ARITHMETIQUE

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Préparation brevet
Fiche n° 3
QUELQUES RAPPELS ET CONSEILS
Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Pour calculer un PGCD on utilise souvent l’algorithme d’Euclide.
Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
a
en une seule simplification, on calcule le PGCD (a ; b)
b
puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD
Pour rendre irréductible une fraction
Exercice 1 :
1. Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.
a
b
reste
a=bxq+r
675
375
300
675 = 375 x 1 + 300
375
300
75
375 = 300 x 1 +75
300
75
0
300 = 75 x 4 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (675 ; 375) = 75
675
sous forme irréductible.
375
675 75 9 9
=
=
375 75 5 5
2. Ecrire la fraction
Exercice 2 :
1. Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
682 et 352 sont pairs, donc divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
2. Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.
a
b
reste
682
352
330
352
330
22
330
22
0
3. Rendre irréductible la fraction
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (682 ; 352) = 22
682
en indiquant clairement la méthode utilisée.
352
682 22 31 31
=
=
352 22 16 16
Préparation au brevet – A faire et savoir refaire – Pascal DORR Collège de Terre-Sainte
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Préparation brevet
Fiche n° 3
Exercice 3 :
1. Trouver le PGDC de 6 209 et 4 435 en détaillant la méthode.
a
b
reste
6209
4435
1774
4435
1774
887
1774
887
0
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (6209 ; 4435) = 887
2. En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction
4435
n'est pas irréductible.
6209
Les nombres 4435 et 60209 sont divisbles par 887, donc elle n’est pas irréductible.
3. Donner la fraction irréductible égale à
4435
6209
4435 887 5 5
=
=
6209 887 7 7
Exercice 4 :
Un pâtissier dispose de 411 framboises et 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces
fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.
1. Calculer le nombre de tartelettes.
Ce nombre doit être un diviseur commun des 411 framboises et des 685 fraises. Pour obtenir le maximum de
tartelettes, il faut donc calculer le PGCD de ces deux nombres.
On utilise l’algorithme d’Euclide :
a
b
reste
685
411
274
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (685 ; 411) = 137
Ce patissier va donc obtenir 137 tartelettes.
411
274
137
274
137
0
2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.
411
= 3
137
Donc chaque tartelette comportera 3 framboises et 5 fraises.
685
= 5
137
Préparation au brevet – A faire et savoir refaire – Pascal DORR Collège de Terre-Sainte
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Préparation brevet
Fiche n° 3
Exercice 5 :
1. Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
a
b
reste
210
135
75
135
75
60
75
60
15
60
15
0
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (135 ; 210) = 15
2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier
de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand
possible.
a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et
135 cm de largeur.
Cette longueur doit être un nombre entier, le plus grand possible, qui divise la hauteur et la largeur du mur,
c’est donc le PGCD (135 ; 210) qui vaut 15
b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
135
=9
15
210
= 14 15
Sur la largeur, on placera 9 carreaux et sur la hauteur 14 carreaux ; donc pour carreler le
mur il faudra 9 x 14 = 126 carreaux
Exercice 6 :
1. Les nombres 682 et 496 sont–ils premiers entre eux ? Justifier.
682 et 496 sont pairs, donc divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
2. Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 682 et 496.
a
b
reste
682
496
186
496
186
124
186
124
62
124
62
0
3. Simplifier la fraction
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (682 ; 496) = 62
682
pour la rendre irréductible, en indiquant la méthode.
496
682 62 11 11
=
=
8
496
62 8
Préparation au brevet – A faire et savoir refaire – Pascal DORR Collège de Terre-Sainte