LOIS DE CONSERVATION

LOIS DE CONSERVATION
1. RAPPELS DU COURS DE QUATRIEME
1.1. Définitions du travail et de la puissance
On dit qu’une force travaille si son point d’application se déplace.
Si la direction de la force n’est pas parallèle au déplacement, le travail sera :
W = F.d.cos( )
F : force utilisée en Newton N
d : déplacement en mètre m
: angle entre la force et le déplacement
F
d
La puissance P est le travail par unité de temps
W
P
F V cos
t
W : le travail en Joule
t : la durée du déplacement en seconde
P : la puissance en Watt
1 Watt W = 1 Joule J / seconde s
1.2. Energie cinétique et énergie potentielle
Un objet en mouvement possède une énergie dite énergie cinétique EK qui dépend de la
masse et de la vitesse de l’objet.
1
EK
m v2
2
m : masse de l’objet en kg
v : vitesse de l’objet en m/s
EK : énergie cinétique en J
L’énergie potentielle gravifique dépend de l’astre, de la masse de l’objet et de la position
de l’objet par rapport au sol.
E PG m g h
m : masse de l’objet en kg
h : altitude de l’objet en mètre m
g : accélération de la pesanteur en m/s²
EpG : énergie potentielle gravifique en Joule J
1.3. Energie mécanique
L’énergie mécanique d’un corps est la somme de son énergie potentielle et de son
énergie cinétique.
Em EK EP
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2. THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE
Supposons un mobile, de masse m, en chute libre.
A l’instant initial t0, le mobile est animé d’une vitesse V0
A un instant ultérieur t, il aura parcouru une distance x et sera animé d’un vitesse V.
Le mobile est en MRUA et satisfait aux équations :
1
g t 2 V0 t
2
V g t V0
x
(1)
(2)
Elevons l’équation 2 au carré
V 2 g2 t2
V 2 V02
2 g t V0 V02
1
2 g ( g t2
2
t V0 )
V 2 V02 2 g x
En multipliant cette équation par m/2, on trouve :
m 2
V
V02 m g x
2
Le premier terme de cette équation n’est autre que la variation d’énergie cinétique entre l’état
initial et l’état final.
Le deuxième terme est le travail effectué par le poids du mobile lors de son déplacement x
THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE
Le travail effectué, pendant une certaine durée, par les forces appliquées à un corps est égal à
la variation , pendant la même durée, de l’énergie cinétique du corps
1
1
2
2
Ec
m Vfinal
m Vinitial
W (F)
2
2
3. QUANTITE DE MOUVEMENT
3.1. Définition de la quantité de mouvement
Le principe fondamental de la dynamique peut s’écrire :


F t m V


F t
P
On définit comme la quantité de mouvement :


P
m
V

P : quantité de mouvement en kg m/s
m : masse en kg

V : vitesse en m/s
La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle de sorte que deux quantités de
mouvement directement opposées s’éliminent.
3.2. Impulsion de force
La deuxième loi de Newton affirme qu’une impulsion de force produit une variation de
quantité de mouvement


F t
P
Une impulsion donnée produit une même variation de quantité de mouvement, quelles
que soient la masse et la vitesse du corps récepteur.
Cette impulsion peut être produite de deux manières :
- en appliquant une force importante pendant un court instant
- en appliquant une petite force pendant un long instant.
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Exemple : Si on pousse une voiture pendant des durées de plus en plus longues, la
variation de vitesse sera de plus en plus grande et, par conséquent, la
variation de quantité de mouvement.
Donc, la variation de quantité de mouvement est proportionnelle à la
durée. Pour une durée déterminée, une personne poussant une voiture lui
communique une variation de quantité de mouvement. Si deux personnes
de même force poussent la même voiture, elles lui communiqueront une
variation de quantité de mouvement double. Si trois personnes ….et ainsi
de suite. Donc, la variation de quantité de mouvement est proportionnelle à
la force appliquée
3.3. Conservation de la quantité de mouvement
Si deux corps interagissent, il y a implication de deux forces directement opposées.
Ces deux forces vont engendrer des variations de quantités de mouvement opposées.
La somme vectorielle de ces deux variations de quantités de mouvement est nulle et la
quantité de mouvement du système formé par les deux corps est la même qu’avant
l’interaction. Il y a conservation de la quantité de mouvement pour un système
 
P C te
4. LES COLLISIONS
Nous étudierons les chocs centraux c-à-d le choc de particules ponctuelles. Lors de ces chocs,
la quantité de mouvement est conservée.
4.1. Chocs élastiques
Les chocs élastiques sont caractérisés par une conservation de l’énergie cinétique avant et
après le choc si la collision se passe dans un plan horizontal. C’est un choc idéal ou les
particules ne se déforment pas c-à-d ou l’énergie mécanique est conservée.

Vi1
m1
m2
m1

Vf 1

Vf 2
m2
La conservation de l’énergie cinétique permet d’écrire :
E ' K1 E ' K 2 E K1 E K 2
1
m1 Vi12
2
1
m1 V f21
2
m1 Vi12 V f21
1
m2 V f22
2
m2 V f22
m1 Vi1 V f 1 Vi1 V f 1 m2 V f22
(1)
La conservation
de la quantité de mouvement permet d’écrire :


Pav Pap
m1 Vi1
m 2 Vf 2
m1 Vf 1
m1 Vi1 Vf 1 m 2 Vf 2
(2)
A partir des équations (1) et (2), nous aurons :
m2 V f 2 (Vi1 V f 1 )
m2 V f22
(3)
Vi1 V f 1 V f 2
Et nous en déduisons de (2) que :
m1 Vi1
Vf 1
m 2 (Vi1
Vf1 )
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Vi1 (m1 - m 2 ) Vf1 (m1
m2 )
Vf 1
m1
m1
m2
Vi1
m2
(4)
Vi1
Vf 1
Vf 2
(5) (3)
Cette équation nous permet de trouver la vitesse finale de la bille 1.
1er cas : m1 = m2
L’équation 4 nous indique que la bille 1 s’arrête
L’équation 5 nous indique que la bille 2 acquiert la même vitesse que la bille 1
L’énergie cinétique de la bille 1 est transférée à la bille 2
2ème cas : m1 <m2
L’équation 4 nous indique que la vitesse finale de la bille 1 est négative
c-à-d qu’elle rebondit en arrière.
L’équation 5 nous indique que la bille 2 acquiert une vitesse positive c-à-d
qu’elle avance
Une partie de l’énergie cinétique de la bille 1 est transférée à la bille 2
3ème cas : m1 > m2
L’équation 4 nous indique que la vitesse fuinale de la bille 1 est positive bille
c-à-d que la continue vers l’avant.
L’équation 5 nous indique que la bille 2 acquiert une vitesse positive c-à-d
que la bille avance :
2 m1
Vf 2
Vi1
m1 m 2
Une partie de l’énergie cinétique de la bille 1 est transférée à la bille 2
4.2. Chocs parfaitement mous ou parfaitement inélastiques
Les chocs parfaitement mous sont caractérisés par une transformation de l’énergie
cinétique en une autre énergie ( énergie thermique, énergie potentielle de déformation,
énergie sonore, ..) Donc, l’énergie cinétique initiale est différente de l’énergie cinétique
finale.
Dans le cas idéal, les deux objets restent collés
La conservation de la quantité de mouvement permet d’écrire :


Pav Pap
m1 Vi1
(m 2
m1 ) Vf
m1
Vi1
m1 m 2
Le rapport des énergies cinétiques s’écrira :
Vf
E Kf
m1 m 2
m1
Vf2
Vi21
(1)
E Ki
1er cas : m1 >>> m2
La vitesse initiale et la vitesse finale sont pratiquement les mêmes. Les deux mobiles
resteront accrochés et rouleront à une même vitesse.
L’énergie cinétique transformée sera minimale et le choc ne sera pas trop destructeur
2ème cas : m1 <<<< m2
La vitesse finale sera très faible par rapport à la vitesse initiale. L’énergie cinétique
finale est très faible par rapport à l’énergie cinétique initiale. La différence d’énergie
sera transformée en une autre énergie.
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4.3. Chocs inélastiques
Entre les deux cas extrèmes, il existe une multitude de chocs inélastiques caractérisés par
une différence EKif d’énergies cinétiques (initiale et finale) plus ou moins grande.
Dans ces cas, les objets rentrent en collision, rebondissent et s’éloignent l’un de l’autre.
Plus les corps sont durs, plus EKif sera faible.
Une bille de plomb qui rebondit sur une enclume en acier ne garde que 1 % de son
énergie cinétique, une boule de liège garde 35 % et une bille de verre garde 95 %.
On introduit un coefficient de restitution d’énergie e qui est défini par :
E Kf
e
E Ki
e pour un choc parfaitement inélastique : 0
e pour la bille de plomb : 0,01
e pour la boule de liège : 0, 35
e pour la bille de verre : 0,95
e pour un choc élastique : 1
4.4. Remarque
Lorsque les deux mobiles sont en mouvement avant le choc, il suffit de choisir un
système de référence attaché à l’un des mobiles en mouvement avant le choc. Dans ce
référentiel, l’un des mobiles sera au repos et les vitesses avant et après le choc seront
obtenues par le principe de relativité de Galilée.
5. EXERCICES SUR LA QUANTITE DE MOUVEMENT
5.1 Un proton ( masse 1,67 10 27 kg ) animé d’une vitesse de 107 m/s frappe un noyau
d’hélium immobile; le proton rebondit avec une vitesse de 6 10 6 m/s. Après le
bombardement, le noyau d’hélium se déplace avec une vitesse de 4 10 6 m/s
- Calculer la masse du noyau d’hélium
- Calculer l’impulsion de force qui a agi pendant la collision
m 6,67 10 27 kg
F t 26,72 10-21 Ns
5.2 Une explosion fait éclater une pierre en trois morceaux. Deux morceaux s’éloignent
dans des directions perpendiculaires, l’un de 1 kg à 12 m/s et l’autre de 2 kg à 8 m/s.
Le troisième morceau s’échappe à une vitesse égale à 40 m/s.
Tracez un diagramme montrant la direction suivant laquelle le troisième morceau
s’échappe. Quelle est sa masse?
M = 0,5 kg
5.3 Un chariot de 20 kg est maintenu au repos sur une plate-forme de 80 kg.
Ce chariot peut se déplacer sur la plate-forme à l’aide d’un moteur, et la plate-forme,
montée elle-même sur des rouleaux, est libre de se déplacer sans frottement sur le
plancher du laboratoire
Un appareil de photographie stroboscopique enregistre tous les mouvements qui se
produisent. Lorsque le moteur est mis en marche, un examen de la photographie révèle
qu’après une période de 3 s, la plate-forme a acquis un vecteur vitesse de 0,3 m/s.
A la fin de cette même période, quelle indication la photographie donne-t-elle sur le
Mécanique 63 - Page 5 sur 8
vecteur vitesse du chariot?
Quelle est la poussée exercée par les roues sur la plate-forme?
V = 1,2 m/s
F = 8N
5.4 Lors d’un entraînement en Alaska en 1955, un parachutiste américain a sauté d’une
altitude de 366 m, mais il n’a pas pu ouvrir son parachute. On l’a trouvé, vivant et
étendu sur le dos dans un cratère profond de 110 cm dans la neige avec une fracture
partielle de la clavicule.
Calculer la force moyenne qui agissait sur lui quand il s’est enfoncé dans la neige.
Supposer que la décélération était constante, que sa masse était 90 kg et que sa vitesse
limite était 193 km/h.
5.5 Deux boules de billard rebondissent l’une sur l’autre, juste avant le choc et juste après,
les trajectoires sont rectilignes. Les angles entre les directions des trajectoires et
l’horizontale sont donnés sur le dessin

V1
15°
5°
30°
20°

V2
Les vitesses avant le choc sont : V1 1,5m / s et V2 1m / s
Déterminez les vitesses des deux boules après le choc.
V’1 = 2,12 m/s
V’2 = 0,212 m/s
5.6 Un astéroïde de 10 kg se déplace dans l’espace à 2 m/s vers un vaisseau spatial. Pour
éviter la collision, un astronaute exerce sur l’astéroïde, à l’aide d’une fusée, une force
de 20 N dans la direction opposée pendant 5 s.
(a) Quelle est la vitesse finale de l’astéroïde.
(b) Pendant combien de temps deva-t-il exercer cette force pour simplement
arrêter l’astéroïde?
5.7 Un marteau de 1 kg frappe à la vitesse de 5 m/s un clou et rebondit à la vitesse de 1 m/s.
Supposant que l’impact a duré 1 ms, quelle était la force moyenne exercée sur le clou?
5.8 Lors d’un match de polo, un joueur frappe la balle de 127,5 g qui arrive vers lui avec une
vitesse de 20 m/s. Il lui communique une vitesse de 30 m/s et le maillet subit une force
moyenne de 100 N. Quelle était la durée de l’impact?
5.9 Imaginons qu’on lâche une sphère d’un certain matériau d’une certaine hauteur initiale.
Elle vient frapper une enclume et rebondit jusqu’à une hauteur finale qu’on mesure.
Calculer une expression du coefficient de restitution en fonction des 2 hauteurs.
Mécanique 63 - Page 6 sur 8
6. CONSERVATION DE L’ENERGIE MECANIQUE
6.1. chute libre sans frottement
Analysons la chute libre d’un solide de masse m lâché d’une hauteur h sans vitesse
initiale.
Le poids du corps est la seule force qui agit
Niveau 0
V=0
au niveau 1, l’énergie mécanique vaut :
z=h
1
E m1
mV12 m g h 1
2
au niveau 2, l’énergie mécanique vaut
Niveau 1
V = V1 z=h1
1
2
E m2
mV2 m g h 2
2
La variation d’énergie mécanique est
E m E m 2 E m1
P
1
Niveau 2
V=V2
m(V22 V12 ) mg(h 2 h 1 )
2
z=h2
Par le théorème de l’énergie cinétique,
nous savons que :
sol
1
m(V22 V12 ) mg(h 1 h 2 )
2
mg(h 2 h 1 )
Donc : E m 0
Donc : E m1 E m 2
Il y a conservation de l’énergie mécanique .
6.2. Non conservation de l’énergie mécanique
Le solide de masse m, en mouvement , est soumis à d’autres forces que son poids.
Au niveau 1, l’énergie mécanique s’écrit :
1
E m1
mV12 mgh 1
Niveau 1 V=V1 h=h1
2
Au niveau 2, l’énergie mécanique s’écrit :
1
E m2
mV22 mgh 2
2
La variation d’énergie mécanique sera :
E m E m 2 E m1
Niveau 2
V=V2 z=h2
1
1
mV22 mgh 2
mV12 mgh 1
2
2
1
1
mV22
mV12 mgh 2 mgh 1
2
2
Le théorème de l’énergie cinétique donne :
1
1
mV22
mV12
W (f )
2
2

W (G )
W (f )

(mgh 2 mgh 1 )
De plus nous savons que : W (G )
Donc la variation d’énergie mécanique sera :
Em
W(f ) autre que le poids
Mécanique 63 - Page 7 sur 8
7. EXERCICES SUR LA CONSERVATION DE L’ENERGIE
7.1 Deux skieuses veulent parvenir en un même point C d’altitude 1800 m avec la même
vitesse 2 m/s. Elles sont en un point A, d’altitude 1780 m
A. Quelle doit être leur vitesse en A? Dépendra-t-elle de la piste suivie?
B. La première skieuse passe en B, au fond d’un trou situé à une altitude inférieure
de 10 m à celle de A. Quelle sera sa vitesse en B?
C. La deuxième skieuse veut passer en D situé sur une bosse à une altitude de 1820 m.
Peut-elle le faire ?
On pourra prendre le point B comme niveau de référence.
7.2 Une balle de masse 0,50 kg est lancée verticalement avec une vitesse de 25,0 m/s
a) A quelle hauteur peut-elle monter s’il n’y a aucun frottement.
b) En fait, elle monte à 22 m seulement. Quelle est la force moyenne de frottement de
l’air
7.3 Un cycliste descend une pente de longueur 5 km, de dénivellation 300 m. Parti sans
vitesse initiale, il arrive en bas de la pente avec une vitesse de 50 km/h; la masse totale du
cycliste et de son vélo est de 80 kg.
Calculer l’énergie mécanique perdue et le travail des différentes forces de frottement.
Calculer la norme de la force de frottement supposée constante
7.4 Un fil très fin OA, de longueur 1 m, est attaché en O et supporte en A une petite bille de
masse 100 g. Après avoir écarté le fil tendu de sa position d’équilibre d’un angle de 60°,
on abandonne la bille sans vitesse initiale. 10 minutes après le début du mouvement, la
vitesse de la bille au passage par la verticale n’est plus que de 2 m/s. Calculer la
puissance dissipée par frottement
7.5 Une voiture d’une tonne roule à 108 km/h . Elle freine uniformément pendant 8 s et sa
vitesse est réduite à 36 km/h. Calculez :
le travail des forces de freinage
la distance de freinage
l’intensité des forces de freinage
7.6 Une force de 10 N s’exerce sur un patin de 2 kg initialement au repos sur une surface
parfaitement lisse. Le patin couvre une distance de 3 m pendant qu’il est soumis à cette
force.
Quel est le travail de cette force ?
Quelle est l’énergie transmise au patin ?
Quelle est la vitesse du patin après l’action de la force ?
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