LE POINT DES CONNAISSANCES ACTUELLES No 571 - LES NOMBRES PREMIERS Par Jean ITARD Agrégé de t’Uniramit PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE 108, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS - 1969 1. < I- INTRODUCTION Dép8t Mgal. - IF’ édition : ler trimestre 1969 TOIM droits de traduction. de reproduction et d’adaptation r&erv& pour toue pays 6 1969, Presses Universitaires de France La théorie des nombres a fait depuis MO0 dès progrès considérables dont il est difficile de rendre compte dans un ouvrage d’initiation qui se doit de rester abordable au plus large public. Dans le u Que sais-je ? » intitulé Arithmétique ti théorie des nombres, qui figure dans notre bibIie graphie sommaire et que nous désignerons ici par le symbole B 1 (nous procéderons de façon analogue pour les autres ouvrages cités), nous noua étions placé à un point de vue élémentaire et nous avionr présenté les acquisitions de la science antérieurea à 1800. Seul un dernier chapitre traitait de tendanoaa nouvelles et de problèmes ouverts. Ici, au contraire, nous nous préoccupons surtout soit d’acquis, soit de problèmes des XIX~ et XX~ siècles. Nous n’avons pas la prétention de tout aborder ni de tout résoudre. D’autre part, comme l’indique notre titre, les thèmes développés ou ébauchée gravitent autour de la notion fondamentaIe de nombre premier. Certaines techniques, comme la théorie analytique des nombres, demandent, pour être comprises, des connaissances approfondies en analyse, particuI%= rement en théorie des fonctions de la variable complexe. Nous nous sommes contenté au se~omd chapitre, d’en faire connaître la genèse et les thèmes essentiels. Au contraire, la notion d’idéal, qui s’est dégagée E; ! LES NOMBRES PREMIERS i* 1. : des travaux de Kummer (1844) sur le grand théo.,“&II~ de Fermat, joue dans notre ouvrage un rôle ):, asrsntiel. On sait quel relief elle a pris entre les i I mains de Dedekind, et nul n’ignore qu’elle a envahi p tous les domaines des mathématiques. Avec elle, nous pénétrons dans les techniques de I’al@bre abstraite. Nous avons utilisé - modérément - ces techniques. Employées plus savamment, elk auraient apporté des solutions plus élégantes que les nôtres. Notre langage est resté plus près de la langue Mourante de la mathématique classique. Cependant nos d6monstrations sont rigoureuses. Notre amhitien est d’amener le lecteur à se dire que tout cela n’est pas très difficile, et à le pousser à la lecture ~+XI bons auteurs. La notion d’idéal serait inutile pour une première étude des nombres naturels. Elle ne prend tout son int&& que pour des ensembles, dérivés du premier, maie plus complexes, les anneaux algébriques par exemple. Nous avons opéré par échantillonnages r6servant un chapitre aux anneaux euclidiens, les lus proches de l’ensemble des entiers naturels, où P‘on pourrait encore se passer de la notion d’idéal. &is un autre chapitre est consacré à un anneau non euclidien, le plus simple possible, et pour lequel cette notion est indispensable. Plus classiques sont notre étude des congruences et le chapitre sur le a petit théorème d e Fermat X. Nous y avons joint des considérations sur l’indicateur, fonction arithtique importante, et sur la fonction de Mobius, fort utile en théorie analytique des nombres. Les Aidue quadratiques et la loi de réciprocité sont &udibs par une méthode élémentaire. Le problème de Waring (B 1, p. 123) prend nais~ancc avec le théorème de Bachet sur la décomposi- INTRODUCTION *.’ tion de tout nombre en somme de quatre carrés. ’ Nous avons consacré à ce théorème un court cha” pitre, avec une démonstration qui simplifie et r&= ‘,1 sume celles de Lagrange et d’Euler. La solution par Liouville du problème de Waring pour la puissance 4 et la donnée de la formule qui permit à Maillet de le résoudre pour la puissance 3 le terminent. Pour apporter une réponse d’ensemble, Hilbert montra en 1909 - grâce à l’analyse - qu’il existe pour toute puissance une identité algébrique du type de celles d’Euler pour les carrés, de Maillet pour les cubes, de Liouville pour la puissance 4. Les corps finis font leur apparition avec les congruences de Gauss. Galois montre, par la théor@ de ses imaginaires (1830), qu’il y a d’autres corps finis que ceux de Gauss. Dedekind et J.-A. Serret donnent des bases fermes à la théorie de GaIois. Nous avons pu parler de ceux de ces corps q$ sont commutatifs, et les trouver tous. Dans les chapitres précédents nous avions établi l’existence de plusieurs d’entre eux. Enfin nous avons donné le théorème de J. M. Wedderburn (1905) : tout corps fini est commutatif. L’œuvre de Wedderburn marque, avec la découverte des corps p-adiques par Hensel(1908), la naissance de l’algèbre abstraite Ve Steinitz codifiera en 1910. Aussi avons-nous réservé un dernier chapitre aux corps p-adiques qui jouent actuellement un rôle fondamental en théorie des nombres où leur utilisation constitue ce que l’on appelle Ila « méthode locale ». Nous ne pouvions, bien entendu, que montrer l’existence de ces corps et non 1%~ L. maniement. Nous n’avons cependant pu résister aa plaisir de donner in fine la démonstration du théo.: I ; rème d’Ostrowski. SYMBOLES [z] ‘E 4 c c Z/mZ 14 * 0 n u n U db a #’ b m.? m!! N Z QR C partie entière de x, [x] = 3. appartient à, x E A, x appartient à l’ensemble A. n’appartient pas, x 4 A, x n’appartient pas à l’ensemble A. inclus dans, B c A : l’ensemble B est inclus dans l’ensemble A. inclusion stricte, Bc A : B, différent de A, est inclus dans A. ou Z/m, voir p. 44. valeur absolue de x. implication logique. équivalence logique. intersection de deux ensembles. réunion de deux ensembles. phrs grand commun diviseur de m et de n ou p.g.c.d. plus petit commun multiple de m et de n ou p.p.c.m. a divise b. a ne divise pas b. = 1.2.3.u.. .m, factorielle m. des nombres premiers = 1.3.5.. . produit inférieurs ou égaux à m. ensemble des entiers naturels. ensemble des entiers rationnels (positifs, nuls ou négatifs). ensemble des nombres rationnels. ensemble des nombres réels. ensemble des nombres complexes. CHAPITRE PREMIER G&NÉRALITÉS D’UN SUR ANNEAU LES IDEAUX COlWMIJTATIF Nous rappelons, dans ce chapitre, quelques pro& priétés des anneaux et de leurs idéaux qui nous seront utiles. On pourra, pour plus de détails, consulter les ouvrages B 2, 3, 8 ou 9. 1. - Anneaux, corps Un anneau A est un ensemble muni de deux opé= rations internes, l’addition et la multiplication. L’addition, par rapport à laquelle A est un groupe commutatif, est notée + . 1) Pour tout couple (a, b) d’éléments de A, il existe un troisième élément c, bien défini, noté a + b tel que a + b = c. 2) CI + b = b + a, commutativité. 3) a + b + c = a + (b + c), associativitk. 4) Il existe un élément neutre pour l’addition, noté 0. 5) Tout élément a admet un opposé u’, tel que a + a’ = 0. Exemple. groupe - L’ensemble par rapport Z des entiers à l’addition (groupe rationnels additif). est un LES NOMBRES PREMIERS IDÉAUX i. ?. . La multipZic&on notée X ou . ou simplement indiquée par juxtaposition, est la seconde opération interne de l’ensemble A. 6) Pour tout couple (a, a), il existe dans A un 616ment bien défini c tel que ab = C. 7) a(bc) = (ab) c, associativité. 8) a(b+c)=ab+ac distributivité sur l’addition. 9) (a+b)c=ac+bc Il en résulte que a.0 = 0.a = 0 et que les produits par le même multiplicateur - à droite ou à gauche - de deux Bléments opposés sont opposés. Lorsque les neuf conditions (ou axiomes) énonc&s ci-dessus sont satisfaites, A est un anneau. 10) S’il existe un élément neutre pour la multiplication, noté 1, tel que 1 X a = a X 1 = a, pour tout a, l’anneuu est dit unitaire. Nous ne nous occuperons que d’anneaux unitaires. Aussi le qualificatif sera-t-il sous-entendu. 11) Si « a x b = 0 1)implique CCa = 0 ou b = 0 )), l’anneau sera dit intègre. Nous rencontrerons des anneaux très simples n’ayant pas cette propriété. Exemple : Z/9, anneau utilisé dans la « preuve par 9 )) (cf. chap. IV). 12) Si, pour tout couple (a, b), ab = ba, l’anneau est dit commutatif ou abélien. Nous ne nous occuperons guère que d’anneaux commutatifs et, ici encore, le qualificatif sera sous-entendu. 13) Lorsque, par rapport à la multiplication, l’ensemble est un groupe, commutatif ou non, l’anneau est M corps. Un corps est donc un anneau tel que chacun de aes dlkments non nul a admet un inverse U’ : a?xa’=l et o’xa=l D’UN ANNEAU ‘L&’ COMMUTATIF q Lorsque dans un anneau, il existe deux 616mentv tels que a. b = 1, a et b sont dits éléments inversibles ou unités. Ainsi Z a deux unités + 1 et - 1 ; puisque (- 1) (- 1) = + 1. Un corps est un anneau dont tous les élémsnte non nuls sont des unités. Exemples. - L’ensemble Z des entiers relatifs est un anneau 1 commutatif, unitaire, intègre. L’ensemble Q des nombres rationnels est un corps commutatif. De même les ensembles R des nombres r6ele et C dm nombres complexes. L’ensemble N des entiers naturels 1, 2, etc., n’est par ti anneau : l’addition n’est pas un groupe sur N (absence dar conditions 4 et 5). Lorsaue l’on s’intéressera h un anneau A inclus dans tan corps <dont il sera un sous-anneau, on distinguerales &UC+~J de A en les appelant des entiers (relativement B A. Cf. chap. x les p-entiers). II. - Corps des fractions A partir de tout anneau unitaire intègre, comntutatif, on peut construire son « corps des fractions )jh qui est le plus petit corps qui le contienne. Le pfocédé de construction est identique à celui qui, B partir de l’ensemble Z des entiers relatifs ou de l’ensemble N des entiers naturels permet de construire les nombres rationnels. On considère d’abord l’ensemble des « fractions » -i, où et b à A-(O), c’est-à-dire prendre la valeur 0. On établit dans cet ensemble a a appartient où I à 9, pas a’&@-’ : - est équivalent si, et seulement b b si ab’ = bu’. On appelle élément du corps K des fractions, chay curie des classes d’équivalence. valence ‘ B A’ b ne peut une relation ’ / 12 LES On definit sur K une ; + On montre mêmes et non addition = b’ tout appartient IDEAUX Pour inverse te-?:!* autre autre PREMIERS : qu’elle concerne les les fractions. Autrement remplace a par t b et - par tout Bonune ; NOMBRES élément élément toujours classes dit, de sa classe de sa classe à une même unité ellessi l’on la vérifie saus un groupe. L’élément La multiplication peine que, pour neutre se définit est la classe par : l’on remplace t e+p ar tout appartient On vérifie seules les classes i par tout autre toujours pour autre élément sont de f. c(, de sa classe a’, le produit à la classe, cette : si de sa classe opération notee CI.01’ de $. les propriétés 6, 7, un corps commumultiplication est la 8, 9, 10, 11, 12 et 13. K est donc tatif. L’élément neutre de la 1 classe de -. L’inverse de la classe ’ b la classe de ;. de a b’ h la classe de 0 1’ 13 nul, il existe dans K un 1 la classe de a. Si a est q à A. Tout anneau a au - Idéaux L Si l’on prend c = 0, on voit que 0 ES, quel p soit l’idéal J. L’ensemble ( 0 ) formé du seul nombre aéra cet un idéal. C’est d’ailleurs le plus petit idéal possible, en ce que ( 0 } est un sous-ensemble de tout idéal f. L’anneau A est aussi uu idéal, le plus grand, en ce qu’il contient tous les autres. Tout idéal qui contient une unité E de A ‘est. identique à A. En effet si q = 1 : « E E 4 )) =c- « c(qa) a =+ 0, est Tout Blément a de A peut être considéré comme un Clément de K. Il suffit pour cela de l’identifier . Un idéal Y d’un anneau A est un sous-ensemble non vide de A doué des deux propriétés suivantes : 1) Si a et b appartiennent à 9, alors a + b appartientà~.«aE~,bE~»~ua+bEg»; 2) Si a appartient à 9 et c appartient à A alom ac appartient à fi K est concernées élément défmi. C’est 1 de A, a appartient III. ;+g. Ici encore, bien classe, l’addition, COMMUTATIF a de A, non ! notée a + a’. ’ On tout ANNEAU moins deux unités (sauf Z/2 qui n’en a pu’une) + 1 et - 1. Mais il peut en avoir d’autres et même une infinité, sans être pour autant un corps (voir p. 116). a, a’, D’UN eY n pour tout a (prop. 2), ouaEY,doncY=A. Tous les éléments d’un corps K étant des tités, il n’y a dans un corps que les deux idéaux ( 0 ) et K. Exemples d’idécrux. et A. Soit a un élément Nous arbitraire connaissons de A. déjh (,O ) “y: C’ ’ LES ‘_ cl4 L’ensemble yte (a) : de ses multiples NOMBRES PREMIERS est un idéal que l’on a% + uy = 0(x + y) (ax) c = a(xc). (ProP- 1) (ProP- 2) Ce type d’idkal est dit idéal principal. Il y a des idhuc principaux dans tout anneau. Tout anneau qui n’a que des idéaux principaux est dit anneau principal. IV. sur l’exwemble - Opérations des idéaux d’un anneau 1) L’intersection des deux idéaux, qui n’est jamais vide puisque 0 est élément de tout idéal, est encore un idéal. En effet soit les idéauk 3 et $, et x n / leur intersection. Si a et b appartiennent à 9 n y, a + b appartient B f (prop. 1) et h /, donc à 9 n $. Si a appartient à 9 n 3, et si c est arbitraire, oc appartient B 3 (prop. 2) et de même à y, donc hfng. 2) Nous appelons somme des idéaux 9 et $, et nous notons 3 + 8, l’ensemble des sommes a + b, a étant un élément arbitraire de 3 et b un élément arbitraire de y. f + / est un idéal, comme on le vérifie aisément. C’est d’ailleurs le plus petit idéal contenant à la fois 9 et 3. En effet, un idéal qui contient $ a parmi ses éléments tout élément a de 9. S’il contient f il admet parmi ses éléments tout élément b de y. vil contient à la fois 3 et $ il contient a, b, et leur u)mme a + b. L’addition des idéaux est commutative et assooiative. Mais si f est inclus dans 3, leur somme IDl?AUX D’UN ANNEAU _ 1s’ :f idéaux princiax + by }, des _. COMMUTATIF estJ.Enparticulier~+~=~;(O}+~=;iT; f+A=A. Si 9 = (a) et f = (b) sont deux { pa=h (4 + P) est l’ensemble sommes des multiples de a et de b. 3) Le produit de deux idéaux .# semble des sommes de produits ab, de 4 et d’un élément b de $ : $x.$={Zab}(aE9,bEJ). et fl est l’en* d’un élément o ’ C’est un idéal, sous-idéal de .9 et de 8. En effet a E 9 =s-ab E 9 et Zab E Y. Même raisonnement pour $. Le produit est donc un sous-ensemble de 3 A # : #.$c Il est commutatif, rapport à la somme, 4xA=3; 9nf. associatif et distributif P&U comme on pourra le vérifier. -l”x{O}={O}. Le produit des deux idéaux principaux (a) et (b) est l’idéal principal (ab). En effet (a) X (b) = { EV ) avec x E (a) ou x = aX et y e(b) ou y = bY. (Sxy}={abCXY} c’est-à-dire l’ensemble dee multiples de ab. Pour avoir par exemple abm, m donné, il suffh de prendre un seul terme de la somme, où X = m et Y= 1. IV. - Idéaux premiers entre eux Deux idéaux sont dits « étrangers » ou « premientre eux )) si leur somme est l’anneau lui-m&% Le produit de deux idéaux premiers entre eux & h leur intersection. =* En effet, soit 9 + / = A. 3* r ;:3; ‘, .’ 2, r 16 _, I, LES NOMRRES IDÉAUX PREMIERS Alore $ + JF contient 1. Il existe donc un élément a de Y et un élément de # tels que a + b = 1. (C’est l,L .-$$ ., ’ i i D’UN 6 d’ailleurs une condition nécessaire et suffisante de relative ou étrangeté. En particulier les idéaux principaux (a) et (b) sont premiers entre eux ai et seulement s’il existe s et y tels que ax + by = 1.) 14’ ” Y.x+g.x=x ou 4.x+9.x Prenons un élément arbitraire c de Y n f et .formons le produit c(a + 6) = ca + cb = c puisque a + b = 1. a appartient à 3 et c à $ donc ca appartient à 3 x f. Pour des raisons analogues, 13 appartient aussi au produit. Donc la somme ca + cb appartient encore au produit, et c E .Y x $. Puisque c est arbitraire dans Y n $ : =x ou 4x+x) =x ce qu’il fallait démontrer. Un idéal est maximal ou premier absolu, ou aimplement premier, s’il n’est contenu dans aucun autre idéal que l’anneau A lui-même. Un idécrl premier absolu est premier avec tout id+ qu’il ne contient pas. En effet soit B un idéal premier et 9 un autrq idéal qui ne soit pas sous-idéal de 8. La somme 9 + 9 est un idéal qui contient Bet I% et qui n’est pas identique à 8. Ce ne peut être e A. Le produit d e d eux idéaux est contenu dans cE ‘CW d’eux. Si donc, un idéal premier 9 divise un id&l y; §xg=Jn$. Tout i&al§ premier avec l’idéal# et avec l’io%alX, e8t premier avec leur produit $.,X. En effet : uf+~=A»ouIlexisteadans.Yetbdans~ tels que a + b = 1 » ; a$+X=A»o((Ilexistea’dans~etcdansX tels que a’ + c = 1 ». membre à membre les deux égalités (aa’ + ac + a’ b) + bc = 1. COMMUTATIF~ En effet, puisque 3 divise f .X, il existe un idéal x tel que f .X = 4.x. Mais, par hypoth&e, .%+-#=A. D’où, en multipliant les deux membres par X : primarité Multiplions ANNEAU alors fl est contenu Que peut-on Sachant que f que 9’ divise 3 Nous laissons : Les trois premiers termes sont des éléments de 3. Le quatrième est un élément de 3.S. Donc 3 et Ji .X sont premiers entre eux. On en déduit aisément que si 4 et y sont premiers entre eux, toute puissance de Y, Ya = 9 x 9, .#s, etc., est première à toute puissance de $, $“, ya, etc. Si l’idéal 9 est premier avec l’i&al ,f et s’il divise le produit $2, alors il divise X. dans 8. dire de la proposition récipr0que.P est inclus dans 9, peut-on conclu& ? la question en suspens. .,: , I / J. 2 ITARD \ 1 I. : : L’ANNEAU Z DES ENTIERS RATIONNELS >3_ celle du diviseur. dra r positif. II sera alors, dans tous les cas, bien d&ini, ainsi que le quotient n). L’existence de la division euclidienne montre tout idéal de Z est principal. En effet, si un i r al contient a, il contient aussi son opposé : - a = (-l).a. CHAPITRE II L’ANNEAU Z DES ENTIERS 1. - ? RATIONNEL8 Les divisions Dans l’ensemble des entiers rationnels il y a lieu de considérer deux « divisions » fort importantes. Etant don& un nombre b quelconque l’idéal des multiples de fi s’ordonne sur la droite réelle en une l progression arithmétique 1)avec des intervalles de longueur 1b 1. Tout nombre a tombe dans un de ces intervalles [n 1b 1, (n + 1) 1b I[ (n 1b 1inclus, (n + 1) 1b ) exclu), et plus pr8e de l’une des extrémités que de l’autre, Bmoins que b ne soit pair auquel cas a peut se trouver juste au milieu d’un intervalle. En tous les cas, étant donné deux nombres arbitraires a et b, on peut toujours en trouver deux autree, bien définis, n et r tels que : a=nb+r O<r<lbl (division dite euclidienne, lement positif, inférieur diviseur) ou pe : Au cas où 1 r 1 = i 1 b 1 on pren- reste r euclidien essentielà la valeur absolue du a=nb+r (rs~ts minimal : nombre positif ou n6gatif r, dont la valeur absolue est au plus égale à la moitié de Tout idéal différent de { 0 } contient donc des nombres strictement positifs. Mais N, ensemble des nombres naturels, éléments strictement positifs de Z, est bien ordonné. C’est+ dire que chacun de ses sous-ensembles possède un plus petit élément ,(cf. B 1, p. 18). Soit d le plus petit entier positif de l’idéal, et a un autre de ses Qéments. Divisons o par d (division euclidienne) : a=dn+r Ogr<d a et d appartenant à l’idéal, a - dn = r y appartient aussi. Donc r = 0, puisqu’il est positif et in& rieur à d, plus petit élément strictement positif de l’idéal. Tout idéal est donc formé des multiples d’un même nombre, c’est-à-dire est principal : Z est un anneau principal. II. - Modules Le terme « module » possède en mathématiques’ bien des acceptions. Nous donnerons ici ce nom - ou plus précisément celui de module sur Z, en abrégé Z-module - à tout groupe additif de carau& ristique zéro (cf. p. 47). Explicitons. Un Z-module est un groupe additif tel que, pour tout él6ment sr, différent de zéro, les sommes a + a, a + a + a, etc.,. . LES .r NOMBRES PREMIERS ne sont jamais égales B zéro, quel que soit le nombre de leurs termes. Sur Z, tout module est un idéal. Les deux concepts sont confondus. Cela provient de ce que dans N, la multiplication n’est qu’une addition abrégke. Si un anneau A est une extension de Z, c’est-à-dire si Z est un de aea sous-anneaux, tout idéal 4 de A est un Z-module, c’est-à-dire un module doué des propriét&:aE4,bE4=-a:-bEY,etparsuite a~f*ma~4,pourtoutm~Z. Mais en général, on ne peut pas trouver a tel que, pour tout a E Y, il existe un x entier rationnel pour de a par lequel 0x = a. Le module des multiples les rationnels n’est donc qu’une partie de Y. Si b appartient B Y sans appartenir au module ax, le module by, y E Z, est encore un sous-ensemble de Y, et le module ax + by (car ce nouvel ensemble est un groupe additif comme on peut le vérifier), est aussi un sous-ensemble de 4. Dans certains anneaux, on peut ainsi trouver des bases u, b, c, en nombre hi, telles que le Z-module in + by + cz (x, y, x entiers rationnels), s’identifie à l’idhl. Si Z est un sous-anneau de A, Remarque. vide, quel pe soit l’intersection Z n 3 n’est jamais l’idéal #, puisqu’elle contient 0. C’est un module de Z, ou un idéal de Z, restriction à Z de l’idéal f. III. - Divieeurs premiers Revenons B Z. Soit un nombre a. Si b le divise, il existe un nombre c tel que a = bc, ~~~l~l,=Ibl+lbl+...+lbl etparsuite 0 . Il en rthlte que a ne possède qu’un nombre fini L’ANNEAU Z DES ENTIERS RATIONNELS 21 de diviseurs. D’ailleurs a = bc o a = (- b) (- t$ et tout nombre admet des diviseurs positifs. Un nombre a admet au moins quatre diviseurs : + 1, - 1, + a et - u. Mais dans la théorie de la division il n’y a pas lieu de distinguer entre deux nombres opposés, et nous ne considérerons que les positifs. Alors 1 n’admet qu’un diviseur. Certaine nombres comme 2 ou 3, en admettent deux. Ce sont les nombres premiers. D’autres, comme 4 ou 6, en admettent plus de deux. Ce sont les nombres composés. Enfin 0 admet pour diviseur tout nombre entier rationnel. (Pour tout a, 0 = (z X 0.) Tout nombre a admet au moins un diviseur prenk (sauf les unités + 1 et - 1, bien entendu). ’ En effet, prenons dans l’ensemble non vide des diviseurs de a, le plus petit élément positif b. b est premier. Pour le montrer remarquons en passant que la relation a x divise y 1)est une relation d’ordre (partiel), c’est-à-dire que a x 1y et y 1r B implique (( x ( 2 ». Si b n’est pas premier, soit c un de ses diviseurs positifs. Alors, d’une part, c 1 b implique c < b, et d’autre part, « c 1 b et b 1Q » implique c 1a. Ce qui est contradictoire puisque b est le plus petit diviseur positif de a. IV. - Idéaux En désignant par (a) l’idéal principal des multiples de a, b ( u implique (u) c: (b) puisque tout multiple de a est un multiple de b. La rhiproque est vraie : si (a) E (b), tout multiple de u est multiple de b et il existe c tel que u = bc. Donc b 1a. D’ailleurs a = bc Equivaut à (4 = (b) (4 (cf. p. 15). L’idéal (p) pour p p remier est maximal ou premier. i 1; * 22 LES NOMBRES Sinon (p) serait partie d’un idéal (z) différent et x diviserait p, ce qui est impossible. de Z L’idkl (o) n (b) est l’idéal des multiples communs à a et B b. C’est un idéal principal (m). m est le plus petit commun multiple de a et de b. Nous le désignerons par au b ou parle sigle classique p.p.c.m. L’idkal (a) + (b) est le plus petit idéal contenant (o) et (b). C’est un idéal principal (d). (a) c (d) implique « d divise a )), de même : (b) E (d) =P d 1b. Tout diviseur commun L’ANNEAU PREMIERS I x j L à a et à b, D, est tel que on établira V. - , (4 + (b) + (4 + . - . + (4 = (4 d étant le plus grand commun diviseur de a, b, c, . . ., 1 et qu’il existe alors dans Z des nombre8 x, y, l’équation : La décomposition en faeteum prwniem Nous avons vu que tout nombre u admet un diviseur premier p : a = pb. A son tour b admet un diviseur premier q : b = qc, a = pqc, etc. Mais tout nombre n’a qu’un ensemble fini de diviseurs et, par suite, qu’un ensemble Gni de diviseurs premiers. La c( décomposition en facteurs premiers FÏ est ainsi toujours possible dans Z. De plus, elle y est unique. (A une unité près bien entendu. Par exemple -6=(-1)x2x3=1x(-2)x3 = (- 1) x (- 2) x (- 3). entre sans peine que : 28 sera possible. L’importante proposition dite &$Or&me de Gauss : Si a divise bc et s’il est premier avec b, il divise c, n’est plus qu’un corollaire du Théorème génkd analogue sur les idéaux (cf. p. 16). C’est I’identiG de Bachst qu’en dépit de l’histoire et des timoiguages formels de Lagrange, Legendre et Gauss, on s’obstine B auaeler identité de Besout. Bezout fut; au XVIII siècle, un bon examinateur aux écoles ‘militaires, et, comme algébriste, il eut un grand mérite. Mais Bacbet de Méziriac, un des premiers Quarante, le d6licienx auteur des Problèmes plaisans et d6lectables, le commentateur de Diophaute, le précurseur de Fermat, mérite de ne pas tomber dans un injuste oubli. Par r&urrence, RATIONNELS ax + by + cz + . . . + lu = 1 par suite D 1d. d est le plus grand commun diviseur de a et de b. Nous le noterons soit a n b, soit p.g.c.d. Comme (a) + (b) = (d), et que d appartient à (d), il existe. un élément a de (a) et un élément p de (b), tels que a + fi = d. Or a = ax, p = by, donc : ax + by = d. f-. ENTIERS z, . . . . u, tels que ax+by+c2+ . . . +hb=A Si les nombres a, 6, etc., sont premier8 entre CIHBL dans leur ensemble, leur p.g.c.d. est 1; (1) = Z, et pour tout nombre donn6 D, on pourra trouver z, y, z, . . . . 24, tels que: QX + by + cz + . . . + lu = D. 1 En particulier, (tz) E (D), (b) c (D), d’où (a) + (b) = (d) E (D), et En particulier lorsque u et b sont premiers eux, il existe x et y, tels que ox + by = 1. 2 DES i [ Nous confondons ces décomposition8 en une seJe.) Rappelons le principe de la démonstration. Admettons provisoirement qu’il existe deux d& compositions distincte8 d’un nombre a. Groupons en tête de chacune tous les éléments commun8 812~ deux, en un produit A. s LES 24 NOMBRES PREMIERS Alors a = A.P = A.Q implique P = Q. D’autre part, les facteurs premiers de P sont tous distincts de ceux de Q. Si p est un facteur de P, il est premier avec chaque facteur de Q et par suite, avec leur produit Q (cf. p. 16). Mais il le divise, ce qui est contradictoire. VI. - Ensemble des nombrea 3!!=4!!=6; 7!!=8!!=9!!=10!!=210; 2 DES RATIONNELS 25 ‘_ Exemples. - Pour 8tre sti d’avoir 4 nombres consécutifs, on prendra 5 !! + 2 = 32, 33, 34.35.86 composé, mais 37 est premier. Pour en avoir 3, il aurait suffi de prendre : coqos& est enccre 4 !! + 2 = 8.9.10. 5!!=6!!=30; 11!!=12!!=2310, ENTIERS cutifs dont la différence sera au moine égale $1 008. Ou, ce qui revient au même, on pourra trouver 1000 nombres composés consécutifs. Il suffira dç prendre les nombres 1001 !! + 2, etc., 1001 !!+ 1001. premiers Le r8le essentiel joué par les nombres premier8 a incité les mathématiciens, depuis les Grecs, à en étudier la r6partition dans N. Le premier fait capital bien établi est qu’il existe une infinité de nombres premiers. Euclide le démontre comme suit. Prenons un ensemble fini arbitraire de nombres premiers. Soit A leur produit. A + 1 est premier avec A. Mais il admet un facteur premier. Ce facteur est par suite distinct de chacun des nombres premiers de l’ensemble (cf. B 10, liv. IX, prop. 20 : ,« Les nombre8 premiers sont plus nombreux que toute multitude proposée de nombres premiers »). Si l’on classe les nombres premiers par ordre de grandeur croissante, désignons par n !! le produit de tous ceux inférieurs ou égaux à n : 2!!=2; L’ANNEAU etc. Alors n !! + 1 peut être premier ou composé mais n’admet que des facteurs premiers supérieurs Bn,tandisquen!!+2,n!!+3,n!!+4, . . ..n!!fn 8Ont $oUS des nombres composés. Il est par suite possible de trouver, dans la liste de8 nombres premiers ordonnés dans l’ordre croissant, de8 « trous )) d’une grandeur arbitraire. On pourra par exemple trouver deux premiers consé- Ce endant l’hypothèse de Joseph Bertrand, dbmontrée par Tche *i ychev précise : entre n et 2n - 2, pour tout n > 3, if y a au moins un nombre premier. La démonstration est du domaine de la théorie analyti des nombres, qui utilise les procédés de l’analyse. Depuis 1r 49 cependant, les études sur la distribution des nombres premiers se sont enrichies de techniques « élémentaires » grgce atm travaux de A. Selberg, P. Erdos, etc. (cf. B 5). VII. - Théorème de Dirichlet Legendre pensait avoir démont& que dans toute progression arithmétique ax + b, a premier avec b, x parcourant Z, il y a une infinité de nombres Premiere. Il était r6servé B Lejeune-Dirichlet de démontrer ce fait d’une façon rigoureuse, en utilisant les méthodes analytiques (cf. B 4, chap. V). Ici encore, on possède de nos jours des démonstrations « élémentaires )) du théorème général (cf. B 5, chap. III). Pour quelques cas particuliers cf. B 1, chap. IV. .. Les nombres premiers se répartissent asymptotiquement d’une façon égale parmi les q(a) progressions possibles de raison a (T(a), indicateur de a, cf. p. 58). Par exemple ~(10) = 4. 11 y a une infinit de nombres premiers se terminant par 1 en numhration décimale, une infinité se terminant par 3, une infinité se terminant par 7, une infinité se terminant par 9. Sur les 20 000 plus w nombres premiers, 5 000 environ ont 1 pour chiffre des turit& 5 000 autres se terminent par 3, autant par 7, autant pur 9, : LES 26 NOMBRES PREMIERS L’approximation s’améliore lorsque l’ensemble examiné Amplifie. Il exiete de même une infinité de premiers dont l’écriture d6cimale se termine par 1967, ou par 7961, ou par 6719, etc. Ici encore les premiers se répartissent aeymptotiquement a 6galité entre les 4 000 terminaisons possibles. Ou, si l’on préfère, la pr;bahilitk qu’un nombre premier se termine par 1967 est 4ooo’ Comme asymptotiquement, il y a ?nombres premiers Log z B z (théorème d’Hadamard, La Vallée-Poussin), la pour qu’un nombre inférieur à z soit premier est inf6rieurs probabilité 1 -. Elle est donc nulle à l’infini. Je% La probabilité pour qu’un nombre inférieur et se termine par 1967 est asymptotiquement à x soit premier : 1 1 40°0’Logx’ Ne nous attardons pas sur ces remarques, mais signalons le rôle de plus en plus grand joué par le calcul des probabilités en théorie des nombres. La proposition suivante est une conséquence immédiate du théorème de Dirichlet. Dans toute progression arithmétique ax + 6, a n b = 1, il existe une infinitd de nombres premiers avec tout nombre donné c. On peut en donner une démonstration, très élémentaire, et ind6pendante du théorème. Décomposons c en un produit c,.e, tel que es ne contienne que des facteurs premiers de b, ci étant premier avec b. Prenons alors z = Xc,, X ne contenant aucun facteur premier de b. Ceci est possible d’une infinité de façons puisque l’ensemble des nombres premiers est infini. Alors 0x+ b = axe, + b est premier avec c = c1 cs. En effet, s’ils ont un facteur premier commun, ce facteur figure dans ci ou dans cs. S’il divise e,, il est premier avec b, il divise ox = Qxci, donc il est premier avec az + 6, qu’il divise. C’est contradictoire. S’il divise cs, il divise b, donc axe, = ax + b - b, mais il w figure ni dans les facteurs de a, ni dans ceux de X, ni dans ceux de ci, ce gui est encore contradictoire. L’ANNEAU 2 DES ENTIERS RATIONNELS 21 Dans la même suite on pourra trouver encore Me infinit. de nombres premiers à chacun des nombres d’un ensemble fini de nombres. donnés. Il suffira de les prendre premiers a leur p.p.c.m. VIII. - Crible d’Eratosthène Parmi les procédés élémentaires de construction de tables de nombres premiers, figure le crible d’Eratosthéne, connu depuis 1’Antiquité grecque. Rappelons-en le principe. On dispose d’une liste de nombres entiers consécutifs, en ordre croissant. 2 est premier. On efface ses multiples. Le premier à effacer est 4 = 3 est inférieur 2s. à 4, donc il est premier. Il y a là une proposition générale : si a est divisible par pc premier, supérieur à &, alors il existe un diviseur de a, premier, inférieur à da. En effet, a = pb, p > 1/a implique b < da, et par suite q. plus petit diviseur de b, inférieur B fi. Si donc on n’a trouvé aucun premier, inférieur ou égal à& qui divise a, celui-ci est premier. On efface les multiples de 3.2 x 3 a déjà disparu. Le premier nombre à supprimer est 3*. Les autres multiples se succèdent de 3 en 3 ; de 6 en 6 si l’on pense que les pairs ont déjà disparu. 5 et 7, inférieurs à 9, sont premiers. On efface les multiples de 5, qui, à partir de 25, se succhdent de 5 en 5. Beaucoup ont déjà été supprimés. 7, 11, 13, 17, 19, 23, inférieurs à 25, sont premiers. Sont donc à effacer les nombres 25 + 5x. Ont ddjjà disparu les multiples de 2, pour lesquels x est impair. Restent donc les nombres 25 + 1Oy. Parmi eux, les multiples de 3 ont déjà été rayés. Or : 25 + 1Oy = 1 + y + 32. Sont donc déjà effacés les nombres pour leequels y = 2 + 3t et restent les nombres 25 + 30~ LES 9!8 NOMBRES PREMIERS ou 35 + 304 à savoir 25, 35, 55, 65, 85, etc., les di%rences étant alternativement 10 et 20. Après suppression de ces nombres, les nombres subsistant jusqu’à 49 seront premiers. A savoir 29, 31,37,41,43 et 47. Le procédé - fort lent - continue-à l’inhi. Si l’on a déjà supprimé les multiples des nombres premiers inférieurs à p, premier, tous les nombres subsistaut, inférieurs à pp seront premiers. Pour dresser la table des premiers inférieurs à 1000 par exemple, il suffira de cribler jusqu’à a E 31. IX. - La fonction La méthode de criblage d’Eratoethène permet d’établir une fondamentale de la célèbre fonction Dzéta, c(z), de Riemann, si utile pour l’étude de la répartition des nombres premiers. On sait que la série : . ..+-$+... dite abrie de Riemann, est absolument convergente pour tout exposant a strictement supérieur à 1. On en déduit qu’elle est encore convergente dans C, corps des complexes, pour a = z = x + yi, z > 1, c’est-à-dire sur tout un demi-plan. C’est alors une fonction de l’exposant z, la fonction c(z) ou fonction Dséta, dont l’étude minutieuse sur tout le plan « de Cauchy u fut un des beaux travaux de Riemann. Prenons a tel que, pour cet exposant : S=$+i+$+ La parenthèse ENTIERS étant RATIONNELS égale B S, il vient S(l-;) avec 89 : =T : Groupons un multiple tous les termes ou bien dans T, tous les termes de 3 : où figure en dénominateur où figure : T(l-f) =U, U ne contenant plus, en début de série, en dénominateurs, que les nombres premiers inférieurs à 25. Au second membre de U, groupons les termes où figure en dénominateur 5’. Il vient, comme ci-dessus : V=U(l-+1+;+... puis, W=V(l-$)=l+&+...,etc. le second processus. Mais : . ..+.+... aoit aheolument convergente. Groupons en une somme partielle en dénominateur un nombre pair : Z DES Dzéta propriété 1+&+&+ L’ANNEAU membre W=V(l-$) tendant vers =I+f) 1 lorsqu’on poursuit (1-k) =T (1-t) (1-k) (l-4) =S (l-$) (1-i) (1-d) (l-k), etc. le LES PREMIERS NOMBRES L’ANNEAU D'oh, enfin : Z DES ENTIERS RATIONNELS 31 En égalant les logarithmes des deux membres tité, Euler déclare alors que : de MD. idem- . . . +j 1+;+;+;+ i i , (1-i) (1-i) (Il-d) (l-+) ..: Dans la série du premier membre figurent tous les nombres naturels. Dans le produit du second membre ne figurent au contraire que les nombres premiers. C’est une identité due à Euler. Au cas où z = 1, les calculs p&dents ne sont plus légitimes. Cependant Euler n’hésitait pas, dès 1748, à tirer de l’identité formëlle : est asymptotiquement Log . Log p. Admettons ce résultat. Entre un grand nombre z et z + AZ, Ax donné, disons, n nombres premiers à peu près égaux à x. D’après la sommation d’Euler on a donc : Log.Log(r+Ax)-Log.Logxe ou encore, Log.Log z ayant -z- AX xLogx dea conséquences remarquables, bien que mal établies. Elles aont B l’origine de la théorie analytique des nombres. En effet, le premier membre de l’égalité est, asymptotiquement Log ra + C, C étant la constante d’Euler 0,577215... Quant au second membre, puisque : Log(l+x)=.-;+;+ wm logarithme I f + f + i + . . ., des dont la somme B n, plus d’autres . ..) est finie, ou $+A+&+ inverses termes Q(x) = ,a& des nombres comme .*. : > , etc. rb= 1 -, xLogx AZ Loge des premiers inf&ieurs et : . . .. la partie la somme dérivée Q’(x) = &-x C’est soit et 5 Si nous désignons par Q(.r) le nombre à x, nous avons donc : est : premiers inférieurs il 1 2 5+9+&+ ( n z pour il y a, la valeur proposée (logarithme par Gauss intégral). en 1849, valeur dont principale est - x qu’il avait pressentie être exacte Log x dès 1791, et qui s’est révélée être la bonne. Il restera aux mathématiciens du XIK~ siMe B pr&iaer et B justifier rigoureusement ces intuitions. C’est Riemann qui, pour sa part, 6tudia d’une façon systématique la fonction Z;, en 1859. C’est dans la voie qu’il avait ainsi ouverte que s’engagèrent ultérieurement hB chercheurs, parmi lesquels J. Hadamard et Charles de La Vallée-Poussin, qui aboutirent en 1896 au résultat définitif que nous avoua déjà utilisé. Il existe aujourd’hui des procédés « élémentairean pour l’établir (cf. B 5). 1 ‘< f Ij ANNEAUX CEIAPITRE III ANNEAUX EUCLIDIENS 1. - Norme as six-&l,y= Oousix=O,y=~l,&mtdement dans ces cas. Les conditions 2 et 4 sont bien remplies, puisque les seuls éléments inversibles, ou unités, sont 1, - 1, i et - i. La condition 1 est elle aussi satisfaite puisque : xa + ya = 0 équivaut à x = 0 et y = 0. La condition 3 est classique : Pour : u=x+yi et p=X+Yi ap = xX -yY+(xY+yX)i et l’on Nous nous proposons dans ce chapitre l’étude de quelques anneaux intègres commutatifs, dont la structure est t&s proche de celle de Z, anneau des entiers rationnels. EUCLIDIENS _ sait que : (x’ + yy (XB + Y’) = (XX - yy)’ + (XY + yxp. - L’anneau (Z, *) . C’est l’ensemble des nombres a = x + y@, ;z et y étant des entiers rationnels. Ici encoref(cr) est la norme de ct, xa - 2yS 1. f(a) = 0 équivaut $ 2’ = 2ya, il ‘oa x = y = 0, La condition 1 est remplie. Si p=X+Y@, Soit d’abord un anneau A (intègre, commutatif, unitaire), tel que nous connaissions une fonctionf(x), définie pour tout x E A, à valeurs dans N, ensemble des entiers naturels, et telle que : 1) f(0) = 0, et f(x) > 0 si x est différent de 0. 2) f(l) = 1 ; 3) f(X*Yl = 0) *f(Y) ; 4) Pour toutes les unités de l’anneau, f prend la valeur 1, et réciproquement sif(z) = 1, x est une unité de l’anneau. La condition 3 est aussi satisfaite, Enfin si x2 - 2y* = f 1, Donnons des exemples d’anneaux ayant cette propriké : - L’anneau de Gouss, que nous noterons G ou (2, i). C’est l’ensemble des nombres complexes a = x + yi, x et y étant des entiers rationnels. Ici f(a) = 9 + ~2. C’est la norme de a, f(a) = 1 et x + y 2/2 est inversible unité. Les conditions 2 et Le groupe multiplicatif solutions de l’équation de 4 = (%X + 2YY) + (%Y + YX) dS et l’on vérifie aisément que : I x’ -2yq.~x~-2Yq = 1 (XX + 2yY)* - J. ITARD 2(xY + yX)’ 1. dans l’anneau. C’est uno 4 sont remplies. des unités est celni des Fermat xa - 2ya = 1 et LES NOMBRES PREMIERS de l’$quation x3 - 2yz = - 1. C’est l’ensemole des t;w&s)* (1 + fi)‘+, n parcourant Z (VO~ B 1, . . - L’anneau (Z, i 4%). C’est l’ensemble des nombres a = x + yo, où? et où w = i 2/5. et y sont des entiers rationnels, Icif(a) = x2 + 5ya. Les seules unités sont, comme dansZ,+let-1. (x’+ 5y*)(Xa+5Y9= (xX-5yY)‘+5(xY +yxp. Toutes les conditions sont satisfaites. D’une façon générale d’ailleurs, on peut trouver f, pour tous les anneaux des entiers des corps quadratiques et même de tous les corps algébriques. Mais ici nous n’utiliserons que les trois exemples précéqui nous sera utile. dents, et le suivant - Soit un corps K commutatif, unitaire. Ce eut être Q, corps des rationnels, R, corps des réels, pc9 corps des complexes, ou bien un corps fini, comme ceux que nous rencontrerons dans cet ouvrage, ou tout autre corps commutatif. Les polynômes P ayant leurs, coefficients dans ce corps forment un anneau, note K[x]. + deux. opérations sont les opérations élémentalres classiques de l’addition et de la multiplication des polynômes. On sait que, dans un produit de polynômes, les degrés s’ajoutent. Posons alors, n étant le degré du 0, polynome P, f(P) = 2”, et, pour le polynôme identiquement nul, qui n’a pas de degré, f(0) =.O. Les unités de l’anneau sont les polynômes rédmts h une constante différente de 0. Ce sont des éléments inversibles, ou unités, et sur leur ensemble, f prend la valeur 1. Si le polynôme Q est de degré m : (condition 3) f(P.Q) = 2”+‘” = 2” .2@’ = f(P) .f(Q) ANNEAUX II. EUCLIDIENS - Décomposition en facteurs premiers Dans tout anneau A satisfaisant aux conditions knoncées, il existe des éléments premiers, et la &comp+ sition de tout élément en un produit dhne unit4 et d’un nombre fini de facteurs premiers est toujours possible. Nous disons que a est premier s’il est impossible de trouver dans A deux éléments x et y, qui ne soient ni l’un ni l’autre des unités et tels que a = zy. Remarquons d’abord que si a = xy, et que par suite f(Y) > 11. fo4 =f(4*f(Y) f (a) > f(z) [inégalit6 .!., ‘v. !.‘> t ;.dj ‘:,j ,t::j I,+J ?q stricte puisque Soit donc a un élément arbitraire de A. S’il est premier, sa décomposition en facteurs premieré est évidemment possible (un seul facteur). Sinon considérons l’ensemble de ses diviseurs autres Ve des unités. Soit b l’un de ceux pour lesquels f (6) > 1 est minimal. b existe puisque l’ensemble des valeurs de f pour les diviseurs de u est un sous-ensemble non vide de N. Alors b est premier. Sinon il aurait un diviseur qui diviserait aussi a et pour lequel f prendrait une valeur, distincte de 1 et inférieure à f(b). Ainsi, il existe dans A des éléments premiers, et tout a admet au moins un diviseur premier. On peut écrire a = pb, en désignant par p uq élément premier, puis b = p’ c, etc., et, par suite, a = pp’ p”... Comme f(a) = f(p) .f(p’) .f(p”) .. .. cette nouvelle égalité dans N comprend au second membre un nombre fini de facteurs. La décomposition en fac- :j .::a FG( 1~ ,; yg .‘ifj . bt’” ,d ....ij 1;j 5; x-k LES 86 Considkons par exemple = z* + 5ya. Dem cet anneau : 6srBx3==(1+0)(1-o) NOMBRES l’anneau ANNEAUX PREMIERS (Z, i dz), où f(a) Or, le8 quatre tous premiers. (avec w=id%). éléments 2, 3, 1 + 0 et 1 En effet si : 2=++pNx+w 0 sont # EUCLIDIENS .,:*; _” Nous allons énoncer une condition SuffistWe. Soit un anneau A sur lequel il existe une fow tion f satisfaisant aux quatre axiomes du d6but de ce chapitre. Il est dit euclidien, si, de plus, pouf tout couple (a, 6) d’éléments, il existe w autre couple (a r), tel que : elon j-(a) = 4 = (%’ + Sy’) (XS + SY’). Comme aucune des parenthèses ne doit égaler 2 = x’ + sys, ce qui est manifestement De même pour 3. Si : 1, impossible. 6 = (x’ + 5~‘) (X* + 5Y’). L’une des parenthases doit égaler 2 et l’autre 3, ce qui, nous venons de le voir, ne saurait avoir lieu. Le nombre 6 se décompose donc en deux produits de facteurs remiers, absolument distincts. C’est la d a!couverte par Kummer, en 1344, de ce h4nom8ne insolite, découverte provoquée par ses & udes sur le grand théori?me de Fermat, qui l’amena h la thdorie des nombres idéaux, d’où est sortie, avec Dedekind, la notion d’idéal dans un anneau. On reconnaît ici la division euclidienne que nous avons trouvée dans Z où f(a) = 1 o 1. Sont euclidiens, parmi d’autres, les trois anneaux G, (Z, d2) et I([x]. -Anneau Plongeons p. 11) : a x + yi a=X+Yi= - Allnellux euclidiens Quelles conditions doivent donc être réalisées dans M anneau pour que la décomposition en facteurs premier8 y soit unique ? (x + yi) (X X’ + Y’ fi=X+Yi. des fractions (v. Yi) n’ et E- nombres rationnels. n Di\rinsons m et m’ par n (reste minimal -: , j dans Z) ‘: -3-B iv -b. .<.a$ m’ = nu + T’ Alors III. G. Soit a=x+yi, G dans son corps Ir’l+ ; ,i ,;p i? ,*c : i - (u + iv) = f + g i, LES 38. et en prenant NOMBRES des deux les normes PREMIERS membres : nff[a- P(u+ id1 =f(S) (ra+ r’ 9 ou f[a-B(u + iv)1=f(P) y <f(P) [: + y <f(B). Les conditions de la division euclidienne sont remplies, le quotient est u + iv, le reste a - P(u + iv). - Anneuu (Z, dz). On procède de même : fJ=x+yqz. a=x+yd2, On plonge l’anneau dans son corps de fractions $=t~+Ymx-Yd~) X2 m d’où nu + Ir r’ I<i 1 r’ 1 < z” n[a n*f[a - L’anneau IV. - P(u + v 6% P(u + v @)] est = P(r + r’ fi> = f(f3) 1 ra - 2r’a 1 euclidien. - Anneou H[z]. Il nous suffit ici de rappeler la division des polyn&mes suivant les puissances décroissantes de la variable. Si Pr et P, sont deux 39 Tout sait trouver un polyn8me R tels que Pr - P, Q = R de R < degré de P,. Soit, anneau avec f(R) euclidien < f(Ps). est principal Soit en effet un idéal Y. Considérons dans N l’ensemble des valeurs f(z) pour tous les éléments x non nuls de 4. Ce sous-ensemble de N admet un plus petit élément. Soit f(d) cet élément minimal. Prenons a Ef quelconque et divisons-le par d - division euclidienne : a- dq = r, f(r) < f(d). u et d sont des éléments de X, donc aussi dq et a - dq = r. Puisque f(d) est, pour les éléments de .#, la valeur minimale non nulle, f(r) = 0 d’où 7 = 0, Tout élément de 3 est donc multiple de d. Ce qui démontre la proposition. d n’est pas parfaitement défini par la valeur de5 mais si, dans Y, f(d) = f(d), d’aprés ce qui prdcède, d divise : EUCLIDIENS polynômes donnés, on quotient Q et un reste avec R = 0 ou degré avec nos notations : Pi - P, Q = R =;+$/5 2Y= =nu+r m’ = ANNEAUX d’ et d’ divise d = d’où d : d’x ; d’ = ;y : xy= 1. x et y sont alors des unités de l’anneau. Ainsi, dans un anneau euclidien, tout id6al est l’ensemble des multiples d’un élément, d&ni A un facteur unitaire près : le diviseur de I’id6al principal. Sur les anneaux euclidiens, nous l’avons vu pour Z qui en est le prototype, on peut identifier dans la théorie de la divisibilité un idéal et son diviseur d; on note l’idéal (d). & z* 2 i- 4a LES NOMBRES PREMIERS ANNEAUX EUCLIDIENS 4 , En reprenant les théorémes sur les idéaux du chapitre Ier, nous savons ainsi que : Si a est premier avec b et c, il est premier avec leur produit bc. En particulier si a et b sont premiers entre eux, a’ et b” sont premiers entre eux, pour tout n et tout m. La démonstration se fait par récurrence sur le13exposants. Si a est premier avec b et s’il divise bc, il divise C. Soit p un élément premier, et a un élément quelconque. Nous savons que, ou bien (a) est inclus dans (p), ou bien (a) et (p) sont premiers entre eux kraagers), Mais (a) c (p) implique a E (p), c’est-à6,‘re p divise a. D’ou : Tout dément premier absolu est premier avec tout dlhent qu’il ne divise pas. Montrons enfin que, dans tout anneau euclidien, k decomposition en facteurs premiers, que nous savons déja être possible, est unique, à un facteur unitaire près : Supposons avoir deux décompositions distinctes de 4 en facteurs premiers : a - EPlrpa, . . ..Pn = gq1, q2, . . . . qn, c et r) étant des uni&, pi et qj des facteurs premiers. Si un facteur p ne diffère d’un facteur q, que d’un facteur unité : q = PEI, E’ étant une unité, remplaçons q par pc’ et faisons passer E’ en tête de la décomposition, où son produit par 7 sera encore une unité. Groupons ensuite les éléments communs aux deux membreo en un produit P. Il vient : a = cR.P = qQ.P d’oti tR n qQ. Si R contient un facteur ce facteur sera distinct de chaque facteur premier p, de Q, donc premier avec Q, c’est-à-dire avec R qu’il divise. C’est contradictoire. Donc R ne contient aucun facteur premier, c’est une unité, de même que Q. Les deux décompositions ne sont pas distinctea.V. - Anneau dea polynômea Tous ces raisonnements s’appliquent aux anneaux de polynômes. Mais, selon le corps de base choisi, les polynômes premiers varient. Ainsi, dans le corps Q, ~2 - 2 est premier, alors qu’il ne l’est pas dans R ; de même X* + 1 est premier dans R, mais se décompose dans Q en (z + i) (x - i). Cependant, quel que soit le corps, les polynômes du premier degré sont premiers. Ce sont les seuls dans C, dit pour cela, algébriquement clos. Dans R sont, de. plus, premiers les trinômes ax* + bx + c dont le discriminant ba - 4ac est négatif. Dans Q, il y a des polynômes premiers de tous les degrés, par exemple xïn - 2. Les recherches du plus petit commun multiple et du plus grand commun diviseur se font de la m&ne façon dans tous les anneaux euclidiens. Si a et b sont deux éléments de l’anneau, on considérera l’idéal (a) n (b), son diviseur m ~018 le p.p.c.m. de a et de b. Quant à l’idéal (a) + (b), BOQ diviseur d sera leur p.g.c.d. Dans la pratique il sera commode de faire appel à l’algorithme d’Euclide, comme dans Z, ou encwe à la décomposition en facteurs premiers. Considkrons par exemple, sur un corps commutatif elconque, la famille des polynômes xm - 1. Soit 8”eux de ces polynômes P, = X~ - 1 et P, = xn - 1. Cherchons leur p.g.c.d., c’e&+dire le diviseur de l’idéal (P,,J + (PJ. Si m > n, le polynôme PmBn appartient à l’idéal. LES 42 En effet : P m=Xm- 1= NOMBRES a?-+” - 1) + p-n xm-npn = P,-,. PREMIERS - 1 OU: P,-- En rditérant, si T est le reste euclidien de m par n, on voit que P, appartient encore à l’idéal. En travaillant ensuite sur P, et P,, etc., on voit que à l’idéal. si d est le p.g.c.d. de m et de n, Pa appartient Mais d 1m, soit m = du, Pd divise P, : P,=(xd)“--1 = (a+ - 1) [(&)“-’ + (a+)“-” + . . . + 11. De même Pd divise P,. C’est donc le diviseur de l’idéal (P,) + (PJ puisque tout éUment de cet idéal peut s’écrire XP, + YP, (X et Y, polynbmes sur le corps de base). Au cas où m et n sont uremiers entre eux, xm - 1 1 A?- 1 -xn---1 et 1 et x” - 1 ont pour p.g.c.d. x - 1 et 1 XXsont premiers entre eux. Ces considkrations s’anpliouent encore dans Z, à la famille de nombres N, L um - 1, a étant un entier quelconque diff&ent de 0 et de 1. Soit par exemple $ chercher le p.g.c.d. de 99999 et de 999, c’est-à-dire de 106 - 1 et de 103 - 1. C’est 10 - 1 = 9 parce que 5 et 3 sont premiers entre eux. Soit encore a chercher le p.g.c.d. de z@-’ - 1 et de a?“-l - 1, quel que soit le corps de base. C’est XD - 1 si D est le p.g.c.d. de um - 1 et ‘de un - 1. C’est donc ti’-’ - 1, si d est le p.g.c.d. de m et de n. n divise m si, et seulement si, xanwl - 1 divise #J-1 - 1. CHAPITRE IV CONGRUENCES La théorie des congruences est due à Gauss (Bol), mais, BOUSla forme des preuves par 9, 7, 11, etc., des opérations, ses résultats les plus éh?mentairea sont utilisés depuis des temps très lointains. 1. - Définition Soit un nombre naturel arbitraire m. Dans division euclidienne d’un nombre entier rationnel par m, soit q le quotient et r le reste : x = Deux nombres mq + T, la x O<r<m. x et x’ sont congrus équivalents (Cauchy), suivant le module dulo m) si leurs restes dans la division (Gauss) on m (ou mopar m sont égaux. Ou encore, si x- x’ est divisible par m. L’équivalence modulo m se note traditionnellement = : m ((x-x’) ox = x’(modulom). L’anneau Z des entiers rationnels skparé en classes d’équivalence. Nous représenterons généralement se trouve ainsi chaque classe Y--- LES 44 NOMBRES CONGRUENCES PREMIERS par son reste r. Il y a exactement m classes, 0, 1, 2 , . . ..m1. On note leur ensemble Z/mZ ou, plus simplement Zjm. II. - Opérations On définit sur Z/m deux opérations, l’addition la multiplication. En effet, si x m x’ et si y m y’ : y-y’ = mq’ x - x’ = mq, d’où : (x + Y) - (x’ + Y’) = 42 + 9’) et : xfy = x’+y’. et Les sommes x + y et x’ + y’ appartiennent donc A la même classe, que l’on appellera somme des classes x et y. C’est la traditionnelle preuve par 9 de l’addition. L’Bl6ment neutre est la classe 0. L’opkation est commutative, associative et chaque classe r a une classe opposée, la classe m - r. L’ensemble Z/m est donc un groupe additif, abélien (c’est-A-dire commutatif), finiJ(cf. Bj;2, IIe partie, chap. II). D’autre part u z E x’ et y m y’ N implique, avec les mêmes notations que ci-dessus : xy - x’y’ = x(y -y’) + y’(x - x’) = xmq’ + y’mq = m(xq’ + y’ 4) d’où : (modulo m). v 3 x’y’ Les produits xy et x’ y’ appartiennent m8me cl@eee, produit des classes x et y. donc B la 46 C’est la preuve par 9 de la multiplicationi La multiplication est commutative, aseociative, et distributive sur l’addition. L’élément neutre est la classe 1. Ainsi, Z/m est un anneau commutatif. En général toutefois ce n’est pas un anneau intègre et il comporte des diviseurs de akro : ai m = n. s, les deux classes n et s ont pour produit la classe 0, puisque n .s = 0 modula m. III. Pour p premier, même un corps. - corps ZlP Z/p est un anneau intègre. C’est Première démonstration. -SoitO<a<p,a,ar= bitraire. p est premier avec a, donc avec toutea re~ puissances. Dans l’ensemble infini de nombres a@+ al, aa..., ne figure aucun élément de la classe 0. Mais, les classes étant en nombre fini, deux puir sances de a au moins doivent appartenir B la même. Soit : au G av avec u > 0. Alors : av(au-fl1) = 0 (mod.p) p divise le premier membre, et il est premier donc il divise a”-” - 1. D’où au-” = - 1 mod.p. avec &, Il existe donc des puissances de a apparteuant A la classe 1. Désignons par g la plus petite d’entre elles : ag = 1 équivaut à a. a”-l m 1. Toute classe a admet ainsi une classe inverse a+’ et Z/p est un corps. On donne parfois a l’exposant g le nom de gaussien de a. 46 LES NOMBRES PREMIERS Ii est facile de montrer que, pour a donné, l’ememble des exposants x tels que a2 E 1 (mod. p) est un idéal de Z. On voit ainsi que g divise tous eea exposants : a”= loglx. CONGRUENCES 41 de l’algèbre éldmentaire, toutes les Equations tous les eystémes d’équations du premier de&. et Exemples. - Corps Z/5. Résoudre 3x + 4 = 0. L’inverse de 3 est 2. Multiplions les deux membres x+3=0, z=2. Même corps. Résoudre le système. : Second8 ddmonstration. - Puisque p est premier, l’égalité zy = pn implique que p divise x ou y, donc si dam Z/p, xy = O,onax=Oouy=O(ici,x,y,O reprksentent des classes de Z/p). L’ensemble Z/p est donc un anneau intègre. Mais, nous allons le montrer, tout anneau intègre fini est un corps. Soit en effet A un anneau fini intègre et 1, ses éléments non nuls. Prenons a, + ...,a,-1, non nul, arbitraire. Formons les produits a x 1, Aucun n’est nul puisque l’au0x4, . . ..aXa.-,. neau eet intègre. Ils sont distincts deux à deux car aa, = auj entraîne a(a+ - ag) = 0, d’où a, = aj. L’ensemble des produits recouvre donc exactement A - { 0 }. Un des produits est par suite égal h 1. Autrement dit, il existe un inverse de a, et A cet un corps. Troisidrne démonstration. - Dans Z, soit a, arbitraire, compris entre 0 et p. a et p sont premiers entre eux. Il existe donc x et y tels Fe ux + py = 1, d’où ax z 1 mod. p ; et, dans Z/p, il existe un inverse de a. 1.x= i 4. ; 1 =3; x=3 l.y= I 31 1 4 I= 1; y= - Propriétés de Zjp Puisque Z/p est un corps commutatif, il jouit de toutee les propriétés classiques de Q, R ou C qui ne font intervenir Ve la structure de corps, mais ne s’appuient pas sur l’infinitude, l’ordre ou la eomplhude. Ainsi, on résoudra dans ce corps, par les procédés 1. De même, soit P(z) un polynôme à coefficients dans Z/p. Si P(z) admet la racine x0, alors P(x) est divisible par x - xs : W Ainsi = (x: r 4 QW dans Z/5, Z + 9 + x + 2, admet la racine 1, d’o& : x3 + 2 + x + 2 = (x + 4) (39 + 2x + 3). Mais le polynôme : ~(.z-l)(x-2)(~---3)(x-4)=~-~ n’est pas identiquement nul. Il s’annule pourtant pour chacune des cinq valeurs de la variable. La propriké classique de l’algèbre élémentaire : « Un polynôme qui s’annule pour toutes les valeurs de la variable est identiquement nulr>, n’est donc plus vraie dans les corps rhiduels Z/p, et d’une façon plus générale dans les corps finis. V. IV. par 2 : Caractéristique Les corps finis se distinguent d’autre part de QI de R ou de C par le fait suivant : Si a est un élément arbitraire lorsqu’on forme la suite a, a + a, a + a + a..., cette suite illimitb doit reproduire périodiquement ses éléments, lea sommes successives n’ayant qu’un nombre fini de valeurs possibles. LES 48 Eu particulier q;%-. : 1+1+1+ NOMBRES PREMIERS la suite 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, est . . . +1=1+1+1+...+1 i + j termes i termes CONGRUENCES 49 Tout corps de caractéristique zéro contient Q comme sous-corps. Tout corps de caract&istique p contient le sous-corps Z/p, car il contient 0, 1, puis : 1+1=2, 1+1+1=3 1+1+...+1=p-1, alors : P - 1+1+1+...+1=0. -j termes Soit p, le nombre 1+1+ minimal de termes . . . $l=O. tel que : p termes Tout ce que nous venons de dire jusqu’ici s’appIique à tout groupe additif fini. Mais, lorsque K est un corps, p est premier. En effet s’il est composé, p = qr et : r parenthèses - 1+1+... +1=(1+1+...+1)+(1+1+...+1)+ q termes q termes p t4wmee i O=qxr 1 q= (l+ 1+ . . . +l); q# 0 puisque q<p, 1 termes donc tous les éléments de Zlp. A cause de ces propriétés Q et Z/p sont appel& des corps primitifs. 11 y en a un - à un isomorphisme près - par caractéristique. NOTA. - Il existe des corps infinis de cara&ristique non nulle. Soit maintenant a un élément arbitraire, non nul, du corps K fmi, (a + a + a) = a(1 + 1 + l), etc., donc(a+a+a+a+ . ..)estnulpouretseuIement pour les sommes de p ou mp termes. Nous avons déjà constaté, p. 45, que tout kMment non nul d’un corps fini est une racine de l’unité. Mais la caractéristique p est la même pour tous les éléments, alors que le gaussien ne l’est pas. Voici par exemple un corps fini, a quatre éli$ments, défini par les deux tables : + Olab 0 0 1 a b 1 a bal0 X q termes p minimal. De même T # 0. Cela implique l’existence de diviseurs de 0 dans K, ee qui est impossible : K est un corps. Le nombre premier p s’appelle la caractéristique du corps. La caract&istique de Z/p est manifesment p. La caractéristique de Q, de R, de C est réro. 1 0 b a b 0 b a 1 0 1 a b La caractéristique est 2. Le gaussien de ï est 1, ceux de a et de b sont 3. 50 LES VI. Si l’on - Anneau NOMBRES Z/m, PREMIERS 51 Soit c < z0 < p la solution de la nouvelle congruenet. Alors b - QZ,, = cp, c connu, et, en posant z = r, + py, on est ramené A m composé doit résoudre une congruence axz b modulom CONGRUENCES axe + apy = a+, + cp modulo : ay 3 c mod. p+l. (ou résoudre l’équation ax = b dans Z/m), deux cas sont B distinguer. Si a et m sont premiers entre eux, on sait qu’il existe u et v, dans Z, tels que : au + mv = 1, ou que au z 1 modulo m. Multiplions les deux membres de la congruence par u, il vient x = bu mod. m. Mais, si a n m = d, alors a = ud, m = pd, an~=l(aet~premiersentreeux).O<~<m et ap = ctdp = am, ou ap s 0 mod. m. Dans Z/m, la classe de a est un diviseur de zéro. La congruence ax = b s’explicite dans Z en : ax=b+ymoudax=b+pdy. On traitera cette congruence bout de n congruences modulo Elle sera de la forme : x=l+lx2+lx2s+lx2s+lx2’+2*x. En base 2 : x= les chiffres Preuve Examplea il peut solutions. m, y avoir, : 4 modula 10 on doit résoudre 3x 3 2 mod. 5 ou 6n10=2 ;214; x EE 4 mod. 5. Deux .réponses dans Z/lO, savoir 4 ‘et 9. Dans‘Z, x = 4 +‘5y. 2. Résoudre ax 3 b mod. p”, p premier, p +’ a. Cette congrnence implique 01: m b mod. p, puisque tout multiple de p” at un multiple de p. sur la gauche étant arbitraires. : . . . . . . 10101011 X 11 . . . . . . 10101011 . . ...10101011 = . . . ...00000001 le système dans l’an- 1. 6x= . . ...10101011 non marqués 3. Soit à résoudre p divise plusieurs comme la p&cédente, et, w p, la solution sera trouv6e. X étant arbitraire. Elle est automatiquement écrite en base p, les chiffms au-delà du nièm étant arbitraires. Ainsi 3x E 1 mod. 2s a pour solution : On voit qu’elle n’est possible que si d divise b. Encecas,sib = dp,ax = p + pyouux z prn0d.p. a et p sont premiers entre eux, et l’on est ramené au premier cas. x est défini modulo p : x = x, + zp.. Comme neau Z/m, pn ou : 1: s a mod. m 3~s b mod. R m et n étant premiers entre eux. La première congruence revient à x = a + my et la seconde à x = b + nz. D’où l’équation indéterminée : my-nz=b-a. Cette équation congruence : myr est toujours b-a possible. mod.n* , Elle mnn=l. se ramAne A la .< a LES NOMBRES PREMIERS bit y0, 0 < yc < ta, sa solution dans Z/n. Alors y t yo -j- nt. Le ryatbme propoeé a pour racine : x = 4 + my, + mnt. x est défini modulo mn. On pourrait proposer un système analogue avec plusieurs modulea premiers entre eux deux ?I deux. Il admettra toujours ame r6ponse définie modulo le produit des modules. VII. - Lea cmgruences dans les anneaux euclidiens On peut définir exactement comme dans Z, des eengruences dans tout anneau euclidien. Les classes résiduelles forment encore un anneau, qui peut être fini ou infini selon les cas. Ainsi dans G, anneau de Gauss, G/a + bi est un anneau fini. En effet chaque classe peut être représentée par un reste euclidien x + j+, avec : 9 + ya < aa + ba. Il n’y a manifestement qu’un nombre fini de couples d’entiers satisfaisant à cette inégalité. Leurs images sur le plan de la variable complexe sont intérieures au cercle centré à I’origine et passant par le .poiut (u, b). Mais dans ce cercle peuvent figurer plusieurs nombres de la même classe. (Dans G, pour le même dividende et le même diviseur, il peut y avoir plusieurs restes euclidiens.) Signalons au passage, que l’estimation des nombres des points entiers intérieurs à un contour est uu problème arithmétique important, qui relève de la géométrie des nombres et où bien des questions eont encore ouvertes (cf. B 5). Daus l’anneau K[x] des polyn8mes construits sur l’anneau des rkdus mob corps K, commutatif, dulo P(x), est formk de tous les polyn8mrs de degré CONGRVENCES 53 ~-- inférieur à n, si n est le degré du module. Il est i&i si le corps K est infini. Il est ti si K est firu, Lorsque K a m éléments, l’anneau des résidus a ma éléments. (Penser aux nombres de n chiffres, eu base m.) Ainsi, pour le corps Zlp, on trouvep” classes résiduelles. Lorsque le module de la congruence, dans tout anneau euclidien, est premier, l’anneau des classes résiduelles est un corps. Si cet anneau est fini, cela résulte des deux premières démonstrations de la p. 45. Dans tous les cas, qu’il soit fini ou infini, la troisième démonstration donnke ci-dessus, p. 46, s’applique. En effet, soit a arbitraire, non multiple de p, par suite premier avec lui. 11 existe, dans l’anneau, x et y tels que 0% + py = 1, puisque (u) + (p) = A (cf. p. 15), ou ax m 1 mod.p. Tout élément de l’anneau des résidus a donc uu inverse, et cet anneau est un corps. Exemples. - 1. Dans R[z], anneau des polyn8mes B coefficients réels, l’anneau R[Lz]/~’ + 1 est un corps, isomorphe (ou identique) à C, corps des complexes. 2. Prenons un premier p de la forme 4% + b*. Alors : IJ=a+bi est premier En effet dans G, anneau de Gause, et G/CJ e8t un corpr fini. ” = 4 + bi = (z + yi) (X + Yi) implique : p = a2 + b’ = (x’ + y’) (X4 + Y*) d’où X* + Y* = 1, X + Yi est une unité. z + yi = (4 + bi) (X - Yi). On démontre (cf. p. 98 ou B 1, chap. II’), qne p ed de.la forme 4k + 1, et que, réciproquement, tout premier de cetta forme est somme de deux carrés. On démontre aumi que p divise des nombres de la forme z* + 1 (cf. p. 73). Alon, ri p divise c* + 1 : p = (4 + bi) (4 - bi) c* + 1 - (c + i) (c-i) ; (4 + bi) (4 - bi) = p 1(c + i) (c - i).. ” LES 54 NOMBRES PREMIERS apM. (a + bi) 1 (c + i) (c - i), ou c7 1 (c + i) (c - i), et, puisque GI est premier, il divise soit (c + i), soit (c - i). ‘, SV divise (c - i), il divise (- 1) (c-i) = -c + i, et en tons lea cas, il y a des multiples de GI dont l’image sur le plan des complexes a l’abscisse 1. Il en résulte qu’il y a des multiples I ’ 55 CONGRUENCES ‘/_ implique : ps = (d + yB) (X’ + Ya). Comme p = 2s + ys est impossible, etX+Yiestuneunité,x+yi=p(X-Yi)=pou-p ou ip ou - on doit avoir X* + Y* = 1 ip. Y Fig. Fig. G/n = Z/p. si le nombre premier p, de Z, est de la forme premier dans G ; en effet : p=(++y4(X+W 2 1 de CI d’abscisse arbitraire. Quant aux ordonnées, pour la même abscisse, elles sont définies modulo p. Le réseau ou treillis, image de l’idéal principal (CI) est donc formé de parallélogrammes d’épaisseur horizontale 1. Tous les sommets de ce treillis ont pour coordonnées .z et py + x. Les classes d’équivalence de G/r;r sont au nombre de p. On retrouve le corps Z/p : 4k - 1, p est _-.‘4 1 :$ ,_. .> Le réseau image de l’idéal principal p est l’homothétique du réseau de base de l’anneau G, dans l’homothétie de centre 0, de rapport p. Il y a donc dans G/p, p2 éléments, parmi lesquels les 611% ments de Z/p : Z/p c G/p. Nous avons ainsi établi l’existence de corps commutatifs B pa élkments, pour p premier congru à - 1 modulo 4. .J THEORÈME DE 57 FERMAT Mais, d’autre (axl)x(aXZ)... part : X(ux(p-l))=aP-‘.(p-l)! d’où : a”-‘.(p-l)!= CHAPITRE V l THEORÈME FONCTIONS 1. - DE UP-l = 1. FERMAT ARITHMETIQUES Théorème de Fermat Nous avons constaté (cf. p. 45), que tout élément non nul d’un anneau intègre fini - ou corps fini est une racine de 1, c’est-à-dire satisfait à une au nombre bquation a? - 1 = 0, avec n inférieur des éléments de l’anneau. D’ailleurs le polynôme x” - 1, premier avec son polynôme dérivé nx”-‘, n’a que des racines simples. Nous savons aussi que le plne grand commun diviseur de xrn - 1 et de xn - 1 est zd - 1, si m n n = d (cf. p. 42). Le théorème de Fermat apporte des précisions su pldmentaires dans le cas des corps résiduels Z/p. 1 oit a # 0, a E Zlp. Formons les produitsaxl,ax2, . . .,ux(p-1). Aucun n’est nul. Deux d’entre eux sont toujours distincts, sans quoi a serait diviseur de zéro : a X ri = a X rj tj a(ri - rj) = 0. Ils reproduisent donc exactement tous les éléments non nuls du corps. Si nous les multiplions tous antre eux nous trouvons le produit non nul : 1X2X3.. , x (p -- (p-l)! et 1) == (p - l)! Ainsi, tous les éléments non nuls de Z/p sont racines de l’équation xn-i - 1 = 0.’ Ou bien, dans l’anneau Z des entiers, tout nombre non multiple de p, vérifie la congruence xs-i - 1 I Ci modulo p. Il résulte d’ailleurs de ceci que tout élément de Z/p, zéro y compris, est racine de l’équation : 29 -x = 0. Ou bien, dans Z, pour tout x, x9 = x modula p. Remarque. - Cette démonstration s’applique B tout corps fini commutatif. Si un tel corps a m éléments, Nquation Px est satisfaite par tout élément du corps, et l’on a identiquement xm-z=x(x-1)(x-a) 0,l.a ,..., Z étant . . . (z-1). les éléments Le théorème de Fermat parler de réciproque. du corps. n’a pas à proprement Un nombre composé n est dit pssudo-premier si 2” E 2 (modulo n), et il est dit absolument pseudo-premier (ou nombre de Carmichaël) si a” E a (modulo n) pour tout a premier avec n. On sait qu’il existe une infinité de pseudo-Premiere. On sait qu’il existe des nombres de Carmichaël mais on ignore s’il y en a une infinité. 645 est pseudo-premier, de même que 161038. 11 y a une infinité de pseudo-premiers pairs (cf. B 6, p. 111). II. - Théorème de WiIaon Waring (1734-1798) le théorème suivant publia le premier, en 1770, qu’il attribue a John W& 58 LES NOMBRES PREMIERS son (1741-1793) : Si p est premier, (p -.l)! + 1.~ 0 mod-ulo p: La proposition est évidente si p = 2. Si p est impair, les nombres 1, 2, . . ., p - 2, p - 1 ont chacun dans Z/p un inverse distinct du nombre considéré, sauf 1 et p - 1 dont chacun est son propre inverse. Si donc dans le produit 2 x 3 . . . x (p - 2), nous groupons chaque élément et son inverse (modulo p) le produit sera 1 (mod. p). La factorielle (p-l)! est donc congrue à 1 x (p-l) = -1. Réciproque. - Si (p - 1) ! = - 1 modulo p, dans l’anneau Z/p tout élément non nul a un inverse. En effet, si u est un élément arbitraire et b le produit desp - 2 autres éléments, a. b = - 1 ou a. (-b) = 1 et (- b) est l’inverse de a. Z/p est donc un corps ; p est premier. III. - L’indicateur Reprenons la démonstration mat, mais en travaillant sur m étant un nombre composé. Supposons qu’il y ait q(m) plus petits que m, et premiers Soit a un nombre premier Formons les produits a x rr, rs..., leurs résidus modulo a x a1 axa, . . . a x a* _ taqa,.a, = = . = d’Euler du théorème de Ferl’anneau résiduel Z/m, = n avec avec 4, a m. nombres positifs, lui, ai, u2, . . . , a,. m. x ac..., et soient I 11 r, . 1% . . . a,) = (a,.4 a” E 1 mod. m . . . a,) THEORÈME DE FERMAT L’ensemble des ri est identique l’ordre près car 0 < r, < m et : ri = rj o aa, - à celui ‘des 4, B aaj E 0 mod. m ou : a(q - aj) = 0. y$j ,:i i ‘? ’j : , ; a Comme a A m = 1, a, E uj ou a, = uj. Si nous multiplions alors entre eux, d’une part tous les au,, d’autre part tous les ri, nous trouvons a*[~,. . . . .a,] z [al. . . . . a,] mod. m et, pnisqne (al.. . . . a,) est premier avec m, an s 1 mod. m. C’est la généralisation par Euler du théoréme de Fermat : a n m = 1 3 aq(m) = 1 mod. m de zéro dans Z/m, implique ou : a non diviseur oq(m) - 1 = 0 dans Z/m. La fonction arithmétique q(m), ou indicateur d’Euler est très importante, et nous allons l’examiner plus en détail. Il est évident que ~(1) = 1, si nous décidons d’appeler q(m) le nombre des entiers positifs au plus égaux à m et premiers avec lui. Il est commode de poser ~(0) = 0. Il est immédiat que v(p) = p - 1 pour tout p premier. Soit maintenant m et n deux nombres premiers entre eux. Formons le tableau : 1 m+l 2m + 1 2 m+2 2m+2 3 ... ,*. 2: m+3 2m+3 . . . 3m . . . . . . . . . . . . ..nm .-- ‘2 : .: ‘;~ 6.J ,yi :a{ $8 ‘?! ,?$ ‘;g 60 LES NOMBRES PREMIERS Ce tableau contient tous les entiers positifs aux lus égaux $ nm. Il comprend donc les cp(nm) nomEres que nous cherchons. Nous les trouverons en supprimant tous les composés avec nm, parmi lesquels tous les composés avec m. Or, si s et m ne sont pas premiers entre eux, il en est de même de s et \ de km + s. Toute colonne commençant par un diviseur de 0 dans Z/m sera donc à supprimer totalement. Il restera ainsi après ce premier stade q(m) colonnes. - r 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 4 14 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 q 27 28 29 30 31 32 34 - 35 36 - n Tableau pour 36 = 4 x 9 Dans chacune d’elles figurent n nombres distincts deux à deux modulo n. En effet si um + s z vm + s modulo n, u # v, (u - v) m = 0, et m est diviseur de zéro dans Z/n, ce qui est impossible, m et n étant premiers entre eux. Dans Z/n les colonnes sont donc identiques à l’ordre près des termes. Après suppression des diviseurs de zéro il reste donc dans chacune (p(n) termes. Au total nous avons y(m). v(n) termes non rayés, THJ.?ORi%ME DE 61 FERMAT Chacun d’eux est premier avec m (ire opération), et avec n (2e opération), donc avec leur produit, et : fie4 = ~WcpW On dit de toute fonction arithmétique qui vérifie cette relation (m n n = 1) qu’elle est multiplicative. Il nous reste à savoir la valeur de cp(m) lorsque m est une puissance de p, p premier. Les seuls diviseurs de zéro dans Z/p’ sont les multiples de p aux plus égaux à p’. Ils sont au nombre de p’ : p = p+‘. Donc à =pr-pCM1 =p’ .Ainsiily 1 a 4 - 2 = 2 nombres premiers à 4, qui lui sont inférieurs. De même, rp(9) = 9 - 3 = 6. Nous voici arrivés au résultat d’Euler : Si m = paqb rC.p, q, r, premiers : ( 1-k p(-)=p’(.l-i).y0(1-f).P(1-f) =m(l-i) IV. (l-f) - Théorème (1-t) de Gauss Si m admet des diviseurs, d, la somme les 9(d) égale m. df;nd4 = m. Par exemple, et 12 : dl) les diviseurs de tous de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 + (~(2) + ~(3) + ~(4) + (~(6) + (~(12) = 12 ou 1 j- 1 -t- 2 + 2 + 2 + 4 = 12. 61 LES NOMBRES PREMIERS THEORÈME V6riGons la relation pour m = pa, p premier. Les diviseurs de m sont les p’, r < a : 2 cp(d) = 1 + (p - 1) + (p’ -p) + v. -** + (pa -pa-l) = pa = m. Si m et n sont premiers entre eux et si le théorème e+t vrai pour m et pour n, tout diviseur de mn est de la forme p.v, lu, 1 m et Y 1 n, p. et Y premiers entre eux comme diviseurs de nombres premiers entre eux : / I;cp(p.v) = &$).<p(v) = Zp(p.).Zcp(v) = m.n. Par récurrence sur les facteurs premiers on voit que la relation est générale. Le théoréme est caractéristique de la fonction 9, Plus précisément si x est une fonction arithmétique telle que dFm~(d) = m, pour tout m, alors x = ‘p. En effet x(1) = 1, puisque 1 n’admet qu’un divieeur, lui-même. Supposons que x(x) = T(z) pour tout x inférieur dl) + et d’autre 41) d’une part, de m : 1, 4, d,, . . ., d,, m étant 44) + --- + + - - - + MJ cp(m) = x(m). part + CpW d4 cp(m) = m + x(m) = m : + CP@I) + MJ d’où : Ainsi, par récurrence, vraie pour tout m. on voit VI. est propriétés de v(n) - Racines primitives de Z/p On appelle racine primitive de x* - 1 = 0, toute racine u de x” - 1 = 0, qui n’est racine de x’ - 1 pour aucun n < m. On dit aussi que a appartient à l’exposant m. Un nombre est racine primitive à l’exposant p - 1. Tout de Zlp, s’il appartient corps Z/p a-t-il des racines primitives ? Remarquons d’abord que si a est racine de ti - 1, c’est aussi une racine de xd - 1, m n (p - 1) * d ~~i~i que la relation Quelques 9(n) est toujours un nombre pair pour n > 2. L’équation q(x) = a n’est donc possible que pour a pair. Mais cette (z) = 14 condition nécessaire est loin d’être suffisante. Ainsi ou q(x) = 26 sont impossibles. On démontre d’arl *‘peurs C&l C~(Z) = a n’a qu’un nombre fini de solutions. Pour cela il s it de montrer que pour o > 2, et pair, a < n < a*. Lorsqu’on dresse un tableau des solutions de l’équation pour les premières valeurs de a, on constate qu’il y a toujours une solution impaire lorsque le problème est possible. On pourrait se demander s’il y a là une loi générale. Mais s’il en était ainsi, tous les nombres de Fermat seraient premiers, ce qui est faux (B 1, p. 40). Dans le même ordre d’idées, Carmichaël a 6mis en 1907 l’hypothèse que, lorsque l’équation est possible, elle admet au moins deux solutions. A ce jour, l’hypothèse n’a pu être ni infirmée, ni confirmée (B 6, p. 116). les + - 63 FERMAT Signalons d’abord une formule élémentaire de Dedehind, où [z] est la partie entière de z et où la somme s’effectue sur l’ensemble des entiers aux plus égaux à n : à m. Alors diviseurs DE z)ia;;neyy pour tout m IP - 1, fl- 1 Si g est le gaussien de a; c’est-à-dire s’il est le plus petit exposant pour lequel ti - 1 admet la LES 64 NOMBRES PREMIERS racine a, toutes les racines de ce polynôme sont les puissancesO,l,Z ,..., g-ldea. En particulier, si n est premier avec g, an appartient B l’exposant g. L’équation d - 1 = 0 a don “I cf(g) racines primitives. Groupons alors tous les a qui appartiennent à l’exposant g, 1p - 1. Il y en a zéro ou cp(gJ. Faisons cela pour chaque diviseur de p - 1 et totalisons. Nous devons trouver (p - 1). Or nous trouvons Xcp(gJ pour les exposants possibles, 0 pour les autres. Mais d’après le théorème de Gauss nous devons trouver d,F-l~(d) donc, tout diviseur de (p1) est un gaussien, et il y a, en particulier, cp(p - 1) racines primitives du corps. Exemple. - Dans Z/7, 1 appartient à l’exposant THl?ORÈME - Recherche des racines primitives. - Soit B chercher les éléments primitifs de Z/ll. Prenons un éldment arbitraire, 2 par exemple, et calculons dans le corps, ses dix premières puissances : 1 : Indices Prenons, dans 217, une racine primitive 3. Ses puissances reproduisent tous les éléments non nuls ducorps:3“= 1;3i= 3;3*=2;33=6;34=4; 3s = 5; 3s= 30= 1. Les exposants s’appellent les indices base 3, des éléments du corps. Ils sont définis modulo 6. Les indices base 5 s’obtiennent à partir des précédents en les multipliant par 5 (modulo 6). puisque 5 = 3s. Eléments Indices - 123456 base 3 021453 5 045213 FERMAT La remarque est générale. Tout CO s Z/p est « engendré par un de ses éléments primi tz* s B, c’est-hdire que les puissances de cet élément parconrent le corps tout entier, sauf, bien entendu, son zéro. A chaque élément non nul est attache un indice dépendant de la base choisie. Le chan ement de base revient à une permutation SUT Qies indices. Les indices des racines primitives sont premiers avec p - 1. q(2) = 1 élément appartient à l’exposant 2. C’est - 1 = 6. d3) = 2 éléments appartiennent à l’exposant 3 : ce sont 2 et 4. (p(6) = 2 éléments sont racines primitives, ce sont 3 et 5. VII. DE Puissances 0 1 1 2 2 4 3 8 4 5 5 10 6 9 7 7 2 est un élément primitif. Les autres d’indices 3, 7, 9 soit 8, 7 et 6. Eléments pour point Puissances Puissances 8 3 sont primitifs de 2117. - Prenons de départ (facilité des calcd~) 0 1 1 2 2 4 3 8 8 1 9 10 11 4 -1 12 6 -4 13 ceux encore 2 : 5 -2 9 6 7 -8 14 -.j 15 2 n’est pas primitif. Il appartient B l’exposant 8. Comme ~(16) = 8 les huit nombres qui ne figurent pas en seconde ligne sont des éléments primitifa. cd sont 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14. J. ITARD :*q /’ :’ ’ .. LES NOMBRES ii6 $111. - Applications ii la résolution dans ZIP PREMIERS des équations Soit A résoudre P(X) = ti+xa+x+l=Odans 217. Comme Xe - 1 = 0 pour tout élément non nul du corps, cherchons le plus grand commun diviseur dee deux polynômes, par l’algorithme d’Euclide. Ils aot premiers entre eux. L’équation est impossible. Dans Z/2 comme x* = x, le même polynôme prepd les valeurs numériques de x + x + x + 1 ou x + 1. Il s’annule donc pour x = 1. Son polynôme dérivé 49 + 2x + 1 ou mieux, 0.x* + 0.x + 1 ne s’annule pas, donc 1 est une racine simple. Divisons P(z) Paz -1=x+1: d + x* + x + 1 = (9 + x* + 1) (z + 1). zl + x’ + 1 est premier IX. - Fonction DE de Mobius FERMAT 67 Si a est formé de k facteurs, p(a) = (est forme de k’ facteurs, p(b) = (- l)y. comprend k + k’ facteurs : y(ab) = (- l)k+k’ = (- l)k.(- 1)‘; ai 6 Mais eb l)k’ = p(a).p(b). On sait que si m = paqb ré, la somme de aes diviseurs est : s=p+p+p2+ . . . +pa-1). . ..+q+l).(l+r+re+...+tO-1) u+q+q2+ (cf. B 1, p. 31). Si l’on développe ce produit, chaque terme du développement sera un diviseur de m. Si on remplace alors chaque diviseur d par p(d), on aura la somme des valeurs de h pour tous les diviseurs de m, ce que l’on peut noter : sur 212. x l-44. dlm (1332) Soit p, une fonction arithmétique, définie sur N comme suit : p(n) = 0 si et seulement si n est diviQble par un carré. p.(l) = 1, p(n) = (-l)k si n est un produit de k facteurs premiers distincts. La fonction est une fonction multiplicative. C’est-àdire que pour a et b premiers entre eux : f44 THÉORÈME = f44 - PV+ En effet, si a est divisible par un carré, ab est aussi divisihle par ce carré. Alors p(a) = p.(ab) = 0 et, quel que soit y(b), v(a). 44 = v(ab)Si a et b sont des produits de facteurs distincts, lea facteurs de a sont aussi distincts de ceux de b puiaqueanb=l. Cette somme est nulle. En effet, la fonction étant multiplicative et chaque terme d’une des parenthbee étant premier avec tout terme des autres parenthèses, on est en droit d’écrire : -**l dy4=[~+14P)+14P~)+ - 11 + l-47) + P(!I’) l u+P(r)+II(“)+ =(1-1).(1-l) + l l -1 .3 . . . =o. Soit maintenant f(x) une fonction définie sur R+, à valeur nulle pour x < 1, et prenant ses valeurs dans R. On peut définir une nouvelle fonction F(x), à partir de la précédente par la relation : FL% LES 18 r NOMBRES THÉORÈME PREMIERS DE FERMAT 69 ‘*_ f :r- ’ Par emmple, si f(z) = F(5.3) = f(5.3) + f(W) = 1+1+ e et, en général, ‘F (az) p(l) .F 0 0 f formons .) + f(L45) de la fonction d4 -f(Z) la sommation se faisant de m. En ce cas : +f(;) 0 -f(t) . .. -f(Z) ... +*** -f(Z) . .. +f(;) 146) = Plus précisément somme : 0 + 0 + la colonne numéro 0 + sur l’ensemble $$44 de la relation F on déduit d’après la propriété : *** : 0 f-m* d = a a pour 44 de la fonction p.. l 1 = m 1,2, 3,4, 6, 12 = 1, - 1, - (p(12)=12-6-4+2=4. , ; des diviseur de Gauss : dEd4 Par exemple 0 + = 1. ( Ainsi, Of (3 =fW+ = .. 0 Totalisons &&IF@ p est alors : +r(;) -f (3 = = [a& Soit f(z) une fonction déhie pour les seules valeurs entières de l’argument x. Nous pouvons la compléter dans R+ en posant pour x 4 N, f(r) = 0. Nous pouvons alors procéder de même pour F(x). Les égalités précédentes deviennent : f(m) F (5) ~(5) = F; + fW6) : +f(;) -f (3 [j oh F(z) F($. le tableau +f(f) 3 cr(3) = F(+o) ;i)4 précédent, = 0 pour x < 1 : 1+1+1=5 =;%y =rw+f(;) p(2) = + f(L9. essentielle f(x) En effet, 1 pour x > 1, f(z) - D’après l’exemple écrire, pour x > 1 : nous pouvons F(X) = [iJ. Une propriét6 F Application. La somme du second membre n’a évidemment qa’un nombre fini de termes non nuls, exactement [z], puisque x < 1 impliquef(x) = 0. 1, 0, 1,o RESIDUS II. VI CHAPITRE Rl%IDUS 1. - QUADRATIQUES &patious du second degrh Soit A résoudre, dans le corps Z/p, une Equation du recond degr6 uz? + bx + c = 0. En multipliant les deux membres par u’, inverse de a, et en posant a’ b = - 2r, ce qui est toujours poaaible si p est impair, puis a’ c = q, on est ramené i l’bquation : XI -2rx+q=o. Example. - Dans 52 + 4 = 0 se ramène 217, 3~s - 8 x9 -4x+6=0. En remarquant, dans le cas général, (x-r)‘=xs-2rx+rs toute bquation du second degr6 ra - 4 = a, (x - r)* = u. Dans l’exemple précédent (x - Le tableau : a a’ 0 0 montre 1 2 ,142241 que l’équation s’écrit, que : en posant x9 - 4x + 6 = 0 est équivalent 2)’ E 5 mod. 7. 3 4 Fi n’a pas de racines B: - Résidus La recherche des solutions des équations binômes 2s = a dans un corps donné Zjp est un problème fondamental. Tout élément a pour lequel la solution est possible s’appelle un résidu quadratique (mod. p), OU, en abrégé, un résidu. Les autres éléments, pour lesquels l’équation est impossible, sont dits nonrésidus. Lorsque a est résidu, l’équation xs - a = 0 admet dans Z/p, les deux solutions x0 et - xs dont 1 l’une, considérée dans Z, est inférieure B - p, et 2 positive. Dans Z, l’équation se ramène à la congruehce XI - a E 0 mod. p et les solutions sont : x=xo+py ou x=-x,+pr. Nous savons (cf..p. 26) que, dans chacune de ces suites arithmétiques, l’on peut prendre x premier a tout nombre proposé, et même premier absolu (théorème de Dirichlet). Dans Z/p, nous venons de voir qu’à chaque Asidu a, nous pouvons associer deux éléments distincts, x0 et -xc. Comme il y ai(p-1) de cette espèce, il y a exactement 0 étant i (p - excepté. Il reste donc i (p - couples 1) résidus, 1) non-réeidue. D’ailleurs, pour tout x non nul, x9-l = 1. D’O& v-1 . sia=x& (LT= x0p-1 = 1, et tout résidu est racine Ci mod * 7 dans le corps Il QUADRATIQUES 217. de l’équation xl (p-l) - 1 = 0, et Aiproquement, degré de cette équation étant égal au nombre résidus. le de , LES III. Par ailleurs RÉSIDUS PREMIERS puisque - Critère d’Euler a’ ljj5léments 1) (22 + 1). , ce sont alors des résidus, soit do ZT + 1 = 0, et ce sont des non-résidus. Autrement dit, un 6lBment a de Zjp est, ou non, hidu selon que a9 = 1 ou - 1. C’est un crit&re théorique fort simple, appelé critdre d’Eu&r. En notant, avec Legendre a la valeur 0P ’ (j-lou1) du second membre, on appelle carac‘Ure quahtique de a, la valeur =a;(D-l>*J~'"-l' L’ensemble catif (abélien) des résidus : (;)=1, = 1 et @&(f)=l aaI= 1 q;).(f)+)=1 : ,..i.; $ .d 1. si,etseulementsii(p-l)estpairoup=4k+l. c Ainsi - 1 est résidu quadratique pour les nombres premiers de la forme Pk + 1. Il est non-résidu pour _I? ceux de la forme 4k - 1. Application. - Pour p = 4k + 1, formons dans Zlp, les produits r x rl, r x r,, . . ., r x r,,, d’un résidu r par tous les résidus. Ces produits sont encore des résidus, et sont distincts deux à deux. L’aa d’eux est donc égal à - 1. Soit : rri = - 1. = multipli- d’où ‘,’;.I 1 ‘_ ‘.i-: P de est un groupe r&idn, t-1 i : + 1 pour 0 les fidus, - 1 pour les non-résidus. Le caractère quadratique est un homomorpbisme du groupe multiplicatif (Z/p - { 0 }) sur le groupe multiplicatif + 1, - 1. En effet, si a et b sont deux éléments non nuls du corps : = (a$b-1) un Au contraire, l’ensemble des non-résidus n’est pas un groupe. En désignant par T un résidu et par n un non-résidu, on vérifie aisément que rr = r, rn = n, nn = r (rr est ici le produit de deux résidus, distincts ou non). Nous venons de signaler gue, pour tout p, 5 = 1. 0 Quel est le caractère quadratique de - 1 1 Appliquons le critère d’Euler : -1 = (- $‘H’ = 1 non nuls sont donc racines, P-1 0P 1 est manifestement 0 P= eoitdexOe’-l=O a QUADRATIQUES : x-1 = ( Xe -hep- NOMBRES , . Si r’ est l’inverse de r, alors r, + r’ = 0. Passons aux calculs dans Z, prenons ar = r’ mod. p, b’ E r,, b premier avec a (cf. p. 26). Alors aa + ba = 0 mod.p. Ainsi tout nombre premier de la forme 4k + 1 divise une somme de deux carrés premiers entre eux (cf. B 1, p. 56). On peut même supposer a et b premiers abso- .c .i >r .3 , 1 ) ‘,+, ~“% :‘K i, yj‘. . I 74 LES Iua (th. de Dirichlet). premier de la forme tdle somme. IV. - NOMBRES PREMIERS R$SIDUS QUADRATIQUES Au contraire, aucun nombre 4k - 1 ne peut diviser une = - multiplions modulo p : Prenons 2Xa, . . . . i (p - le reste minimal ka=p.m+r,, Lemme 1.- de chacun Les restes minimaux d’eux par p : membre i (p - Il vient D’où : ( à membre les .’ ‘,: ,, 1) X a = r;(9-1) !XaFG(- ‘+ l)%(p+)! 1 : a --2 e (- l)U. ont pour valeurs Applications 1). 1, 2, . . . , 21 (p - En effet, soit ka et d&h. Si rk = ri, alors exige k= k’, puisque Si rh + ri = 0 alors 1)“. 1) X a. -;p<rr<;p. absolues les nombres = (- de Gauss Etablissons maintenant deux lemmes de Gauss. Soit a un nombre non nul inférieur a p. Formons les produits : lXa, $ 0 En effet, congruences Lemmes 1. C’est-à-dire à l’étude de k’ a deux des produits consi(k - k’) a G 0 mod. p, ce qui ) k-k’/ <p-l. (k + k’) a s 0 mod. p. Mais O<k+k’<;(p-l)+;(p-l)=p-1, k+ k’ et a sont premiers avec p et la congruence est encore impossible. 1 Les - (p - 1) valeurs absolues sont donc distinctes 2 et chacune est infhieure h i p. Le lemme est dé- i . - Formons k 0 suite : 2,4,6, . . . . Zx;(p-l)=p-1. Les restes minimaux par p sont tout d’abord 1e0 nombres pairs positifs 2,4, 6..., cela jusqu’au terme 1 immédiatement inférieur B - p. Puis, du terme im2 médiatement supérieur jusqu’au dernier (p - l), ils sont impairs et négatifs. (Par exemple, le reste minimal de p - 1 est - 1). Il y a donc autant de restes négatifs qu’il y a d’impairs 1, 3, 5 . .. . inférieurs h i p. lUOnt&. Lit3mme2.nombre Dans les mêmes u des restes négatifs conditions, est pair si f 0P le = + 1, Si p =8h&l,;p =&+i,lesimpairs dérés sont 1, 3, 5, . . ., 4h est pair. 1. Leur d nomb~c 2k, ‘;’ i *. ” & ., 116 LES NOMBRES PREMIERS La double A+ront1,3,5 4h+lou1,3,5, ,..., d’oh u = 2h + 1 ou u = 2h - impairs. Ces r4suhat.s peuvent se résumer dans l’égalité 2 = (- 1,** comme on peut le vérifier P &ent. 0 Loi de rdciprocité Cette loi fondamentale, énoncée par Legendre, fut d&nontAe par Gauss. Nous en donnons une démonstration 61émentaire moderne, la plus simple que nous connaissions. (Cf. H. Reichardt, Eine Bemerkung mrr theorie des Jacobischen Symbols, Math. Nachrichten, 19 (1958)) La loi de Aciprocité des résidus quadratiques est exprimée par la relation suivante, oùp et q sont deux pmnkm impairs : I loo “-% p-l =(-1)T'T : ax<py*y>o et : d’oii : y<++l-zop *y< 1 U- -. 2 Ainsi u est la puissance de l’ensemble des points entiers du plan (points à coordonnées entières) tels que : +<a.-py<o XE ( 1,2, . . ..A2(P-l)); Y+,...<[~])* Soit alors deux nombres D’une puissance première part premiers impairs p et q. : 0 = (- l)“, u étant la 0P des points entiers tels que : de l’ensemble Q-l . -;p<qx-py<o 9 Nom avons vu que aanco de l’ensemble en (x, y) entraine py<‘Lz+~p~~(p-l)+~P=P~+P-~ = lsip=8h&l,et-lsip=8h*3. V. - inégalit6 . . . . 4h-3, 1, nombres 77 QUABRATIQUES RÉSIDUS a = (- l)u, u étant la puis0P des x tels que 1~ x < f (p - 1) et qae le reste minimal de ax par p soit négatif. Explicitons dans Z ces conditions : il existe un coaple (+y) tel que : 1 1G xa i(p-1); -~p<ax-py<o. XE 1,2, . . . . $p-1) ; 1 D’autre part, de l’ensemble yE 1,2 ,..., ( 12 (q-1) ). ; =(-l)“, v étant la puissance 0 des points entiers tels que : -fq<py-<lx<0 x et y appartenant aux deux mêmes ensembles pw . I LES g-” S,‘, &I~SSUS. .’ encore : Mais la derniére NOMBRES double PREMIERS inkgalit6 s’kcrit o<qx-py<;q. \ En conclusion, RÉSIDUS rieurs à une bande droites : dont qzx-py+;p=o; on constate o.E! = P q 00 19 QUADRATIQUES que : Celui (- l)“+a compris) sont les dent q*-py-;q=o R des points limité les bords entiers par les droites Y = 1, y = ; (q - (iig‘3). du rectangle (bords x = 1, x = i (p - 1). 1). Y 0 + v étant la puissance entiers tels que : u :, %CE 1,2, . . ..A,(P-q, 1 otx X Fig. Fig. 3 de l’ensemble A des points R est le produit ( 1,2, +,2, . . . . ;(q-l)) et de . . *, f (P-l)) 192 Sa puissance Cet eusemble A est l’intersection de deux au!,- ttw ensembles : Celui B des points entiers inté- de ( ,...+H)). Cd etque: j cartésien 4 Il admet pour rectangle : est : ‘7 centre x = ; (p + l), -1 q-l .2 de symétrie (fig. 4). le centre y = ; (q + 1). du RESIDUS a0 LES En effet, si le point rectangle le point NOMBRES entier z’=;(p+l)-2; (~,y) est intérieur au et intérieur , I I y’=&+11-y est lui aussi entier 61 QUADRATIQUES PREMIERS Ce centre de symétrie commun est intérieur &h bande qui contient B. 11 en résulte (fig. 5), que la partie R - A complémentaire de A relativement à R a une puissance paire, ses points s’associant deux à deux dans la symétrie en question. Mais cette puissance paire est : au rectangle. (q(q)-(U+t+ Y i Par suite (- l)U+O = (-I)F*?. La loi de réciprocité est ainsi démontrée. VI. - - Applicationa 1. Soit à trouver le caractère 627 modulo 17 .-627=(-37) quadratique x 17+2;d’oh de ($72+(;)=1. Fig. Mais de plus, le centre de symétrie de l’ensemble Le nombre est résidu, ~8 + 627ya, x et y premiers 5 du rectangle B : qx’ - PqLx ( )-P(q&Y) l -pyL+L et : !Ix’ -py’>%+g+. mier. (&).(y)-= caractères sont ( 5 égaux ) (-.l)“sXz; 1. Les d& = (5)=-1. (19587) En conclusion 1 “’ pre- l = y--(4x-w) d’où : la forme 1987 est un nombre est centre I w’=q et 17 divise entre eux. I 1. 1987 = La congkence ‘xa = 5 mod. 1987 est impossible, il n’y a aucun carré dans la suite 5 + 1987y, et 1987 ne divise aucun nombre de la forme x1 - y, x et y premiers entre eux. 3. Un exemple de Legendre. très grand, tel que 22366891 diviseur de a+ + 1459. » « Prenons un nombre mniier et cherchons si ce no L&it : p: r-a !,. * “, LES e nombre .m43m~p=P,1 (+> 1459 est premier, 22366891. = ($). p = 4k + 3 par suite (Y). NOMBRES Rl?SIDUS PREMIERS Nous voulons calculer a3 (y) - 1 pour p = 4k’D’où le tableau : p = 20k + : 1 1: 3 +-- (-1)“~ p = 4k f 1, et = 1 pour : d’où (&)= QUADRATIQUES 7 9 11 13 17 19 ++--+ +--+-++a- impair, v = v, 1( = P+, D’oit : ++++---(Y) =-(&) car p E 421 mod. =-(&), 421.~ -7j- 1 Ainsi, les diviseurs premiers de la forme XP + 5yfi, x et y premiers entre eux, sont les nombres premiers : 20k + 1, 3, 7,9, à l’exclusion de tous les autres. 1459. l,ecaractèrecherché(-q) Wsqoe impair. estdonc ’ r ’ est pair, ou = (2) puisque 1459 3 196 mod. 421. Mais 196 est un carré. Le caractère cherché est 1. 22366891 divise la forme x2 + 1459 ya. 4. Quels sont les nombres premiers p pour lesquels - 5 est résidu quadratique ? ou encore, pour Lesquels xa + 5 = 0 est possible dans le corps Z/p 1 ou encore, quels sont les nombres premiers qm divisent la forme x4 + 5ya ? (f)=(T).(%) et (%).(;)=(-l)%?.z=l. 5. Soit par exemple à décomposer en facteurs premiers 4809 = 53a + 5 X 20a. 4809 est divisible par 3, quotient 1603. Les autres facteurs premiers h essayer, jusqu’à 41603 E 40, sont 7,23 et 29. Si l’on remarque encore, au moyen d’une table de carrés, que 4809 = 69’ + 3 x 4a = 3 (4*+3.23*), on voit (B 1, p. 61), que les diviseurs premiers a essayer doivent être, de plus, de la forme 12k + 1 ou de la forme 12k - 5. Seul 7 répond à la question : 1603 = 7 x 229. 229 est premier, la marche de& calculs le prouve. D’ailleurs 229 = 20k + 9, et 229 = 12k + 1. 4809 = 3 x 7 x 229. Donc (;) = (;). .duloSsont z 0 pour Les caractères =lpourp=5kflet P = 5k f 2. quadratiques z 0 mo=-1 UN ANNEAU ALGÉBRIQUE NON EUCLIDIEN à Q. C’est la norme, N(a) tant de a que E;;;;t couple (a, @), N(a@) = N(a).N@). : N(u) = aOr ; CHAPITRE VII N(b) = BF Les deux éléments conjugués de l’équation en t : t* - Nous 6tudions ici un corps algébrique très simple, maia dont l’arithmétique est un peu plus difficile que oelle des nombres naturels. 1. - Le corps Q(i 4s) Cousidérons le corps Q(i@). En posant, pour o, c’est l’ensemble des nombres abréger, i$f5= complexes a = x + yo, où x et y sont rationnels. C’est uu sous-corps de C, corps des complexes. L’addition et la multiplication des nombres complexes sont en effet des opérations internes à l’ensemble : a, + a2 = (2, + x2) + (91 + 35) w aia2 = (%x2- 5YlY2) + (%Y2 + XZYI) (9. Et l’inverse d’un élément non nul de Q(i @) appartient encore à Yensemble : x x-ycd 1-5= 1 = Y x2+ 5yaa x” + 5y2 a (x + YW) k--Y4 x+p de ix. et : N(a) .N(@ = aT+@ = (a@) (3) UN ANNEAU ALGtiBRIQUE NON EUCLIBIEN = N(aa). sont les deux racines 2xt + XI + 5y’ = 0. Le trinôme - 2xt + xa + 5ya est appelé lepolynôme caractéristique de ci. ta II. - Lea entiers du corps Nous appelons entier de Q(i 6). tout éIément dont le polynôme caractéristique a des coefficients entiers. Pour que 2x et X1 + 5ys soient entiers il faut que x = f 2, 2 entier (2 E Z). Si y = f , $ fraction réduite (p n q = l), il faut 2’ 5pa encore que - + p soit entier. 4 Si q = 2r, p estqimpair et on a : %’ 1s + 5p’ 4r3 EZ *4PI zlt’f 5p’ ZZZ et z=x-yo, deux éléSoit a =~+y&, ments conjugués. Leur produit xe + 5ya appartient 85 ce qui implique (IZ)~ + 5pa 13 0 mod. 4. Comme sps = 1 mod. 4, il vient (zr)’ + 1 = 0, congruenca impossible puisque - 1 n’est pas résidu quadratique modulo 4. -i..% 02 .& LES 06 Par mite q doit être impair NOMBRES PREMIERS UN et : ‘g’ + 5 !g = (zq)a4;*20P’ E z. D’où (zq)a + 20~8 E 0 mod. dulo 4 : z est pair. Ainsi x = Les entiers z est entier 4, ou (zq)” E 0 modonc encore y. du corps sont, en dernière analyse, x + yti où x et y appartiennent à Z. Leur ensemble, qui est un module sur Z, est de plus, manifestement un anneau. C’est l’anneau le8 nombres Z(;2/3) que nous désignerons pour abréger par A. Ses éléments inversibles ou unités sont + 1 et - 1. Z est un sous-anneau de A. Nous savons déjB (p. 36) que celui-ci n’est pas euclidien. La décomposition de tout élément en facteurs premiers, toujours possible, n’y est pas unique. L’étude arithmétique de A est donc plus délicate que celle de Z. III. - Idéaux de Z(i 4%) Attachons-nous à l’étude des idéaux Soit 9 l’un d’eux, différent de ( 0 l’un de ses éléments. Le produit de ment de A appartient encore à l’idéal. N(a) = NON EUCLIDIEN 01 -_ .s& x$ .,,;< *il existe dans y, u=x+yw ylEYety,EY+(zl+yrW)+(Xg+ysO)Ef*yl+ya~Y YEY, UEZ =++yw)ud*yUEY’ -,! L’idéal Y est principal, et ses éléments non nuls sont multiples d’un entier naturel. Soit b cet entier et a + bw un élément de 9 associé. Comme & E 3, d E Y et b divise d, tandis que aa + 5b8 est un multiple de d : b 1d 1 a2 + 5b2. Si a, + bo et as + bo appartiennent à y, il en est de même de leur différence a, - a,, nombre rationnel, donc multiple de d. Ainsi u est défini d, et on peut toujours le prendre compris modulo entre 0 et d. C’est ce que nous ferons désormais. Soit tc = x + yw un élément quelconque de 9. b divise y donc y= bt, tEZ et: .j :; a-t(a+bw)=x-atEZ. de cet anneau. } et de A, et tc cc par tout éléEn particulier : Comme a et a + bw appartiennent est de même de x - at, et l’on peut x- ut = du, Ainsi pour tout entiers rationnels aTT=xB+5yaE4. Maia Xa + 5y2 est un entier naturel. Ainsi Z n’est pas rkduite g ( 0 }, et c’est d’ailleurs un de Z (cf. p. 20). C’est donc, dans Z, anneau principal, un principal et tous ses éléments sont les multiples ~f~~13mturel d, non nul. Si d = 1, 4 c.. . ALGEBRIQUE Soit cc = x + ya un élément de 9 extérieur & 2, c’est-à-dire pour lequel y # 0. Il existe de t& éléments, ne serait-ce que dw. L’ensemble Y des y de tous les éléments de 3 est encore un idéal de Z, comme on le constate aisément: YEY et 5ys aussi, ANNEAU n 9 il en u E Z. élément cc de l’idéal, u et t tels que : il existe deux a = ud + t(a + bo). idéal idéal d’un = A avec à l’idéal, poser : Tout idéal pour base les complexe (cf. Mais c’est, pour a = du de A est donc un module sur Z, ayant deux.nombres d, rationnel, et a + ba>, p. 20). de plus, un idéal. Exprimons donc pe + t(a + bo), ccw appartient encore i jl . I 5. --? -’ LES NOMBRES UN PREMIERS l’ensemble. Il suffira d’étudier les cas cc a+ bw. Or, b divise d. Posons d = bc, d’où : dol = bca = - UC + (a + bw) c. = d et a’= Ïl faut donc que d divise ac. . ? Mais d=bcjacobIa. ’ . Ainsi b doit diviser a. Posons a = be. Alors(a+bw)w=-5b-ae+(a+bo)e. Donc d doit diviser ae + 5b = b(e* + 5), ou cIs”+5. En conclusion, le module du + t(a + bo) est un id&xl si, et seulement si, a = be, d = bc, es + 5 E 0 mod. c. Noua noterons dksormais les bases de l’idéal md fl m(a + o) avec Cra+ 5 E 0 mod. d, et nous repréOenterons souvent l’idéal par ses bases : [m4 m(a + 41. Aiors (d, a + w) est encore un idéal, comme on peut le vérifier. La définition du produit de deux idéaux, montre que : [md, m(u + o)] = (m).(d, u + w) = (m).Y où (m) est l’idéal rationnel m. IV. principal - des multiples Des idéaux dans A du premiers Attachons-nous plus particulièrement aux idéaux (d, a + 0). Si d = 1, alors a = 0, et l’idéal (1, w) contenant 1 est identique à l’anneau A. Si d # 1, aa + 5 ss 0 modulo d, et en particulier, d d = p est premier, l’idéal n’existe que pour P = 2Ok + 1, 3, 7 ou 9 (cf. p. 83). ANNEAU ALGÉBRIQUE NON EUCLIDIEN 89 Les congruences a2 + 5 m 0 mod. p ayant alors deux solutions a et p - a, il existe deux idéaux, l’idéal (p, a + w) et l’idéal (p, p - a + 0). Ces deux idéaux sont premiers somme contient en effet, d’une d’autre part le nombre : entre eux. - Leur part, le nombre p, afof(-l)(p-a+o)=2a-p. Or a < p, donc a n p = 1; p est impair, donc Bnp=l.p est par suite premier avec 2a -p. On trouvera donc deux rationnels x et y tels que : PXf(2U--p)y=l. La somme des idéaux contient 1. C’est l’anneau lui-même, et la proposition est établie. Lorsque p = 2, il existe un seul idéal (2, 1 + w). Pour p = 5, il n’y a encore qu’un seul idéal : (5, w). Tous ces idéaux sont premiers, (p, a + 0) G (4 car, si par exemple (4 a’ + 4 # A p appartient au second idéal et il est divisible par md. Cela exige que md = p, car d > 1. D’où m = 1, p = d. Les idéaux sont donc identiques ou conjugués. Mais alors ils sont premiers entre eux, et aucun ne peut contenir l’autre. Si maintenant p est premier, différent de 2, 5, 20k + 1, 3, 7 ou 9, l’idéal principal (p) est premier. En effet (p) c (m) (d, u + w) # A implique md, divise p, et puisque md # 1, md = p. Il n’existe pas d’idéal (p, a + w), donc d = 1, et m = p. Le second idéal est identique au premier. Nous avons trouvé des idéaux premiers de l’anneau. Il n’y en a pas d’autres, la suite le prouvera. LES V. - Idéaux iVOMBRES PREMIERS UN ANNEAU ALGZ%iRZQUE NON C’est donc un module conjugués 91 EUCLIDIBN sur Z : d%+d(a+w)v+d(d-a+o)t Si a appartient à l’idéal : + [d(a + 4 - (a; + 511s .Jf = (m) (4 a + 4 dora aon conjugué b) Cc appartient (4 d - u, u, t, s, étant rationnels. Et c’est évidemment un idéal. Comme as + 5 m 0 mod. d, on peut poser u2+5= c d, et l’idéal cherché est le produit : : a+g=3 appelé pour cela le conjugué En effet : a=mdx+m(a+u)y implique à l’idéal (d)[du+(a+w)v+(d-u+w)t+(a+o-c)sl du premier. : a = mdx + m(u-w)y = m&(x+y) + m(d-a+ w).(-y). Le produit des deux idéaux conjugués principal (m2 d) : Y3 = (m2 d). Le nombre Ed&41 4. Démontrons rationnel m2 d s’appelle la proposition. Comme est l’idéal [as+5=Omod.2 =z-a=2k+ 1 +as=4k’+l a. a2 + 5 = 4k” + 2 =z-2(2k” + 1) = dc]. la norme de : 33=(m)(d,a+o).(m)(d,d-a+o) =(m”)(d,a+~)(d,d-u+w) fl suffit d’établir : Or le produit des idéaux du premier membre est l’ensemble des sommes de produits de la forme : x [dX+(d-a+4Y + d(a + o) Xy + d(d - + Ma + 4 - (a2+ S)Iyy Si 5 divise d, la même divise pas c : égalité entraîne qu’il ne [5 1a2 + 5 =r 5 1Q = 5b, 5(5ba + 1) = dc =E-5 f c]. Les nombres 2a, d et c sont donc dans toua les cas premiers entre eux dans leur ensemble et il existe X, y, 29 tels que 2ax + dy + ca = 1. Le module contient 1, et comme c’est un idéal, c’est A lui-même. (d,a+w).(d,d-a+@)=(d). [h+(a+dyl = d2xX Il auffit de montrer que le module entre crocheta est A. Il contient les nombres d (u = 1, w = t = s = 0) et2a-d(u=s=O,v=-t=l)doncauaai2a. Il contient également c (u = t = 0, 2, = - 8 = 1). Comme aa + 5 = dc, tout facteur commun a a et à d OU à c divise 5. C’est donc 1 ou 5. Si d est pair, « as + 5 = dc N entraîne l’imparité de a et de c : a + o) xY Applications. - 1)4Xfl=YXZ,J#{O)entraîne 3 = Y, ou, dans la multiplication des idhux, tout id&31 non nul est régulier. Multiplions en effet par 3 les deux membrea dc 9 X% = Y X 37 et soit 3.J = (n). Il vient : (4 % = (4 Lf# UN L’idéal (n) est l’ensemble des multiples de n. L’idéal (n)f est donc l’ensemble des éléments na, o$ a appartient à $. De même (n) %- est l’ensemble des élkments np, oti p appartient h X. Puisque (~)y = (n) Y, à tout a de y, on peut associer un a de JT tel que na = np ou a = p. Réciproquement à tout 8 de %, on peut trouver un égal dans f. Donc # = xl 2) (pIa+ x (P,P--“+O)=(P). 3) Si d est premier avec d’, il existe dans Z x et y tels que dx + d’y = 1. Les idéaux Y = (d, a + o), Y = (al, a’ + 0) sont alors premiers entre eux. & appartient à Y, a’ + w appartient à Y, donc &(a’ + w) appartient à 9.9’. Il en est de même de d’ y(a + 0). Le produit contient donc : a’dx+ad’y+(dx+d’y)o a” + w avec a” = a mod. d et a” = a’ mod. d’. 11 est par suite de la forme (d”, a” + 0). c’eet-Mire (ci”) = (4.3’) (m) = (9.3) (9’ .3’) = (dd’). Rkciproquement, soit un idéal (dd’, a” + w) avec dn d’ = 1. Comme a”2 + 5 z 0 mod. dd’, implique : a”= + 5 = 0 mod. d il existe un idéal (d, a + w) avec a E a” mod. d, O<a<d. De même, il existe un idéal (d’, a’ + o) avec a’ E a” mod. d’, 0 < a’ < d’. Leur produit est un idéal (dd’, n + 0). Puisque le produit est ici l’intersection des idéaux, m + o E (d, a + o), et par suite m = a mod. d. De même, m E a’ mod. d’. D’où m I a” mod. dd’ (ef. p. 51), et puisque a”, m E ( 0, 1, . . . , dd’ }, n F a”. ANNEAU ALGÉBRIOUE NON EUCLIDIEN 93 Conséquence. - Tout idéal (m) (d, a + o) se dBcompose en produit de facteurs des formes(p” p premier, et (p”, a + o), p premier. Exemple : (10) (18,7 VI. + 0) = (2) (5) (997 + 4 (291 + a). - Puissances d’idéaux premiers Il reste à nous occuper des idéaux (pu, a + w). Pour un idéal de cette espèce, on doit avoir a* + 5 s 0 a2 + 5 E 0 mod. pu , ce (ru; implique mod. p. Cette dernière congruence a deux solutions daus Z/p. a, et a2 (avec a2 = p-ci). a s a, mod. p ou a E a, mod. p. Supposons avoir résolu aa + 5 = 0 mod. p’-l, et que cette congruence n’ait que deux racines dam Z/p”-l, as et a*. Alors a2 + 5 E 0 mod. pu impliquant as + 5 E 0 mod. pu-l, a s a3 ou a E a, mod. pu-‘. Par exemple, a = as mod. pu-’ et a E as = 4 mod. 0. Posons a = a3 + pu-’ x. Il vient ai + 2cr,xpuS1 + x2p2(u-1) + 5 3 0 mod.p”. Mais 4 + 5 = bp”-l, d’où, aprhs simplification, et si 2u - 2 > u, soit u 2 2 : 2asx + b z 0mod.p. x est bien défini modulo p. D’où, par récurrence, pour toute puissance U, il existe deux, et seulement deux idéaux (p”, a + 0). Or (p, a + w)” a pour module pu, et il est de la forme (pu, a’ + w). Montrons-le par récurrence, en l’admettant pour u et en le démontrant alors pour uf 1. LES *t: .,H __- hz; a’ + w) .(p, P”+I x:+ P(“’ + 0) NOMBRES PREMIERS a + w) a tous ses termes y +$z UN de la + 4 2 au’ - 5 + (a + a’) ca] t. a=a’mod.p=z-a+a’=Za,eta+a’estpremier avec p. En prenant x = z = 0, py + (a + a’) t = 1, on voit que l’idéal contient un terme u” + o, ce qui établit la proposition. Ce terme est : a’py + (ad - 5) t + w. Reste A prouver que son élément congru à a mod. p. Mais 2at s 1 : rationnel est a’py+(uu’-5)t=(ua’-5)t=rmod.p. Multiplions -5) par 2a : s 2ar ou d-5 E 2ar. W’ Or aa + 5 s 0, donc 2ar = - 10, ar + 5 = 0, ar E aa, r s a. Par récurrence la proposition est établie, à savoir : (pu, a’ + 4 = (p, a + 4”. Ceci lorsque p est distinct de 2 ou de 5. Idéaux (2”, a + w). - Pour u > 2, « a2 + 5 E 0 mod.2”,impliquea2 + 5 E Omod.4ouaaf 1 E 0, congruence impossible. Il n’existe donc pas de tels idéaux. Donc (2,1 + a)*, qui a pour module 4, est de la forme (m) (d, a + 0) avec m > 1. 4=m2d implique m=2, d=l, et par suite (2,l + fq = (2). Iddaux (5”, a + w). - On doit avoir a2 + 5 = 0 mod. Su, d’où a = 5b, 5b2 + 1 z 0 mod. 5“-l ou 1 s 0 mod. 5 si u > 2. Ce qui est impossible. Il n’existe donc pas de tels idéaux. ANNEAU ALG.@BRIOUE NON EUCLIDIEN 95 (5, CA)~ est donc de la forme (m) (d, a + w) avec est 52 = m2 d, d’où d = 1, m > 1. Sa norme (d, a + W) = A, et (5, a)2 = (5). VII. - Décomposition en facteurs premiers Nous connaissons désormais tous les idéaux premiers de A, et nous savons décomposer un idéal en produit de facteurs premiers. Par exemple, revenons à l’idéal (10).(18, 7 + w). Nous l’avons déjà décomposé en (2) (5) (997 + 0) (2, 1 + 6.9. Mais (2) = (2, 1 + ti)2, et (5) = (5, w)2, (9, 7 + w) = (3, 1 + oy. D’où : (10) (18, 7 + o) = (2, 1 + 0)~.(3, 1 + ~)~.(5, o)? Reste à savoir si la décomposition est unique. Or, nous avons laissé, p. 17, une question en suspens : Si l’idéal premier B contient l’idéal 4, B divise-t-il 3 ? Si B est un idéal premier principal (p), tout élément de 9, donc tout élément de 9 est divisible parp. 3 est donc de la forme (m) (d, a + o) avec m = pn. Alors 4 = (p). (rt). (d, a + w) et la réponse est affirmative. Si 9 est un idéal premier (p, a + w) et : 3 = (m) (a+' + 0) alors tout élément rationnel de 4 est divisible par p. Mais le p.g.c.d. de ces éléments est md. Donc p, premier, divise soit m soit a. Si p divise m, (p, a + w) divise (p) qui divise(m) qui divise 4. Donc (p, a + o) divise 9. Si p ne divise pas m, il divise a, soit a = pu .a' ; d’ n p = 1. Alors : (a,~' + 0) = (pu,a” + ~).(a', ~3"'+ w). LES NOMBRES .- !% la PREMIERS $ a” z a mod. p, (p”, a” + o) = (p, a + CO)* et roposition est encore établie. !Yi a” =p-a mod. p : (p”, a” + 0) = (p,p - - Idéaux principaux de Z(i 45) Soit a = m(xo + yew), x0 n yo = 1; un élément arbitraire de l’anneau A. Quel est l’idéal des multiples de a ? Il est manifestement le produit par (m) de l’idéal des multiples de xc + yeo. Ce dernier ne contient plus de diviseur rationnel, puisque x0 et yo sont premiers entre eux. Il est donc de la forme (d, a + o) et nous devons déterminer a et d en fonction de x, et y,, Tout multiple de x,, + y,,~ s’écrit : kil + Y04 (x + Y4 = xx0 - %Y0 + @Yo + Fo) a* Choisissons x et y de façon à ce que le coefficient de w soit 1 : zyo + yxo = 1. ALGÉBRIQUE NON EUCLIDIEN Cette équation de Bachet est possible, X0” yo= 1. Si x,, y1 en est une solution : a + w)” = (P)U. Mais alors B est premier avec p (cf. p. 89), donc avec (P)u. Il est premier avec (d’, a”’ + w) puisque p n d’ = 1 (cf. p. 92). Il est donc premier avec le produit (d, a + o) et ne peut le contenir. Ce cas est impossible. En conclusion, dans Z(i d5), 3 c Y *B 19. Un idéal premier qui divise un produit de deux facteurs divise au moins l’un des facteurs. En effet B divisant le produit X x $ contient ce produit. S’il contient Y, il le divise d’après ce qui précède et la proposition est établie. S’il ne contient pas 4, il est premier avec lui (cf. p. 17). Donc il divise/ (cf. p. 16). Cette dernidre proposition permet d’établir l’unicité de lu décomposition en facteurs premiers. Il suffit en effet de reprendre le raisonnement de la p. 40. VIII. UN ANNEAU x = ?l+ txo, 97 puisque Y = Y1-% d’où : a = x1x0 - 5Yl Y0 + 64 + 5%). Mais nous avons vu, p. 87, que a est déterminé modulo d, donc d = xi + 5~:. C’est la norme do diviseur donné x0 + y0 w. Ainsi, pour qu’un idéal (m) (d, a + w) soit principal, il faut que d soit la norme d’un élément de A. Si d = xi + 5~0, x0 n y0 = 1, il suffira que a = %x0 - 5y1yo, avec x, y0 + ylxo = 1. a + 0 est alors (x0 +y04 (% +y14 Exemples. Idéal - Idéal principal principal (1 + w). z+y=l+-x=1+2, C’est l’idéal Idéal dego! (w). C’est l’idéal - N(l premier y=O-t, a=1+6c. (6, 1 + w) = (2, 1 + o) (3, 1 + 0). principal (1 -w). C’est le conjugué 5 + a) = (2,l + w) (3,2 + a). (6) = (6,:l (5,~). + w) = 6. du précé- + o) (6, 5 + w) = (2,1 + w)s (3,2 + w) (3,1 + w) tandis que (2) Que l’on se en produit de celle de l’idéal IX. Tous les (p = 20k + Si (p, a + son conjugué de x0 - yoo. principal, il J. ITARD = (2, 1 + w)” et que (3) = (3,2 + o) (3.1 + w). reporte à la p. 36, et à la décomposition de 4 facteurs premiers. Elle n’était pas unique, ruaie (6) est, quant à elle, bien définie. - Idéaux premiers principaux idéaux premiers (p) sont principaux 11, 13, 17, 19). w) est idéal des multiples de x0 + yow, ( p, p - a + w) est celui des multiples Pour qu’un idéal de cette forme soit faut et il suffit que p = xa + 59. Si 7 . LES NOMBRES PREMIERS tout’ diviseur premier de cette forme quadratique était aussi de la forme, tous les idéaux premiers de Z(i d5) seraient principaux et la décomposition en facteurs premiers serait unique sur l’anneau. Or noua savons que cela n’a pas lieu, donc, dans Z, tout diviseur premier de la forme ~2 + 5~’ n’est pas de cette forme. On démontre en effet que, si p, premier, divise la forme xs + 5~2, il est de la forme xs + 5y2 si et seulement si p = 20k + 1,9. Exemples. - 29=32+5x 22;41=62+5~ 12. Au contrairep = 20k + 3,i’, diviseur de xs + 5y2 est de la forme 2x2 + 2xy + 3y2. Exemples : 23 = 2(- 1)2 + 2(- 1) .3 + 3.32 43 = 2.42 + 2.4 + 3.1s. Les idéaux premiers principaux sont donc les seuls idbaux (p), p = 20k + 11,13,17,19, ou (p, a + o), P = 20k + 1,9. La formule 2(2x2 + 2xy + 3y2) = (2x + y)2 + 5y2 montre que, pour p = 20k + 3, 7, l’idéal : (p,a+4.(%1+4 est un idéal principal. On en déduit que le carré de tout idéal premier, puis le carré de tout idéal, est principal. Remarque. - On aurait pu procéder exactement comme nous venons de le faire, dans l’anneau de Gauss (Z, i). Les idéaux de cet anneau peuvent se y;~;; la forme (m) (d, a + i) avec d 1a2 + 1, . . Sont premiers les idéaux (p), p ne divisant pas Zo + 1, c’est+dire p Btant de la forme 4k + 3. Les autres idéaux premiers sont les idéaux (p, a + o),p = 4k + 1, et par suite divisant a2 + 1, UN ANNEAU ALGÉBRIQUE NON EUCLIDIEN 99 ce qui donne pour chaque p, deux idbaux premiers conjugués. Mais de plus, l’anneau étant euclidien, nous savona qu’il est principal. Chaque idéal étant principal, lorsque p est de la forme 4k + 1, il est égal au module d’un éUment de l’anneau. Il est donc de la forme x2 + y’. NO~ retrouvons le théorème de Fermat : Tout nombre premier congru ct 1 modulo 4 est la somme de deux carr&. On montrerait de même, en étudiant l’anneau euclidien Z( 2/2), que tout diviseur premier de la forme x2 - 2ys est aussi de cette forme. x. - Congrueneos dans Z(i 45) Nous disons que u et fi sont congrus modulo 3, Y étant un idgal, si a - @E .Y. On note la congruence a = p modulo 4. On vérifie que c’est une relation d’équivalence qui effectue sur A une partition en classes d’#quivalente. Soit A/# l’ensemble de ces classes. Les classes sont en nombre fini. En effet, soit : 9 = (m) (d, u + w) = (md, ma + mw), si a = x + y~, divisons dienne) : y=qm+r, a est 6quivalent y par m (division OGr<m à : x+yo-q(am+mo)=(x-amq)+ro. Divisons alors x - umq par md, z---amq= (md)q’+s O< s< CLest équivalent à s + r-w. md eucli- LES 100 NOMBRES PREMIERS Le nombre des classes est alors md x la norme de l’idéal. Cela, d’ailleurs, de ddfinition pour cette norme. m = m2d. sert sou- C’est vent XI. - Anneau résiduel modulo On défi& sur A/fl une addition, 8 z p’ mod. 4 » équivaut à : a-a’E3, f3-P’ES d’où 9 CHAPITRE VIII car « a 3 a’ et SOMME DE QUATRE CARRI% : (a- et par a’) + (P - suite : (3’) = (a + B) - (a’ + a + p = a’ + p’. De même : QP -a’P’=a@-p’)+P’(tC--a’)EU14 L’ensemble A/9 XII. *a@= est donc uu anneau - Corps modulo a’p’. hi. B Si l’idéal est premier, l’anneau est un corps. Soit en effet a un élément d’une classe non nulle : B ne contient pas l’idéal (a). Il est donc premier avec lui, et : . (a) + B = A. On trouve alors dans (a) et dans B deux éléments, ax et y tels que ax+y=l. Mais y~g, donc ax E 1 mod. 9, et la classe de x est l’inverse de la classe de a. Ce qui démontre la proposition. Si p = 20k + 11, 13, 17, 19, le corps comprend p* éléments. Si p = 20k + 1, 3, 7, 9, il en comprend p et s’identifie à Zlp. I.-origiuw P’) E 3 Bachet de Méziriac, dans son commentaire sur Diophaute (1621), constate que ce dernier assume, sans preuves, la possibilité de diviser un entier arbitraire, en une somme de quatre carrés entiers. R donne alors une table qui montre l’exactitude de cette assertion pour les 120 premiers entiers, et il déclare qu’il a poussé ses recherches jusqu’a 325. Fermat, dans son Diophanta posthume de 1670, ajoute : « Bien plus, il y a une proposition très belle et tout B fait générale que j’ai été le premier à découvrir : Tout nombre est soit un triangle, soit somme de deux ou trois triangles ; soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés ; soit pentagone, soit somme de 2, 3, 4 ou 5 pentagones, et ainsi de suite indéfiniment... Je ne puis en donner ici la démonstration, qui d6pend de nombreux et abstrus mystères de la science des nombres; j’ai l’intension de consacrer à ce sujet un livre entier et de faire accomplir ainsi B cette partie de l’arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement c0nnues.n Revenant en 1659 sur le théorème de Bachet : Tout rwmbre est carré ou composé de deux, de trois ou ‘de quatre con&, il déclare que la solution en est malaisée et qu’on n’y arrive qu’avec une peine extrême. Mais il l’a rangé sous sa méthode de descente infinie. II. - Une identité d’Euler Comme il n’est rien resté de ses travaux sur la question, Euler s’est longtemps fatigué à la résoudre. Il établit d’abord à ce sujet plusieurs belles propo- LES 102 NOMBRES PREMIERS aitions, mais il était rkservé à Lagrange, qui recon&t tout ce qu’il doit à son aîné, d’aboutir enfin en 1770 g une dkmonstration incontestable du théorame de Bachet. D’ailleurs, en 1773, Euler améliore a Bon tour cette preuve. Dès le dhbut de ses recherches, il avait trouvé une formule algfbrique fondamentale, que voici : (0’ + P + Cp + dB) (aa + Ba + yz + V = As + Bs + Cs + D2 avec : A=az+b@+cy+dS ba + c8 - dy B=ueb8 - ca + df3 c=uyD = a8 + by-+-du. Cette formule, valable sur tout anneau commutatif, est facile B vérifier, ce qui ne signifie nullement qu’elle ait été facile à trouver. entre les quatre carrés de Des permutations chaque somme étant permises, et la donnée du carré d’un nombre laissant pour le choix de celui-ci deux ssibilitb, on peut donner à A, B, C, D d’autres r ormes que celle indiquée ci-dessus. On obtient ainsi 96 expressions diffkrentes. III. - Démonstration Chaque nombre ktant un produit de facteurs premiers, il suffit d’établir le théorème de Bachet pour les nombres premiers, pour que, grâce B la formule d’Euler, il soit établi pour tout entier. Le nombre 2 est somme de quatre carrés, premiers entre eux d’ailleurs : 2 = 1s + la + Oa + 08. Montrons que tout premier impair divise une Wmme de quatre carrés premiers entre eux. SOMME DE QUATRE En effet, si nous pouvons CARRÉS 102 1 est résidu quadratique modulo p, écrire aa + 1 z 0 mod. p, soit a2 + 1 = pq, avec a compris entre 0 et f p. (Puisque a2 E (p - a)2 mod. p.) D’où : pq=az+l<J 4p2+1 et q<ip. L a proposition est en ce cas démontrée. Les quatre carrés premiers entre eux sont : 02, Os, la et a*. Si - 1 est non-résidu, soit 1, rs, rs, . . ., l’en1 semble des 2 (p - 1) résidus. Formons l’ensemble 1 + 0, 1 + 1, 1 + rs, 1 + rs... Il contient i (p f 1) éléments distincts entre eux modulo p. Aucun n’est nul modulo p, sans quoi 1 + ri = 0 équivaudrait à - 1 z ri, cas exclu par hypothèse (- 1 est non-résidu). Les éléments sont distincts, puisque 1 + r, 3 1 + r équivaut à rc = rj, ce P; est exclu. 1 Parmi les2 (p + 1) éléments de l’ensemble, un au moins est donc non-résidu, puisqu’il n’y a que 1) résidus. Soit par exemple 1 + r F! n &P(mod. p), n non résidu, et (- 1) x n = r’, r’ résidu comme produit de deux non-r&idus. Alors 1 + r + r’ E 0 mod. p, et si u* = r, V ESr’, 1 + as + b2 z 0 soit 1 + d + ba = pq. Comme l’on peut toujours supposer a et b inf& rieursà~p,pq=l+d+b~<l+~paetq<~p. La proposition carrés sont, soit est donc générale. Les quatre ceux de 0, 0, 1 et a, premiers e, LES 1@4 entre eux, soit ceux entre eux. De plus, le quotient NOMBRES SOMME PREMIERS de 0, 1, a et 6, premiers q est inférieur a i p ou g f p. Il nous suffira selon le cas d’ailleurs inférieur à p. soit donc, d’une façon générale aa + b2 + c2 + d2 = pq, de le savoir : q< p (1) p premier impair, a, b, c, d premiers entre ew dans leur ensemble. Prenons les restes minimaux de a, b, c, d par q : DE QUATRE 105 CARRES Nf ‘u! Alors a, b, c, d sont multiples de m, et, puisque les quatre nombres sont premiers entre eux, m =e 1. En ce cas q = 2 et a2 + b2 + c2 + d2 = 2p. Un carré étant congru soit à zéro, soit à 1 modulo 4, alors que 2p est congru à 2, deux des nombres, a et b, sont pairs et les deux autres, c et d, impairs. a+b ab c+d c-d --j-‘2’-jf--9 2 sont entiers (!q2 et : + (a+)‘+ (cq)‘+ (9)’ I = i (a2 + P + ca + tP) = p. Le théorème est établi pour p. Dans tout autre cas, r < q. Multiplions alors (1) par (2). Il vient : A2+B2+C2+D2=prq2. Mais : a r, a mod. q implique a2 z c? (mod. q), etc., donc a* + p2 + y2 + S2 G a2 + b2 + c2 + ds et par suite : u2 + p2 + y2 + 62 = qr. Bhis aa Q a $, etc., d’où r < q. L’égalité n’a lieu que si : a=B=y=a=iq=m (m entier puisque a est entier), (mod. q) (2) ‘i A = aa + bp + cy + d8 = q(xct + y@ + zy + t8) + a2 + fd2 + ys + S2 =q(=+yP+zy+ts+r)=A’q B=q(x@-ya+&-ty)=B’q A’: :, ; de même : C=C’q et ; D=D’q. D’où : prq2=A~+B2+C2+D2=q2(A’2+B’2+C’2+b’$) _ ‘; L et donc : A’2 + B’2 + C’z + D’2 = pr. :: 1 1.I2 106 LES NOMBRES PREMIERS Nous voici amenés à une somme de quatre carrés multiples de p, le quotient T étant inférieur au précédent q. Si les carrés ne sont pas premiers entre eux, soit m* leur p.g.c.d. Alors, en posant A’ = am, etc. : (as + b* + c* + Si p est distinct de 1 ou de 2, on procédera comme ci-deseus et l’on trouvera une nouvelle somme de quatre carrés, multiple de p, mais avec un nouveau quotient infkrieur aux précédents. On arrivera, aprL un nombre tlni de calculs, à p = 2 ou p = 1. Le théorème de Bachet est ainsi démontré pour les nombres premiers, donc, pour tous les nombres. Quant B la généralisation par Fermat sur les nombres polygones, que nous avons signalée au début de ce chapitre, alla dut attendre 1812 pour être complètement démontrée pu Cauchy. La dbnonstration de Cauchy précise d’ailleurs l’énoncé de Fennat : parmi les A polygones dont la somme égale le nombre arbitrairement choisi, n - 4 sont égaux à 0 ou à 1. - Problème DE QUATRE CARRI?% Le premier résultat est celui publié La démonstration est à notre portée. On vérifie sans mal que : par Liouville, en 185% 6X2 = 6(r2 + y2 + z2 + t2)2 = (% + Y)” + (x -Y)4 + b + v + tz - :Y + (% + z)4 + (% - d4 + (t + Y)4+ 0 -ur + (x + ty + tx - tj4 + (.Y+ 4' + CY- %Y dz) m2 = pr. ma < pr < ps, ne peut pas être multiple de p. Il est donc premier avec lui et divise r. Posons r = m2p. Apr&e simplification : Or + ba + t9 + da = pp avec p < T < q < p. IV. SOMME de Waring Rap elons ce qu’est le problème de Waring : cr Déterminer le no n?b re de représentations d’un nombre n comme homme da p puisrancecl k, positives. ‘I> (Pour quelques détails historiqnas, cf. B 1, p. 123. Pour les démonstrations élémentaires de Y. Linnik et A. Khintchine, cf. B 5, chap. II.) Wuiug avait avancé en 1770 que tout nombre est au plus la somme de quatre carrés, de neuf cubes, de 19 puissances 4 etc. Il n’avait fourni aucune preuve. et comme tout nombre X est somme de quatre carrés, tout nombre de la forme 6Xa est la somme de 12 quatrièmes puissances. Par suite, tout nombre de la forme 6(Xa + Ys + Z’ + T*), c’est-à-dire (th. de Bachet), tout multiple de 6 est la sormne de 48 quatrièmes puissances. Comme tout nombre s’écrit 6m + 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, tout nombre est au plus la somme de 53 quatrièmes puissances. Pour les sommes de cubes, Maillet a établi en 1895 que tout nombre est la somme de 17 cubes au plus (résultat am6lior6 par Wicferich eu 1909 : 9 cubes au plus). Nous ne donnerons pas la démonstration de Maillet, mais en voici 1’ident.U de départ : ~x(~~+Y~+z~+~~)=(z+Y)~+(~-Y)B + (XT+ # + (x - zy + (z + ty + (z - :y. - :$ .*; * . ‘,. CORPS CHAPITRE CORPS FINIS 1. - IX OU CORPS DE GALOIS Corps de Galois Nous allons, dans ce chapitre, rechercher tous les corps finis commutatifs, puis nous montrerons que tout corps fini est de cette espèce. Nous avons déjà constaté que tout corps fini, commutatif ou non, contient un sous-corps primitif z/p (cf. p. 49). Soit alors un corps K fini, commutatif, à n éléments, et de caractéristique p. Tous les éléments sont solutions de l’équation x” - x = 0 (cf. p. 57). Le polyname xn - x n’a donc sur le corps d’autres facteurs premiers que des facteurs du premier degré. Si a est un élément de K, il est racine de xn - x, donc racine d’un et d’un seul des facteurs premiers de ce polynôme sur Z[p. Soit F(x) ce facteur, et r son degré. Si nous formons tous les p’ polynômes en a, de degré au plus égal à r - 1, et à coefficients dans Z/p, tous ces polynômes appartiennent à K, et forment un ensemble qui n’est autre que le corps des résidus modulo F, sur Zlp. C’est un sous-corps A, de K. Si c’est K lui-même, celui-ci est de puissance p’ = n. Sinon, prenons dans K un élhment a’ n’appartenant pas à A. Décomposons xn - x en facteurs premiers non FINIS OU CORPS DE GALOIS 109 plus sur Z/p, mais sur A. a’ est racine de l’un - et d’un seul - de ces facteurs, <p(x) de degré S. Les polynômes en a’, de degrés inférieurs & s, B coefficients dans A, forment un corps, le corps résiduel modulo @ sur A. Il contient (PT)’ = p” 616 ments. C’est un sous-corps de K et un sur-corps B de A. Si B n’est pas K lui-même, on recommencera. Au bout d’un nombre fini de pas, on arrivera au corps K dont le nombre n d’éléments est ainsi toujours une puissance de p : n = p”. Voici donc un d’un corps premier résultat : Le nombre d’éhhents fini commutatif est toujours une puissance d’un nombre premier. Puisque n = p”, les éléments de K sont tous racines du polynôme xpm - x. Or, on démontre que sur Z/p ce polynôme admet au moins un. facteur premier F de degré m (théorème de Serret, 1855. Cf. J.-A. Serret, Cours d’algdbre supérieure). Soit a une des racines de F dans K. L’ensemble des p” polynômes en a, de degrés inférieurs à m, et à coefficients dans Zlp, est u~1 sous-ensemble de K, de même puissance que lui. C’est donc K lui-même. Mais c’est d’autre part le corps résiduel modula F(x) des polynômes de Z/p [x]. Ainsi tous les corps finis sont des corps résiduels de polynômes, et - à un isomorphisme près bien entendu - on peut dire que pour tout premier p et tout naturel m, il existe un et un seul Corps &li ayant p” éléments. Soit un élément arbitraire a d’un tel corps. On sait qu’il est une racine de l’unité (cf. p. 57). Soit.g son gaussien, c’est-à-dire le plus petit nombre naturel tel que c? = 1. Les exposants 24tels que au = I forment dans Z un idéal dont le diviseur est g. * ” .. ” \^.j : ,* ., > LES -110 NOMBRES PREMIERS CORPS En particulier g divise pm - 1. x* - 1 = 0 a exactement cp(g) racines primitives qui sont a, a”, a”, . . .; 1 , r I, r s. . . , étant les cp(g) nombres premiers i g qui lui sont inférieures. En utilisant le théorème de Gauss, d$~(d) = m, on démontre alors, comme ci-dessus, corps fini K, de pm éléments, possède ments primitifs. Si a est l’un d’eux, non nul est une puissance de a. p. 64, que (p(p” tout le 1) élé- élément Eawnples. - Il existe un seul corps 212 à deux éléments 0 et 1. Il existe un corps A quatre éléments, dont nous avons donné phrs haut, p. 49, les deux tables d’addition et de multiplication. Il existe un corps à huit éléments, c’est le corps rCsidue1 modulo .zs + a? + 1 dans l’anneau Z/2 [s] des polyn6mes A coefficients dans Z/2. On obtiendrait le même corps en utilisant l’autre polyn6me premier du troisième degré, zs + x + 1. Il existe un corps A neuf éléments, corps résiduel modulo zs + x + 2 dans l’anneau Z/3 [z] des polynômes A coefficients dans 213. 11 existe un corps à 22 118 209 éléments... Noua connaissons ainsi tous les corps de Galois, c’est-Mire tous les corps finis commutatifs. Comme il existe des corps non commutatifs, les quaternions par exemple, on peut se demander s’il en est qui soient finis. La réponse est négative. de J. Macl&nTout corps Théorème Wedderlmrn fini (1905) : est commutatif Soit, si possible, un corps fini non commutatif K. Il a une p, nombre premier naturel. Il admet Z/p parmi sea sous-corps. Tout élément a de K permute avec les éléments de Z/p et avec ses propres puissances, donc avec tous les polym3mes P(a) A coefficients dans Z/p, polynômes qui sont cvidemment des elémenta de K. K admet des BOUS-corps, lesquels contiennent tous le corps esraet&ristique FINIS OU CORPS DE GALOIS 111 primitif Z/p. S’il en existe un qui soit non commutatif, substituons-le à K. Recommençons s’il y a lieu. Nous arrivero~ au bout d’un nombre fini de substitutions A un corps uou commutatif minimal - en ce sens que tous ses sons-corps seront commutatifs. C’est lui que nous désignerons désormais par K. Il contient au moins deux éléments a et b qui ne commutent pas entre eux, c’est-à-dire tels que ab # ba. D’ailleurs o et b sont dans K des racines de l’unité (cf. p. 43). Soit a”’ la puissance positive minimale de a telle que as’ = 1. Pour tout 0 < n < m, on aura donc an # 1. Alors l’équation rm - 1 = 0 admet dans K, m racines distinctes qui sont 1, o, as, . . ., umV1. Sur Z/p, xm - 1 se décompose en un produit de factanrs premiers. a est racine de l’un de ces facteurs, F, de degré r. Les polynômes en a à coefficients dans Z/p, modulo F, forment un corps commutatif A, sous-corps de K, ayant p’ éléments. C’est le plus petit sous-corps contenant a. Le polynôme xm - 1 est décomposable dans A, donc dans K : xm - 1 = (X - 1) (z - a) (z - aa), . . ., (x 7 am-l). Il ne peut admettre dans K aucun iE{O,1,2, autre zéro que cri : . . . . m-l}. En effet, pour que dans un corps un produit s’annule, il faut et il suffit que l’un de ses facteurs s’annule. Tout ce qui vient d’être dit pour a se répète pour b, contenu dans un sous-corps commutatif B, et racine de l’équation xn - 1 = 0, le polynôme z” - 1 n’ayant pour zéros dans K que 1, b, bs, . . ., bn-l. Les corps A et B sont distincts, et aucun n’est contenu dans Le plus petit corps l’autre sans quoi a et b commuteraient. les contenant tous deux est K, sinon un certain BO~B-CO~~B de K ne serait pas commutatif, hypothèse déjA exclue. Certaines puissances de a commutent avec b puisque, par exemple, 0.b = 1.6 = b.1 = b.a”‘. Leurs exposants forment dans Z un idéal, ce qui est facile à vérifier. L’ensemble E de ces exposants possède donc un diviseur r > 1 tel que as b = bau implique u = kr. En particulier m = kt (r = 1 impliquerait ab = ba, contre l’hypothèse). Admettons l’existence d’une puissance a* ne commutant pas avec b, s > 1 divisant m : m = SU. Alors os satisfait A l’équation x” - 1 = 0, et au lieu de raisonner sur a, on raisonnera sur os. 112 LES NOMBRES PREMIERS On peut donc admettre que toute puissance de a dont l’exposant, diff&ent de 1, divise m, commute avec b, et que tonte pniseance de b dont l’expoeant, différent de 1, divise n, commute avec a. Dans css conditions, m et R sont des puissances L deux nombrss Jw8miar8. En effet, si m = u.8, u et v premiers entre eux, au et au commutent avec b, u et v appartiennent donc & l’idéal E des mposanta des puissances c&&mtahles avec b. u et v étant premiers entre eux, le diviseur de l’idéal est 1, cas rejeté plus haut : il entraîne ab = ba. Donc m = qa. De même n = qf. Considérons dans K l’application n + X avec X = b-’ zb. Elle eet d6finie sur K. Elle est compatible avec l’addition : L+(x + y) b = b-l zb + b-‘yb et avec la multiplication : b-‘xyb = b-l xb. b-fyb. C’est un automorphisme de K. Ce n’est pas l’application identique puisque a # b-lab. Mais, tout élément de B est appliquk sur lui-même puisque B est commutatif et que b en est un élément. Le sous-corps A est appliqué sur un souscorps A’ isomorphe. Le polynôme xm - 1 a tous les zéros dans A, il a donc aussi tous ses zéros dans A’. Mai8 il ne s’annule, avons-nous remarqué, que pour les puiseances de o, donc b-l ab = au (au racine primitive de P1, done u premier avec m, mais il nous suffit de savoir que 1 < u < m). De même on peut trouver un nombre naturel u tel que 1 < u < n et a-1 ba = V. On tire de ces égalités ab = baU et ba = ab*, puis : ba = ab. bu-l ab = ba.au-1; d’oeil : Mnltiplions @P-l aU-l B droite par amVu+r, v-1 Il existe c-l=p donc deux O<p<n tels que a? = bc. = 1. = entiers il vient : am+l-ua : m+l -U=T O<r<m CORPS FINIS OU CORPS DE GALOZS Les exposants des puissances de a qui satisfont B une telle équation forment un idéal de Z comme on le voit aisément. m appartient à l’idéal puisque 1 = am = bn. Désignons par t son diviseur. Alors m = kr, 1 < k < m et (a’)k = am = 1. Mais a’ = BP, donc bpk = 1 et b@est une racine de d - 1 = 0 (bp # 1 puisque 0 < r < m et que par suite a’ # 1). Le polynôme & - 1 a dans A les xéros 1, or, a*>; . . ., &, Donc a? - 1 divise zm - 1. Mais & - 1 a de plus en commun avec xn - 1, le eéro L 9-l différent de 1, et les deux polynômes s et ne z-1 I sont pas premiers entre eux. Donc (cf. p. 42). m = qa et A = q! ne sont pas premiers entre eux et q = qv En ce cas si par exemple p < a, n divise m, donc rl1 divine xm - 1, et tous les zéros du premier polynôme sont dea zéros du second, d’où b = a:. Mais a commute avec chacune de ses puissances, donc avec b. L’hypothèse de départ conduit 8 une contradiction, et il n’existe pas de corps fini non commutatif. ,.;iJ .<a : .; J$ ,’,.;j :$ :,:.i 4i.q ‘5, LES CORPS 9-ADIQUES 115 10 Par définition, et parce que zéro est divisible par pn”, pour tout m, u(0) = 03. 2O 44 = 44 + y(y). Eneffet,siz=p’i, CHAPITRE LES CORPS X 8-ADIQUES Nous effleurons, dans ce dernier chapitre, un sujet trèe moderne de la théorie des nombres où apparaissent des techniques qui se sont révélées puissantes. Considérons Pour chacun I c-p+!, r6duite a qui le représente, I rationnels. la fraction et attachons-nous p’$. r=m A tout élément si 72= 0, r=-n x = i de Q se trouve si x+y=pn P”-“;+; [ = pn p”-” à un nombre premier p choisi une fois pour toutes. a=p OI.a’, a’ étant premier avec p, m 2 0. De même, b = p”. b’, b’ étant premier avec p, n 2 0. Puisque a et b sont premiers entre eux, un au moins des deux exposants m ou n est nul. Tout nombre rationnel s’écrit donc sous la forme : m = 0. ainsi rattaché un élément de Z, sa valuation : V(X) = t. Cette fonction, définie sur Q et prenant ses valeurs dans Z, est douée des propriétés suivantes : II Y = P” ;,, m > n : de Q le corps Q des nombres de ses éléments, prenons xy=pq+8f$:e p est premier avec a’, b’, a”, b”, donc avec a’a” et b’b”. 3O V(x + y) 2 Id. [v(x), v(y)]. Nous notons par Inf. le plus petit élément d’un ensemble fini de nombres, par Sup. le plus grand. Démontrons ce troisième point : Supposons Une valuation 1. - ety’p8$, #, 1 a’ b” + a” b’ , m _ n > o b’ b” Le numérateur de la fraction de même que le dénominateur. valuations sont différentes : est premier avec p, Donc si les deux 4% + y) = Id. [v(x), v(y)]. Sim=n,x+y=p” a’ b” + a” b’ b,b,, . < Le dénominateur est toujours premier avec p, mais on ne peut rien affirmer du numérateur. Le nombre entier a’ b” + a” b’ peut s’écrire p’ C, c premier avec p, r 2 0. Donc, en général, V(X + y) = n + r 2 n, et V(X + y) 2 v(x) = v(y). LES 116 II. - Anneau NOMBRES LES - PREMIERS des p-entiers Irdreesons-nous au sous-ensemble A du corps Q sur lequel la valuation est positive. Ce sous-ensemble contient manifestement Z. . C’est d’ailleurs un anneau d’après les propriétés 20 et 30 de la valuation. On l’appelle l’anneau des pentiers. L’inverse de p” % étant p-+’ %, on voit que, pour ‘un éUment de l’anneau soit inversible, c’est-à. Ee pour que son inverse appartienne encore à panneau, il faut et il suffit que m = 0. Les Gments inversibles ou unités de l’anneau sont, dans l’anneau, des diviseurs de 1. Pour qu’un p-entier y divise un p-entier x, il faut qu’il existe dans A un élément z tel que x = y.~. En désignant désormais une unité de A par une lettre minuscule grecque, x = p” t, y = pnq, et k %=p m-n -. m, n, m- n sont les valeurs de la rl E valuation pour x, y, z ; - est une unité de A. Y z appartient à A si, et seulement si, m - n 2 0. Pour que y divise x dans A, il faut donc et il suffit que u(x) 2 u(y) 2 0. par une unité. Tout élément de A est divisible Le produit et le quotient de deux unités sont des unités. L’ensemble des unités est un sous-groupe multiplicatif de A. des 2-entiers. Ses Ewnple. - Si p = 2, A est l’anneau unit& aimi $$A sont les fractions dont les deux 17 5 et etc. 3 et mais 3,- 3 6 E7,A. Dans A, 6 divise termes -.12 5 sont impairs, Le quotient est ” le %-entier i. l’unité 3. 2 et 6 ne diffèrent multiplicativement que de CORPS 9-ADIQUES -~~ li? L’anneau A est un cas particulier d’un anneau de valuation. On dit que A est, dans un carpe commutatif K, un anneau de valuation si c’est 1 un anneau et si, pour tout x E K, x ou x appar-. ,\ tient à A. Si les deux nombres appartiennent B A+ ils en sont des unités. On montre que les seuls anneaux de valuation de Q sont les anneaux des p-entiers. III. - Idéaux d’uu anneau de p-entiers Soit un idéal # d’un anneau A de p-entiers. L’ensemble des valeurs de la valuation sur f est un sous-ensemble de N, il admet donc un phr6 petit élément. Si cette valeur minimale est dro, 9 contient une unité E et c’est donc l’anneau lui-même (cf. p. 13). Si la valeur minimale de la valuation est m, 9 contient un élément à A, 9 contient p”E. Puisque i appartieut p” 5 x A = p”. Il contient alors F tout nombre pmx, x étant un 616ment arbitraire de l’anneau. On peut noter 4, = p”. A. Chaque idéal de l’anneau est donc un idbrl principal. Le plus grand de tous, A exclu, est .Y1 = pA, en ce sens que tout autre idéal lui est inclus. On peut exprimer cette idée autrement. On dira que dans A il n’y a qu’un nombre premier p. La d6composition d’un nombre p-entier en facteurs premiers est alors très simple : tout nombre est le produit d’une puissance de p par une unité, LES 118 IV. - Une métrique NOMBRES p-adique PREMIERS - sur Q Un corps est doué d’une métrique ou distance, c’est-&lire est un corps métrique, s’il existe sur le corps une fonction p(z) à valeurs dans R+, ensemble des réels positifs, telle que : 10 p(O)= 0 ; 20 &ry) = p(x)+(y), d’où ~(1) = 1 ; 30 p(x + Y) G Pc4 + P(Y)* Ainsi Q est un corps métrique relativement à la mhique 1x 1, valeur absolue de x, puisque : lOl=O; Iqq=l4IyJ; I~+yl44+lyl. On sait que le corps Q est complété dans le corps R des nombres réels au moyen de cette métrique. Rappelons en quoi consiste cette complétude. Une euite a,, de nombres rationnels qui converge vers une limite rationnelle jouit de la propriété dite, en France, de Cauchy : our tout E > 0 on peut trouver un entier N tel que 7 a,,, - a, 1 < E pour tout m et tout n supérieurs chacun a N. La réciproque n’est pas vraie. On complète alors Q au moyen de nouveaux nombres, les réels, de telle sorte que dans le nouveau corps R, sur-corps de Q, toute suite de Cauchy soit convergente. Soit maintenant le corps Q, un nombre premier p bien défini et la valuation sur Q qui en résulte. Prenons un réel arbitraire r, compris entre 0 et 1. A chaque élément x de Q attachons le réel rVto)= p(x). Noue définissons ainsi sur Q une fonction p. à valeurs dane R+ telle que : 10 p(0) = 0 ; 20 p(zy) =pkw= rvw+o(Y)= fJ(~)~p(Y)= p(x)+(y); nf [(W),(W)’ = sup. [&), p(y)]. 30 p(x + y) é fl LES CORPS Y-ADIQUES 119 Les deux premières propriétés sont celles d’une métrique. La troisième est plus restrictive que 14% + y) < ~(4 + P(Y), puisque, dans R+ : sup. (X, Y) Q x + Y l’égalité n’ayant lieu que pour X = Y = 0. Pour exprimer ce fait, on dit que la métrique ainsi définie est non archimédienne. (Le corps n’est plus ordonné. Ne pas confondre avec les corps ordonnés non archimédiens.) Ainsi se trouvent définies sur Q une métrique archimédienne : la métrique classique p.(z) = ] x 1, et les métriques p-adiques. Il y a pour celles-ci un certain arbitraire, puisque 0 < r < 1 et p premier, peuvent être pris à loisir. Cependant, au point de vue topologique, les diverses métriques correspondant au même premier p sont équivalentes, en ce que si l’une tend vers zéro, il en est de même de toutes les autres. On définira, à partir d’une métrique p-adique, les suites de Cauchy, comme à partir de la métrique classique. Mais ici les choses se simplifient. En effet, si p(a, + 1 - a,) < E à partir d’un certain rang N, comme : dam - 4 = P Ram - s-J + (a,-, - G-J + - . - + (a,+~- 41 G sup. [p(am - am-drdam-, - amA - - l l et que chaque valeur de p est inférieure à E, il en est évidemment de même de leur borne supérieure : « pour tout n 2 N, p(a, + 1-a,) < E » 5 (( pour tout m 2 N, et tout n > N, p(am - a,) < E 1). D’ailleurs, pour vérifier que p(x) tend vers zéro, il suffit de vérifier que la valuation p-adique carres; pondante tend vers + CO. LES a*? ~ Ainsi, ;g .+ r r;, rl . ” NOMBRES en mkrique diadique, la série : s, = 1 + 2 + 22 + 29 + . . . + 2n eut une suite de Cauchy. Elle converge d’ailleurs dans Q - au sens diadique - vers le nombre négatif - 1. Montrons-le en examinant la suite : ~,=-1-S,=-&-&-.22-29 **.2”=-2”+1. n + 1 tend manifestement vers l’infini avec n. ‘<EéGême la série : .j 1 + 2 + 2s + 26 + . . . + 22n+l + . . . est une suite de Cauchy diqne5- convergeant - LES PREMIERS toujours I I : La valuation b + kp” du second x, membre “, = est au moins @ale B n, et donc la suite x,, tend vers “, au sens de la mkique p-adique, de la fraction i. Elle montre % = xnml + m,,p+l aussi que : + kp” 0 < m, < p et donc que la suite des x, se présente sous forme de série : x, = m, + m,p + m,p2 + . . . + rn,,p+l + kp” positive, S = m, + m,p + m,p2 + . , . 1 vers - : 3 ou 121 ou que tout élément de Q, de valuation la limite p-adique d’une série : est (1) dont les coefficients m sont compris entre 0 et p, p exclu. La réciproque n’est pas vraie. Certaines de ces séries n’ont pas de limite dans Q, exactement comme certaines séries convergentes en analyse ordinaire n’ont pas de limite rationnelle. Par exemple la série : (1 + 2 + 29 + . . . + 2299 2 =-- 2(1 + 4 + . . . + 49 3 2 2 4”-1 =--34” =_;Zen+1 =--.3 3 %a = 9-ADIQUES La façon même de procéder montre que Ier qir B Z+, quel que soit le signe x2, *--, x, appartiennent au sens dia- expression dont la valuation 2n + 1 tend vers + a, avec n. D’ailleurs nous savons résoudre les congruences ax = b mod.p”, b quelconque sur Z, pour toute valeur de n, a étant premier avec p (voir p. 50). 2% q, %, . . . . x,, sont les solutions pour les modules pl, p2, . . . , p”, nous pouvons écrire : CORPS 1+1+2T+g+ I a pour limite nombre réel. 1 e, nombre V. ,f J 1 a-- +a+ 1 irrationnel. **a Mais e est uu Le corps p-adiqne Par analogie, nous appellerons entier p-adique toute série S de la forme (l), qu’elle converge eu: non dans Q. Les entiers p-adiques forment un anneau P, qui contient comme sous-anneau l’anneau A des p-entiers du 3 II, et par suite l’anneau Z des entiers ordinaires. Lorsqu’un élément y de P appartient à N, kr , f; LES la NOMBRES PREMIERS LES CORPS .%ALIlQUES 123 .<_ , l” suite S qui le représente est finie et n’est autre que 1Vuiture de y en base p. Nous n’avons jusqu’ici représentk par des série5 que les dlkments p-entiers de Q. Mais soit un élément de Q qui n’est pas un p-entier. Il s’écrit p-” c, c étant une unité de A : k=m,+m2p+m3p2+ . . .. ml>0 s&ie finie si 6 est un élément de N, infinie autres cas. L’éUment de Q s’écrira donc : qp-” + m2pea+l Par exemple + mgp-a+z + ... : des séries : I: = m,p” où a est entier + m2pa+’ positif, + m3paf2 nul ou négatif, .: ,: .. dans les 1 - = 1 + 2 + 23 + 26 + . . . 3 1 - = 2-l + 1 + 22 + 24 + . . . + 22% + . . . 6 L’ensemble Signalons à ce sujet le &orèms de Min~&i-Basse : Une forme quadratique ?I coefficients rationnels reprhente zkro dans le corps Q des nombres rationnels si, et seulement si, elle représente zéro dans le corps R des nombres rhels et dans tous les corps des nombres p-adiquee. (Rappelons qu’une forme est un polynôme homogène. soit par exemple une forme F(z, y, x) de trois variables. Elle repr& sente zéro dans un corps si l’équation F (x, y, s) = 0 admet au moins une solution dans ce corps c’est-à-dire si 1’011peut. trouver q,, ys, zs, éléments du corps, tels que F (a+ yo, 4) = 0.) + ... et ou : Odmi<p est un corps, que ces séries - qui sont des suites de Cauchy par rapport à la mesure p-adique convergent ou non dans Q, au sens p-adique. C’est le corps p-Od+e, qui contient Q comme sous-corps, et ou toute suite de Cauchy converge. Les corps de nombres p-adiques se sont révélés un outil tr&s important de la théorie des nombres pour laquelle d’ailleurs Hensel les a créés. Leur utilisation constitue la mdthde locale. VI. - Anueau des entier5 p-adiques Dans l’anneau P des entiers d’un corps p-adique les éléments inversibles ou unités sont les skies q+m2p+m3p2+ . . ..oùqn’estpasnul. Comme pour l’anneau A des p-entiers de Q, les seuls idéaux de l’anneau sont de la forme 4, = p” . P. Le seul idéal maximal de l’anneau est .Y1 = p.P. 11 contient tous les autres. On peut dire, par suite, qu’il n’y a dans P qu’un seul nombre premier p. Les unités de P forment un groupe multiplicatif. Si 6 est une unité arbitraire, tout élément du corps s’écrit p” 5, n E Z. En particulier tout élément entier x (c’est-Mire appartenant à P), a une décomposition unique en facteurs premiers : x = p” c, n > 0, n, valuation de x. La divisibilité dans P est alors très simple : x divise y, si, et seulement si, V(X) < ~(y). VII. - Théorhme d’Ostrowski Nous connaissons, sur le corps Q des rationnels, la métrique ordinaire et les métriques p-adiques. Signalons encore la m& trique banale u (0) = 0, p(z) = 1 pour tout x # 0. On peut se proposer de trouver toutes les métriqnes passibles sur Q. Nous confondrons évidemment celles qui sont topologiquement équivalentes, par exemple toutes celles dcduites de la même valuation. Remarquons qu’une métrique I -s 1 ,. i. LES &t p(- oomme quand sa restriction x) et p (z) ont pour carré, , dont donc dgalss. NOMBRES PREMIERS à N est comme. En effet l’une et l’autre, lu (9). Elles Puis ai x = i, p (x) = p (a) : p (b). x = x, + r,p OG + +,p’ + : mn+‘-1 xj<p,pW<p(l+m+ . Posons que comme !J(d<P mn+‘-1 m-l D’ailleurs z 2 p”, d’dl m-I Alors l : 4-i-l P m-1 = donc, en posant indépendante [p (x)]’ @Y et en élevant Faisons à la puissance tendre P = c, p.(x) < cd. m-l de x. Donc, pour tout = p (XT) < cx’r ‘, r vers l’infini. Comme, I II (z) < cr .1. c: tend vers avec la même écriture x = 1. Donc p(x). et par suite p(x) > P@“+I)-p(y) A l’écriture .r < p”+l, - : =p”(“f’)-p(y). @n+l - p”)a est indépendant b et comme x E N. En particulier [ -<1+1 1 pQ(n+l) : = p. (x*) les deux membres en base p : = de .r. Désignons-le par la lettre b, x < pn+l, p(x) > bfl, pour tout p(z) . . . +pk)mn > ba? de l’inégalité & la puissance > bf, 1 Faisons posons : pa(n+l) Elevons en basep, 0 <y<pn+1-pn; pn+1-y, [p (a$]’ grâce +m?=p P < -.pa(n+l) m-l c est une constante, exposant r entier, Le crochet . . . + xnp” p (1) = 1 et que : préciser . a+1 z=1+1+...+1 ~(x)<l+l+...+l=x, r(X)CIL(~)+IL(~)m+~(x,)m*+ . ce qui est permis. m = pn, p (z) > pa(“+l) pour tout réN. hIair nous pouvons 125 p. (x) < za. XjQP. Remarquons . B-ADIQUES + yqb) G ma + no. Mais p (1) = 1 d’où 1~ ma + nb, pour tout o et tout b. Cette inégalité est absurde puisque le second membre tend vara s6ro lorsque a et b tendent vers + 00. Pour un seul nombre premier p on a donc m = 11(p) < 1. Pour tout autre premier lu prend la valeur 1. Pour trouver p (x), 1: naturel, on le décomposera en ses factours premiers : x = p.qb.rC... Alors p(z) = ma. On retrouve une mkique p-adique. Venons au premier cas énoncé où il existe un premier p taIquem=~(p)>l. Ecrivons les entiers en base p : avec CORPS et comme Il suffit m&ne de connaItre çr sur l’ensemble des nombres premiers de N. Tout nombre Ctant un produit de facteurs premiers, elle aara alors en effet connue sur N. soit donc nne certaine m&ique p, non banale. Ou bien il existe dans N un nombre premier p tel que p(p) > 1, ou bien ancnn nombre naturel ne jouit de cette propriété. Dans le second cas il existe au moins un premier p tel que p ) < 1, sans quoi la métrique serait banale. ‘e en a-t-il deux ? Soit, si possible, u (p) = tu < 1 et IL(~) = A < 1 p # 2. Il existe alors, pour tout a et tout b rtatnrols deux entiers relatifs x et y tels que zpa + y$ = 1, puisqne pa et $ sont premiers entre eux. Comme p (z) et 12(y) sont inférieurs à 1 (décomposer z en facteurs premiers et appliquer 20, p. 118), p (zp” LES . tendre r vers l’infini. 1>7tend vers p. (x) 3 a9 1 et : i : LES NOMBRES PREMIERS .’ I i g< En emelusion, puisque f Q p (.z) < f, >:; p (z) = Xa, pour tant x naturel. Dow, pour tout x 616ment .‘.-+ ?’ ; ; \ ,; .: iv’ de Q : CL(4 = I % la Topologiquement, cette métrique est kquivalente à la métrique classique par la valeur absolue. Il n’y a donc sur Q que la métrique classique et les métriques padiquer. \ .i BIBLIOGRAPHIE _1. Jean ~TARD, ~;r$ersitaires Ariihm&ique de France, SOMMAIRE et thtorie des. nombres, Pari% PWllSeS coll. ( Que sas-je 1 a, no 1093.2’ a., 2. M. QUEYSANNE. et A. DELACHET, ~~y~~~$ver~tawes 0 ‘, * 3. P.6&~~~~, de France. Thdorie algt?brique coll. des L’a1 kbre moderne. Pari& 4 8 ue sais-je 1 8 no 661. nombres, Paris, B * ii.ti x .. “{ Hermann, 4. Z. 1. BOREVITCH et 1. R. CHAFAREVITCH, ThCarie des nombru, trad. franç., Paris, Gauthier-Villars, 1967. 5. A. GELPOND et Y. LINNIIC, M&hodes &mentaires dans la Worie analytique des Nombres, Paris, Gauthier-Villars, 1965. 6. Monographies de l’Enseignement math&natique, no 6 : h?rodu~Lion à la thdorie des nombres. Quelques problhmes de la thdorie des nombres, Genéve, UnlversitB, 1963. 7. 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Epicurisme CL’), 810. Masquea Gea). 905. Esth&ique CL’). 635. Mentalit& (Les). 646. Esth&ique du cin&m, 751. M;t$;%a en aociologle (Le&. Esthétique industrielle CL’). 957. Po;$m C3ociolosle de la). Existentialisme (L’l. 253. Hegel et l’ht%élian@m~. 1029. Prornoiion sociale (La). 1218. Id$3,en France (Hlstom des). PropriW (Histoire de la). 36. Pwcholwie des meugles (LE), Kant et le kantisme, 1213. 798. Langage et la r>e,ns+ (Le), 693. Pwcholosle, ,m&le (La). 403. Llbr&pm&e (Hlstom de la), lb3af”;02B”“0” C3ociolo& de II,. iPJTRODUcllON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . CHAPITRE PWSDtIER. - anneau - mr lea idhaus d’un . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . Gh?rditb commutatif II. - - III. - Anneaux - IV. - cMgruencw - v. - Th&rème aritbmétiquw - VI. - VII. - VIII. L’anneau 2 des entiers euclidien.3 Rbidua - Un anneau rlg6brique quadcatiquea ............ 56 70 ... ............. 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 - Somme IX. - Corps - x. - Le8 corps SOHUIRE 32 43 a4 101 108 - BIBLIOGRAPHIE 18 ............. Fermat. Fonctions ................... - 9 . rlltiOM& ................... de -5 de quatre finir carrés ou corps p-adiquw non euclidien ........ de Galois. Lo&m (Histoire de la). 225. Logique niodeme (La). 745. Marxisme (Le). 300. M&whysiques (Les grands problèmes). 623. Morales (Les mandes dootrlnesl. 658. Pen%% arabe (La). 915. Pen& juive (La). 1181. Personnalisme (Le). 395. Phenoménologie CL&). 625. Philosophes français d’aujour. dl! iui (Les). 1279. Philn soph_ie a@aiae et am&ri~ Snobisme (Le). 1141. Sociét& animales. wxl&6 hw maine, 696. Sociolonie (Histoire de la). 423. Vie am&loaine (La). 774. CBUX um. 796. ‘Vie awlaise (La). 838. Philosoph!e antique (La). 250. Vie rurale en Franq? (La). 242. Philosophie chinoise (La). 707. Vi$ei” (Soolologle de la). Philoeonhie française (La). 170. Philosophie indienne (La). (937, m8di8vale , Philomphie PSYCHOLOGIE PSYCHANALYSE Attention et 8es maladiea (L’), 541. Auto&? (L’!. 703. ;yedTggyChsldbns (La). 393. car&ctérolom (J+. 880. C!03~ce (Phmolome di f la), iank a& 770. stlwc:tura1isme (Le), 1311. Cryptographie (I&l. 118. Thon 1wme (Le). 587. Graphologie (La). 256. Imagination (L’l. 649. Inconscient (LX 285. SOCIOLOGIE Intelligence CL’). 210. Algérie (Sociologie de 1’). 802. LL&nmw et ls, Dene& (Le). 693. Memoire CL@. 350. Biologie sociale, 738. Bourgeoisie (Les origines de la). MentalitBe (Les), 545. Ori-tation professionnelle (LX 269. Campagne française C?miolo& 121. Passions (Les). 943. de la), 842. Citadins et rumux. 1107. Perception (La). 1076. Personnaliti (La). 758. Classes sociales (Les). 341. Physionomie et urraeti. 277. Droit (pociolopie du). 951. Dy3~m? des 82oupes (La). PBYChandW3 (,h). 660. E%ycholo& W&.olre. de la). 732. ““Y. 1969. - Imprimerie ËDIT. No 30 271 des Presses Universitaires de France. IMpRIMi EN FR*NCE Vendôme (France) IMP. NO 210% Rel&ions humaines (Les). 672. Relations sexwllea Watolre des). 1074. Relation8 sexuelles (Sociolwle des). 1068. RBussi- sociale (La). 1277. R$z20$om (Soclolopie des),