintth edition McGraw-Hill International Editions, Civil Engineering Series. 740 P. 32
