problemes convergence 1 master 2012 2013

Département de Mathématiques -Univ-Guelma
Probabilités de base
2012-2013 (Kerboua M)
Problèmes divers
8 jzj < 1;
G (z) = E z X1 = e
(z 1)
:
EX 1. Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires indépendantes et
1. (a) Calculer, pour tout n
0, la fonction génératrice de Sn =
identiquement distribuées suivant la loi gaussienne N (0; 1); X1 a pour densité Pn X
k+2 et préciser la loi de Sn .
2
k=0
x 7 ! p12 e x =2 :
(b) Exprimer à l’aide de G la fonction génératrice de la variable aléatoire
1. Calculer, pour s 2 R, E esX1 .
S dé…nie par
2. Montrer que la suitde terme général
X1 (!)
X
Pn
2
X
k
8! 2 ; S (!) =
Xk+2 (!) :
Yn = Pnk=1 X
k
e
k=1
k=1
Y
converge presque sûrement et préciser sa limite.
2. On considère, pour n 1; Yn =
Xk :
1 k n
(a) Calculer, pour n 1; P(Yn 6= 0):
(b) En remarquant que, pour 0 < < 1; P(jYn j > ) = P(Yn 6= 0),
EX 2. Soit (Xn )n 1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes montrer que la suite (Y )
n n 1 converge en probabilité vers 0.
et identiquement distribuées suivant la loi de Bernoulli de paramètre1=2 :
(c) La convergence a-t-elle lieu presque sûrement ?
P(X1 = 1) = P(X1 = 0) = 1=2:
(d) La convergence a t-elle lieu dans L1 ?
On pose, pour n 1,
Un =
n
X
Xk
k=1
EX 4. Soit (Xn )n 1 une suitede v.a. positives indépendantes
; pour tout
p
n 2 N , Xn suit la loi de Bernoulli de paramètre 1= n :
2k
1. Soit ' la fonction caractéristique de X1 . Montrer que
8t 6= 0 (2 ) ;
p
P(Xn = 1) = 1= n;
1
sin t
' (t) = eit=2 cos (t=2) = eit=2
:
2
sin (t=2)
EX 3. Les deux questions sont indépendantes.
Soit (Xn )n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi de Poisson de paramètre > 0 :
k
8k 2 N;
P (X1 = k) = e
On note G la fonction génératrice de X1
1 ère Master: Probabilités et Applications
k!
:
P(Xn = 0) = 1
p
1= n:
On note, pour n 2 N , Sn = X1 + ::: + Xn et Yn = Sn =E[Sn ].
1. Calculer, pour tout n 2 N , E[Sn ] et V(Sn ) puis véri…er que
V(Sn ) E[Sn ].
2. Soit > 0. Montrer que pour tout n 2 N ,
P(jYn
1j > ) = P(jSn
En déduire que (Yn )n
E[Sn ]j > E[Sn ])
1
2 E[S
n]
:
converge vers 1 en probabilité.
n
X
p
p
p1
On rappelle que, pour n 2 N ; 2 n 2
2 n:
k
1
k=1
thème : Exercices de convergence
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Probabilités de base
2012-2013 (Kerboua M)
3. En utilisant la majoration de la question précédente, montrer que,
3. Montrer que la suite (Mn =n)n 1 converge en loi vers une variable
pour tout > 0,
aléatoire Z dont on précisera la fonction de répartition.
X
P(jYn4
1j > ) < +1;
n 1
EX 6 . Soit (Xn )n 1 une suite de variables aléatoires positives de carré
et en déduire que la sous-suite(Yn4 )n 1 converge presque sûrement vers 1. intégrable. On suppose que limn!+1 E[Xn ] = +1 et que la suite V(Xn )
E[Xn ]
n 1
4. On désigne par pn la partie entière de n1=4 .
est bornée.
(a) Montrer que, pour tout n 2 N ,
Xn
1. Montrer que la suite E[X
converge vers 1 dans L2 .
n]
n 1
Sp n4
E[S(pn +1)4 ]
Yn
2. On suppose que, pour tout n
paramètre n > 0 c’est à dire
S(pn +1)4
:
E[Sp n4 ]
(b) Montrer que limn!+1 E[S(n+1)4 ]=E[Sn4 ] = 1:
(c) En déduire que (Yn )n 1 converge presque sûrement vers 1.
et que
X
1, Xn suit la loi de Poisson de
8k 2 N; P(Xn = k) = e
1
n
n
k
n
k!
;
< +1:
n 1
Xn
converge-t-elle vers 1 dans L2 ?
n
n 1
EX 5. Soit (Xn )n 1 une suite de variables aléatoires réelles indépen(b) Montrer que Xnn
converge vers 1 presque sûrement.
dantes et identiquement distribuées; X1 a pour densité 2x12 I[1;+1[ (jxj):
n 1
On note, pour tout n 1; Mn = sup1 k n Xk :
1. (a) Montrer que A = fsupn 1 Xn = +1g est un événement asymptotique de(Xn )n 1 .
EX 7. Soit (Xn )n 1 une suite de variables aléatoires à valeurs dans [0; 1] ,
(b) Quelles valeurs peut prendre P(A) ?
indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi uniforme sur [0; 1];
2. (a) Déterminer la fonction de répartition de X1 puis, pour tout n 1,
X1 a pour fonction de répartition F où F (t) = 0 si t < 0, F (t) = min(t; 1) si
celle de Mn .
\
t 0.
fMn < rg et en
(b) Soit r 2 N . Montrer que lim supfMn < rg =
On note, pour tout n 1; Mn = max1 k n Xk :
n 1
1. Déterminer, pour tout n 1, la fonction de répartition, Fn , de Mn .
déduire que
2. (a ) Calculer, pour tout n 1 et tout > 0, P(j1 Mn j > ):
P (lim supfMn < rg) = 0:
(b) En déduire que (Mn )n 1 converge presque sûrement vers 1.
3. Montrer que la suite (n(Mn 1))n 1 converge en loi vers une vari(c) Montrer que, pour tout r 2 N , lim inf n!+1 Mn
r presque sûreable
aléatoire Z de fonction de répartition G dé…nie par G(t) = et si t 0,
ment; en déduire que limn!+1 Mn = +1 presque sûrement.
G(t) = 1 pour t > 0:
(d) Que vaut P(A) ?
a) La suite
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