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Vallon
5 septembre 2014
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Table :
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Le danger de l’implicite
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Le danger de l’implicite
Langage vernaculaire vs Langage mathématique
Le langage vernaculaire est la langue parlée et écrite d’un pays donné.
Ici ce sera la langue française
Mais il y a d’autres langages : le langage mathématique, les langages
informatiques (C,Java, etc...)
Dans quel sens peut-on dire que la phrase entre guillemets "Si un
triangle ABC est rectangle en C alors AB 2 = AC 2 + CB 2 " est vraie ?
Dans quel sens peut-on dire que la phrase entre guillemets "Pour tous
les termes de la suite de Sylvester, à partir du rang n = 2, la somme
des chiffres vaut 7" est vraie ?
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Règles
A une phrase mathématique a est associé une unique valeur de vérité
0(faux) ou 1(vrai)
Une phrase mathématique peut contenir des connecteurs comme, non
noté¯, et, ou, si.....alors
Une phrase mathématique peut contenir des quantificateurs comme
Pour tous ,Il existe ....
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Table de vérité du connecteur non
Voici la table de vérité du connecteur non :
a
0
1
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ā
1
0
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Table de vérité du connecteur et
Voici la table de vérité du connecteur et :
a
0
0
1
1
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b
0
1
0
1
a et b
0
0
0
1
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Table de vérité du connecteur ou
Voici la table de vérité du connecteur ou :
a
0
0
1
1
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b
0
1
0
1
a ou b
0
1
1
1
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Table de vérité du connecteur si....alors (symbolisé par ⇒)
Voici la table de vérité du connecteur si...alors :
Définition
si a alors b est défini par b ou ā
a
0
0
1
1
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b
0
1
0
1
si a alors b
1
1
0
1
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Qu’est ce qu’une déduction ?
En mathématiques il y a des axiomes qui sont des phrases
mathématiques dont on admet la vérité
Puis les théorèmes dont on démontre la vérité par déduction
La règle admise de déduction est (règle du modus ponens) :
a vrai
si a alors b vrai
b vrai
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Comment prouver qu’une phrase du type si...alors est vraie ?
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
si a alors b
1
1
0
1
On ne sait pas les valeurs de vérité de a et de b donc il faut tester tous les
cas
a est faux. Dans ce cas si a alors b est vrai
a est vrai . La vérité de si a alors b est la vérité de b donc montrer si a
alors b vrai revient à montrer que b est vrai
Théorème
Montrer que si a alors b est vrai revient à :
On suppose que a est vrai et on montre par déduction que b est vrai
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Regardons cela sur un exemple :
Soit (un ) défini par un =
√
un−1 + 2 avec u0 = 1
Il est prouvé que cette suite tend vers 2 et que pour tout entier n
un 6 2
Et pourtant nous allons montrer : Pour tout n entier si un−1 > 2 alors
| {z }
a
un > 2 est vrai
| {z }
b
Démonstration.
supposons que un−1 > 2 est vrai
Première déduction : un−1 + 2 > 2 + 2 = 4 est vrai car la fonction
x → x + 2 est croissante
√
p sur R
√
Deuxième déduction : un−1 + 2 > |{z}
4 car la fonction x → x est
| {z }
un
=2
croissante sur R+
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Exercice :
Démontrer de la même manière que :
Pour tout n entier, si un−1 6 2 alors un 6 2 est vrai
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