Chapitre 1 TRIANGLES Introduction : On a découvert, dans l'activité 1, que lorsqu'on connaissait uniquement les mesures de deux côtés, de deux angles, etc, ..., on pouvait construire plusieurs triangles non superposables. Par contre, il y a des situations où tous les triangles construits sont superposables, ce sont ces trois cas que nous allons étudier ici : I . Construire un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés : 1) Peut-on toujours construire un triangle ? Propriété (admise) : Inégalité triangulaire : (activité 2) Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. ABAC CB AC ABBC BC BA AC Conséquence : En pratique, pour trois longueurs données, si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres, alors on peut construire un triangle avec ces trois longueurs. Exemples : a) Avec les longueurs suivantes : 4cm, 9cm et 3cm : Le plus grand côté mesure 9cm, et la somme des deux autres est égale à 7cm, comme 9>7, d'après l'inégalité triangulaire, on ne peut pas construire un tel triangle. b) Avec les longueurs suivantes : 7cm, 9cm et 5cm : Le plus grand côté mesure 9cm, et la somme des deux autres est égale à 12cm, comme 9<12, d'après l'inégalité triangulaire, on peut construire un tel triangle. c) Avec les longueurs suivantes : 4cm, 9cm et 5cm : Le plus grand côté mesure 9cm, et la somme des deux autres est égale à 9cm, comme 9=9, d'après l'inégalité triangulaire, un tel triangle est aplati. Propriété : Si AM+MB=AB, alors le point M appartient au segment [AB]. Propriété : Si le point P appartient au segment [AB]., alors AP+PB=AB 2) Comment le construire ? On veut construire, s'il existe, un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 7 cm. • • • Ce triangle existe car le plus grand côté, 7cm est inférieur à la somme des deux autres, 9cm. Avant de commencer la construction, il est fort utile de faire une figure à main levée : On peut alors construire soigneusement le triangle ABC : 1 2 3 Trace le segment [BC], car c'est le plus Trace un arc de cercle de centre B et de Le point d'intersection de ces deux cercles long. rayon 5 cm. est la point A cherché. On trace le triangle Trace un arc de cercle de centre C et de ABC rayon 4 cm. II . Construire un triangle dont on connaît les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés : On veut construire un triangle DEF tel que DE = 3 cm DF = 4 cm et EDF =30 ° • Avant de commencer la construction, il est fort utile de faire une figure à main levée : • On peut alors construire soigneusement le triangle DEF : 1 Trace le segment [DF] car c'est le plus long. 2 Trace l'angle EDF =30 ° 3 Trace un arc de cercle de centre D et de rayon 3 cm 4 Le point d'intersection de la demi-droite avec l'arc de cercle est le point E cherché. On trace le triangle DEF. III. Construire un triangle dont on connaît la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents : On veut construire un triangle IJK tel que IJ = 4 cm, IJK =60 ° et JIK =45° . • Avant de commencer la construction, il est fort utile de faire une figure à main levée : • On peut alors construire soigneusement le triangle IJK : 1 2 3 On trace le segment [IJ], c'est le seul que On construit les angles IJK =60 ° et Le point d'intersection des deux demil'on connaisse. droites est le point K cherché. On trace JIK =45° . le triangle IJK.