Chapitre 9 : Multiplications et divisions 1) La multiplication :

Chapitre 9 :
Multiplications et divisions
1) La multiplication :
Exemple :
3 x 2 = l6
Le résultat d'une multiplication s'appelle le produit. Ici c’est 6.
Les nombres qu’on multiplie s’appellent les facteurs. Ici ce sont 3 et 2.
Dans le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance :
23=32
Il faut connaître parfaitement ses tables de multiplication.
Pour multiplier deux nombres plus grands que 9, on pose l’opération en
colonne.
Exemple : 23  14
4 x 23
1 x 23
On ajoute les deux lignes
2
x 1
9
2 3
3 2
3
4
2

2
un point ou 0
Remarques :
● Mentalement, on peut faire une vérification rapide en calculant l’ordre de
grandeur du résultat : 20 x 15 = 300 et 300 est proche de 322.
● A la calculatrice, on vérifie en appuyant sur les touches
322 s’affiche.
23 lx l14 l=
● Quand on pose une multiplication en colonne, il est plus simple de
commencer par écrire le facteur qui a le plus de chiffres.
● La multiplication provient de l’addition :
4x3=3+3+3+3
2) Multiplication de nombres décimaux :
Exemple : Calculer 4, 51 x 2,3
On pose l’opération en colonne :
3 x 451
2 x 451
On ajoute les deux lignes
x
1
9
1 0
4, 5
2,
3 5
0 2
3 7
1
3
3

3
3 chiffres après la
virgule
On commence par faire la multiplication sans s’occuper des virgules (il est
inutile de les aligner).
Puis on compte le nombre de chiffres après la virgule dans les facteurs.
Ici, il y en a trois.
Le résultat a donc trois chiffres après la virgule.
Remarques :
● Il ne faut pas oublier de mettre la virgule au bon endroit au résultat.
● On peut calculer l’ordre de grandeur du résultat :
4,5 x 2 = 9 et 10,373 est proche de 9.
● On peut aussi vérifier à la calculatrice.
3) Multiplication par 10 ou 100 ou 1000 … :
Rappel : un nombre entier a une partie décimale égale à zéro.
63 = 63,0
Pour multiplier un nombre par 10 ou 100 ou 1000 … , on décale la virgule d’un
ou deux ou trois rangs VERS LA DROITE (après avoir rajouté des zéros à
droite si besoin).
On peut donc faire ces multiplications mentalement ou en ligne, il est inutile
de les poser en colonne.
Exemples :
6,25 x 10 = 62,5
6,25 x 100 = 625
6,25 x 1000 = 6 250
4) Multiplication par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 …:
Pour multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 … on décale la virgule d’un
ou deux ou trois rangs VERS LA GAUCHE (après avoir rajouté des zéros à
gauche si besoin).
Exemples :
45,3 x 0,1 = 4,53
45,3 x 0,01 = 0,453
45,3 x 0,001 = 0,0453
Remarque : Quand on multiplie un nombre par 0,1 … le résultat est plus petit
que le nombre de départ.
C’est ce qui se passe dès qu’on multiplie par un nombre plus petit que 1
(commençant par 0,…)
5) La division :
La division est utilisée dans les problèmes de partage.
Exemple : Je partage mes 13 bonbons entre 5 enfants. Combien en ont-ils
chacun ?
On pose la division :
dividende
reste
13
5
- 10
2
3
diviseur
quotient
Chacun des cinq enfants a 2 bonbons. Il en reste 3.
lDans une division, le reste est toujours plus petit que le diviseur.
Quand on s’arrête avant la virgule, on dit que la division est euclidienne.
Si on partage autre chose que des bonbons, on peut continuer la division et
obtenir un quotient décimal, c’est une division décimale :
13,0
- 10
5
2,6
3 0
-30
0
13 = 13,0 et en abaissant le zéro on obtient 30 dixièmes qu’on peut diviser
par 5. On obtient 6 dixièmes donc on écrit la virgule au quotient avant
d’écrire 6.
Remarques :
● La multiplication correspondante est 2,6 x 5 = 13
● A la calculatrice, si on utilise la touche l : , on obtient le quotient décimal.
Pour obtenir le quotient entier et le reste, on peut utiliser la touche
alors les touches seconde l:
On tape
13 :
Q=2;R=3
ou
5 lEXE
s’affiche donc le quotient est 2 et le reste est 3.
Il y a toujours deux résultats dans une division euclidienne.
● Attention : on ne peut pas diviser par zéro, car la multiplication
correspondante est impossible.
● Rappel : dans un problème, on écrit l’opération qui justifie le résultat et on
fait une phrase de réponse.
6) Division par 10 ou par 100 ou par 1000 … :
30 : 10 = 3 peut s’écrire 30,0 : 10 = 3,0
Pour diviser un nombre par 10 ou par 100 ou par 1000 … , on décale la virgule
d'un ou deux ou trois rangs VERS LA GAUCHE (après avoir rajouté des zéros
à gauche si besoin).
Exemples :
45,3 : 10 = 4,53
45,3 : 100 = 0,453
45,3 : 1 000 = 0,0453
Remarque : Diviser par 10 est la même chose que multiplier par 0,1.
Attention à ne pas confondre.
45,3 : 10 = 4,53
et on a aussi 45,3 x 0,1 = 4,53
7) Nombres divisibles par 2 :
Lorsqu’on divise un nombre par 2 et qu’on obtient un quotient entier et un reste
égal à zéro, on dit que ce nombre est divisible par 2.
Exemple : 8 est divisible par 2
8
2
-8
4
0
Le quotient est un nombre entier et le reste est égal à zéro.
Cette division correspond à la multiplication
42=8
8 est un multiple de 2 et 2 est un diviseur de 8.
Il est utile de savoir à l’avance sans poser la division si un nombre est divisible
par 2. Un nombre qui est dans la table de multiplication de 2 est divisible par 2.
Si le nombre est plus grand que 20, il y a un test simple appelé critère de
divisibilité par 2 :
Un nombre entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8.
(On dit qu'il est pair)
Exemples : 18 ; 40 ; 56 ; 72 et 34 sont divisibles par 2.
8) Nombres divisibles par 5 ou par 10 :
Lorsqu’on divise un nombre par 5 et qu’on obtient un quotient entier et un reste
égal à zéro, on dit que ce nombre est divisible par 5.
Un nombre qui est dans la table de multiplication de 5 est divisible par 5. Si le
nombre est plus grand, il y a un autre test simple :
Un nombre entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Exemples : 35 ; 80 et 65 sont divisibles par 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0 .
Exemples : 30 ; 80 et 400 sont divisibles par 10.
Remarque : les nombres divisibles par 10 sont aussi divisibles par 2 et par 5.
Une division par 10 peut être remplacée par une division par 2 suivie d’une
division par 5.
: 10
30
:2
15
3
:5
9) Nombres divisibles par 3 :
Lorsqu’on divise un nombre par 3 et qu’on obtient un quotient entier et un reste
égal à zéro, on dit que ce nombre est divisible par 3.
Un nombre qui est dans la table de multiplication de 3 est divisible par 3.
Si le nombre est plus grand que 30, il y a le test :
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible
par 3.
Exemples : 426 est divisible par 3 (car 4 + 2 + 6 = 12 )
861 est divisible par 3 (car 8 + 6 + 1 = 15)
Remarques :
● Si cette somme est supérieure à 30, on additionne à nouveau ses chiffres
jusqu’à ce qu’on obtienne un nombre dans la table de 3 qu’on connait par cœur.
● On peut aussi faire la division par 3, voir si le quotient est entier et si le
reste est égal à zéro mais c’est moins rapide.
10) Nombres divisibles par 9 ou par 4 :
Un nombre qui est dans la table de multiplication de 9 est divisible par 9.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible
par 9.
Exemples : 729 est divisible par 9 ( car 7 + 2 + 9 = 18 )
603 est divisible par 9 ( car 6 + 0 + 3 = 9)
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers
chiffres est divisible par 4.
Exemples : 712 est divisible par 4 (car 12 est divisible par 4)
620 est divisible par 4 (car 20 est divisible par 4)
Remarques :
● Savoir si un nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 ou par 10
sera très utile pour simplifier des fractions.
● La division par 4 peut être remplacée par une division par 2 suivie d’une autre
division par 2.
● La division par 9 peut être remplacée par une division par 3 suivie d’une autre
division par 3.
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux
multiplication, division.
- Propriétés des opérations :

2+9 = 9+2

3×5×2 = 3×10

5×12 = 5×10 + 5×2
- Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs.
- Multiples et diviseurs des nombres d'usage courant.
- Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10).
Exemples de faits et procédures numériques :
- multiplier ou diviser par 10, par 100, par 1000 un nombre décimal,
- trouver un quotient, un reste,
- multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par 0,1, par 0,5 ...
Utiliser différentes présentations pour communiquer les calculs (formulations orales, calcul posé, en ligne, en colonne, etc.).
En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction ainsi que l'usage des
parenthèses.
Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.
Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples.
- Règles d'usage des parenthèses.
Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l'addition, la
soustraction, la multiplication, la division.
- Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à
diviser par un entier).
Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.
- Fonctions de base d'une calculatrice.
Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul
Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.
- Sens des opérations.
- Problèmes relevant :
- des structures additives ;
- des structures multiplicatives.
Enrichir le répertoire des problèmes additifs et multiplicatifs, notamment les problèmes relevant de la division.