Suites réelles ou complexes

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
Suites réelles ou complexes
Maths SUP - Filière MPSI - Concours 2016
1. Généralités
Définition. On appelle suite d’éléments d’un ensemble E, toute application définie sur une partie de N de la forme
r n0 , `8 r et à valeurs dans E. Une suite est dite réelle si E “ R et complexe sur E “ C.
Remarque
Dans toute la suite du cours, on considère des suites définies sur N, et on laisse au lecteur le soin d’adapter les
définitions pour des suites définies seulement par à partir d’un certain rang.
Suite constante, stationnaire. Soit pun qnPN une suite réelle ou complexe.
— On dit que pun qnPN est constante s’il existe ↵ P C tel que : @n P N, un “ ↵.
— On dit que pun qnPN est stationnaire si pun qnPN est constante à partir d’un certain rang, i.e. s’il existe ↵ P C et
n0 P N tels que : @n P N, n • n0 , un “ ↵.
Suite réelle majorée, minorée, bornée. Soit pun qnPN une suite réelle.
— On dit que pun qnPN est majorée si : DM P R, @n P N, un § M .
— On dit que pun qnPN est minorée si : Dm P R, @n P N, un • m.
— On dit que pun qnPN est bornée si elle est à la fois minorée et majorée, i.e. si il existe m P R et M P R tels que :
@n P N, m § un § M .
— pun qnPN est bornée si, et seulement si : DM P R, |un | § M .
Suite complexe bornée. Soit pun qnPN une suite complexe. On dit que pun qnPN est bornée si : DM P R, @n P
N, un § M .
Monotonie. Soit pun qnPN une suite réelle.
— On dit que pun qnPN est croissante si : @n P N, un`1 • un .
— On dit que pun qnPN est strictement croissante si : @n P N, un`1 ° un .
— On dit que pun qnPN est décroissante si : @n P N, un`1 § un .
— On dit que pun qnPN est strictement décroissante si : @n P N, un`1 † un .
— On dit que pun qnPN est monotone si elle est croissante ou décroissante.
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Attention !
Toutes les suites réelles ne sont pas monotones. Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes, comme
c’est le cas, par exemple, de la suite pp´1qn qnPN .
Attention !
Compte tenu de l’absence de relation d’ordre total dans C, attention à ne pas parler de suite croissante,
décroissante, minorée ou majorée pour des suites complexes.
2. Convergence, divergence
Suite convergente. Soit pun qnPN une suite réelle. On dit que pun qnPN converge, ou que pun qnPN admet une limite
finie, s’il existe un réel ` tel que : @" ° 0, Dn0 P N, @n • n0 , |un ´ `| † ". Ce réel ` est alors unique, et on l’appelle
alors limite de la suite pun qnPN . On note alors : lim un “ `.
nÑ`8
Rappel de cours
Quels que soient les nombres a et b, la quantité |b ´ a| peut s’interpréter comme la distance entre a et b.
Remarque
Dans la définition de la convergence, plusieurs éléments sont à noter :
— le quantificateur devant le " est un @ et non un D,
— le rang n0 dépend du " choisi,
— l’inégalité portant sur le " est stricte. L’inégalité entre |un ´ `| et ", quant à elle, peut être large ou
stricte, les deux définitions étant équivalentes.
Cette définition s’étend au cas de suites à valeurs complexes, la notation |.| désignant alors le module et non la
valeur absolue.
Suite divergente. Soit pun qnPN une suite réelle ou complexe. On dit que pun qnPN diverge si pun qnPN n’est pas
convergente.
Limites infinies. Soit pun qnPN une suite réelle.
— On dit que pun qnPN diverge vers `8 si : @A ° 0, Dn0 P N, @n • n0 , un ° A.
— On dit que pun qnPN diverge vers ´8 si : @B † 0, Dn0 P N, @n • n0 , un † B.
Cas de divergence des suites réelles. Si pun qnPN est une suite réelle, pun qnPN diverge si l’un de ces trois cas se
présente :
— pun qnPN n’admet pas de limite,
— pun qnPN diverge vers `8,
— pun qnPN diverge vers ´8.
3. Théorèmes de convergence
Théorème de la limite monotone. Soit pun qnPN une suite réelle.
— Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
— Toute suite croissante et non majorée diverge vers `8.
— Toute suite croissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
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— Toute suite décroissante et non minorée diverge vers ´8.
Inégalités. Soient a et b deux réels et pun qnPN une suite convergente, de limite ` P R. Si a † ` † b, alors :
Dn0 P R, @n • n0 , a † un † b.
Propriété. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.
4. Suites extraites
Suites extraites : définition. Soient pun qnPN et pvn qnPN deux suites réelles ou complexes. On dit que pvn qnPN est
une suite extraite de pun qnPN s’il existe une application strictement croissante de N dans N telle que :
@n P N, vn “ u pnq .
Suites extraites : propriétés. Soit pun qnPN une suite réelle ou complexe.
— Si pun qnPN admet une limite ` P R, alors toutes les suites extraites de pun qnPN admettent cette même limite `
dans R (on rappelle que la notation R désigne R Y t`8u Y t´8u).
— Si les deux suites extraites pu2n qnPN et pu2n`1 qnPN admettent une même limite ` P R, alors la suite pun qnPN
admet également pour limite ` P R. Cette proposition se généralise au cas de plusieurs suites extraites, dont les
indices recouvrent la totalité de N, comme par exemple pu3n qnPN , pu3n`1 qnPN et pu3n`2 qnPN .
Théorème de Bolzano-Weierstrass (MPSI-MP uniquement). De toute suite réelle ou complexe bornée,
on peut extraire une suite convergente.
5. Suites liées
Théorème de prolongement des inégalités. Soient pun qnPN et pvn qnPN deux suites réelles telles que :
Dn0 P N, @n P N, n • n0 , un § vn . Si pun qnPN converge vers ` P R et pvn qnPN converge vers `1 P R, alors : ` § `1 .
Attention !
Le théorème de prolongement des inégalités (ou passage à la limite dans une inégalité) ne peut être appliqué
que si toutes les suites en présence convergent. A noter également : si les inégalités initiales sont strictes,
les inégalités finales, après passage à la limite, sont toujours larges ; en français : les passages à la limite
transforment les inégalités strictes en inégalités larges.
Théorème de l’encadrement. Soient pun qnPN , pvn qnPN et pwn qnPN trois suites réelles telles que :
Dn0 P N, @n P N, n • n0 , un § vn § wn . Si pun qnPN et pwn qnPN convergent vers une même limite `, alors pvn qnPN
converge, et : lim vn “ `.
nÑ`8
Suites adjacentes. Soient pun qnPN , pvn qnPN deux suites réelles. On dit que pun qnPN et pvn qnPN sont adjacentes si
l’une est croissante (ou croissante à partir d’un certain rang), l’autre est décroissante (ou décroissante à partir d’un
certain rang), et si la différence des deux est une suite de limite nulle. Si c’est par exemple pun qnPN qui est croissante,
on peut alors écrire que :
— @n P N, v0 § vn § un § u0 .
— pun qnPN et pvn qnPN convergent vers la même limite ` P R
— @n P N, v0 § vn § ` § un § u0 .
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6. Suites classiques
Suite arithmétique. Soit pun qn•p une suite réelle ou complexe. On dit que pun qn•p est arithmétique si il existe
r P C tel que : @n P N, n • p, un`1 “ un ` r. r est alors appelée la raison de pun qn•p , et on a alors :
— @n P N, n • p, un “ up ` pn ´ pqr.
n
∞
up ` un
— @n P N, n • p,
uk “ pn ´ p ` 1q
.
2
k“p
Suite géométrique. Soit pun qn•p une suite réelle ou complexe. On dit que pun qn•p est géométrique si il existe
q P R tel que : @n P N, n • p, un`1 “ qun . q est alors appelée la raison de pun qn•p , et on a alors :
— @n P N, un “ q n´p up .
— Si q ‰ 1 : @n P N, n • p,
n
∞
k“p
uk “ up
1 ´ q n´p`1
.
1´q
Suites arithmético-géométriques. Soit pun qn•p une suite réelle ou complexe. On dit que pun qn•p est arithméticogéométrique si il existe deux
ˆ constantes˙ a et b tels que : @n P N, n • p, un`1 “ aun ` b. On a alors, si a ‰ 1 :
b
b
@n P N, n • p, un “ an´p up ´
`
.
1´a
1´a
Suites réelles récurrentes linéaires d’ordre 2. Soit pun qnPN une suite réelle. On dit que pun qnPN est récurrente
linéaire d’ordre 2 si il existe deux nombres réels a et b tels que : @n P N, un`2 “ aun`1 ` bun . On appelle alors équation
caractéristique, l’équation pEq : x2 ´ ax ´ b “ 0. Trois cas se présentent alors, suivant le discriminant, noté , de cette
équation pEq :
— Si ° 0, alors pEq admet deux solutions réelles distinctes notées x1 etx2 . On peut alors écrire :
Dp , µq P R2 , @n P N, un “ px1 qn´p ` µpx2 qn .
— Si “ 0, alors pEq admet une racine double notée x0 . On peut alors écrire :
Dp , µq P R2 , @n P N, un “ p ` µnqpx0 qn .
— Si † 0, alors pEq admet deux racines complexes conjuguées notées ⇢ei✓ et ⇢e´i✓ . On peut alors écrire :
Dp , µq P R2 , @n P N, un “ ⇢n p cos n✓ ` µ sin n✓q.
Suites complexes récurrentes linéaires d’ordre 2. Soit pun qnPN une suite complexe. On dit que pun qnPN est
récurrente linéaire d’ordre 2 si il existe deux nombres complexes a et b tels que : @n P N, un`2 “ aun`1 ` bun .
On appelle alors équation caractéristique, l’équation pEq : x2 ´ ax ´ b “ 0. Deux cas se présentent alors, suivant le
discriminant, noté , de cette équation pEq :
— Si “ 0, alors pEq admet une racine double notée x0 . On peut alors écrire :
Dp , µq P R2 , @n P N, un “ p ` µnqpx0 qn .
— Si ‰ 0, alors pEq admet deux racines complexes conjuguées notées ⇢ei✓ et ⇢e´i✓ . On peut alors écrire :
Dp , µq P R2 , @n P N, un “ ⇢n p cos n✓ ` µ sin n✓q.
Point méthode
Pour déterminer la valeur des constantes et µ, il faut le plus souvent identifier les deux premiers termes de la
relation obtenue. Une autre possibilité, si l’on connaît déjà des informations sur la convergence ou la divergence
de la suite pun qnPN , est d’exploiter éventuellement un passage à la limite en faisant tendre n vers `8.
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7. Suites et fonctions
Les suites de la forme un “ f pnq. Soient f une fonction définie sur R` et pun qnPN une suite définie par :
@n P N, un “ f pnq.
— Si la fonction f est croissante sur R` , alors la suite pun qnPN est croissante.
— Si la fonction f est décroissante sur R` , alors la suite pun qnPN est décroissante.
— Si lim f pxq “ ` P R, alors la suite pun qnPN admet aussi pour limite ` P R.
xÑ`8
Les suites de la forme un`1 “ f pun q : recherche de monotonie. Soient I un intervalle de R non réduit à
un point, f une fonction définie au moins sur I et telle que : @x P I, f pxq P I, et pun qnPN une suite définie par :
@n P N, un`1 “ f pun q. Deux cas se présentent :
— Si la fonction f est croissante sur I, alors la suite pun qnPN est monotone, plus précisément : croissante si u0 § u1
et décroissante si u1 § u0 .
— Si la fonction f est décroissante sur I, alors les deux suites extraites pu2n qnPN et pu2n`1 qnPN sont monotones,
de sens de variation contraires. Deux sous-cas se présentent alors :
1) Si u0 † u2 , la suite pu2n qnPN est croissante , et la suite pu2n`1 qnPN est décroissante.
2) Si u0 ° u2 , la suite pu2n qnPN est décroissante , et la suite pu2n`1 qnPN est croissante.
Les suites de la forme un`1 “ f pun q : recherche de limite. Soient I un intervalle de R non réduit à un
point, f une fonction définie au moins sur I et telle que : @x P I, f pxq P I, et pun qnPN une suite définie par :
@n P N, un`1 “ f pun q.
— Si la suite pun qnPN converge vers `, et si f est continue en `, alors : ` “ f p`q.
— Plus généralement, si la suite pun qnPN admet une limite ↵ P R, et si la fonction f admet en ↵ une limite ` P R,
alors : lim un “ `.
nÑ`8
Remarque
On rappelle aussi qu’avant de démarrer l’étude théorique d’une suite ainsi définie, il est bon de commencer par
faire un schéma permettant de représenter les termes de la suite pun qnPN .
Attention !
Dans les études ci-dessus, la fonction f ne doit pas dépendre de la variable n. Si la fonction f dépend de n, les
résultats ci-dessus ne sont absolument plus valables, et il faut se ramener à la définition d’une suite monotone
pour pouvoir conclure. De même, on rappelle que dans ce cadre, on ne peut faire de composition de limites
que si la fonction f est fixée, et qu’il serait illicite de le faire directement avec une fonction qui dépendrait de
la variable n.
Point méthode
Un plan d’étude détaillé des suites vérifiant une relation de la forme un`1 “ f pun q est disponible dans la Fiche
méthodologique du chapitre Suites. Le cas classique où la fonction f est contractante (k-lipschitzienne, avec
0 † k † 1 (voir le Polycopié Fonctions) est un cas qu’il peut être bon de connaître et qui est est détaillé
dans la Fiche méthodologique.
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8. Comparaisons : suites négligeables, équivalentes, dominées
Suites négligeables Soient pun qnPN et pvn qnPN deux suites réelles. On dit que la suite pun qnPN est négligeable
devant pvn qnPN , et l’on note un “ opvn q, si il existe n0 P N et une suite p"n qnPN vérifiant lim "n “ 0 tels que pour
nÑ`8
tout n • n0 : un “ "n vn .
Caractérisation lorsque u et v ne s’annulent pas. Si pun qnPN et pvn qnPN ne s’annulent
pas à partir d’un
ˆ ˙
un
certain rang n0 , alors pun qnPN est négligeable devant pvn qnPN si, et seulement si, la suite
converge vers 0.
vn n•n0
Croissances comparées usuelles. On peut écrire :
?
↵
— @↵ ° 0, @ ° 0, pln nq “ opn q. En particulier : pln nq “ op nq.
— @↵ ° 0, @ ° 0, n↵ “ opn q.
— @↵ P R` , @q ° 1, n↵ “ opq n q.
Suites équivalentes. Soient pun qnPN et pvn qnPN deux suites réelles. On dit que les suites pun qnPN et pvn qnPN sont
équivalentes, et l’on note un „ vn , si il existe n0 P N et une suite phn qnPN vérifiant lim hn “ 1 tels que pour tout
n • n 0 : u n “ hn v n .
nÑ`8
nÑ`8
Caractérisation lorsque u et v ne s’annulent pas. Si pun qnPN et pvn qnPN neˆ s’annulent
pas à partir d’un
˙
un
certain rang n0 , alors pun qnPN et pvn qnPN sont équivalentes si, et seulement si, la suite
converge vers 1.
vn n•n0
Equivalences et limites. Si deux suites sont équivalentes, et si l’une d’elles admet une limite, alors l’autre admet
également une limite, identique à celle de la première. Dit autrement : deux suites équivalentes ont la même limite, si
celle-ci existe.
Conservation des équivalents par certaines opérations
— Si un
— Si un
— Si un
„
vn et si wn
„
vn , et si pun qnPN et pvn qnPN ne s’annulent pas à partir d’un certain rang, alors :
„
vn , alors pour tout p P N : upn
nÑ`8
nÑ`8
nÑ`8
„
nÑ`8
— Plus généralement, si un
„
tn , alors : un vn
nÑ`8
„
nÑ`8
w n tn .
„ vnp .
nÑ`8
vn , alors (sous réserve d’existence) : pour tout ↵ ° 0, u↵
n
1
un
„
nÑ`8
1
.
vn
„ vn↵
nÑ`8
Attention !
S’il est vrai que les équivalents sont conservés par produit, quotient, passage à une puissance constante, il est
en revanche faux qu’ils le soient par application d’une fonction f quelconque : si un „ vn et si f est une
fonction définie comme il se doit, on n’a pas nécessairement f pun q
„
nÑ`8
nÑ`8
f pvn q. De même, s’il est exact que le
passage à une puissance constante conserve les équivalents, ce n’est pas le cas pour le passage à une puissance
variable : ainsi, si un „ vn , on n’a pas toujours unn „ vnn . Enfin, en règle générale, les équivalents ne sont
nÑ`8
pas conservés par sommation.
nÑ`8
Equivalents usuels. Soit pun qnPN une suite réelle de limite nulle. On a alors :
— lnp1 ` un q
—
—
—
—
„ un ,
nÑ`8
e ´ 1 „ un ,
nÑ`8
p1 ` un q↵ ´ 1 „ ↵un ,
nÑ`8
sin un „ un ,
`
nÑ 8
u2
cos un ´ 1 „ ´ n .
nÑ`8
2
un
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