2012-2013 ATELIER PEDAGOGIQUE ~Mathématiques~ La suite est croissante et majorée. Mais si on note P l'ensemble des nombres premiers (qui est infini!) que l'on écrit alors la suite n'est pas majorée. Elle tend vers l'infini quand n tend vers l'infini. (C'est un théorème de Leonhard Euler. Un référence est le livre "Découvrir l'arithmétique" de Pierre Damphousse (ed. Ellipses, 2000).) CHARRON ALEXIS CHAUVIN FREDERIC 1 BODIN VLADISLAV "La mathématique est la reine des Sciences, mais la théorie des nombres est la reine des sciences mathématiques." - Carl-Friedrich GAUSS- 2 SOMMAIRE I - Généralités sur les nombres premiers ................................................................................................4 1. 2. 3. 4. 5. 6. Définition Test de primalité Nombres premiers particuliers Théorèmes fondamentaux Fonction π Curiosités des nombres premiers II - L'infinitude des nombres premiers ...................................................................................................... 1. Démonstration d'Euclide 2. Démonstration d'Euler 3. En utilisant la fonction π III - Somme des inverses des carrés .......................................................................................................... 1. Premières valeurs 2. croissante 3. majorée 4. croissante et majorée donc elle converge vers l 5. Calcul de l IV - Somme des inverses ............................................................................................................................ 1. Premières valeurs 2. croissante 3. diverge vers V - Fonction ζ de Riemann ......................................................................................................................... 1. 2. 3. 4. 5. 6. Définie sur La suite (ζ(s)) décroissante (ζ(s)) minorée Lien avec les nombres premiers Extension dans ℤ\{1} Extension dans ℂ\{1} VI - Somme des inverses des nombres premiers ...................................................................................... 1. 2. croissante diverge VII - Biographie .......................................................................................................................................... 3 I/ Généralités sur les nombres premiers Dans toute cette partie nous allons travailler dans . 1) Définition Définition Soit est un nombre premier si et seulement si il admet exactement deux diviseurs entiers positifs distincts (qui sont alors 1 et lui-même). Sinon est dit composé. On note usuellement l'ensemble des nombres premiers. Remarque : par convention, 1 (un seul diviseur) et 0 (infinité de diviseurs) ne sont ni premiers ni composés (pour assurer le théorème fondamental de l'arithmétique TFA). 2) Test de primalité Exemple du Crible d'Eratosthène pour les nombres premiers de 2 à 100 : On répertorie les nombres de 0 à 100. On supprime 0 et 1 qui ne sont pas premiers. 2 est premier et on élimine tous les multiples de 2 (en rouge) qui sont de fait composés. De même avec 3 (en bleu), 5 (en vert), 7 (en jaune). Cela suffit car le prochain nombre premier est 11 et . Il y a donc 25 nombres entre 0 et 100 4 "Merveilleux nombres premiers" page 199. On constate que la densité des nombres premiers diminue lorsque augmente. En effet, il a alors plus de diviseurs potentiels qui ferait de lui un nombre composé. On peut alors se demander si au delà d'un certain rang tout nombre aura forcément un diviseur donc qu'il y aura un nombre fini de nombres premiers. Théorème de raréfaction de Legendre "l'ensemble des nombres premiers admet une densité limite nulle" Différents algorithmes pour déterminer si un nombre n est premier ou non Un premier algorithme basique consiste à essayer de diviser n par tous les nombres strictement inférieurs. S'il n'est divisible par aucun d'entre eux il sera premier. En java : 5 import java.util.Scanner; public class nbpremier { public static boolean estpremier (int n) { if (n==1) return false; for (int i=2;i<=n-1;i++) { if (n%i==0) return false; } return true; } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.print("Entrez un nombre entier n>1 : "); int n = sc.nextInt(); while (n<=1) { System.out.print("Entrez un nombre entier n>1 : "); n = sc.nextInt(); } if (estpremier(n)==true) System.out.print(n+" est premier !"); else System.out.println(n+" n'est pas premier !"); } } En Maple, on utilisera la fonction isprime pour savoir si un nombre est premier ou non. Théorème Tous les nombres premiers saufs 2 et 3 sont de la forme 6n+1 ou 6n-1. Démonstration Soit Si alors donc p n'est pas premier. Si , alors , donc p n'est pas premier. Donc . La réciproque est fausse. Contre-exemple : et 25 n'est pas premier. Programme Java pour la primalité d'un nombre par 6n+1, 6n-1, 2 et 3. Théorème Soit , si est composé, alors possède un diviseur Démonstration 6 tel que est composé On suppose quitte à permuter les termes. Conséquence : n est composé il possède un facteur premier On peut alors se contenter de diviser jusqu'à sa racine de manière à limiter les calculs (on referait les mêmes dans l'autre sens). En java : import java.util.*; public class nbpremier { public static boolean estpremier (int n) { if (n==1) return false; for (int i=2;i<=(Math.rint(Math.sqrt(n))+1);i++) { if (n%i==0) return false; } return true; } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.print("Entrez un nombre entier n>1 : "); int n = sc.nextInt(); while (n<=1) { System.out.print("Entrez un nombre entier n>1 : "); n = sc.nextInt(); } if (estpremier(n)==true) System.out.print(n+" est premier !"); else System.out.println(n+" n'est pas premier !"); } } Finalement, il suffit de diviser p par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine. En effet, rien ne servirait d'essayer de le diviser par des nombres composés. En java : Néanmoins, malgré ces améliorations, le temps de calcul pour tester de très grands nombres reste très grand et nécessite des supercalculateurs. A ce jour, août 2008, le plus grand nombre premier connu est 243112609 - 1 qui comporte prés de 13 millions de chiffres (il faudrait 150 jours pour l'écrire à la main et 8000 pages). 7 3) Nombres premiers particuliers Certaines familles de nombres contiennent un grand nombre de nombres premiers. Cependant il est impossible de répertorier tous les nombres premiers dans une même famille ou que toute la famille contienne uniquement les nombres premiers. Nombre de Pythagore Exemple : 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ... Nombre de Mersenne Exemple : 3, 7, 31, 127... On obtient ainsi rapidement de grand nombres premiers. Historiquement on utilise ces nombres pour déterminer les plus grand nombres premiers (comme celui connu à ce jour). Nombre de Fermat Exemple : 3, 5, 17, 257... Fermat avait conjecturé que tous ces nombres étaient premiers mais Euler a trouvé un contre-exemple : . D'ailleurs, tout ces nombres sont composé jusqu'à 4) Théorèmes fondamentaux Lemme d'Euclide Démonstration Par la contraposée, Le théorème de Gauss en est une généralisation (le diviseur n'est pas forcément premier). Le théorème de Gauss Démonstration ℤ ℤ ℤ Théorème 8 Tout entier admet au moins un diviseur premier, parfois lui-même. Démonstration On note . car . est une partie non vide de donc il admet un plus petit élément qui est un diviseur de . On montre par l'absurde que ce nombre est premier. Si avec alors et . Or puisque par définition, est le plus petit des diviseurs : impossible. Donc est premier. Théorème Fondamental de l'Arithmétique Tout entier naturel, peut se décomposer, et de façon unique, comme produit de nombres premiers, à l'ordre près des facteurs. Démonstration * EXISTENCE : Par récurrence forte sur n : Si , n est premier : Hypothèse de récurrence : on suppose que tout entier est un produit de nombres premiers. Au rang ou bien est premier : terminé, ou bien admet un diviseur premier (th. précédent) tel que et donc . i.e donc est un produit de nombres premiers. Donc est un produit de nombres premiers. où les sont des nombres premiers distincts 2 à 2. et les des entiers . * UNICITE Soit , une autre décomposition. est premier et divise donc divise . étant premier, il divise l'un des facteurs (lemme d'Euclide) quitte à changer l'ordre des termes. divise or et sont premiers donc . On simplifie par et on recommence donc et . Si alors or donc . De même on recomence avec tous les et les 9 . La décomposition est alors unique. Remarque : le fait que 1 ne soit pas premier permet alors d'assurer la décomposition unique. Programme Java qui donne les facteurs premiers d'un nombre : import java.util.Scanner; public class décompo { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.print("Entrez un nombre entier n>1 : "); int n = sc.nextInt(); while (n>1) { for (int i=2;i<=n;i++) { if (n%i==0) { System.out.println(i); n=n/i; i=n+1; } } } } } 5) Fonction π On définit la fonction π : la fonction de compte des nombres premiers où est l'ensemble des nombres premiers 10 Remarque : π n'est pas continue sur (saut à chaque nombre premier) cependant lorsque augmente, la courbe se "lisse" et semble être régulière. π(x) x 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 100 000 000 000 1 000 000 000 000 4 25 168 1 229 9 592 78 498 664 579 5 761 455 50 847 534 455 052 511 4 118 054 813 37 607 912 018 Gauss observe que la proportion de nombres premiers plus petits qu’un entier n est environ inversement proportionnelle au nombre de chiffres de . 11 Il conjecture alors que Plus précisément : (logarithme intégral) Ce résultat a été démontré par La Vallée Poussin et Hadamard en 1896 sous le nom de théorème des nombres premiers. Théorème de Legendre La densité limite des nombres premiers est limite i.e si n augmente, la probabilité de trouver un nombre premier est nulle. Démonstration Une fois établi le théorème des nombres premiers : i.e la probabilité de présence d'un nombre premier devient nulle lorsque 12 . 6) Curiosité des nombres premiers Nombres premiers jumeaux On appelle nombres premiers jumeaux deux nombres premiers consécutifs séparés de deux unités. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Une conjecture, non démontrée à ce jour affirme que les nombres jumeaux sont en quantité infini. Les repunits Ce sont les nombres premiers de la forme 11....1 (repeated unit) , donc de la forme . On peut considérer les nombres premiers de Mersenne (I/3.) comme des nombres repunits de base 2. Exemple : 11, 11...1 (23 fois le chiffre 1). Le plus grand connu à ce jour est 11...1 (1031 fois le chiffre 1). Nombres premiers palindromes Comme en français, les nombres premiers qui se lisent de la même façon dans les deux sens. Exemple : 11, 101, 131, 151,..., 16061... Nombres premiers permutables 13 Un nombre premier est dit permutable si quelque soit l'ordre que l'on donne à ses chiffres, on obtient un nombre premier (généralisation des palindromes). Exemple : 113 ≡ 131≡ 311. 199 ≡ 919 ≡ 991. Nombres premiers par raccourcissement à droite Il reste premier quand on en coupe un nombre quelconque de chiffres à la fin. Exemple : 73939 7393 739 73 7 Nombres premiers par raccourcissement à gauche De même dans l'autre sens. Exemple : 129137 9137 137 37 7 Remarque : beaucoup de conjectures sur les nombres premiers restent à ce jour non démontrées. La conjecture de Goldbach : "tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers" La conjecture de De Polignac : "tout entier naturel pair peut s'écrire comme différence de deux nombres premiers consécutifs et cela d'une infinité de manières" La conjecture de Legendre : "il existe toujours au moins un nombre premier entre n² et (n+1)²" 14 II/ L'INFINITUDE DES NOMBRES PREMIERS 1) Démonstration d'Euclide Par l'absurde : On suppose qu'il existe un ensemble fini de nombres premiers . Si on forme alors il n'est divisible par aucun des , donc ce nombre est premier. Donc on a trouvé un nouveau nombre premier i.e L'ensemble des nombres premiers est infini. Remarque : si est la liste des premiers nombres premiers, alors 1 2 n'est pas nécessairement premier car il peut être divisible par où > . Exemple : Cette méthode ne donne donc pas un nombre premier connaissant une liste de nombres premiers. 2) Démonstration d'Euler Démonstration : car tout nombre premier s'écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers (Théorème fondamental de l'arithmétique) car 15 Conséquence : cf. Démonstration page /// donc : i.e : or car 1 n'est pas un nombre premier, i.e qu'il y a une infinitude de termes tous plus petits les uns que les autres donc une infinitude de nombres premiers. 3) En utilisant la fonction π Si on sait que : donc : En prenant un n suffisamment grand on arrivera à trouver un ensemble de nombres premiers (qui lui seront inférieurs) aussi important que l'on veut i.e l'ensemble des nombres premiers est infini. 16 III/ Somme des inverses des carrés. 1) Premières valeurs Ci dessous un programme Maple qui calcule la somme au rang voulu : Exemple : donne : ; On trace ainsi la suite : En vert la suite et en rouge la limite de la suite. 17 ; ; 2) croissante est strictement croissante sur 3) . est majorée //Séparation du diviseur// On multiplie par k et on fait tendre k vers 0 d'où . De même, on multiplie par et on fait tendre k vers 1 d'où Finalement, En sommant 18 . On pose 4) Soit est croissante et majorée donc elle converge vers l. A est non vide A est majorée par 2 donc il admet une borne supérieure l (théorème de la borne sup). (Borne supérieure = plus petit des majorants) (Sn) croissante : i.e Finalement, i.e 5) Calcul de l Le calcul de l est connu sous le nom du problème de Bale. Il a été posé par Mengoli en 1644 et résolu par Euler en 1735 (originaire de Bale) bien que peu rigoureuse. Qui fût son premier fait d'arme. Démonstration Un développement limité (DL) d'ordre n est l'approximation d'une fonction par un polynôme de degré n. Formule de Taylor-Young : En calculant les dérivées successives de sinus en 0 (facile à calculer : cyclique) : 19 Finalement, Ou en partant d'un DL d'exponentielle : Les puissances de 'i' sont cycliques ( puissances impaires, alternées d'un signe '-'. Finalement, on retrouve la formule. or les racines de En supposant que sont les , on ne garde donc que les ℤ s'écrit comme un polynôme infini : ℤ ℤ En regroupant Si on identifie les termes en x² 20 Finalement, En multipliant par -π² nous donnerait les valeurs des ζ(k) (voir Remarque : L'identification des termes en partie V). Variante : on peut aussi partir d'un DL de cosinus en utilisant la forme de Taylor-Young, en prenant ou encore en dérivant le DL de une fois celui-ci établi : or ℤ En supposant que cosinus s'écrit comme un polynôme de degré infini : ℤ En identifiant les termes en On pose : 21 22 IV/ Somme des inverses : H n On pose : 1) Premières valeurs Comme pour la partie précédente, en Maple on a : Exemple : donne : ; On trace ainsi la suite : 23 ; En vert la suite 2) Donc et en rouge la fonction qui est un équivalent. croissante est strictement croissante. 3) divergente car Remarque : Il est intéressant de constater que diverge malgré des termes qui tendent vers 0. Soit un comportement différent de la série précédente qui semble proche. Par l'approximation de l'intégrale on a : 24 or, d'où diverge selon . On constate que croit selon . Euler a montré en 1781 que ( = où est la constante d'Euler-Mascheroni et ≈ Aujourd'hui, on ne sait pas encore si est rationnel ou non (Si elle était rationnelle, le dénominateur posséderait plus de 242 080 chiffres), ni même transcendant. Remarque : un nombre est dit transcendant si il n'est pas solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers , sinon il est algébrique . Finalement 25 Première démonstration dû à Nicolas Oresme (1323-1382) (précédente en base 2) 26 V/ Fonction ζ de Riemann 1) Premières valeurs En effet ζ n'est pas définie en 1 : diverge. Pour toutes les valeurs de façon évidente. et on a montré que , ne serait pas non plus définit car les suites divergent de On a montré que (dans III) : En repartant de l'expression de on peut déterminer les valeurs des C'est ce que l'on a fait pour . Exemple : pour : , en identifiant les termes en , on identifie les termes en et 27 . . Finalement : De même pour , on trouverait Plus généralement, pour la valeur de , on aurait des sommes multiples d'ordre k. On remarque que les sont des multiples de . Euler a montré que où les sont les nombres de Bernoulli : Exemple : Remarque : tous les ζ(k) sont les multiples de donc irrationnels et transcendants. Pour les valeurs impaires on ne peut pas les exprimer sous forme exacte. Exemple : (Du nom de celui qui a démontré que cette valeur était irrationnelle). Pour les autres valeurs impaires, on ne sait pas si elles sont irrationnelles ou transcendantes mais on conjecture ces résultats. 2) décroissante sur \{0,1} 28 Donc Donc On additionne des termes tous négatifs donc : est décroissante. 3) minorée Comme On a que 1 est un minorant de Graphe de et comme est décroissante, converge. : Plus généralement, on peut définir ζ : ℂ , c'est à dire sur un demi-plan complexe, de manière à ce que les suites associées convergent. 4) Lien avec les nombres premiers Grâce à la formule d'Euler : 29 Il y a donc un lien entre la fonction ζ de Riemann et les nombres premiers. On peut prolonger analytiquement ζ(s) sur l'ensemble des complexes. (cf. 6) cidessous). 5) Extension dans ℤ \ {1} On peut prolonger analytiquement ζ dans ℤ \ {1}. où les sont les nombres de Bernoulli. Exemple : car tous les nombres de Bernoulli impairs >1 sont nuls. Ce sont les 0 dits triviaux de la fonction ζ. Pour les valeurs impaires Exemple : ; 6) Extension dans ℂ \ {1} On peut également prolonger analytiquement ζ sur ℂ \ {1}. On obtient que la fonction ζ admet une infinité de 0 dans la bande : ce sont les 0 non triviaux. L'hypothèse de Riemann conjecture que tous ces 0 ont pour partie réelle . Toutes les valeurs trouvées à ce jour semblent confirmer ce résultat (1.5 milliards de 0 trouvés). Mais il n'est pas démontré à ce jour : il fait l'objet d'un des sept problèmes du millénaire et d'un des 23 problèmes de Hilbert. 30 VI / Somme des inverses des nombres premiers On pose : où les Donc : 1) sont les nombres premiers. est croissante et est strictement croissante sur 2) diverge La formule du produit eulérien nous donne : on en prend le log : or Ici en 0 lorsque d'où : 31 or d'où 32