PROBABILITES 1. Exemple d’expérience aléatoire : lancer d’une pièce

PROBABILITES
1. Exemple d’expérience aléatoire : lancer d’une pièce
On lance une pièce de monnaie et on note les résultats obtenus : P pour Pile et pour Face.
Résultat
Fréquence expérimentale sur …
lancers
Fréquence expérimentale de la
classe
Fréquence théorique
P
F
« Fréquence théorique » :
on suppose que la pièce n’est pas truquée. Face et Pile ont la même chance de sortir.
Soit fn la fréquence de sortie du P, après n lancers.
Plus le nombre de lancers est grand, plus fn se rapproche de la fréquence théorique de sortie de P.
On dit que la probabilité de sortie de P est …..
2. Vocabulaire
Exemple :On lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure.

On dit qu’on réalise une expérience aléatoire, c’est-à-dire une expérience liée au hasard pouvant
conduire à plusieurs résultats possibles.

Il y a 6 résultats (ou issues) possibles, appelés éventualités.
Les éventualités sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

L’ensemble de toutes les éventualité est appelé univers.
Ici, l’univers est : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Un événement est une partie de l’univers.
Exemple :
L’événement A : « obtenir un chiffre pair ». On a donc : A  2, 4, 6
L’événement B : « obtenir 4 » est un événement élémentaire : il n’est composé que d’une seule
éventualité. B  4
 Le cardinal d’un événement A noté card (A) est le nombre d’éventualités qui composent A.
Exemple :
L’événement A : « Obtenir un nombre pair est composé de 3 éventualités ». card ( A)  3

Un événement impossible :  est un événement qui ne se réalise jamais
Exemple : L’événement C : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 7 »

Un événement certain est un événement qui se réalise toujours.
Exemple : L’événement D : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 6 »
Remarques :
 Une éventualité x appartient à l’univers U. On note x U .
 Un événement A est inclus dans l’univers U. On note A  U .
 Lorsqu’une éventualité x appartient à un événement A, on dit que x réalise A.
3. Notion de probabilité
a) Définition
Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d’un
événement élémentaire se rapproche d’une valeur particulière: la probabilité de cet événement
élémentaire.
Exemple:
La probabilité d’obtenir Pile lors d’un jet d’une pièce est égale à
1
2
b) Propriétés
 La probabilité d’un événement est égal à la somme des probabilités des éventualités qui le
composent.
 La probabilité d’un événement certain est 1.
 La probabilité d’un événement impossible est 0.
 Quel que soit l’événement A, on a 0  p  A  1
 La somme des probabilités des événements élémentaires est 1.
Exemple :
On lance un dé non truqué et on note le numéro de la face supérieure.
Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair »
l’événement B : « on obtient un chiffre au moins égal à 5 »
A={
}
P(A) =
B={
P(B) =
}
Exemple : Dans le lancer d’un dé non truqué : p 1  p  2   ...  p  6  
1
6
c) Equiprobabilité
Si tous les événements élémentaires ou éventualités d’une expérience aléatoire ont la même probabilité,
on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu’il y a équiprobabilité.
En situation d’équiprobabilité, si l’événement A est formé de k événements élémentaires dans un
k
univers qui en contient n, alors : P(A) =
n
nombre de cas favorables à la réalisation de l’événement A
On écrit : P(A) =
nombre de cas possibles
Remarques :
Les expressions suivantes « dé parfait ou équilibré », « boule tirée au hasard dans l’urne », « boules
indiscernables » indiquent que l’on se trouve en situation d’équiprobabilité.
d) Propriétés des probabilités
Exemple :
On lance un dé non truqué et on note le numéro de la face supérieure.
L’univers de l’expérience aléatoire est U = {
}
 Intersection d’événements
Définition :
L’intersection des événements A et B est l’événement A  B formé de tous les événements élémentaires
appartenant à la fois à A et B.
Exemple :
Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair »
l’événement B : « on obtient un chiffre supérieur ou égal à 4 »
On a donc : A = {
Alors : A  B = {
} et B = {
} et P( A  B ) =
}
 Evénements incompatibles
Définition : Deux événements sont incompatibles ou disjoints si leur intersection est vide.
Exemple :
Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair »
l’événement C : « on obtient 3 ou 5 »
Alors : A  C = 
Les événements A et C sont incompatibles.
 Réunion d’événements
Définition : La réunion des événements A et B est l’événement A  B formé de tous les événements
élémentaires appartenant à A ou B.
Exemple :
Soit l’événement A : « on obtient un chiffre au moins égal à 4 »
l’événement B : « on obtient un chiffre impair »
On a donc : A = {
Alors : A  B = {
} et B = {
}
}
 Evénements contraires
Exemple :
Soit l’événement A : « on obtient un chiffre pair »
Le contraire de l’événement A est : « on n’obtient pas un chiffre pair », c'est-à-dire : « on obtient un chiffre
impair »
Il se note : A
A et A sont ……………………….
Propriété :
Soit A un événement quelconque et A son événement contraire, formé de tous les événements
élémentaires de l’univers qui ne sont pas dans A.
On a : P( A ) = 1 – P(A)