cours integration

T SI1
Année 2011-2012
COURS :INTEGRATION -DERIVATION
-
Table des matières
I- Intégrale d’une fonction en escalier
I-1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . .
I-2 Fonction en escalier . . . . . . . . .
I-3 Intégrale d’une fonction en escalier .
I-4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . .
.
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2
2
2
3
3
II- intégrale d’une fonction continue par morceaux
II-1 Fonction continue par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II-2 Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par une fction en escalier
II-3 Définition de l’intégrale d’une fcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
III-propriétés de l’integrale
III-1 linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III-2 Relation de chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III-3 Croissance de l’intégrale- la valeur moyenne-inégalité de la
III-4 Invariance par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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5
5
5
6
6
IV-Calcul approché d’intégrales
IV-1 Méthode des rectangles : Sommes de RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV-2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
V- Extension aux fonctions à valeurs complexes
7
VI-Primitive et intégrale d’une fonction continue
8
Méthode de calcul
VIIVII-1Formule d’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII-2Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
VIIICalcul de primitives
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moyenne
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10
10
IX-Formules de Taylor
IX-1 Formule de Taylor Avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IX-2 Inégalité de Taylor- Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
MOHAMED SAHROURDI
1
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Intégration sur un segment
n ∈ N∗ , a et b deux réels tel que a < b
I-
Intégrale d’une fonction en escalier
I-1
Subdivision
Définition
1 :
• On appelle subdivision du segment [a, b] toute famille σ = (xi )0≤i≤n d’élément de [a, b]
telle que a = x0 < x1 < x2 .... < xn−1 < xn = b
• On appelle pas ou module de la subdivision σ = (xi )0≤i≤n le réel : δ(σ) = max (xi+1 − xi )
0≤i≤n
• On dit que la subdivision σ = (xi )0≤i≤n est plus fine que la subdivision σ ′ = (yi )0≤i≤p et on note σ ′ ≪ σ
si tout élément de la famille σ ′ est est un élément de σ (( σ ′ est une sous- famille de σ))
σ = (xi ) :
a = x0 x1
σ ′ = (yi ) :
a = y0
b
b
b
b
x2
b
b
x3
y1
b
x4
y2
b
b
xi
yi
b
xn = b
yp = b
b
b
Exemple
1
1
1
8
1
<
<
<
<
< 1 est une subdivison du segment [0, 1] quel est son pas ?
1 : σ : 0 <
9
7
6
2
9
1
1
8
σ ′ : 0 < < < < 1 une est une autre subdivision de [0, 1] qui vérifie σ ′ ≪ σ
6
2
9
Exemple
2 : on pose ∀k ∈ [[0, n]] :
Proposition
b−a
; σ = (xk )0≤k≤n est un subdivision de [a, b]
n
1 : Si σ et σ ′ deux subdivision de [a,b] alors σ ∪ σ ′ est plus fine que σ et σ ′
σ = (xi ) :
a = x0 x1
σ ′ = (yi ) :
y0 = a
σ ∪ σ′ :
b
b
b
b
I-2
xk = a + k
b
b
b
x2
y1
b
b
x3
b
b
xi
b
xi+1
b
b
b
b
xn−1
b
b
y2
b
b
b
b
yj
yi
b
xn = b
yp = b
b
b
Fonction en escalier
Définition
2 : on dit qu ’une fonction φ est en escalier sur [a,b] si il existe une subduvision σ = (xi )0≤i≤n
telle que φ est constante sur chacun des intervalles ]xi , xi+1 [, (0 ≤ i ≤ n − 1)) , une telle subdivision σ est
dite subdivision subordonnée à φ
b
b
a = x0
x1
x2
x3
x4
x5 x6 = b
b
Exemple
3 : la partie entière sur un segment [a, b] .une subdivision subordonnée à la partie entière est formée
de a, b et tous les entiers compris entre a et b
MOHAMED SAHROURDI
2
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Exemple
4 : une fonction constante sur un segment
Remarque
1 :
• Toute fonction en escalier sur un segment prend un nombre fini de valeurs , donc elle est bornée
• Si σ subordonnée à φ et σ ≪ σ ′ alors σ ′ subordonnée à φ
• Si φ et ψ deux fonctions en escaliers sur [a, b] alors λφ + ψ est en escalier , car σ1 associe à φ et σ2
associe àψ alors σ1 ∪ σ2 est plus fine est associe à λφ + ψ
• E([a, b], R) l’ensemble des fonction en escaliers sur [a,b] est un sev de F ([a, b], R)
I-3
Intégrale d’une fonction en escalier
Définition
3 : Soit φ une fonction en escalier sur [a,b] et σ = (xi )0≤i≤n une subdivision subordonnée à φ
et et telle que ∀0 ≤ i ≤ n − 1, ci est la valeur de φ sur ]xi , xi + 1[
Z b
Z
i=n−1
X
(xi+1 − xi )ci
φ=
φ(t)dt =
On appelle integrale deφ sur le segment [a, b] le réel noté par
[a,b]
a
Remarque
i=0
2 : cette intégrale est indépendant de la subdivision subordonnée en effet :
• si σ ′ = (x0 = a < x1 ... < xi < c < xi+1 < ... < xn = b) = σ∪c alors ((xi+1 −xi )ci = (c−xi )ci +(xi+1 −c)ci
donc l’intégrale ne change pas si on prend une subdivision en ajoutant à σ un élément , donc de même en
ajoutant un nombre fini d’éléments
• si σ et σ ′ deux subdivisions subordonnées à φ ,on prend σ ∪ σ ′
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a = x0
b
b
x1
b
b
x2
b
x3
Exemple
5 : Calculer
Z
[0,
I-4
b
x4
b
b
b
b
x5 x6 = b
b
b
3 E(x)dx
]
2
Propriétés
Proposition
2 : (linéarité , croissance ,Relation de chasles )
Soit φ et ψ deux fonctions en escaliers sur [a,b] on a les propriétés suivantes :
Z
Z
Z
ψ
φ+
λφ + ψ = λ
1. linéarité : ∀λ ∈ R :
2. positivité : φ ≥ 0 ⇒
[a,b]
3. Croissance : φ ≥ ψ
⇒
φ≥0
Z
[a,b]
Z
R
4. Inégalité :
φ ≤ [a,b] |φ|
[a,b] φ≥
5. Relation de Chasles : ∀c ∈ [a, b] :
MOHAMED SAHROURDI
[a,b]
[a,b]
[a,b]
Z
Z
Z
[a,b]
3
ψ
[a,b]
φ=
Z
[a,c]
φ+
Z
[c,b]
φ
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II-
intégrale d’une fonction continue par morceaux
II-1
Fonction continue par morceaux sur un segment
Définition
4 : On dit qu ’une fonction f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe un subdivision
σ = (xi )0≤i≤n telle que pour tout i ∈ [|0, n − 1|]la restriction de f à ]xi , xi+1 [ soit continue et admette des limites
finies en xi et xi+1
b
b
b
b
b
b
b
x0
x1
x2 x3 x4
Exemple
6 : Une fonction continue sur [a,b] est continue par morceaux
Exemple
7 : Une fonction en escalier sur [a,b]est continue par morceaux
Exemple
8 : f : x 7→=
Remarque
II-2









x
1
x+1
x2
0
si
si
x ∈ [0, 1]
x ∈]1, 2[
est continue par morceau sur [0, 3]
si x ∈ [2, 3[
si x = 3
3 : Toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée
Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par
une fction en escalier
Théorème
1 :(admis pour TSI : théorème d’approximation )
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b], ∀ε > 0 il existe deux fonction φ et ψen escaliers sur [a, b]
telles que :
φ ≤ f ≤ ψ et ψ − φ ≤ ε
II-3
Définition de l’intégrale d’une fcm
Proposition
3 : Soit f une fonction
continue par morceaux sur [a, b] on a :
(Z
)
φ | φen escalier et φ ≤ f admet une borne supérieure S
(Z[a,b]
)
ψ
[a,b]
|
ψen escalier et f ≤ ψ
admet une borne inférieure I
de plus I=S
Définition
5 : on appelle intégrale de f le réel qu’on note par
Z
f ou
[a,b]
Z
[a,b]
MOHAMED SAHROURDI
f=
sup
φen escalier et φ≤f
4
Z
[a,b]
φ=
inf
Rb
a
ψen escalier et f ≤ψ
f (t)dt et qui vaut :
Z
[a,b]
ψ
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III-
propriétés de l’integrale
III-1
linéarité
Proposition
Z continue par morceaux sur [a,b]
Z fonctions
Z4 : Soit f et g deux
g,
f+
(λf + g) = λ
pour toutλ ∈ R,
[a,b]
[a,b]
[a,b]
Démonstration.
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] et λ ∈ R.
Soit ε > 0. d’après le théorème d’approximation
il existe φ1 , φ1 , ψ1, ψ2 quatre fonction en escalier sur [a, b] telle que
On pose
θi =
ψi + φi
2
pour
i=1
φ1 ≤ f ≤ ψ1
φ2 ≤ g ≤ ψ2
et
et
ψ1 − φ1 ≤ ε
ψ2 − φ2 ≤ ε
i=2
,
et
h = λf + g, θ = λθ1 + θ2



















ε
|f − θ1 | ≤
2
Z
Z
ε
2
Z [a,b]
Z[a,b]
ε
θ2 | ≤ (b − a)
g−
|
2
[a,b]
[a,b]
|
f−
(∗∗)
θ1 | ≤ (b − a)
ε
|g − θ2 | ≤
puis
2








Z
Z




ε
ε


 |h − θ| ≤ (|λ| + 1)

θ| ≤ (b − a)(|λ| + 1)
h−
 |
2
2
[a,b]
[a,b]
Donc
en utilisant la linéarité
de l’integrale des fonction en escaliers on a
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
h−λ
f−
g = h−
θ+λ
θ1 +
θ2 − λ
f−
g =
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b] Z
! [a,b]
!
![a,b] Z [a,b] Z
Z
Z
Z
θ +
h−
g −λ
θ2 −
θ1 , en utilisant l’inégalité triangulaire et les
f−
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b]
majorations dans (∗∗) on obtient
Z
Z
Z
g ≤ (|λ| + 1)(b − a)ε
f−
h−λ
[a,b]
[a,b] [a,b]
on vérifie que
Z
h−λ
[a,b]
Z
en remplaçant h par son expression :
ceux ci pour tout ε > 0 doù
Z
[a,b]
III-2
Z
g = 0 et parsuite
Z
Z
(λf + g) = λ
f+
g [a,b]
f−
[a,b]
[a,b]
[a,b]
Relation de chasles
Proposition
5 :
Z
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] et c ∈]a, b[ On a :
f=
[a,b]
Démonstration.
Soit φ Zune fonction
inférieure
à f
Z
Z
Z en escalier
f
φ≤
φ+
φ=
on a :
[a,b]
[a,c]
[c,b]
[a,b]
Z
Z
f+
[a,c]
Z
Z
f
[c,b]
Z
φ et d’autre part
f −
f ≤
en utilisant la définition de la borne sup on obtient d’une part
[c,b]
[a,b]
[a,c]
Z
Z
Z
f
f−
f≤
[a,c] Z
[a,b] Z
[c,b] Z
f
f≤
f+
donc
[a,c]
[c,b]
Z
Z[a,b]
Z
f lorsqu on fixe une fonction en escalier ψ telle que ψ ≥ f
f≥
f+
on montrer que
[c,b]
[a,c]
[a,b]
puis on utilise deux fois la définition de la borne inférieure MOHAMED SAHROURDI
5
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III-3
Croissance de l’intégrale- la valeur moyenne-inégalité de la moyenne
Proposition
6 :
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] on a les propriétés suivantes :
Z
1. Positivité : f ≥ 0 ⇒
f ≥0
[a,b]
2. Croissance : f ≤ g ⇒
Z
[a,b]
f≤
Z
g
[a,b]
3. la valeur moyenne : inf f (x) ≤
x∈[a,b]
Z
f
[a,b]
b−a
≤ sup f (x)
x∈[a,b]
si de plus f est continue sur [a,b] alors il existe c ∈ [a, b] telle que f (c) =
Z
R
4. Inégalité : f ≤ [a,b] |f |
[a,b] 1
b−a
Z
f
[a,b]
5. Inégalité de la moyenne :si g est continue par morceaux sur [a,b] alors
Z
Z
f
g
≤
sup
|g|
|f
(x)|
[a,b] x∈[a,b]
[a,b]
6. Si f est positive et continue sur [a,b] alors f = 0 ⇔
III-4
Z
f =0
[a,b]
Invariance par translation
Proposition
7 : Si f est une fonction continue par morceau sur [a, b] pour tout c ∈ R
Z
b+c
a+c
f (x − c)dx =
Z
b
f (x)dx
a
Démonstration.
traiter le cas où f est en escalier puis passer a sup Exemple
Z
9 : Si f est T- pérodique continue par morceaux sur R alors pour tout réel a :
T
Z
a+T
f (t)dt =
a
f (t)dt
0
IV-
Calcul approché d’intégrales
IV-1
Méthode des rectangles : Sommes de RIEMANN
b
b
b
b
b
b
b
L’air des rectangles hachurés est :
k=n−1
b−a
b−a X
)=
f (a + k
n
n
b
b
b
x0
b
x1
x2
MOHAMED SAHROURDI
x3
x4
x9
6
x10
b−a
n
k=0
k=n−1
X
k=0
f (xk )
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b
b
b
b
b
b
b
L’air des rectangles hachurés est :
k=n
b−a
b−a X
)=
f (a + k
n
n
b
b
k=1
b
k=n−1
b−a X
f (xk )
n
b
k=0
x0
x1
Théorème
x2
x3
x4
x9
x10
2 : (Sommes de RIEMANN) Si f ∈ C([a, b]) alors
k=n−1
k=n
b−a X
b−a
b−a
b−a X
) = lim
)
f (a + k
f (a + k
n→+∞
n→+∞
n
n
n
n
Z
f = lim
[a,b]
k=0
Exemple
IV-2
k=1
10 :
Méthode des trapèzes
Théorème
3 :Si f ∈ C([a, b]) alors
"
#
k=n−1
b − a (f a) + f (b) X
b−a
f = lim
)
f (a + k
n→+∞
n
2
n
[a,b]
Z
k=1
Démonstration.
b−a
on pose xk = a + k
n
"
" n−1
#
#
Z b
n−1
n
b − a f (a) + f (b) X
b−a 1 X
1X
on a :
f (xk ) =
+
f (xk ) +
f (xk ) tend vers
f (t)dtd’après le
n
2
n
2
2
a
k=1
k=0
k=1
théorème précédent "
"n−1
#
#
n−1
b − a f (a) + f (b) X
b − a X (f (xk ) + f (xk+1 ))
4 : on a
+
f (xk ) =
n
2
n
2
Remarque
k=1
b
k=0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x0
V-
b
x1
b
x2
b
x3
b
b
b
b
x4
b
b
x9
L’aire des
trapèzes hachurés est#
"n−1
X
b−a
(f (xk ) + f (xk+1 ))
:
n
2
k=0
b
x10
Extension aux fonctions à valeurs complexes
Définition
6 : Soit
continueZ par morceaux à valeurs complexes , l’intégrale de f sur le segment
Z
Z f une fonction
[a,b]
MOHAMED SAHROURDI
Im(f )
Re(f ) + i
f=
[a, b]qu ’on note par
[a,b]
[a,b]
7
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Remarque
5 : les propriétes suivantes sont maintenues dans le cas complexes :
1. la linéarité de l’intégrale
2. la relation de chales
Z
Z
R
R
3. les inégalités : f ≤ [a,b] |f | et f g ≤ supx∈[a,b] |f (x)| [a,b] |g|
[a,b] [a,b] Intégration et dérivation
Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I non vide, non réduit à un singleton , à valeurs
réels ou complexes.
K désignera R ou C
VI-
Primitive et intégrale d’une fonction continue
Définition
7 :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I,On dit qu’une fonction F est une primitive de f sur I :
Si F est dérivable sur I et ∀x ∈ I : F ′ (x) = f (x)
Proposition
8 :
deux primitives d’une même fonction différent d’une constante
Démonstration.
∀x ∈ I : F ′ (x) = G′ (x) ⇔ (F − G)′ (x) = 0 ⇔ F − G = k ∈ K Exemple
11 : cos, sin, exp, ln, sinh, cosh, les polynômes
Théorème
4 : théorème fondamental :
Etant donnés une fonction f continue sur un intervalle I et a ∈ I .
Z x
La fonction F : x 7→
f (t)dt est dérivable sur I ,et l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a
a
Démonstration.
Z x
1
F (x) − F (x0 )
− f (x0 ) =
(f (t) − f (x0 ))
Soit x0 ∈ I ,∀x ∈ I, x 6= x0 :
x − x0
x − x0 x0
Puis écrire la définition de la continuité de f en x0 et intégrer entre x et x0 Corollaire
1 :
Si h est une primitive d’une fonction continue sur I alors ∀a, b ∈ I :
Z
b
a
f (t)dt = h(b) − h(a)
Proposition
9 :
Soit f : I 7→ K continue , φ et ψ deux fonctions dérivables sur un intervalle J , et telle que φ(J) ⊂ I et ψ(J) ⊂ I
Z ψ(x)
La fonction g : x 7→
f (t)dt est dérivable sur J et on a:
φ(x)
′
∀x ∈ J, g (x) = ψ (x)f (ψ(x) − φ′ (x)f (φ(x))
Exercice
′
1 :
Etudier et tracer la courbe de f : x 7→
MOHAMED SAHROURDI
8



f (x) =
Z
2x
e−t
t
x
f (0) = ln 2
si
x ∈ R∗
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VII-
Méthode de calcul
VII-1
Formule d’intégration par parties
Théorème
5 :
Soit u, v ∈ C 1 (I, K) et a, b ∈ I.
Z
Z b
u(t)v ′ (t)dt = [u(t)v(t)]ba −
a
Exemple
12 : ∀x ∈ R∗+
Z
b
u′ (t)v(t)
a
x
ln tdt = x ln x − x + 1
1
Exercice
2 : (Intégrale de Wallis )
Rπ
Soit n ∈ N, on pose In = 02 sinn xdx ,Montrer que :
et vérifier les formules de Wallis : I2n =
VII-2
∀n ≥ 2 : In =
(2n)! π
, et
2
2n
2 (n!) 2
n−1
In−2
n
2
I2n+1 =
22n (n!)
(2n + 1)!
Formule de changement de variable
Théorème
6 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I , φ une fonction à valeurs dans I ,et de classe
C 1 sur un segment [α, β] On a :
Z φ(β)
Z β
f (x)dx =
f (φ(t))φ′ (t)dt
φ(α)
α
Remarque
6 : On pratique on pose
dx
= φ′ (t) ⇒ dx = φ′ (t)dt, f (x)dx = f (φ(t))φ′ (t)dt
x = φ(t) puis
dt
et on change les bornes
Exemple
13 : Calculer
Z
−1
p
1 − x2 dx
1
Proposition
10 :
1. f ∈ C([−a, a], K)et paire ⇒
Z
a
f (t)dt = 2
Z
a
MOHAMED SAHROURDI
Z
f (t)dt = 0
b
a
f (t)dt
−a
3. Si f T − périodique et continue alors
4. Si f est continue sur [a, b]
a
0
−a
2. f ∈ C([−a, a], K)et impaire ⇒
Z
Z
b+T
f (t)dt =
a+T
f (x)dx = (b − a)
9
Z
b
f (t)dt
a
Z
−01 f (a + (b − a)t)dt ( par le changement x = a + (b − a)t)
T SI1
Année 2011-2012
COURS :INTEGRATION -DERIVATION
VIII-
Calcul de primitives
Fonction
xα avec α 6= −1
1
x
ln x
eαx avec α ∈ C∗
Primitive
Intervalle de validité
∗
R∗+ ou R si α ∈ N ou R−
si α ∈ Z
ln |x|
R∗+ ou R∗−
x ln x − x
R∗+
R
ax avec (a > 0, a 6= 1
ax
ln a
R
tan x
− ln |cosx|
]
π
−π
+ kπ, + kπ[,
2
2
k∈Z
tan2 x
tan x − x
]
π
−π
+ kπ, + kπ[,
2
2
k∈Z
1
cos2 x
1
sin2 x
tan x
cos x
−
sin x
]
cos(ax + b) avec (a 6= 0)
sin(ax + b) avec (a 6= 0)
cosh(ax + b) avec (a 6= 0)
sinh(ax + b) avec (a 6= 0)
tanh x
1
cosh2 x
1
1 + x2
1
1 − x2
1
√
1 + x2
1
√
1 − x2
1
√
2
x −1
R
R
R
R
π
−π
+ kπ, + kπ[,
k∈Z
2
2
]kπ, π + kπ[,
k∈Z
x − tanh x
R
tanh x
R
arctan x
x+1
1
ln |
|
2
x−1
√
ln(x + x2 + 1)
R
arcsin x
√
ln |x + x2 − 1|
] − ∞, −1[ ou ] − 1, 1[ ou ]1, +∞[
R
] − 1, 1[
] − ∞, −1[ou ]1, +∞[
IX-
Formules de Taylor
IX-1
Formule de Taylor Avec reste intégral
Théorème
f (b) =
k=n
X
k=0
7 : Si f est de classe C n+1 sur I alors ∀a, b ∈ I:
Z b
k
n
(b − a) (k)
(b − t) (n+1)
f (a) +
f
(t)dt
k!
n!
{z
}
|a
Reste intégral
Démonstration.
Par récurrence sur n Exemple
IX-2
14 : ∀x ∈ [−π, π] : 1 −
x2
x2
x4
≤ cos x ≤ 1 −
+
2
2
4!
Inégalité de Taylor- Lagrange
Théorème
8 : Si f est de classe C n+1 sur I alors ∀a, b ∈ Iavec
k=n
(|b − a)|n+1
X (b − a)k
(k)
f (a) ≤
sup |f n+1 (t)|
f (b) −
k!
(n + 1)! t∈[a,b]
k=0
MOHAMED SAHROURDI
10
a≤b:
T SI1
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COURS :INTEGRATION -DERIVATION
Exemple
15 :
Pour tout x ∈ R ona :
lim
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
MOHAMED SAHROURDI
11
k=0
k=0
k=0
k=0
k=n
X
k=n
X
k=n
X
k=n
X
xk
= ex
k!
(ix)k
= eix
k!
(−1)k x2k
= cos x
k!
(−1)k x2k+1
= sin x
k!