Série Corrigée N°1 Calcul Matriciel Exercice 1 :

L1 SEG (MATH II)
Série Corrigée N°1
Calcul Matriciel
Exercice 1 :
On donne la matrice
suivante :
1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) Montrer que pour tout entier , il existe un réel
.
tel que :
3) Vérifier que la suite
est géométrique et donner sa raison.
4) En déduire les expressions de
puis
en fonction de .
Exercice 2 :
On considère le système récurrent
;
1) Ecrire le système
sous la forme
Où
Et
est une matrice à préciser.
2) Ecrire
sous la forme
où est la matrice unité d’ordre 3 et
déterminer.
3) Calculer
, , …,
;
4) En déduire
.
5) Utiliser les résultats précédents pour exprimer la solution générale
de
est une matrice à
Exercice 3 :
Soit la matrice
1) Calculer
et vérifier que
Où est la matrice identité d’ordre 3.
2) En déduire que est inversible et calculer
Exercice 4 :
Soit
1) Vérifier que
2) Déterminer pour tout entier
3) En déduire pour tout
, le reste de la division euclidienne de
, une expression de
en fonction de
par
et , puis en fonction de
.
Exercice 5 :
On considère les matrices
et
1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) En déduire que est inversible et donner
3) On pose
et
(2
)
a) Vérifier que
b) En déduire l’expression de
.
; exprimer
en fonction de et .
en fonction de
et .
Exercice 6 :
On considère la matrice
1) Calculer
,
.
2) Soit la matrice fonction d’un réel
:
Calculer la matrice produit
; montrer qu’elle est de la même forme.
Que dire de
?
3) Vérifier que
et montrer que
4) En déduire que les puissances
de la matrice sont toutes de la forme
, avec
Exercice 7 :
Soit
la matrice identité et
1)
on pose
a) Montrer que
,
et
b) Montrer que
c) Montrer que si
est inversible, alors
.
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BEN AHMED MOHSEN