Mr :Khammour.K 4 Sc-exp Pour tout nombre complexe z, on pose f(z)=z

Mr :Khammour.K
Révision : Complexe +Suite
4émeSc-exp
Exercice n°1 :
Pour tout nombre complexe z, on pose f(z)=z3-(5+6i)z2+(18i-5)z+13.
1) a) Montrer que l’équation f(z)=0 possède une solution imaginaire pur que l’on déterminera.
b) Déterminer les nombres complexes a et b tels que pour tout z de C ; f(z)=(z-i)(z+az+b)
c) Résoudre dans C l’équation f(z)=0
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, , ) . On considère les points A, B,
C d’affixes respective z0=i , z1=2+3i et z2=3+2i
a) Montrer que
b) En déduire la nature du triangle ABC
3) a) Résoudre l’équation z3=1.
b) Calculer (2+i)3 ; En déduire les solutions dans C de z3=2+11i
Exercice n°2 :
Le plan complexe étant muni d’un repère orthonormé direct (O, , ) . On considère les points A et B
d’affixes respectives 1 et (-i) .A tout point M d’affixe z ; On associe le point M’ d’affixe z’ ; tel que :
1) Déterminer l’ensemble (E) des points M tel que z’ est réel
2) Déterminer l’ensemble (F) des points M tel que |z’|=1
3) a) Montrer que pour tout z
, on a z’+i=
b) Montrer alors que BM BM’=
c) On déduire que si M C(B,1) alors le point M’ appartient à un cercle C’ que l’on précisera
.
Exercice n°3 :
U0=1
On considére la suite définie sur ℕ par :
Un+1= Un +1
1) a) Montrer que pour tout n de ℕ
0<Un<2
b) Montrer que U est une suite croissante .
c) En déduire que Un est convergente et calculer sa limite .
2)a) Montrer que pour tout n de ℕ 2-Un+1< (2-Un)
b) Montrer que pour tout n de ℕ 2-Un<2
c) Retrouver alors la limite de Un
3) Pour tout n de ℕ on pose
a) Montrer que
=
est croissante
b) Montrer que pour tout n de ℕ
c) On Déduire que
n’est pas majoré .
Exercice n°4 :
U1=
On considère la suite définie sur ℕ* par :
Un+1=
Un +
1) a) Montrer que Un est majoré par 2.
b) Montrer que Un est croissante
c) En déduire que Un est convergente et calculer sa limite .
2) a)Montrer que pour tout n de ℕ* |Un+1-2|
|Un-2|
b) En déduire que pour tout n de ℕ* |Un-2|<
3) Retrouver alors
Exercice n°5 :
I.
Résoudre dans C les équations suivantes :
6
1) Z =1
2) Z4=1+i
3) Z3=i
II.
Trouver les racines quatrième des nombres complexes suivantes
1)
2) -2+2i
3)