FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CAHIER 6 ET CORRIGÉ
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FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CAHIER 6 ET CORRIGÉ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 TABLE DES MATIÈRES I ENDRECORD 1.0 NOTIONS DE BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2.0 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Identifier un segment de droite congru à un segment donné . . . . . . . . . . . . . . 9 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 MESURES D'ANGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 Donner la signification du terme géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Énumérer les principaux instruments utilisés en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Définir et représenter le point, la droite, la demi-droite, le segment de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Définir et nommer un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesurer des angles à l'aide du rapporteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire des angles de mesures données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classifier les angles d'après leurs mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identifier des angles congrus, des angles adjacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identifier des angles complémentaires, supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identifier des angles opposés par le sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire la bissectrice d'un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire un angle congru à un angle donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 13 14 18 21 22 23 26 28 30 33 36 40 41 42 RELATIONS ENTRE LES DROITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1 3.2 3.3 Identifier des droites parallèles, des droites sécantes, des droites perpendiculaires et des médiatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Énoncer les propriétés des angles formés par des parallèles et une sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire, à l'aide de la règle et de l'équerre, une droite parallèle à une droite donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 46 51 55 56 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 TABLE DES MATIÈRES I DI-AM-1991-06-03 BA-PG/98-03 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 TABLE DES MATIÈRES II 3.4 3.5 3.6 4.0 Élever une perpendiculaire à une droite donnée, en un point donné de cette droite 57 Exercice 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D'un point donné, extérieur à une droite donnée, tracer une perpendiculaire à cette droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire une médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 59 60 61 62 RELATIONS DANS LES TRIANGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Définir et noter le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classifier les triangles d'après les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classifier les triangles d'après les côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire un triangle étant donné les mesures de ses trois côtés . . . . . . . . . . . Exercice 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire un triangle étant donné les mesures de deux côtés et l'angle formé par ces côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire un triangle étant donné la mesure d'un côté et les angles situés aux extrémités de ce côté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construire les hauteurs, les médiatrices, les médianes et les bissectrices des angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 65 67 70 72 74 75 76 77 78 79 80 84 5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.0 LISTE DES SYMBOLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 1 1.0 NOTIONS DE BASE 1.1 DONNER LA SIGNIFICATION DU TERME GÉOMÉTRIE Les figures géométriques font partie de notre décor quotidien. Tout autour on est constamment en contact avec des figures formées de lignes, de triangles, de carrés, etc. Ainsi, si on prend quelques instants pour admirer la structure ingénieuse d'un gros pont, on y voit une variété de lignes allant dans toutes les directions. Ces lignes multiples se coupent tantôt à angle droit, tantôt obliquement et délimitent plusieurs formes que la géométrie fera connaître. Historiquement, la géométrie fut introduite dans le but précis de résoudre des problèmes pratiques. Les Égyptiens se servaient de la géométrie pour des problèmes relatifs à la façon de mesurer leurs terres. Le mot GÉOMÉTRIE est formé de deux mots grecs : gé signifiant terre et metron signifiant mesure. Donc, il signifie "mesure de la terre". MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 2 1.2 ÉNUMÉRER LES PRINCIPAUX INSTRUMENTS UTILISÉS EN G É O M É T R I E Avant d'aborder l'étude de la géométrie, il est important de se familiariser avec les divers instruments qui seront utilisés : la règle, l'équerre, le compas et le rapporteur. 1. LA RÈGLE La règle est une étroite planchette rectangulaire dont on se sert pour tracer ou mesurer un segment de droite. 2. L'ÉQUERRE MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 3 L'équerre est une planchette coupée en forme de triangle rectangle. On l'utilise pour tracer des parallèles ou des perpendiculaires. 3. LE COMPAS Le compas est un instrument composé de deux branches articulées à une extrémité. Il sert à décrire des circonférences, des arcs de cercles et à transporter des longueurs. 4. LE RAPPORTEUR MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 4 Le rapporteur est un disque semi-circulaire servant à mesurer ou à construire des angles. 1.3 DÉFINIR ET REPRÉSENTER LE POINT, LA DROITE, LA DEMI­ DROITE, LE SEGMENT DE DROITE La géométrie a un langage qui lui est spécifique. Il est donc très important de connaître son vocabulaire. Cependant certains termes sont considérés comme des termes primitifs puisqu'ils sont difficiles à définir. Il est tout de même possible d'avoir une idée de ces concepts en leur prêtant une image physique. LE POINT C'est à partir du point qu'on a construit toute la géométrie. Lorsqu'on parle d'un point, on pense à une étoile au firmament, à la marque laissée lorsqu'on pose la pointe d'un crayon sur une feuille de papier. Ces objets donnent qu'une image du point, puisqu'en réalité le point n'a pas de dimensions. En effet, le point n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. Il est impossible de mesurer le point parce qu'il n'a pas de dimension. On désigne un point par une lettre majuscule placée à côté de son image. Ainsi, .A se lit "point A" LA DROITE Lorsqu'on parle d'une droite, on pense à la ligne d'horizon. En géométrie, la droite est constituée d'une infinité de points accolés les uns aux autres; elle n'a pas d'épaisseur et elle est illimitée dans les deux sens. Il est impossible de la mesurer parce qu'elle est illimitée. Une droite est représentée par un trait muni de flèches aux extrémités indiquant qu'elle se prolonge indéfiniment et identifiée par deux lettres majuscules, indiquant deux de ses points. Soit à représenter la droite AB ou la droite BA. symbole AB MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 5 A B représentation <))))))))))))))))))))))))))))))))))))> LA DEMI-DROITE Lorsqu'on coupe une droite en deux parties, on obtient deux demi-droites. Chaque demi­ droite est infinie dans un sens seulement. A C B <))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))> Dans le diagramme ci-dessus, l'origine des deux demi-droites est déterminée par le point C. Il est impossible de mesurer une demi-droite parce qu'elle est illimitée dans un sens. Une demi-droite est représentée par un trait muni d'une flèche indiquant le prolongement indéfini dans un sens et identifiée par son origine et un autre de ces points. Soit à représenter la demi-droite AB. symbole AB A B )))))))))))))))))))))))))))))> représentation où et A B indique l'origine indique le sens Soit à représenter la demi-droite BA. symbole BA représentation <)))))))))))))))))))))))))))))) A B où et B A indique l'origine indique le sens MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 6 LE SEGMENT DE DROITE Un segment est une portion de droite limitée en deux points appelés extrémités du segment. Il est possible de le mesurer parce qu'il est limité aux deux extrémités. Un segment est représenté par un trait et identifié par deux lettres. Soit à représenter le segment de droite AB. symbole AB représentation /)))))))))))))))))))))))))))))))))))1 A B où A et B sont les extrémités RÉSUMÉ DESCRIPTION SYMBOLE Point .A Segment AB Demi-droite AB REPRÉSENTATION .A A B )))))))))))))))) A B ))))))))))))))))> A Droite AB B <)))))))))))))))> MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 7 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 1 8 1. Tracer et nommer la figure géométrique correspondant à chacun de ces symboles. 2. a. MN b. RS c. AB d. SR e. FG Représenter à l'aide d'un symbole. a. b. c. d. e. 3. le point A la droite AB le segment AB la demi-droite AB la demi-droite BA Dire ce que représente chacune des figures suivantes et écrire le symbole pour chacune. a. A B ))))))))))))))))))) b. A B )))))))))))))))))))))))> c. A B <)))))))))))))))))))))))> MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 1 9 4. Soit la figure suivante, identifier. a. b. c. 3 points 3 segments 2 droites MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 10 1.4 IDENTIFIER UN SEGMENT DE DROITE CONGRU À UN SEGMENT DONNÉ À l'aide de la règle ou du compas, on peut vérifier si un segment de droite est congru à un segment donné. Soit EF et GH. EF = GH Procédé de construction : 1. 2. 3. avec E comme centre, mettre l'autre bout sur F; avec G comme centre, vérifier la longueur de GH; mesurer GH afin de déterminer la congruence. Conclusion EF est congru GH. EF = GH MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 2 11 1. Vérifier si les segments sont congrus. a. b. c. d. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 11 2.0 MESURES D'ANGLES 2.1 DÉFINIR ET NOMMER UN ANGLE ANGLE Un angle est la figure formée par deux demi-droites issues d'un même point. L'origine des deux demi-droites est appelée SOMMET de l'angle. Les deux demi-droites sont appelées CÔTÉS de l'angle. Le mot "angle" est souvent remplacé par le symbole (p). NOTATION D'UN ANGLE On peut désigner un angle de différentes façons. 1. En utilisant trois lettres. La lettre correspondant au sommet se place entre les deux autres. On lit "pCAB" ou "pBAC" où A représente le sommet et AC représente un côté AB représente un côté. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 12 2. Par une lettre, celle du sommet, s'il n'y a pas risque de confusion. On lit "pA". 3. Par une lettre minuscule ou un chiffre que l'on place à l'intérieur de l'angle. On lit "pb". On lit "p3". MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 3 13 1. Tracer un angle identifié ABC. 2. Dans un angle, comment nomme-t-on le point d'origine de deux demi-droites? 3. Comment appelle-t-on les demi-droites qui forment un angle? 4. Dans la figure ci-dessus : a. b. c. d. nommer 3 angles (de deux façons différentes); identifier le sommet de chaque angle; identifier les côtés de chaque angle; identifier pBAC en utilisant une lettre seulement. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 14 2.2 MESURER DES ANGLES À L'AIDE DU RAPPORTEUR À tout angle, on peut associer un nombre réel appelé mesure de l'angle. Il y a plusieurs unités de mesures d'angles mais l'unité la plus commune est le DEGRÉ. Le degré est l'angle égal à la 360e partie d'une rotation d'une demi-droite autour d'un point. Le degré est noté au moyen du symbole (E), placé à la droite de la mesure obtenue. Ainsi 36E se lit "trente-six degrés". L'instrument dont on se sert pour mesurer un angle s'appelle un RAPPORTEUR. C'est un demi-cercle divisé en 180 degrés dans les deux sens. On appelle ligne de foi le diamètre du rapporteur. Le centre du diamètre est souvent indiqué par une flèche ou une perforation minuscule. Ligne de foi Centre MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 15 COMMENT MESURER UN ANGLE 1er cas : Utilisation de l'échelle intérieure Soit à mesurer pMON. 1. 2. 3. Placer le centre du rapporteur sur le sommet, soit 0, de l'angle. Faire coïncider la ligne de foi avec un côté, soit OM, de l'angle. Lire la mesure vis-à-vis l'autre côté, soit ON, de l'angle. On prend l'échelle intérieure puisque 0E est à l'intérieur. La mesure de pMON est 60E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 16 2e cas : Utilisation de l'échelle extérieure Soit à mesurer pAOB. 1. 2. 3. Placer le centre du rapporteur sur le sommet, soit 0, de l'angle; Faire coïncider la ligne de foi avec un côté, soit OA, de l'angle; Lire la mesure vis-à-vis l'autre côté, soit OB, de l'angle. On prend l'échelle extérieure puisque 0E est à l'extérieur. La mesure de pAOB est 40E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 17 Remarque : 1. 2. La grandeur d'un angle ne dépend ni du rayon du rapporteur, ni de la longueur des côtés de l'angle mais uniquement de l'écartement des côtés. On peut faire coïncider la ligne de foi du rapporteur avec n'importe quel côté de l'angle. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 4 18 1. Quelle est, sur ce rapporteur, la mesure des angles suivants? a. b. c. d. e. f. g. pASB pASD pASF pASI pASH pASE pASG i. l. n. h. pISG j. k. pISA m. pISB pISH pISE pISD pISC MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 4 19 2. Donner la mesure des angles suivants. a. b. c. d. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 4 20 3. À l'aide du rapporteur, mesurer les angles suivants. 4. À l'aide du rapporteur, donner la mesure des angles suivants. a. b. c. pAOB pBOC pAOC d. e. f. pCOD pCOE pDOE MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 21 2.3 CONSTRUIRE DES ANGLES DE MESURES DONNÉES Soit à construire un angle de 65E. 1. Tracer une demi-droite AB. ))))))))))))))))))))))))))))))))))> A B 2. Placer le centre du rapporteur sur A et faire coïncider la ligne de foi sur AB. 3. Marquer le point C à l'endroit où le rapporteur indique 65E. 4. Tracer le deuxième côté de l'angle en reliant .A à .C. pCAB est l'angle demandé et mesure 65E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 5 22 1. Construire, avec le plus d'exactitude possible, chacun des angles suivants. a. b. c. d. e. 50E 90E 120E 67E 26E f. g. h. i. j. 110E 179 E 32E 45E 85E 2. Du point A de la demi-droite AB, construire un angle de 60E. 3. Du point B de la demi-droite BA, construire un angle de 120E. 4. Construire une figure d'après les données suivantes. pABC = 120E et pCBD = 60E 5. Construire quatre angles qui ont le même sommet, de manière à former deux angles de 120E et deux angles de 50E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 23 2.4 CLASSIFIER LES ANGLES D'APRÈS LEURS MESURES ANGLE AIGU Un angle dont la mesure est comprise entre 0E et 90E est appelé un angle aigu. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 3E, 75E et 89E sont des angles aigus. ANGLE DROIT Un angle dont la mesure égale 90E est appelé un angle droit. On indique qu'un angle est droit en plaçant le symbole (�) à l'intérieur de l'angle. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ On a pABC = 90E = angle droit. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 24 ANGLE OBTUS Un angle dont la mesure est comprise entre 90E et 180E est appelé un angle obtus. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 91E, 125E et 179E sont des angles obtus. ANGLE PLAT Un angle dont la mesure est égale à 180E est appelé un angle plat. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ <))))))))))))))))))))))))))))> A B C On a pABC = 180E = angle plat. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 25 ANGLE RENTRANT Un angle dont la mesure est comprise entre 180E et 360E est appelé un angle rentrant. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ On a pAOB = 315E = angle rentrant. Afin d'éviter toute confusion, tracer une ligne courbe autour de l'angle à identifier. À retenir Classification des angles Sortes Aigu Droit Obtus Plat Rentrant Mesure Entre 0E et 90E 90E Entre 90E et 180E 180E Entre 180E et 360E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 6 26 1. Sans utiliser le rapporteur, dire si les angles sont : aigus, droits, obtus, plats ou rentrants. a. b. c. d. e. f. g. h. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 6 27 2. Dire si chacun des angles suivants est aigu, droit, obtus, plat ou rentrant. a. b. c. d. e. 3. 90E 45E 91E 135E 100E f. g. h. i. j. 20E 270E 180E 89E 350E Dans la figure ci-dessous, identifier. a. b. un angle droit un angle aigu c. d. un angle obtus un angle plat MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 28 2.5 IDENTIFIER DES ANGLES CONGRUS, DES ANGLES ADJACENTS ANGLES CONGRUS Des angles congrus sont deux angles qui ont la même mesure. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ On a pABC = 30E et pXYZ = 30E. Alors pABC est congru à pXYZ. Symboliquement, on écrit pABC = pXYZ. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 29 ANGLES ADJACENTS Des angles adjacents sont deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ Les angles ABC et CBD sont adjacents car B est le sommet commun et BC est le côté commun. pABC est placé à gauche du côté commun BC et pCBD est placé à droite du côté commun BC. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 30 2.6 IDENTIFIER DES ANGLES COMPLÉMENTAIRES, SUPPLÉMENTAIRES ANGLES COMPLÉMENTAIRES Des angles complémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures est égale à 90E. Le complément d'un angle est l'angle qu'il faut lui ajouter pour obtenir un angle droit (90E). +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) pABC + pDEF = = 90E 43E + 47E Donc pABC et pDEF sont complémentaires. 2) Calculer la mesure du complément d'un angle de 15E. Soit x la mesure de l'angle complémentaire. x + 15 x x = = = 90E 90E - 15E 75E Donc 75E est le complément de 15E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 31 ANGLES SUPPLÉMENTAIRES Des angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures est égale à 180E. Le supplément d'un angle est l'angle qu'il faut lui ajouter pour obtenir un angle plat (180E). +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) pABC + pDEF = 40E + 140E = 180E Donc pABC et pDEF sont supplémentaires. 2) Calculer la mesure du supplément d'un angle de 150E. Soit x la mesure de l'angle supplémentaire. x + 150E x = x = = 180E 180E - 150E 30E Donc 30E est le supplément de 150E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 32 Remarques 1. Pour trouver le complément d'un angle, il suffit de soustraire la mesure de cet angle de 90E. Soit à trouver le complément de 15E. On a 90E -15E 75E Donc le complément de 15E est 75E. 2. Pour trouver le supplément d'un angle, il suffit de soustraire la mesure de cet angle de 180E. Soit à trouver le supplément de 150E. On a 180E - 150E 30E Donc le supplément de 150E est 30E. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 33 2.7 IDENTIFIER DES ANGLES OPPOSÉS PAR LE SOMMET ANGLES OPPOSÉS PAR LE SOMMET Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre. Soit l'angle AOB. En prolongeant AO et BO, on remarque que pCOD a le même sommet 0 que que les côtés de pCOD sont les prolongements des côtés de pAOB. Alors pAOB et pCOD sont opposés par le sommet. pAOBet En mesurant on a pAOB = 60E; pCOD = 60E. Donc pAOB est congru à pCOD. Il est possible de vérifier un grand nombre d'autres angles opposés par le sommet et conclure que : LES ANGLES OPPOSÉS PAR LE SOMMET SONT CONGRUS MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 34 Remarques 1. 2. 3. De la même manière, on peut prouver que pAOD et pBOC sont opposés par le sommet et congrus. Deux droites qui se coupent forment deux paires d'angles opposés par le sommet. Dans la figure ci-dessous, les angles GOH et KOL ne sont pas opposés par le sommet car les côtés de l'un ne sont pas les prolongements des côtés de l'autre. On pourrait aussi dire qu'on n'a pas deux droites qui se coupent. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 35 +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Dans la figure ci-dessus : a. b. nommer 2 paires d'angles opposés par le sommet; calculer la mesure de p2, p3, p4. Justifier la réponse. a. p1 et p4 p2 et p3 b. p1 + p2 = 180E 41E + p2 = 180E p2 = 139E [angles supplémentaires] p2 = p3 p3 = 139E [angles opposés par le sommet] p1 = p4 p4 = 41E [angles opposés par le sommet] MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 7 36 1. Calculer le complément de chacun des angles suivants. a. b. c. d. 2. e. f. g. h. 63E 45E 30E 54E Calculer le supplément de chacun des angles suivants. a. b. c. d. 3. 25E 4E 89E 65E 20E 140E 12E 18E e. f. g. h. 179E 60E 33E 110E Dans la figure ci-dessous, nommer : a. b. trois angles différents; une paire d'angles adjacents. Justifier la réponse. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 7 37 4. Dans la figure, ci-dessus, nommer : a. b. c. d. e. le supplément de pAOC; le complément de pDOE; le supplément de pAOE; l'angle adjacent à pAOC (3 possibilités); le supplément de pBOD. 5. Dans la figure ci-dessous, nommer les paires d'angles opposés par le sommet. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 7 38 6. Dans la figure ci-dessous, si p1 = 55E, trouver la mesure des angles 2, 3 et 4. Justifier votre réponse. 7. Compléter les phrases suivantes. a. b. c. d. e. f. 8. Un angle qui mesure 40E est un angle . Deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et placés de part et d'autre de ce côté commun sont . Un angle qui mesure moins de 90E est un angle . Un angle qui mesure plus de 90E et moins de 180E est un angle . Deux angles sont lorsque la somme de leurs mesures est 180E. Un angle qui mesure 180E est un angle . Vrai ou Faux. a. b. c. d. e. f. g. Deux angles dont les mesures sont 50E et 130E sont supplémentaires. Il est nécessaire que les angles soient adjacents pour qu'ils soient supplémentaires. Deux angles complémentaires congrus ont 45E chacun. Le supplément d'un angle est toujours un angle aigu. Trois angles peuvent être complémentaires. Les angles opposés par le sommet sont toujours congrus. Deux angles adjacents ont un côté commun. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 7 39 9. Nommer : a. b. c. un angle plat; d. 4 angles aigus; le complément de pAOC; le supplément de pAOC; e. le supplément de pAOD; f. le supplément de pBOE. 10. Nommer : a. b. c. d. l'angle adjacent à p1; e. l'angle adjacent à p4; f. l'angle adjacent à p6; g. l'angle adjacent à p7; le supplément de p3; le complément de p6; le supplément de p7. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 40 2.8 CONSTRUIRE LA BISSECTRICE D'UN ANGLE Construire, c'est tracer des figures géométriques à l'aide d'instruments appropriés tels le compas et la règle. BISSECTRICE D'UN ANGLE La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage un angle en deux angles congrus. Soit à construire la bissectrice de pABC. Procédé de construction : 1. 2. 3. 4. avec B comme centre, tracer un arc coupant les côtés de l'angle en D et E; avec D comme centre, et le même rayon ou un rayon plus grand tracer un arc; avec E comme centre, et le même rayon, tracer un autre arc coupant le premier en F; tracer la demi-droite BF. Conclusion BF est la bissectrice de pABC. pABF = pCBF MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 41 2.9 CONSTRUIRE UN ANGLE CONGRU À UN ANGLE DONNÉ Soit à construire un angle congru à pABC. Procédé de construction : 1. 2. 3. 4. 5. tracer une demi-droite EF; avec B comme centre, tracer un arc coupant les côtés de l'angle en P et Q; avec E comme centre et le même rayon, tracer un arc coupant EF en S; avec S comme centre et un rayon égal à PQ tracer un arc coupant le premier en R; tracer ED en passant par R. Conclusion pABC = pDEF MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 8 42 1. Donner la mesure des angles formés par la bissectrice de chacun des angles suivants. a. b. c. 2. plat droit 30E d. e. f. 150E 10E 70E Avec le compas, tracer la bissectrice de chacun des angles suivants. a. b. c. 40E 90E 155E d. e. f. 75E 180E 120E 3. À l'aide du compas, diviser un angle de 120E en 4 parties égales. 4. Tracer chacun des angles suivants avec le rapporteur d'angle et ensuite, avec le compas, construire un angle qui lui est égal. a. b. c. 45E 75E 82E d. e. f. 100E 120E 90E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 43 1 3.0 RELATIONS ENTRE LES DROITES 3.1 IDENTIFIER DES DROITES PARALLÈLES, DES DROITES SÉCANTES, DES DROITES PERPENDICULAIRES ET DES MÉDIATRICES DROITES PARALLÈLES Deux ou plusieurs droites qui ne se rencontrent pas même si on les prolonge indéfiniment sont appelées droites parallèles. Soit à représenter AB parallèle à CD. A B ----------<))))))))))))))))))))>---------­ C D ----------<))))))))))))))))))))>---------Symboliquement on écrit AB 2 CD et on lit la droite AB est parallèle à la droite CD. Entre deux parallèles, la distance est toujours la même. Le segment représentant cette distance forme des angles droits avec les parallèles distance distance Remarque Lorsque deux droites ne sont pas parallèles, on écrit AB 2 CD. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 44 DROITES SÉCANTES On appelle sécante une droite qui intersecte 2 droites en des points différents. Soit à représenter la sécante AB coupant les droites CD et EF. DROITES PERPENDICULAIRES Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant des angles droits. Soit à représenter la droite AB perpendiculaire à la droite CD. Symboliquement on écrit et on lit AB z CD la droite AB est perpendiculaire à la droite CD. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 45 MÉDIATRICE On appelle médiatrice, une droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. Soit à représenter la médiatrice AB coupant le segment CD. Symboliquement on écrit et on lit AB z CD la droite AB est perpendiculaire au segment CD. Symboliquement on écrit et on lit CE = ED le segment CE est égal au segment ED. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 46 3.2 ÉNONCER LES PROPRIÉTÉS DES ANGLES FORMÉS PAR DES PARALLÈLES ET UNE SÉCANTE Les angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont reçu des noms particuliers. ANGLES EXTERNES 1, 2, 7 et 8 sont des angles externes. ANGLES INTERNES 3, 4, 5 et 6 sont des angles internes. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 47 ANGLES ALTERNES-INTERNES (3 et 5), (4 et 6) sont des paires d'angles alternes-internes. Des angles alternes-internes sont placés de chaque côté de la sécante; ils sont à l'intérieur des deux droites et ils ne sont pas adjacents. Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont congrus. Donc p3 = p5 p4 = p6 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 48 ANGLES ALTERNES-EXTERNES (2 et 8), (1 et 7) sont des paires d'angles alternes-externes. Des angles alternes-externes sont placés de chaque côté de la sécante, ils sont à l'extérieur des deux droites et ils ne sont pas adjacents. Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-externes sont congrus. Donc p2 = p8 p1 = p7 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 49 ANGLES CORRESPONDANTS (1 et 5), (2 et 6), (4 et 8), (3 et 7) sont des paires d'angles correspondants. Des angles correspondants sont placés du même côté de la sécante; l'un est à l'intérieur des deux droites, l'autre est à l'extérieur et ils ne sont pas adjacents. Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont congrus. Donc p1 p2 p4 p3 = = = = p5 p6 p8 p7 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 50 RÉSUMÉ Dans la figure ci-dessus, on a AB 2 CD , donc p4 p3 p1 p2 p2 p3 p1 p4 = = = = = = = = p6 p5 p7 p8 p6 p7 p5 p8 [alternes-internes] [alternes-internes] [alternes-externes] [alternes-externes] [correspondants] [correspondants] [correspondants] [correspondants] Remarque Pour que les angles alternes-internes, alternes-externes ou correspondants soient congrus, il faut que les droites soient parallèles. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 9 51 1. Dans la figure ci-dessous, identifier la droite perpendiculaire à la droite AB. 2. Dans la figure ci-dessous, donner la position (parallèle, perpendiculaire, sécante) des droites. a. b. c. AB et CD AC et AB AC et BX d. e. ED et CD BX et ED MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 9 52 3. Dans la figure ci-dessus, deux droites parallèles R et m sont coupées par une sécante. Identifier : a. b. 4. les paires d'angles correspondants; les paires d'angles alternes-internes. Dans la figure ci-dessous, p7 = 75E. Sans utiliser le rapporteur, donner la mesure des autres angles. Lorsque deux droites sont parallèles, on conviendra d'utiliser les symboles > ou » pour l'indiquer sur une figure. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 9 53 5. Dans une figure comme la figure ci-dessus, combien y a-t-il de degrés dans les angles? a. b. c. d. e. 6. p5 p7 p6 p2 p8 si si si si si p1 p3 p4 p8 p5 = = = = = 75E 140E 60E 57E 106E Calculer la mesure de chacun des angles suivants sans l'utilisation du rapporteur. a. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 9 54 b. c. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 55 3.3 CONSTRUIRE, À L'AIDE DE LA RÈGLE ET DE L'ÉQUERRE, UNE DROITE PARALLÈLE À UNE DROITE DONNÉE Il est possible de construire des droites parallèles avec précision en utilisant la règle et l'équerre. Soit à construire une droite parallèle à EF. Procédé de construction : 1. 2. 3. 4. placer un des côtés de l'angle de 90E de l'équerre sur la droite EF; placer le côté de la règle le long de l'autre côté de l'angle de 90E de l'équerre. garder la règle fixe; glisser l'équerre le long de la règle jusqu'à l'endroit où la droite parallèle doit être placée. Conclusion EF 2 GH 1. Construire une droite parallèle à la droite donnée en passant par chacun des points donnés. a. b. c. d. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 57 3.4 ÉLEVER UNE PERPENDICULAIRE À UNE DROITE DONNÉE, EN UN POINT DONNÉ DE CETTE DROITE Soit à construire une perpendiculaire à AB à partir de C. Procédé de construction : 1. 2. 3. du point C comme centre, avec le compas couper la droite en deux points D et E; des points D et E respectivement comme centres, avec un rayon plus grand que la moitié de DE, décrire des arcs qui se coupent en F; tracer CF. Conclusion CF est la perpendiculaire demandée. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 11 58 1. À l'aide du compas, élever une perpendiculaire à partir du point donné. a. b. c. d. e. (Dans certains c a s , prolon ger la droite e n pointill é). MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 59 3.5 D'UN POINT DONNÉ, EXTÉRIEUR À UNE DROITE DONNÉE, TRACER UNE PERPENDICULAIRE À CETTE DROITE Soit à construire une perpendiculaire à AB à partir de 0 (hors de la droite). Procédé de construction : 1. 2. 3. du point 0 comme centre, décrire un arc coupant AB en C et en D; des points C et D comme centres, avec un rayon plus grand que la moitié de CD, décrire des arcs qui se coupent en E; tracer OE. Conclusion OE est la perpendiculaire demandée. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 12 60 1. Du point indiqué, abaisser une perpendiculaire à chacune des droites suivantes. a. b. c. d. e. f. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 61 3.6 CONSTRUIRE UNE MÉDIATRICE Soit à construire une médiatrice à AB à l'aide du compas et de la règle. Procédé de construction : 1. 2. des points A et B respectivement comme centres, et avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrire des arcs qui se coupent en D et E; tracer ED. Conclusion DE est la perpendiculaire demandée. AC est congru à CB. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 13 62 1. Construire, à l'aide du compas et de la règle, une médiatrice à chacun des segments suivants. a. AB = 5 cm b. AB = 6 cm c. AB = 3 cm d. AB = 8 cm e. AB = 5,5 cm MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 63 4.0 RELATIONS DANS LES TRIANGLES 4.1 DÉFINIR ET NOTER LE TRIANGLE TRIANGLE Un TRIANGLE est un polygone à 3 côtés. On identifie les sommets par des lettres majuscules et on nomme le triangle en utilisant les lettres du sommet. (Utiliser l'ordre alphabétique des lettres et le sens anti-horaire). Soit à représenter le triangle ABC. symbole notation ABC côtés AB, BC, CA sommets A, B, C angles BAC, ABC, ACB MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 64 Au lieu de représenter les côtés par deux lettres, on peut utiliser une minuscule qui porte le nom de celle du sommet opposé. Donc, la lettre qui nomme le côté BC opposé au sommet A est a; la lettre qui nomme le côté AB opposé au sommet C est c; la lettre qui nomme le côté AC opposé au sommet B est b. BASE D'UN TRIANGLE Le côté opposé à un sommet choisi s'appelle la base du triangle. Si on choisit A comme sommet, la base est BC. Si on choisit B comme sommet, la base est AC. Si on choisit C comme sommet, la base est AB. On écrit encore pA est compris entre les côtés AB et AC. pB est compris entre les côtés BA et BC. pC est compris entre les côtés CA et CB. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 14 65 1. Soit le a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. ABC, identifier. les sommets les angles (employer une lettre) les côtés le côté opposé à pA le côté opposé à pB le côté opposé à pC l'angle compris entre AB et AC l'angle compris entre AC et BC l'angle compris entre AB et BC par une seule lettre, le côté opposé à pA par une seule lettre, le côté opposé à pB par une seule lettre, le côté opposé à pC la base, si on choisit A comme sommet la base, si on choisit B comme sommet la base, si on choisit C comme sommet MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 14 66 2. Identifier 13 triangles dans la figure suivante. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 67 4.2 CLASSIFIER LES TRIANGLES D'APRÈS LES ANGLES Classification d'après les angles : triangle rectangle; triangle obtusangle; triangle acutangle; triangle équiangle; TRIANGLE RECTANGLE Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse. Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit. Soit le triangle rectangle CDE. pCDE = 90E CE est l'hypoténuse. CD et DE sont les côtés de l'angle droit. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 68 TRIANGLE OBTUSANGLE Un triangle obtusangle est un triangle dont l'un des angles est obtus. Soit le triangle obtusangle KMN. pM est obtus. TRIANGLE ACUTANGLE Un triangle acutangle est un triangle dont les trois angles sont aigus. Soit le triangle acutangle PQR. pP est aigu. pQ est aigu. pR est aigu. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 69 TRIANGLE ÉQUIANGLE Un triangle équiangle est un triangle dont les trois angles sont congrus. Soit le triangle équiangle ABC. Ces symboles indiquent des angles congrus. pA = pB = pC MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 70 4.3 CLASSIFIER LES TRIANGLES D'APRÈS LES CÔTÉS Classification d'après les côtés : triangle équilatéral; triangle isocèle; triangle scalène. TRIANGLE ÉQUILATÉRAL Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont congrus. Soit le triangle équilatéral ABC. Ces symboles indiquent des côtés congrus. AB = BC = AC Remarques 1. 2. Dans un triangle équilatéral, les angles sont congrus. On a pA = pB = pC. On dit qu'un triangle équilatéral est équiangle. Sur une figure, une égalité est représentée par des traits placés sur chacun des côtés congrus. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 71 TRIANGLE ISOCÈLE Un triangle isocèle est un triangle dont deux des côtés sont congrus. Le troisième côté est appelé la base et l'angle compris entre les deux côtés congrus est appelé angle du sommet. Les autres angles sont appelés angles à la base. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont congrus. On remarque que les angles congrus sont opposés des côtés congrus. Soit le triangle isocèle PQR. PQ = PR pQ = pR pP est l'angle au sommet. QR est la base. TRIANGLE SCALÈNE Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés sont de longueurs différentes. Soit à représenter le triangle scalène DEF. DE … EF … DF MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 15 72 1. À quelle classe appartient un triangle qui possède des angles dont les mesures sont les suivantes? a. b. c. d. 2. e. f. h. 50E, 45E, 85E 20E, 80E, 80E g. 1E, 89E, 90E 2E, 4E, 174E À quelle classe appartient un triangle qui possède des côtés dont les mesures sont les suivantes? a. b. c. d. 3. 30E, 60E, 90E 45E, 45E, 90E 120E, 20E, 40E 45E, 48E, 87E 4 cm, 4 cm, 4 cm 2 cm, 4 cm, 45 cm 2,3 cm, 3 cm, 2,3 cm g. 7,2 cm, 2,7 cm, 4,6 cm e. 3 cm, 3 cm, 3 cm f. 5 cm, 4 cm, 5 cm 1 m, 1,3 m, 1 m h. 4 cm, 5 cm, 3 cm Dans les triangles ci-dessous, identifier un triangle qui est à la fois : a. b. c. d. e. isocèle et obtusangle; scalène et rectangle; équilatéral et acutangle; isocèle et rectangle; scalène et obtusangle. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 15 73 4. Dans le triangle isocèle ABC, angle B et angle C sont congrus. Nommer les côtés congrus de ce triangle. 5. Si un triangle est équilatéral, donner la mesure de chaque angle. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 74 4.4 CONSTRUIRE UN TRIANGLE ÉTANT DONNÉ LES MESURES DE SES TROIS CÔTÉS Soit à construire le )ABCdont les mesures sont les suivantes. AB = 4 cm BC = 5 cm AC = 3 cm Croquis Procédé de construction : 1. 2. 3. 4. tracer le segment BC mesurant 5 cm; du point B comme centre et un rayon de 4 cm, tracer un arc; du point C comme centre et un rayon de 3 cm, tracer un deuxième arc coupant le premier en A; tracer AB et AC. Remarque 1. Un croquis du triangle est utile pour établir les étapes à suivre dans la construction puisqu'il aide à visualiser la position de chaque sommet. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 16 75 1. À l'aide de la règle et du compas, construire les triangles aux mesures mentionnées ci-dessous. a. b. c. AB = 3,6 cm BC = 4 cm AC = 2,9 cm AB = 39 mm BC = 43 mm AC = 27 mm AB = 5,9 cm BC = 4,6 cm AC = 6,5 cm 2. a. b. Tracer un triangle dont les côtés mesurent respectivement 4 cm, 5 cm et 6 cm. De quelle sorte de triangle s'agit-il? 3. a. b. Construire un triangle équilatéral de 4 cm de côté. Donner la mesure de chaque angle. 4. a. Construire un triangle dont les côtés mesurent respectivement 6 cm, 4 cm et 4 cm. b. De quelle sorte de triangle s'agit-il? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 76 4.5 CONSTRUIRE UN TRIANGLE ÉTANT DONNÉ LES MESURES DE DEUX CÔTÉS ET L'ANGLE FORMÉ PAR CES CÔTÉS Soit à construire le ABC dont les mesures sont les suivantes. BC = 6 cm AB = 5 cm pB = 30E Croquis Procédé de construction : 1. 2. 3. 4. tracer le segment BC mesurant 6 cm; construire pB = 30E dont un côté est BC; du point B comme centre et un rayon de 5 cm, tracer un arc coupant l'autre côté de l'angle au point A; tracer AC. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 17 77 1. À l'aide de la règle et du compas, construire les triangles aux mesures mentionnées ci­ dessous. a. b. c. d. 2. AB AB AB AB = = = = 3,5 cm 5,5 cm 61 mm 3 cm BC = BC = BC = BC = 3 cm 4,5 cm 7,5 cm 48 mm pB = 120E pB = 60E pB = 35E pB = 55E Construire un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent respectivement 3 cm et 4 cm. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 78 4.6 CONSTRUIRE UN TRIANGLE ÉTANT DONNÉ LA MESURE D'UN CÔTÉ ET LES ANGLES SITUÉS AUX EXTRÉMITÉS DE CE CÔTÉ Soit à construire le )ABCdont les mesures sont les suivantes. BC = 5 cm pB = 40E pC = 60E Croquis Procédé de construction : 1. 2. 3. 4. tracer le segment BC mesurant 5 cm; à l'extrémité B, tracer un angle de 40E ayant BC pour côté; à l'extrémité C, tracer un angle de 60E ayant BC pour côté; situer le point A à la rencontre des deux autres côtés des angles tracés. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 18 79 1. 2. 3. À l'aide de la règle et du rapporteur, construire les triangles aux mesures mentionnées ci-dessous. a. b. c. d. )DEFpE )ABCpB )PQRpQ )ABCpB a. b. Construire un triangle isocèle dont les angles congrus mesurent 70E et le côté non congru 4 cm. Quelle est la mesure du 3e angle? a. b. c. d. Construire le )ABC., dont BC mesure 5 cm, pB = 60E et pC = 60E. Quelle est la valeur du 3e angle? De quelle sorte de triangle s'agit-il? Que peut-on dire de la mesure des côtés AB et AC? = = = = 45E 70E 100E 28E pF pC pR pC = = = = 60E EF = 3,6 cm 30E BC = 58 mm 50E QR = 5 cm 112E BC = 60 mm MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 80 4.7 CONSTRUIRE LES HAUTEURS, LES MÉDIATRICES, LES MÉDIANES ET LES BISSECTRICES DES ANGLES DANS UN TRIANGLE LES HAUTEURS La hauteur d'un triangle est un segment issu d'un sommet d'un triangle et abaissé perpendiculairement sur le côté opposé ou sur son prolongement. Dans tout triangle, il y a trois hauteurs. Soit à construire la hauteur issue du sommet A du )ABC. Employer le procédé du tracé d'une perpendiculaire à partir d'un point extérieur à cette droite : 1. 2. le point extérieur est le sommet du triangle; la droite est la base du triangle. AD est la hauteur demandée. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 81 LES MÉDIATRICES La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire élevée sur le milieu du segment. Dans tout triangle, il y a trois médiatrices. Puisque chaque côté d'un triangle est un segment, on peut construire la médiatrice des côtés du triangle. Soit à construire la médiatrice de BC du ABC. Employer le procédé du tracé d'une médiatrice. DE z BC BF = FC MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 82 LES MÉDIANES La médiane est la droite qui joint un sommet au milieu de son côté opposé. Dans tout triangle, il y a trois médianes et celles-ci se rencontrent en un même point. Soit à construire les médianes du )ABC. Procédé de construction : 1. 2. trouver le milieu du côté BC, tracer le point F; du point F, comme point de départ, tracer un segment jusqu'au sommet A. AF est la médiane demandée. 3. 4. trouver le milieu du côté AC, tracer le point G; du point G, comme point de départ, tracer un segment jusqu'au sommet B. BG est la médiane demandée. 5. 6. trouver le milieu du côté AB, tracer le point E; du point E, comme point de départ, tracer un segment jusqu'au sommet C. CE est la médiane demandée. AF, BG et CE sont les médianes du )ABC. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 THÉORIE 83 LES BISSECTRICES La bissectrice d'un angle d'un triangle est la demi-droite dont l'extrémité est le sommet d'un angle et qui partage ce dernier en deux angles congrus. Soit à construire la bissectrice de pB du )ABC. Employer le procédé du tracé de la bissectrice d'un angle. BD est la bissectrice demandée. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 19 84 1. Quel nom donne-t-on, a. à la demi-droite issue du sommet, qui divise l'angle intérieur d'un triangle en deux parties égales? b. à la distance d'un sommet d'un triangle à son côté opposé ou son prolongement? c. à la perpendiculaire élevée au milieu d'un segment? d. au segment joignant un sommet au milieu de la base correspondante? 2. Dans la figure ci-dessus, identifier AE, BD, CF. 3. Dans la figure ci-dessus, identifier OM, KI, LA. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 19 85 4. Dans la figure ci-dessus, identifier BC, AB, DB. 5. Dans la figure ci-dessus, identifier AD, BE, CF. 6. Dans la figure ci-dessus, identifier AF, BG, CE. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 19 86 7. Tracer un triangle scalène acutangle ABC. Construire la hauteur issue du sommet A. 8. Tracer un triangle scalène ABC ayant un angle obtus en B. Construire la hauteur issue du sommet A. 9. Tracer un triangle équilatéral et construire les trois hauteurs. Que remarque-t-on? 10. a. b. 11. Tracer un triangle rectangle isocèle et construire la bissectrice des angles aigus. 12. Construire les bissectrices des angles d'un triangle scalène et les prolonger jusqu'à ce qu'elles se rencontrent. Que remarque-t-on? 13. Tracer un triangle équilatéral de 5 cm de côté. a. b. c. 14. Soit un a. b. c. d. 15. Tracer un triangle scalène obtusangle et construire les trois hauteurs. Où ces hauteurs se rencontrent-elles? Trouver la mesure de chacun des angles. À partir de l'un des sommets du triangle, construire la perpendiculaire du côté opposé. Mesurer chacun des angles formés au sommet considéré. Que peut-on conclure? équilatéral ABC. Construire la bissectrice de pA. Construire la perpendiculaire à BC passant par A. Construire la médiatrice de BC. Quelle relation y a-t-il entre les trois? Construire la médiatrice de chacun des côtés d'un triangle scalène obtusangle et prolonger les droites jusqu'à ce qu'elles se rencontrent. Que remarque-t-on? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE 19 87 16. De chacun des sommets d'un triangle rectangle, construire les perpendiculaires au côté opposé. Quel est le point de rencontre des trois perpendiculaires? 17. Quel est le point de rencontre des médiatrices des côtés d'un triangle rectangle? 18. a. b. 19. Soit un angle ABC mesurant 120E. a. b. Soit le segment AB mesurant 5 cm. Trouver son point milieu. Partager ce segment en 4 parties congrues. Tracer BD la bissectrice de pABC. À partir de K, un point sur BD, tracer KE z à BA et KF z à BC. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE DE RENFORCEMENT 88 5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT 1. Représenter symboliquement : a. b. c. d. e. f. 2. Tracer un angle identifié ABC. Nommer : a. b. 3. 90E 160E 75E 2E 45E f. g. h. i. j. 180E 179E 120E 65E 340E b. 85E b. 85E Calculer le complément. a. 5. le sommet; les côtés de l'angle. Dire si chacun des angles suivants est aigu, droit, obtus, plat ou rentrant. a. b. c. d. e. 4. la droite AB; le segment AB; le point A; la demi-droite AB; la demi-droite BA; l'angle ABC. 5E Calculer le supplément. a. 110E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE DE RENFORCEMENT 89 6. a. b. c. 7. Compléter les phrases suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. À l'aide du rapporteur, tracer un angle de 120E. S'agit-il d'un angle aigu, obtus, droit, plat ou rentrant? À l'aide du rapporteur, tracer la bissectrice de cet angle. Deux ou plusieurs droites qui ne se rencontrent pas même si on les prolonge indéfiniment sont appelées droites . Un est une figure géométrique formée par deux demi-droites ayant le même point de départ. Un angle est un angle plus grand que 0E et plus petit que 90E. Deux angles sont lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90E. Un est une figure géométrique formée de trois côtés. Un triangle ayant un angle droit s'appelle un triangle . Un triangle dont les trois côtés sont inégaux s'appelle un triangle . Les angles opposés par le sommet sont toujours . Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle . Un angle plus grand que 90E mais plus petit que 180E est un angle . Deux angles sont lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180E. Un angle est un angle mesurant 90E. Un triangle dont les trois côtés sont congrus s'appelle un triangle . Les angles à la base d'un triangle isocèle sont toujours . La est le segment qui joint le sommet au milieu de sa base. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE DE RENFORCEMENT 90 8. Dans la figure ci-dessous, identifier. a. b. c. d. 9. la médiane la bissectrice la hauteur la médiatrice Dans les figures ci-dessous, dire si les angles 1 et 2 sont supplémentaires, complémentaires ou opposés par le sommet. a. c. b. d. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE DE RENFORCEMENT 91 10. a. b. c. Construire un triangle dont chaque côté mesure 5 cm. De quelle sorte de triangle s'agit-il? Quelle est le mesure de chaque angle? 11. a. b. c. d. e. Construire un triangle ABC dont BC = 5 cm, pB = 40E, pC = 40E. Calculer la mesure de l'angle au sommet. Classifier ce triangle d'après les angles. Quelle relation existe-t-il entre les côtés AB et AC? Justifier la réponse. Classifier ce triangle d'après les côtés. 12. Dans la figure ci-dessous, R1 2 R2. Trouver : a. b. c. d. e. f. g. h. i. un angle adjacent à pd (2 possibilités). un angle opposé par le sommet à pg. un angle alterne-interne à pf. un angle opposé par le sommet à pk. un angle correspondant à pd. le supplément de pb (2 possibilités). le complément de pk. si pb = 89E, calculer ph. Justifier la réponse. si pn = 90E, pm = 15E, calculer pl. Justifier la réponse. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 EXERCICE DE RENFORCEMENT 92 j. k. l. 13. si pi = 100E, calculer pg. Justifier la réponse. si pi = 10E, calculer pa. Justifier la réponse. la somme de pg, pf et pj. Justifier la réponse. Effectuer les constructions suivantes. a. b. c. Tracer une droite parallèle à une droite donnée en utilisant la règle et l'équerre. Élever une perpendiculaire à une droite donnée, en un point donné de cette droite. D'un point donné, extérieur à une droite donnée, tracer une perpendiculaire à cette droite. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 SYMBOLES 93 6.0 C LISTE DES SYMBOLES point A AB droite AB AB demi-droite AB AB segment AB pA angle A ps angles E degré 2 parallèle 2 pas parallèle z perpendiculaire ) triangle ) triangles – est congru à cm centimètre mm millimètre FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CORRIGÉ (Cahier 6) DI-AM-1991-05-27 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 1 BA-PG\98-03 EXERCICE 1, PAGE 7 M 1. a. N /))))))))))))))))))))))))))1 le segment MN R b. S )))))))))))))))))))))))))>demi-droite RS A B c. <)))))))))))))))))))))))))))> d. ))))))))))))))))))))))))))))) demi-droite > SR S droite AB R F G e. /))))))))))))))))))))))))))1 segment FG 2. a. b. c. .A AB AB d. e. AB BA 3. a. b. segment AB demi-droite AB c. droite AB 4. a. b. c. .A BC BC .B AB AC EXERCICE 2, PAGE 10 1. a. b. c. d. AB =/ EF =/ IJ = MN =/ CD GH KL OP .C AC MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 2 EXERCICE 3, PAGE 13 1. 4. 2. le sommet 3. les côtés de l'angle a. b. c. pBAC ou pCAB sommet : A côtés : AB et AC a. b. c. pCAD ou pDAC sommet : A côtés : AC et AD a. b. c. d. pBAD ou pDAB sommet : A côtés : AB et AD pA EXERCICE 4, PAGE 18 1. a. b. c. d. e. f. g. 10E 60E 110E 180E 163E 90E 135E h. i. j. k. l. m. n. 17E 45E 90E 120E 180E 150E 170E 2. a. b. 30E 150E c. d. 60E 150E 3. pABC = 25E pDEF = 120E pIHG = 50E 4. a. b. c. 180E 140E 40E pJKL = 104E pOMN = 18E pPQR = 73E d. e. f. 50E 130E 80E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 3 EXERCICE 5, PAGE 22 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 4 2. 3. 4. 5. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 5 EXERCICE 6, PAGE 26 1. a. b. c. d. aigu obtus droit obtus 2. a. b. c. d. e. droit aigu obtus obtus obtus a. b. c. d. pCED pBEA pAED ou pAEC pBED 3. e. g. rentrant f. droit g. plat h. rentrant f. aigu rentrant h. plat i. aigu j. rentrant EXERCICE 7, PAGE 36 1. a. b. c. d. 65E 86E 1E 25E e. f. g. h. 27E 45E 60E 36E 2. a. b. c. d. 160E 40E 168E 162E e. f. g. h. 1E 120E 147E 70E 3. a. pAOB pBOC pAOC b. pAOB et pBOC, parce que O est le sommet commun, les angles sont situés de part et d'autre du côté commun OB. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 6 pCOB pEOB pEOB a. b. c. 5. pAOD et pCOB 6. p2 = 125E (supplément de p1) p4 = 125E (p2 = p4, opposés par le sommet) p3 = 55E (p1 = p3, opposés par le sommet) 7. a. b. c. aigu adjacents aigu a. b. c. d. vrai faux vrai faux 9. a. b. c. pAOB d. pAOC, pCOD, pDOE, pBOE pCOD f. pBOC e. pBOD pAOE 10. a. b. c. d. p2 p3 p5 p8 e. f. g. p4 p5 p8 d. e. f. 75E 5E 35E 8. d. e. pCOB ou pCOE ou pCOD pDOA 4. pAOC et pDOB d. f. f. obtus e. supplémentaires plat e. vrai g. faux vrai EXERCICE 8, PAGE 42 1. a. b. c. 90E 45E 15E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 7 2. a. b. c. d. e. f. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 8 3. 4. a. b. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 9 c. d. e. f. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 10 EXERCICE 9, PAGE 51 1. la droite OC 2. a. b. c. parallèle perpendiculaire parallèle d. e. 3. a. p7 et p3 p5 et p1 p6 et p4 p8 et p4 p6 et p2 p5 et p3 b. sécante sécante 4. p5 = p3 = p1 = 75E p4 = p6 = p8 = p2 = 105E 5. a. b. c. 75E 140E 60E d. e. 6. a. pACB pBCD pACE pDCE = 45E = 135 = 135 = 45E b. pATB pBTD pATG pBSH pBSR pHSG pGSR = 120E = 60E = 60E = 120E = 60E = 60E = 120E c. pMJP pMJO pPJN pKIJ = 55E = 125E = 125E = 55E pFEH 57E 74E pCEF = 135E = 45E pGEH = 135E pCQA = 60E pCQD = 120E pAQR = 120E pDQR = 60E pQRE = 120E pHRF = 120E pERF = 60E pJIL pKIO pOIL = 125E = 125E = 55E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 11 EXERCICE 10, PAGE 56 1. a. b. c. d. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 12 EXERCICE 11, PAGE 58 1. a. b. c. d. e. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 13 EXERCICE 12, PAGE 60 1. a. b. c. d. e. f. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 14 EXERCICE 13, PAGE 62 1. a. b. c. d. e. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 15 EXERCICE 14, PAGE 65 1. a. b. c. d. e. A, B, C f. pA, pB, pC AB, AC, BC BC AC )ADG )GDE )ADE )FEC )ABC 2. AB g. h. i. j. pA pC pB a )ADF )FGE )AFE )ABE k. b l. m. n. o. )AGF )FDE )DBE )ACE EXERCICE 15, PAGE 72 1. a. b. c. d. rectangle rectangle obtusangle acutangle e. f. g. h. 2. a. b. c. d. équilatéral scalène isocèle scalène e. équilatéral isocèle isocèle scalène 3. a. b. c. d. e. )DEF )RST )MNO )XYZ )ABC 4. AB et AC 5. La mesure de chaque angle est 60E. f. g. h. c BC AC AB acutangle acutangle rectangle obtusangle MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 16 EXERCICE 16, PAGE 75 1. a. c. b. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 17 2. a. b. un triangle scalène 3. a. b. 60E 4. a. b. un triangle isocèle EXERCICE 17, PAGE 77 1. a. b. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 18 c. d. 2. EXERCICE 18, PAGE 79 1. a. b. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 19 2. c. d. a. b. 40E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 20 3. a. EXERCICE 19, PAGE 84 1. a. b. c. d. bissectrice hauteur médiatrice médiane 2. Ce sont des hauteurs. 3. Ce sont des bissectrices. 4. Ce sont des médiatrices. 5. Ce sont des hauteurs. 6. Ce sont des médianes. b. 60E c. un triangle équilatéral d. AB = AC = 5 cm MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 21 7. 8. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 22 9. Les trois hauteurs se rencontrent en un même point à l'intérieur du triangle. 10. Les hauteurs se rencontrent l'extérieur du triangle. 11. à MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 23 12. Les bissectrices se rencontrent en un même point à l'intérieur du triangle. 13. a) b) c) Chacun des angles mesure 60E. Chacun des angles mesure 30E. Le perpendiculaire bissecte l'angle au sommet. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 24 14. d) Dans un triangle équilatéral, la hauteur, la bissectrice et la médiatrice sont la même demi­ droite. 15. Les médiatrices se rencontrent à l'extérieur du triangle. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 25 16. Il est au point d'intersection des deux côtés formant l'angle droit. 17. Le point de rencontre est le milieu de l'hypoténuse. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 26 18. 19. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 27 EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE 88 1. a. b. c. AB AB .A 2. 3. d. e. f. AB BA pABC a. b. B BA et BC a. b. c. d. e. droit obtus aigu aigu aigu 4. a. 85E b. 5E 5. a. 70E b. 95E 6. a. b. c. obtus Chaque angle doit être 60E. h. i. j. f. plat g. obtus obtus aigu rentrant MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 28 7. a. b. c. d. e. f. g. h. parallèles angle aigu complémentaires triangle rectangle scalène congrus 8. a. b. AE BF 9. a. b. c. d. supplémentaires complémentaires supplémentaires et opposés par le sommet complémentaires 10. a. b. c. équilatéral 60E 11. a. b. c. d. 100E obtusangle AB = AC. C'est un triangle isocèle puisque les angles à la base sont congrus. C'est un triangle isocèle. k. m. o. p. i. l'hypoténuse j. obtus supplémentaires l. droit 180E n. équilatéral congrus médiane c. d. e. GC HE MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 6 29 12. a. b. c. d. e. f. 13. a. c. pc ou pe pa pk pn pk pa ou pg g. h. i. j. k. l. b. pj 89E (angles opposés par le sommet) 75E (une droite a 180E) 100E (angles alternes internes) 10E (angles correspondants) 180E (La somme des ps d'un ) = 180E) FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 DEVOIR 6 ET CORRIGÉ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 DEVOIR 6 1 1. Compléter les phrases suivantes. a. b. (10 pts) c. d. e. 2. (5 pts) c. 3. (5 pts) c. 4. Le n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. La demi-droite qui partage un angle en deux angles congrus s'appelle une . Un est la figure formée par deux demi-droites issues d'un même point. Deux ou plusieurs droites qui ne se rencontrent pas même si on les prolonge indéfiniment sont appelées droites . La n'a pas d'épaisseur et est illimitée dans les deux sens. Représenter à l'aide d'un symbole. a. la droite CD b. le segment AB la demi-droite AB d. le segment AB est parallèle au segment CD e. le segment EF est perpendiculaire au segment GH a. Tracer un angle ABC mesurant 155E. b. Classifier cet angle. Nommer le sommet de cet angle. d. Nommer les côtés de cet angle. e. Nommer cet angle à l'aide d'une lettre. Classifier chacun des triangles suivants. a. (5 pts) DI-AM-1991-06-03 BA-PG\98-04 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 DEVOIR 6 2 b. c. d. e. 5. (10 pts) a. b. c. d. Construire un triangle dont les côtés mesurent respectivement 1,5 cm, 5 cm et 4 cm. Classifier ce triangle d'après les mesures de ses côtés. Classifier ce triangle d'après les mesures de ses angles. Construire les hauteurs de ce triangle. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 DEVOIR 6 3 6. (20 pts) 7. (15 pts) Dans la figure ci-dessous, AB 2 CD. Identifier. a. b. c. d. e. f. g. h. l'angle opposé par le sommet à p6 l'angle correspondant à p8 l'angle alterne-interne à p3 le supplément de p5 ou l'angle adjacent à p4 ou la mesure de p7 si p6 = 40E la mesure de p8 si p7 = 50E la mesure de p4 si p5 = 140E a. À partir d'un point extérieur à une droite, construire une droite parallèle à cette droite en passant par ce point. À l'aide du compas, construire un angle congru à un angle de 120E. À partir d'un point donné (O) d'une droite AB, élever une perpendiculaire à cette droite. À l'aide du rapporteur, tracer un angle de 70E. Tracer la bissectrice de cet angle de 70E. b. c. d. e. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 DEVOIR 6 4 8. Identifier à l'aide du compas si les segments suivants sont congrus. (4 pts) a. (3 pts) c. 9. (10 pts) b. Construire, à l'aide du compas et de la règle, la médiatrice du segment AB. Dans la figure suivante, AB 2 CD. Remplir les espaces libres par l'un des termes suivants : alternes-internes correspondants opposés par le sommet adjacents a. b. c. d. e. p1 et p4 sont p3 et p6 sont p1 et p2 sont p1 et p5 sont p3 et p7 sont . . . . . MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 GÉOMÉTRIE CAHIER 6 DEVOIR 6 5 10. a. (10 pts) Construire un triangle dont les mesures sont les suivantes. AB = 5 cm BC = 3,5 cm pB = 50E b. c. Construire les médianes des BC et AB. Construire les bissectrices de pC et pA. 11. À partir d'un point extérieur (O) d'une droite AB, construire une (3 pts) perpendiculaire à cette droite. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ DEVOIR 6 1 1. a. b. c. point bissectrice angle d. e. parallèles droite 2. a. b. c. CD AB AB d. e. AB 2 CD EF z GH 3. a. b. c. obtus B d. e. BA et BC pB a. b. c. isocèle rectangle obtusangle d. équilatéral e. scalène 4. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ DEVOIR 6 2 5. a. et d. b. c. scalène obtusangle 6. a. b. c. d. p7 p4 p6 p6 ou p7 7. travail à être vérifié par l'enseignant ou l'enseignante. e. f. g. h. p2 ou p3 40E 130E 140E MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ DEVOIR 6 3 8. a. AB =/ CD b. c. travail à être vérifié par l'enseignant ou l'enseignante. 9. a. b. c. opposés par le sommet alternes-internes adjacents 10. a. et b. d. e. XY = RS correspondants correspondants MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ DEVOIR 6 4 c. 11. travail à être vérifié par l'enseignant ou l'enseignante.
