28/11/2011 ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS (en équilibre) I : CONDUCTEUR Rappel : Matière : assemblage d'atomes Atome : assemblage de neutrons de protons Noyau et d'électrons La matière contient un grand nombre de charges mais les atomes sont neutres et donc par conséquent la matière est neutre aussi (en générale) A l'échelle macroscopique on a : = 0 (dans la matière neutre) et donc E = 0 A l'échelle microscopique ce n'est plus vrai ceci explique les forces de liaisons chimiques. Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 1 I-1 Conducteurs à l'équilibre : Conducteur : Corps où certains porteurs de charges sont libres - par exemple les électrons (périphériques) libres dans un métal - par exemple les ions dans une électrolyte La présence d'un champ E (aussi petit soit il) entraine un mouvement des porteurs Isolant : Les charges restent localisées Equilibre d'un conducteur : Neutre et isolé : 0 E0 partout V C te On sait que : E gradV E 0 V C te Isolé mais chargé : On apporte de charges q. Où se mettent-elles? Le retour à l'équilibre entraine un déplacement de charges (10-9s). Vitesse des charges qlqs milliers km/s Equilibre Atteint Charges immobiles Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 2 1 28/11/2011 Equilibre E = 0 dans tout le conducteur si E = 0 = 0 dans le conducteur d'après le Th. de Gauss Les charges en excès se mettent en surface : densité de surface Comme pour les conducteurs isolés et neutre, on peut démontrer : E 0 dans le conducteur V Cte Circulation nulle • Le volume du conducteur est équipotentiel • La surface est une équipotentielle le champ électrique en surface est au conducteur Pas de composante tangentielle sinon les charges en surface bougeraient Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 3 Champ et charge dans une cavité d'un conducteur Cavité vide de charges Potentiel de la cavité Constant Champ E est nul qint 0 pas de charges en surface intérieure E dS 0 int 0 ext S Deux conducteur identiques (de formes) l'un plein et l'autre creux (et vide de charges) se comporte de façon identiques. Les charges en excès se mettent en surface : densité de surface Application cage de Faraday Un conducteur creux, maintenu à un potentiel constant, permet donc de réaliser un écran électrostatique parfait. Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 4 2 28/11/2011 Conducteur neutre placé dans un champ E E f e E - + + + + + Métal : réseau d'ions (>0) baigné dans un "gaz" d'électrons libres de telle sorte que le métal est neutre et isolé, donc que = 0 partout Sous l'action de E : les électrons se déplacent sous l'effet de f et apparition de charges + du coté opposé Il en résulte un champ électrique générée par ce couple de charges positives et négatives. Lorsque ce champ, opposé au champ extérieur, lui devient égale en norme : Erésul tan t 0 équilibre Conducteur neutre à l'équilibre dans un champ E extérieur : Eint= 0 int = 0 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 5 I-2 Capacité d'un Conducteur : Charges : réparties en surface densité Eint= 0 Champ E : int = 0 E à la surface Potentiel : volume et surface : équipotentiels Relation Charge - Potentiel : Conducteur sans charges (neutre) : V = 0 (par convention) Conducteur chargé : en surface → Q int = 0 conducteur équipotentiel → V On peut montrer que V et Q, on a toujours Q Cte V Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 6 3 28/11/2011 Q C : représente la capacité du conducteur isolé. C ne dépend que de la forme V géométrique et est toujours >0 ( Q et V de même signe). C s'exprime en Farad. Exemple : Sphère métallique chargé en surface Extérieur : E est E R V radial Surface : Q 4 0 r 2 VS Intérieur : Q 4 0 r Q d'où C 4 0 R VS Q 4 0 R E0 V VS Si R=1m C = 1.1.10-10 F C = 0.11 nF Si l'on veut C = 1F R = 9.106 km ! Remarque : La terre est un conducteur isolé sphérique R = 6400 km C = 710 µF Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 7 I-3 Champ au voisinage d'un conducteur : Théorème de Coulomb Conducteur équipotentiel : +++ E est à la surface E ++ ++ Eint = 0 dS Surface fermée + extérieur : tube de champ ( à la surface) et limité par dS (// conducteur et très proche) ++ + + 0 car E int 0 in t Surf . lat . tube dS Intérieur : surface qlcq s'appuyant sur dS en surface E dS ? int 0 car E dSlat dS E.dS car E// dS et E C te sur dS Surf . lat . tube E dS E.dS Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 8 4 28/11/2011 Théorème de Gauss q dS E dS int 0 0 E 0 on a aussi E dS E.dS Théorème de Coulomb Au voisinage (immédiat) de la surface d'un conducteur, le champ électrique est perpendiculaire à cette surface et vaut : E 0 (Valeur algébrique) Remarque : Le champ passe de Eint = 0 à Eext = /0 en traversant des charges de surface de densité : discontinuité de /0 déjà vu Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 9 Lignes de champ : Conducteur isolé : Chargé par exemple > 0 Peut-on avoir des lignes de champ se refermant sur le conducteur? A B NON Car conducteur équipotentiel et les lignes de champ selon les potentiels décroissant d'où : Ligne 'bleue' imposerait VB < VA La densité de charge à la surface d'un conducteur isolé a toujours le même signe car en B : ligne de champ dirigée vers le conducteur supposerait < 0 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 10 5 28/11/2011 Pouvoir des pointes : Au voisinage de la surface : E 0 donc E Comment varie ? (tout en gardant le même signe) Exemple : Deux sphères conductrices de rayons R1 et R2 R2 R1 reliées par un fil de métal très fin. Mises au potentiels V : le même pour les 2. (2) Elles sont supposées "assez" loin l'une de l'autre (1) (1) prend Q1 → 1 telle que V Q1 4 0 R 1 1 Q1 V V 0 E1 surf 2 R1 R1 4R 1 (2) prend Q2 → 2 telle que V Q2 4 0 R 2 2 Q2 V V 0 E 2 surf 2 R2 R2 4R 2 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 11 Donc : Pour un même conducteur, le champ au voisinage de la surface est d'autant plus grand que son rayon de courbure est plus petit. "Pouvoir des pointes" le champ électrique dans leur voisinage peut ioniser le gaz ambiant. I-4 Pression Electrostatique On a vu que : E +++ 0 E ++ ++ On peut dire que : E EdS Eext. dS + ++ + + Champ dû aux charges sur le disque dS Champ dû à toutes les autres charges 2 0 2 0 E E ext E ext 0 2 0 20 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 12 6 28/11/2011 La charge élémentaire dS ( qui crée le champ /20) est placé dans le champs /20 dû à toutes les autres charges de la surface du conducteur Il va apparaitre une force ( à la surface) dF dS.E ext 2 dF dS.n (n : normale extérieur) 20 dF est toujours dirigée vers l'extérieure du conducteur. On définit la pression électrostatique : dF 2 P 20 F + + + + + + ++ + + Expérience dS métal Liquide Conducteur (exemple mercure) F apparait quand on met des charges Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 13 II : SYSTÈME DE CONDUCTEURS On a un ensemble de conducteurs, répartis dans l'espace, portés aux potentiels V i et ayant des charges Qi. Ils créent un champ E que l'on peut déterminer en appliquant : V = 0 + Conditions aux limites (c-à-d V=Vi sur le conducteur i) On peut montrer (principe de superposition) que si on impose soit la charge, soit le potentiel pour chacun des conducteurs, les potentiels, charges et distributions de charges sont parfaitement déterminés II-1 Répartition des lignes de Champ • Elles sont normales à la surface des conduteurs et vont des charges + vers les charges – • V décroit le long d'une ligne de champ • Une ligne de champ ne peut se refermer sur un même conducteur. • Un conducteur "isolé" dans l'espace à une charge d'un seul signe sur toute sa surface • Une ligne de champ partant d'un conducteur (i.e. > 0) va soit à l'infini (V = 0), soit sur un autre conducteur de potentiel inférieur. Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 14 7 28/11/2011 ++ + ++ ++ V + - V' < V - - - - - + + + + - - dS2 Théorème des Eléments correspondants : soit un tube de champ partant de la surface A1 pour aller sur A2 dS1 ++ 1 Surface fermée E dS 0 -2 A2 A1 car E dS sur le tube E 0 dans les conducteurs Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 15 D'où : q int 1dS1 2dS2 0 dQ1 dQ 2 Les quantités d'électricité portées par deux éléments correspondants d'un tube de force du champ E sont égales et de signe opposé c'est-à-dire les charges électriques portées par deux éléments correspondants sont opposées. II-2 Influence électrostatique II-2-a : Conducteur isolé Expérience + ++ + + ++ - - -Q 1 -- - - ++ + +Q1 + + + ++ B Conducteur initialement neutre isolé A Porteur de charges (>0) B est influencé par A : sa charge totale reste Cte (=0 ici) La répartition change : Charge –Q1 attirée par la charge >0 de A Charge +Q1 va du coté opposé Remarque : le champ à l'intérieur de B reste nul mais son potentiel est modifié Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 16 8 28/11/2011 Il y a influence partielle de A sur B D'après le théorème des éléments correspondants: Q A Q1 et Car influence partielle VA VB Si B n'est pas neutre initialement : Influence de A QB totale reste Cte Nouvelle répartition de charge Nouveau potentiel II-2-b : Conducteur relié à la terre : "au sol" Terre = sphère "conductrice" globalement neutre ( les circonstances car masse énorme). Potentiel de la terre = Cte =0 (par convention). Quand on relie un conducteur chargé au sol, ses charges s'écoulent au sol c'est-à-dire qu'elles se répartissent sur toute la surface de la terre : La charge du conducteur devient 0 et son potentiel devient 0 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 17 Expérience On continue l'expérience précédente + ++ + + ++ ++ + +Q1 + + + ++ - - -Q 1 -- - - B A On relie B "au sol" + ++ + + ++ - - -Q 1 -- - - B A On a toujours –Q1 en influence avec la charge QA de A •La charge +Q1 s'écoule au sol •Le potentiel de B devient 0 (Sol) Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 18 9 28/11/2011 Remarque : La charge de B n'est plus globalement nulle Le Potentiel de B =0 Ce n'est pas contradictoire car B n'est pas isolé (on aurait dans ce cas QB=CVB) mais sous l'influence de A. II-3 Influence totale Il s'agit du cas où un conducteur "entoure" complètement un autre : A et B initialement neutres A B II-2-a : On apporte des charges sur B : en le mettant au potentiel V • Elles se répartissent sur la surface extérieure de B • Rien n'a changé à l'intérieur Ecran électrostatique Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 19 II-2-b : On apporte des charges sur A et B reste isolé : (par exemple en le reliant au potentiel V > 0) + + + + Par influence Charges < 0 sur la surface + intérieure de B or la neutralité de B est + conservée + B + - Charges > 0 sur la surface extérieure + + + de B + + + + + + + + + + + + - - - - - + - - - + + + + + + + + A + + + ++ + + + - - - - - - + ++ + + + + + + + + Toutes les lignes de champs issues de A se referment sur B int QA = -QBint Th. éléments correspondants QBext = QA Ce résultat ne dépend pas de la position de A à l'intérieur de B Le champ électrique E vaut : 0 dans A 0 dans B 0 entre A et B 0 à l'extérieure de B Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 20 10 28/11/2011 II-2-c : A partir de b) on met B au sol : On a toujours QA sur A donc par influence totale : -QA = QBint - - - - - - - - - ++ + + + + A + + B ++ + + - - - - - - - - Mais QBext = 0 → les charges extérieures s'écoulent au sol. Le champ électrique E vaut : O dans A, dans B et à l'extérieure de B mais 0 entre A et B II-2-d : A partir de b) on amène des charges sur B : La charge intérieure de A restant la même; on a la même influence totale entre A et B → seule la charge extérieure de B change Les charges externes sont sans influence sur l'état électrique à l'intérieure de B : Ecran électrostatique Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 21 III : CAPACITES D'UN SYSTÈME DE CONDUCTEURS CONDENSATEURS III-1 Coefficients d'influence - Capacités Soient n conducteurs en présence à l'équilibre : Relations entre leurs Vi et leur Qi? Principe de superposition 1er état d'équilibre : Conducteur n° 1 au potentiel V1 Tous les autres conducteurs au potentiel 0 Volt Nous avons vu qu’un conducteur isolé, à l’équilibre électrostatique, est caractérisé par sa charge Q et son potentiel V, qui sont reliés entre eux par la capacité C : Q = CV. Par influence, il apparaît une charge sur tous les autres conducteurs. Conducteur 1 au potentiel V1 Charge q11 = C11 V1 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 22 11 28/11/2011 Conducteur 2 au potentiel 0 Charge q21 = C12 V1 ......... Conducteur n au potentiel 0 Charge qn1 = C1n V1 2eme état d'équilibre : Conducteur n° 2 au potentiel V2 Tous les autres conducteurs au potentiel 0 Volt Conducteur 2 au potentiel V2 → Charge q22 = C22 V2 Conducteur 1 au potentiel 0 → Charge q12 = C21 V2 Conducteur 3 au potentiel 0 → Charge q32 = C23 V2 .... Conducteur n au potentiel 0 → Charge qn2 = C2n V2 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 23 On continu jusqu'au dernier état d'équilibre : Conducteur n au potentiel Vn Tous les autres conducteurs au potentiel 0 Volt Conducteur 1 au potentiel 0 → Charge q1n = Cn1 Vn Conducteur 2 au potentiel 0 → Charge q2n = Cn2 Vn Conducteur 3 au potentiel 0 → Charge q3n = Cn3 Vn .... Conducteur n au potentiel Vn → Charge qnn = Cnn Vn Etat d'équilibre final : Superposition de tous les états précédents c-à-d : Conducteur 1 au potentiel V1 avec une charge Q1 Conducteur 2 au potentiel V2 avec une charge Q2 " " " Conducteur n au potentiel Vn avec une charge Qn Q1 q11 q12 q1n Q q q q 2 21 22 2n Q n q n1 q n 2 q nn Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 24 12 28/11/2011 Ou encore : Q1 C11V1 C 21V2 Cn1Vn Q C V C V C V 2 12 1 22 2 n2 n Q n C1n V1 C 2 n V2 C nn Vn •Les charges sont des fontions linéaires des potentielles •Les coefficients Cii sont les capacités des conducteurs i, dans le système •Les coefficients Cij (avec ij) sont appelés coefficients d'influence : Cij = Cji •Ils s'expriment en Farads •Les capacités sont > 0 ou Cii > 0 •Les coefficients d'influence sont < 0 ou Cij < 0 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 25 En effet, soit l'état d'équilibre n°=1 et supposons que V1=+1Volt : (car les lignes de champ La charge du conducteur 1 est : q11 = C11V1=C11 > 0 partent de 1) Tous les autres conducteurs au potentiel nul : qi1 = C1iV1=C1i < 0 De plus, q11 q12 q13 q1n ou encore C11 C21 C31 Cn1 (car les lignes de champ aboutissent à i ) Cii et Cij ne dépendent que de la géométrie des conducteurs III-2 Condensateur On appelle condensateur un ensemble de deux conducteur en influence totale Par exemple un conducteur B entourant complètement un conducteur A forme un condensateur : A au potentiel VA → QA B au potentiel VB → QB int=-QA pour la surface intérieure q pour la surface extérieure Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 26 13 28/11/2011 A et B sont les armatures du condensateur. Q A C11VA C21VB Q B C12VA C22VB vrai VA et VB Prenons maintenant quelques cas particuliers : B -QA QA A q Si VA = VB A et B au même potentiel conducteur unique 0 C11 C 21 VA Cavité vide QA = 0 C11 C 21 C QB C12 C22 VB q C0VB où C0 est la capacité du conducteur B isolé dans l'espace C0 C12 C22 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 27 Si VB = 0 q=0 Q A C11VA Q B C12VA C12 C11 C C0 C22 C C est la capacité du condensateur On appelle charge du condensateur la valeur commune du module des charges portées par les charges en influence totale Dans notre cas : Q Q A CVA VB si VA VB Q B CVA VB C0 VB Q A q Décharger un condensateur c'est relier les armatures par un fil conducteur : QA et –QA se neutralisent il ne reste que q à l'extérieur de B Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 28 14 28/11/2011 III-3 Capacité de condensateurs de forme simple III-3-a : Condensateur sphérique : A : Sphère de rayon R1 B : Sphère creuse de : Rint = R2 A Rext = R3 R2 B A est au potentiel VA R1 Que vaut E? E entre A et B B est au potentiel VB R3 Par symétrie E est radial et E Cte si r Cte On prend donc comme surface de Gauss () : Sphère de rayon r (R1 < r < R2) Th. Gauss : Q 2 E dS E.4r 0A E QA 4 0 r 2 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 29 Que vaut V? dV E dl Edr VA VB Edr R1 R2 VA VB Q A QA 1 1 4 0 R1 R 2 R 2 R1 4 0 R 1R 2 C 4 0 R1R 2 R 2 R1 Indépendante de R3 III-3-b : Condensateur cylindrique : B R2 A B : Cylindre creux de : Rint = R2 R1 h A : Cylindre de rayon R1 R3 Rext = R3 On supposera que la hauteur des cylindres est très grande A est au potentiel VA B est au potentiel VB E entre A et B ? Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 30 15 28/11/2011 QA 1 2 0 h r Th. Gauss : E Que vaut V? dV Edr VA VB R Q A B1 QA dr Ln 2 2 0 h A r 2 0 h R1 C 2 0 h 1 R Ln 2 R1 A A : Plan de surface S Indépendante de R3 III-3-c : Condensateur plan : A B : Plan // A de même surface S à la distance e e B B x A: VA Q A A B : VB Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 31 Q B Q A B A QA S Si e est très petit par rapport aux dimensions des armatures : le champ est uniforme A entre les armatures : E 0 VA VB E.dx A B C 0 A x B x A Q A e 0 S0 S e Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 32 16 28/11/2011 III-4 Association de condensateurs III-4-a : Condensateur en parallèle : A C1 C2 C3 Ci Toutes les armatures internes sont reliées à A et toutes les armatures externes à B U B La différence de potentiel (ddp) est : VA-VB = U tous les condensateurs ont la même (VA-VB) Q1 C1U Q2 C2 U La charge totale de toutes les armatures internes sera : Q Qi Ci U i i Q U Ci UC eq Q i Ci U i Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 33 L'ensemble des condensateurs en parallèle est équivalent à un condensateur unique de capacité : Ceq Ci i III-4-b : Condensateur en série : A C1 +Q C2 -Q +Q C3 -Q +Q Ci -Q +Q B -Q On établit une d.d.p. entre A et B : VA-VB si il apparait une charge +Q sur une des armatures de C 1, il y aura alors une charge opposées (-Q) sur l'autre armature. Le conducteur reliant les armatures de C1 et C2 est isolé Charge Cte C1 C2 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 34 17 28/11/2011 On peut faire la même chose pour les autres conducteurs : d'où : la charge en B sera -Q Au total, on aura : .... Q Q Q VA VB C1 C 2 Ci VA VB Q i VA VB C3 C2 Ci-1 Ci 1 Ci Q Ceq L'ensemble des condensateurs en série est équivalent à un condensateur unique de capacité : 1 1 Ceq i Ci Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 35 III-4-c : Association série-parallèle : Le condensateur équivalent est obtenu par combinaison des deux règles précédentes. III-5 Condensateurs à lame diélectrique Dans ce cas là on remplace l'air entre les deux armatures par un diélectrique. On constate que la capacité a une valeur multipliée par un coefficient caractéristique du diélectrique : Ce coefficient est la constante diélectrique ou permittivité relative r Exemple : condensateur plan : C r 0 S e condensateur sphérique : C r 4 0 condensateur cylindrique : C r 2 0 R1R 2 R 2 R1 h R Ln 2 R1 Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 36 18 28/11/2011 On définit la permittivité absolue du diélectrique : = r 0 Remarque : r est sans dimensions = r 0 : dimensions de 0 0 ≈ 8.8542 x 10-12 F/m Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 37 19