Angle inscrit et angle au centre – Géométrie Exercices corrigés

Angle inscrit et angle au centre – Géométrie
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : angle inscrit dans un cercle (reconnaissance d’un angle inscrit)
Exercice 2 : arc de cercle intercepté par un angle inscrit
Exercice 3 : angles interceptant un même arc de cercle
Exercice 4 : propriétés de l’angle inscrit (angles inscrits interceptant le même arc de cercle)
Exercice 5 : angle au centre (représentation d’un angle au centre)
Exercice 6 : relation entre angle inscrit et angle au centre
Exercice 7 : bissectrice d’un angle inscrit
Exercice 8 : triangle rectangle isocèle inscrit dans un cercle et angle au centre de 90°
Exercice 9 : reconnaissance d’un polygone régulier
Exercice 10 : construction d’un dodécagone régulier
Exercice 11 : aire d’un octogone régulier connaissant le rayon du cercle circonscrit
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1
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Dans chacun des quatre cas suivants, préciser si l’angle
est inscrit ou non dans le cercle.
1)
2)
3)
4)
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
Rappel : Angle inscrit
Dans un cercle, un angle inscrit est un angle :
 dont le sommet est un point du cercle
 dont les côtés coupent le cercle en des points distincts
du sommet
Dans l’exemple ci-contre, l’angle
le cercle de centre
est un angle inscrit dans
. En effet, le sommet
appartient au cercle et les côtés
respectivement le cercle
et
et
de l’angle
de l’angle coupent
, points distincts du sommet.
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2
1)
Le point
(sommet de l’angle
Par conséquent, l’angle
) n’appartient pas au cercle.
n’est pas inscrit dans le cercle.
2)
Le point
De plus,
(sommet de l’angle
et
) appartient au cercle.
désignent deux cordes du cercle.
Par conséquent, l’angle
est inscrit dans le cercle.
Rappel : Une corde d'un cercle est un segment qui joint deux
points de ce cercle.
3)
Le point
(sommet de l’angle
) est situé sur le cercle.
De plus, les côtés
et
de l’angle coupent le cercle en
deux points distincts du sommet.
Par conséquent, l’angle
est inscrit dans le cercle.
4)
Le point
De plus,
Or, le côté
sommet .
(sommet de l’angle
) est situé sur le cercle.
est une corde du cercle.
ne coupe pas le cercle en un point distinct du
Par conséquent, l’angle
n’est pas inscrit dans le cercle.
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3
Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Dans chacun des quatre cas suivants, préciser si le point
inscrit
.
appartient à l’arc de cercle intercepté par l’angle
1)
2)
3)
4)
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
1)
L’angle
Or,
intercepte le petit arc de cercle bleu
n’appartient pas à ce petit arc de cercle
.
.
Par conséquent, n’appartient pas à l’arc de cercle intercepté
par l’angle
.
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4
2)
L’angle
De plus,
intercepte le petit arc de cercle bleu
appartient à ce petit arc de cercle
Par conséquent,
l’angle
.
.
.
appartient à l’arc de cercle intercepté par
3)
L’angle
De plus,
intercepte le grand arc de cercle bleu
appartient à ce grand arc de cercle
Par conséquent,
l’angle
.
.
.
appartient à l’arc de cercle intercepté par
Remarque : Un petit arc de cercle se note
arc de cercle se note
.
alors qu’un grand
4)
L’angle
est bien un angle inscrit car est situé sur le cercle
et les côtés
et
coupent le cercle en deux points
distincts, à savoir respectivement en
et en . L’angle
intercepte donc le petit arc de cercle bleu
.
De plus,
appartient à ce petit arc de cercle
Par conséquent,
l’angle
.
.
appartient à l’arc de cercle intercepté par
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5
Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
Pour chacun des quatre cercles ci-dessous, préciser si les angles vert et bleu interceptent le même arc de cercle.
1)
2)
3)
4)
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
1)
L’angle vert
intercepte le
grand arc de cercle vert
.
L’angle bleu
intercepte le
grand arc de cercle bleu
.
Les angles
et
interceptent donc le même arc
de cercle.
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6
2)
L’angle vert
intercepte le
grand arc de cercle vert
contenant le point .
L’angle bleu
intercepte le
grand arc de cercle bleu
ne
contenant pas le point .
Les angles
et
n’interceptent donc pas
même arc de cercle.
le
3)
L’angle vert
intercepte le
grand arc de cercle vert
.
L’angle bleu
intercepte le
grand arc de cercle bleu
.
Les angles
et
interceptent donc le même arc
de cercle.
4)
L’angle vert
intercepte le
grand arc de cercle vert
.
L’angle bleu
intercepte le
grand arc de cercle bleu
.
Les angles
et
interceptent donc le même arc
de cercle.
Remarque : L’angle
est noté avec un chapeau renversé car il s’agit d’un angle rentrant, c’est-à-dire d’un
angle dont la mesure est comprise entre 180° et 360°. (voir exercice 5)
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7
Exercice 4 (3 questions)
Niveau : moyen
Dans la figure ci-après, les cercles
1) Démontrer que
2) Démontrer que
3) En déduire que
et
sont sécants en et . Les droites
et
se coupent en .
.
.
.
Correction de l’exercice 4
Retour au menu
Rappel : Angles inscrits interceptant le même arc de cercle
Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deux angles sont de même mesure.
1) Démontrons tout d’abord que
Dans le cercle
, les angles inscrits
.
et
Par conséquent, il vient l’égalité suivante :
interceptent le même petit arc de cercle
.
.
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2) Démontrons désormais que
Dans le cercle
.
, les angles inscrits
et
interceptent le même petit arc de cercle
Par conséquent, on obtient l’égalité suivante :
3) Montrons que
.
.
Dans un triangle, la somme des angles est égale à
En particulier, dans le triangle
De plus, dans le triangle
.
.
, on a l’égalité suivante :
, on a l’égalité suivante :
Comme, d’après la première question,
que
.
.
.
et comme, d’après la seconde question,
, il résulte
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : facile
, et sont trois points distincts d’un cercle de centre
ces points.
. Représenter tous les angles au centre formés par
Correction de l’exercice 5
Retour au menu
Rappel : Angle au centre
Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Traçons tout d’abord un cercle de centre
tous les angles au centre ainsi formés.
puis plaçons sur ce cercle les points
,
et . Représentons ensuite
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On remarque qu’avec 3 points distincts d’un cercle il est possible de représenter 6 angles au centre :
 un angle saillant
 un angle saillant
 un angle saillant
et un angle rentrant
et un angle rentrant
et un angle rentrant
Rappel : Angle saillant et angle rentrant
 Un angle est dit saillant lorsqu’il est plus petit qu’un angle plat, c’est-à-dire lorsque sa mesure est
comprise entre 0° et 180°. Un angle saillant est noté avec le chapeau
.
 Un angle est dit rentrant lorsqu’il est plus grand qu’un angle plat, c’est-à-dire lorsque sa mesure est
comprise entre 180° et 360°. Un angle rentrant est noté avec le chapeau renversé
.
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Exercice 6 (4 questions)
Niveau : moyen
Le point est le centre du cercle de diamètre
auquel
appartiennent les points et . L’angle
mesure
.
1)
2)
3)
4)
Préciser la mesure de l’angle
En déduire la mesure de l’angle
Calculer la mesure de l’angle
Calculer la mesure de l’angle
.
.
.
.
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
1) Commençons par préciser la mesure de l’angle
.
Rappel : Réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle
Si le cercle circonscrit à un triangle
diamètre le côté
rectangle en
a pour
, alors le triangle
est
.
Le point est situé sur le cercle de diamètre
donc,
d’après la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un
triangle, le triangle
est rectangle en .
Il vient par conséquent que
.
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2) Calculons désormais la mesure de l’angle
.
Dans un triangle, la somme des angles est égale à
.
, on a l’égalité suivante :
. Autrement dit, on a l’égalité :
.
Ainsi, dans le triangle
Or, d’après l’énoncé
précédente
.
et d’après la question
Donc, en remplaçant par les mesures connues, on obtient :
.
L’angle
mesure
.
3) Calculons dorénavant la mesure de l’angle
.
Les angles
et
interceptent le même arc de cercle,
à savoir le petit arc de cercle bleu
.
Or, les angles
cercle.
et
sont deux angles inscrits dans le
Donc ils sont de même mesure.
Finalement,
L’angle
.
mesure
.
4) Calculons enfin la mesure de l’angle
.
Rappel : Angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc
Dans un cercle, si un angle inscrit et un
angle au centre interceptent le même arc de
cercle, alors la mesure de l’angle au centre
est le double de la mesure de l’angle inscrit.
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Les angles
et
interceptent le même arc de cercle,
à savoir le petit arc de cercle
.
Or, l’angle
est un angle inscrit dans le cercle et l’angle
est un angle au centre.
Donc la mesure de l’angle au centre
mesure de l’angle inscrit
.
Ainsi,
L’angle
est le double de la
.
mesure
.
Finalement, on a la figure ci-après :
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Exercice 7 (2 questions)
Niveau : moyen
On a représenté ci-contre le cercle circonscrit à un triangle
équilatéral
. est un point de l’arc
.
1) Déterminer la mesure des angles
2) Qu’en déduit-on pour la droite
et
.
?
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
1) Déterminons la mesure des angles
et
.
Le triangle
est un triangle équilatéral donc chacun de ses
angles
,
et
mesure
. De plus, le triangle
est inscrit dans un cercle donc les angles
,
et
sont des angles inscrits dans le cercle.
Enfin, comme
est également un point du cercle distinct des
points , et ,
est un angle inscrit dans le cercle.
Les angles
et
sont donc des angles inscrits dans le
même cercle qui interceptent le même arc de cercle
. Par
conséquent, ils sont de même mesure.
Autrement dit,
.
De même, on peut noter que
est un angle inscrit dans le
cercle et que cet angle intercepte le même arc que l’angle
inscrit
, à savoir l’arc de cercle
. Il vient donc que
et
sont de même mesure.
Autrement dit,
.
Finalement, les angles
.
et
mesurent tous les deux
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2) D’après ce qui précède,
.
Rappel : Angles adjacents
Deux angles adjacents
et
sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont un côté commun

se situent de part et d’autre de ce côté commun
Or, les angles
et
Par conséquent, la droite
Côté commun
Sommet commun
sont deux angles adjacents.
est la bissectrice de l’angle inscrit
.
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Exercice 8 (1 question)
,
et
Niveau : moyen
sont trois points d’un cercle de centre
.
Préciser la nature du triangle
tels que
.
Remarque : Préciser la nature d’un triangle, c’est préciser s’il
est isocèle, équilatéral, rectangle, isocèle rectangle ou
quelconque.
Correction de l’exercice 8
,
et
Retour au menu
sont trois points du cercle de centre .
Ainsi,
est un angle inscrit dans le cercle et
angle au centre de ce même cercle.
est un
En outre, l’angle inscrit
et l’angle au centre
interceptent le même arc de cercle, à savoir l’arc
.
Par conséquent,
.
On en déduit dans un premier temps que le triangle
rectangle en .
Enfin, comme les points
centre , il vient que
et
sont situés sur le cercle de
.
On en déduit dans un second temps que le triangle
également isocèle en .
En définitive, le triangle
est
est
est rectangle isocèle en .
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Exercice 9 (1 question)
Niveau : facile
Pour chacune des figures ci-dessous, préciser le nom du polygone et s’il s’agit ou non d’un polygone régulier.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Correction de l’exercice 9
Retour au menu
1)
Rappel : Polygone régulier et mesures de longueurs et d’angles
Un polygone est régulier lorsque ses côtés ont tous la même longueur et ses angles ont tous la même mesure.
D’après le codage,
. Le quadrilatère
déduit dans un premier temps qu’il s’agit d’un losange.
De plus, le losange
possède donc 4 côtés de même mesure. On en
possède un angle droit. On en déduit qu’il s’agit d’un carré.
Or, un carré possède quatre angles droits et tous ses côtés ont la même longueur.
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Par conséquent, le carré
est un polygone régulier.
2)
Rappel : Angle aigu et angle obtus
 Un angle aigu est un angle saillant dont la mesure en degrés est comprise entre 0° et 90°.
 Un angle obtus est un angle saillant dont la mesure en degrés est comprise entre 90° et 180°.
D’après le codage,
. Le quadrilatère
en déduit dans un premier temps qu’il s’agit d’un losange.
Les angles ne sont pas de même mesure puisque l’angle
angle aigu.
possède donc 4 côtés de même mesure. On
est un angle obtus alors que l’angle
est un
n’est pas un polygone régulier.
Par conséquent, le losange
Remarque importante : Le carré est l’unique polygone régulier à 4 côtés.
3)
D’après le codage,
En outre, l’angle
en déduit que
. On en déduit donc dans un premier temps que le triangle
mesure
. Or, tout triangle isocèle dont l’un des angles mesure
est un triangle équilatéral.
est isocèle en .
est équilatéral. On
Or, un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois angles de même mesure et dont tous les côtés ont la
même mesure.
Par conséquent, le triangle équilatéral
est un polygone régulier.
Remarque importante : Le triangle équilatéral est l’unique polygone régulier à 3 côtés.
4)
est un polygone à 5 côtés. Il s’agit donc d’un pentagone.
D’après le codage de la figure, tous les côtés du pentagone
sont de même mesure.
Toutefois, les angles de ce pentagone ne sont pas tous de même mesure puisque deux angles sont aigus (en
l’occurrence les angles
et
) et les trois autres angles sont obtus.
Par conséquent, le pentagone
n’est pas un polygone régulier.
5)
Le polygone
a 8 côtés. Il s’agit donc d’un octogone.
Or, tous les côtés de cet octogone sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure.
Par conséquent, l’octogone
est un polygone régulier.
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6)
Rappel : Polygone régulier et cercle circonscrit
Un polygone est régulier lorsqu’il est inscrit dans un cercle et ses côtés ont tous la même longueur.
est un polygone à 5 côtés.
est donc un pentagone.
Or, chacun des sommets de ce pentagone appartient à un même cercle. Autrement dit,
cercle.
est inscrit dans un
De plus, d’après le codage, tous les côtés de ce pentagone sont de même mesure.
Par conséquent, le pentagone
est un polygone régulier.
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Exercice 10 (2 questions)
Niveau : moyen
Un dodécagone est un polygone à 12 côtés.
1) Déterminer la mesure des angles au centre d'un dodécagone régulier.
2) Construire un dodécagone régulier de centre et de côté 3 cm.
Correction de l’exercice 10
Retour au menu
1) Déterminons la mesure des angles au centre d'un dodécagone régulier.
Rappel : Angle au centre d’un polygone régulier
Dans un polygone régulier à
côtés, tous les angles au centre sont de même mesure, à savoir de mesure
.
Un dodécagone régulier est un polygone régulier à 12 côtés. Comme tout polygone régulier, un dodécagone
régulier est donc inscrit dans un cercle. Chaque angle au centre mesure alors
Les angles au centre d'un dodécagone régulier mesurent tous
, c’est-à-dire
.
.
2) Construisons un dodécagone régulier de centre .
Explications de la construction :
Un dodécagone régulier se compose de 12 triangles isocèles en
tous isométriques (c’est-à-dire ayant les
longueurs de leurs côtés deux à deux égales), tel que est le centre du cercle circonscrit à ce dodécagone
régulier.
En effet, les 12 points du cercle sont à équidistance du centre
.
et les angles au centre sont de même mesure
 Etape 1 :
Commençons par tracer un segment
Les points
Ainsi,
et
tel que
.
sont situés sur le cercle de centre , circonscrit au dodécagone régulier donc
et
est isocèle en . Il s’ensuit immédiatement que
.
.
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Comme la somme des angles dans un triangle est égale à
En remplaçant dans cette égalité
par sa mesure et
, d’où
Finalement,
et
par
.
, il vient alors que
.
.
Il convient donc de représenter les angles
Les demi-droites
régulier.
, on a
et
de mesure
sont alors concourantes en
.
, centre du cercle circonscrit au dodécagone
 Etape 2 :
Une fois tracé le triangle
isocèle en , on trace le cercle de centre
et passant par
et .
En effet, tout polygone régulier étant inscrit dans un cercle, les sommets du dodécagone régulier appartiennent
au cercle de centre et passant par et .
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 Etape 3 :
Afin d’obtenir les 10 autres sommets du dodécagone (que l’on appellera
alors d’opter pour l’une des 2 variantes de construction suivantes :
-
), il suffit
Méthode 1 : tracer à l’aide d’un rapporteur les 11 autres angles au centre de mesure
(voir figure
n°1) puis relier les sommets consécutifs (voir figure n°2)
Méthode 2 : pointer successivement le compas sur le dernier point du cercle obtenu et reporter sur le
cercle à l’aide d’un compas la mesure d’un côté du dodécagone, à savoir
(voir figure n°3) puis
relier les sommets consécutifs (voir figure n°2)
Remarque : La seconde méthode reste à privilégier dans la mesure où les autres points du dodécagone régulier
s’obtiennent ainsi plus facilement.
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Figure n°1
Figure n°2
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Figure n°3
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Exercice 11 (7 questions)
Niveau : difficile
Première partie :
Soit un triangle
rectangle isocèle en
tel que
.
1) Calculer la valeur exacte de
et la valeur exacte de
2) En déduire que
.
.
Deuxième partie :
Soit un octogone
du triangle
issue de .
1)
2)
3)
4)
5)
inscrit dans un cercle de centre
Construire la figure.
Calculer la valeur exacte de la longueur .
En déduire la valeur exacte de la longueur .
Calculer la valeur exacte de la longueur .
Calculer la valeur exacte, puis la valeur approchée à
et de rayon
cm. est le pied de la hauteur
près, de l’aire de l’octogone
Correction de l’exercice 11
.
Retour au menu
Première partie :
1) Calculons la valeur exacte de
et celle de
.
Rappel : Cosinus d’un angle aigu et sinus d’un angle aigu
Soit un triangle
rectangle en .
Le cosinus de l’angle aigu
Le sinus de l’angle aigu
côté opposé à
l’angle aigu
est noté
est noté
est un triangle isocèle en
et :
et :
tel que
hypoténuse
. Par conséquent,
côté adjacent à
l’angle aigu
.
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De plus, le triangle
est rectangle en
Pythagore, on a l’égalité :
Il vient alors que
. Donc, d’après le théorème de
.
.
Echelle 2 :1
Enfin, comme
est rectangle en , on a :
2) Montrons que
.
est un triangle rectangle isocèle en
donc
et
Or, dans un triangle, la somme des angles est égale à
. Il vient alors que
.
Or, d’après la première question,
.
donc
, c’est-à-dire
donc, comme
, c’est-à-dire
. Finalement,
,
.
Deuxième partie :
1) Avant de construire la figure, explicitons la démarche de construction de l’octogone
.
L’octogone
est inscrit dans un cercle de centre . Par conséquent,
est un octogone
régulier de centre . Or, un octogone régulier est un polygone régulier à 8 côtés. Ses angles au centre mesurent
donc
, c’est-à-dire
Pour tracer
.
, il faut donc suivre les étapes suivantes :
 tracer un cercle de centre et de rayon
cm
 tracer un angle
où
est un point du
cercle
 utiliser le compas afin de prendre l’écart entre les
sommets consécutifs et de l’octogone
 reporter cet écart en mettant la pointe du compas sur
et en traçant un demi-arc de cercle ; ce demi-arc de
cercle coupe le cercle de centre en
 répéter les 2 étapes précédentes 5 fois afin d’obtenir
successivement les points , , , et
 tracer la perpendiculaire à
passant par
 placer le point
d’intersection entre
et la
perpendiculaire passant par
 relier les sommets consécutifs de l’octogone
Figure à l’échelle 1,5 : 1
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2) Calculons la valeur exacte de la longueur
est le pied de la hauteur du triangle
issue de . Par conséquent, le triangle
est un angle au centre du cercle de centre
De plus, comme
Enfin,
.
,
donc
.
.
est un rayon du cercle donc
On a donc
est rectangle en .
.
. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient
que
. Finalement, il vient
.
Or, la première partie a permis d’établir que
Le segment
donc
.
mesure donc 1 cm.
3) Calculons la valeur exacte de la longueur
.
, c’est-à-dire
donc
. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient
.
Le segment
mesure donc
cm.
4) Calculons la valeur exacte de la longueur
On a montré que le triangle
connues, on obtient
est rectangle en . On a donc
. Finalement, il vient que
Or, la première partie a permis d’établir que
Le segment
.
. En remplaçant par les valeurs
.
donc
.
mesure donc 1 cm.
Remarque : On peut également obtenir ce résultat en utilisant le théorème de Pythagore, appliqué au triangle
rectangle en . En effet,
, c’est-à-dire
. En remplaçant par les valeurs
connues,
. Il vient alors que
cm.
5) Calculons l’aire de l’octogone régulier
.
L’octogone régulier
se
compose des 8 triangles adjacents
,
,
,
,
,
,
et
, tous isométriques.
Par conséquent, l’aire
de
l’octogone
est plus fois
plus grande que l’aire
du
triangle isocèle
.
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Il s’ensuit que :
Rappel : Aire d’un triangle
L’aire
d’un triangle de base
et de hauteur
est donnée par la
formule :
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