Chapitre 9: Vecteurs Activité 2 p 314 : Découvrir la translation à l

Chapitre 9: Vecteurs
Activité 2 p 314 : Découvrir la translation à l'aide de Géogebra
I) Translation et vecteurs
1) Translation
Propriété 1 (admise) : Soient A et B deux points du plan. Pour tout point C du plan, il existe un
unique point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
Définition 1 : Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B est la
transformation du plan qui associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [AD]
et [CB] aient le même milieu.
Exercices 17,20 p 329 (Image d'un polygone par une translation donnée, repérage du plan et
translation )
2) Vecteurs
Définition 2 : Soit A et B deux points du plan. A la translation qui transforme A en B, on associe un
⃗ . Il est représenté par une flèche allant de A vers B.
segment orienté de A à B, appelé vecteur AB
Illustration :
⃗ , le point B est appelé extrémité du
Définition 3: Le point A est appelé origine du vecteur AB
⃗
vecteur AB.
⃗ ( non nul ) est caractérisé par:
Remarques : 1) Un vecteur AB
⃗
- Une longueur ( ou norme ): (celle du segment [AB],notée ∥ AB∥
)
- Une direction ( celle de la droite (AB) )
- Un sens ( celui de A vers B )
⃗
2) La translation qui à A associe B s'appelle aussi la translation de vecteur AB
⃗
3) Il existe une infinité de vecteurs AB .
4) Un même vecteur possède plusieurs représentants.
⃗ , CD
⃗ , EF
⃗ sont des représentants du vecteur u.
Les vecteurs AB
⃗
Définition 4 : Soit A un point du plan. La translation qui à A associe A est appelée translation de
⃗ est le vecteur nul, noté 0⃗.
vecteur nul; on dit que AA
0 n'a pas de direction, ni de sens, et a pour norme 0.
Remarque : Le vecteur ⃗
II Opérations sur les vecteurs
1) Vecteurs égaux
⃗ et CD
⃗ sont égaux ( et on écrit AB
⃗ =CD
⃗ ) si et seulement
Définition 5: Deux vecteurs AB
si:
- Ils ont la même longueur: AB=CD
- Ils ont la même direction: les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues.
⃗ et CD
⃗ est identique.
- Ils ont le même sens: le sens des vecteurs AB
Propriété 2 (admise) : Soit A,B,C,D quatre points du plan.
⃗ CD
⃗ si et seulement ABDC est un parallèlogramme si et seulement si les segments [AD] et
AB=
[BC] ont le même milieu.
Propriété 3 (admise) : Soit A,B,I 3 points du plan. Le point I est le milieu du segment [AB]
⃗ = IB
⃗
si et seulement si AI
Exemple 1 : Les quadrilatères ABGH,HGIC,DCEF,FEKJ étant des parallélogramme, donner les
⃗ et CD.
⃗
vecteurs égaux aux vecteurs AB
Exercices 21,22,24,25,26 p 330 : Égalités de vecteurs, parallélogramme, th des milieux.
Exercice 27 p 330 : Représentant d'un vecteur
Activité 3 p 315 : Coordonnées d'un vecteur ( à la main )
2) Coordonnées d'un vecteur dans un repère quelconque.
u sont celles du point M
Définition 6 : Soit (O,I,J) un repère du plan.Les coordonnées du vecteur ⃗
⃗ =u.
u
tel que OM
⃗ Si M(x;y), on note x ou (x;y) les coordonnées du vecteur ⃗
y
()
0 a pour coordonnées (0;0)
Remarques : 1 ) Le vecteur nul ⃗
⃗ =⃗i et OJ
⃗ = ⃗j.
2) Il arrive de noter le repère (O,I,J) de la manière suivante : (0 ; ⃗i ; ⃗j), où OI
u sont les coordonnées du point M, image de dans la translation
3) Les coordonnées du vecteur ⃗
u
de vecteur ⃗
Propriété 4 : Soit (O,I,J) un repère du plan,
⃗ x B−x A .
AB
y B− y A
(
A( x A ; y A ),
B( x B ; y B ) deux points du plan. Alors
)
⃗ sont celles du point M (x M ; y M ) tel
Preuve : Par définition, les coordonnées du vecteur AB
⃗ = AB
⃗ . Comme OM
⃗ = AB
⃗ , on en déduit d'après la propriété 2 que le quadrilatère
que OM
OMBA est un parallélogramme. Ainsi, [AM] et [OB] ont le même milieu, noté K ( x K ; y K ).
D'où 2×x K = x A+x M et 2×x K = x B. On en déduit donc que x M = x B−x A.
De même 2× y K = y A +y M et 2× y K = y B. On en déduit donc que y M = y B−y A.
Exemple 2 : Soit (O,I,J) un repère du plan, A( 2 ;−5) , B(1 ; 4) et C (−2 ;−3) trois points
⃗ ,
⃗ et AC.
⃗ Vérifier
du plan. Déterminer graphiquement les coordonnées des vecteur AB
BC
ensuite algébriquement.
() ( )
Propriété 5 (admise) : Soit ⃗
u x , ⃗
v x ' deux vecteurs du plan dans un repère
y
y'
=
v
)⇔(
x=
x
'
et
y=
y
' ).
quelconque.Alors ( u
⃗ ⃗
Exercices 28,31,36 p 330 : Déterminer les coordonnées d'un vecteur graphiquement et
algébriquement + Parallélogramme
Activité 4 p 315 : Somme de vecteur ( Geogebra )
3) Addition vectorielle
u et ⃗
v est le vecteur associé à la translation
Définition 7 : La somme des deux vecteurs ⃗
u puis de la translation de vecteur v⃗.
résultant de l’enchaînement de la translation de vecteur ⃗
Propriété 6 : Relation de Chasles: Soient A,B,C 3points du plan.
⃗ = AB+
⃗ BC.
⃗
Alors AC
⃗ AC
⃗ −BC
⃗ en fonction de :
Exemple 3 : Soit A,B,C trois points du plan distincts. Exprimer AB+
⃗ et AC
⃗
1) AB
⃗
2) AC
Propriété 7 : Règle du parallélogramme : Soient A,B,C,D quatre points du plan.
⃗ = AB+
⃗ AC.
⃗
ABDC est un parallélogramme si et seulement si AD
⃗ AC.
⃗ Or, d'après la relation
Preuve : Supposons que ABDC soit un parallélogramme. Alors BD=
⃗ = AB+
⃗ BD
⃗ , d'où AD
⃗ = AB+
⃗ AC.
⃗
de Chasles, AD
⃗ = AB+
⃗ AC.
⃗ Alors AB+
⃗ AD=
⃗ AB+
⃗ AC
⃗ , d'où conclusion.
Réciproquement, supposons que AD
u,
Propriété 8 ( admise) : Soient ⃗
u +⃗
v =⃗v +⃗
u
1) ⃗
u +⃗
0 =⃗
0 +⃗
u =⃗
u
2) ⃗
u
+(
v
+
w
)=(
u
3) ⃗ ⃗ ⃗
⃗ +⃗v )+w
⃗
v et w
⃗
⃗ trois vecteurs du plan. Alors :
( ) ⃗v ( xy '' ) deux vecteurs du plan dans un repère.
Propriété 9 (admise) : Soit ⃗
u x ,
y
Alors ⃗
u +⃗
v x +x ' .
y +y '
(
)
( ) ()
Exemple 4 : Soit ⃗
u −1 , ⃗
v 5
3
8
coordonnées du vecteur u⃗ +v⃗.
deux vecteurs du plan dans un repère. Déterminer les
u un vecteur
Définition 8 : Soit u un vecteur du plan. On appelle vecteur opposé au vecteur ⃗
⃗
u +⃗
v =⃗v +⃗
u =0. On note alors ⃗
v tel que ⃗
v =−u⃗.
⃗
Remarque : Soit A et B deux points du plan. D'après la relation de Chasles, on a
⃗ BA=
⃗ AA=
⃗ ⃗
⃗ AB=
⃗ BB=
⃗ ⃗
⃗ comme étant l'opposé
AB+
0 et BA+
0 . On définit alors le vecteur BA
⃗ , soit BA=−
⃗
⃗ . Il s'agit donc du vecteur associé à la translation qui transforme
du vecteur AB
AB
B en A
Exercices 37,40( oral ), exercice 43 p 331 : Translation,relation de Chasles, application
propriété 6
Exercice 67 p 334: Théorème des milieux et relation de Chasles
4) Différence de deux vecteurs
v deux vecteurs du plan.
Définition 9 : Soit u
⃗ et ⃗
-Le vecteur u⃗ −⃗v est le vecteur défini par u⃗ −⃗v =⃗u +(−⃗v ).
( ) ⃗v ( xy '' ) deux vecteurs du plan dans un repère quelconque.
( )
Propriété 10 (Admise ):Soit ⃗
u x ,
y
Alors −⃗v −x ' , ⃗
u −⃗v x−x ' .
−y '
y− y '
( )
Exercices 49,51 p 332 : Différence de 2 vecteurs, construction.
Activité 5 p 315 : Produit d'un vecteur par un scalaire ( à la main )
5) Produit d'un vecteur par un nombre réel
()
Définition 10 : Soit ⃗
u x
y
u
un vecteur du plan dans un repère, k un nombre réel.Le vecteur k ⃗
est le vecteur de coordonnées
(kk××xy) .
Remarque : 1) On admet que le vecteur définit précédemment est indépendant du repère.
u un vecteur du plan, k ∈ℝ .
2) Soit ⃗
u ont même direction, même sens et ∥k ×⃗
u∥=k ×∥⃗u∥
Si k >0, les vecteurs k ×⃗u et ⃗
Si k <0, les vecteurs k ×⃗u et u
ont
même
direction,
sont
de
sens
opposé
et
⃗
∥k ×⃗
u∥=−k×∥⃗
u∥
k
×
0
Si k=0 , alors
⃗u =⃗
Exemple 5 : Construire le vecteur v⃗ ayant pour origine A tel que v⃗ =2×u⃗ ,
−1
ayant pour origine A tel que w
⃗ = ×⃗u .
2
le vecteur w
⃗
Faire un schéma ! ( leur faire tracer un vecteur u⃗ ,et leur demander de tracer un
représentant
u et ⃗
v deux vecteurs du plan dans un repère quelconque, k et k'
Propriété 11 (admise) : Soit ⃗
deux nombres réels. Alors :
u =k ×⃗
u +k ' ×⃗
u
- (k +k ' )×⃗
u)
- (k×k ' )×⃗u=k ×( k ' ×⃗
u +⃗
v )=k ×⃗
u +k ×⃗
v
- k ×( ⃗
( ) ⃗v (52) deux vecteurs du plan dans un repère quelconque. Déterminer
Exemple 6 : Soit ⃗
u 1 ,
−3
1
les coordonnées du vecteur 3×⃗u− ×v⃗.
4
Exercice 62 p 333 :Coordonnées d'une somme, d'un produit, d'une différence de deux vecteurs.
III) Vecteurs colinéaires et géométrie
1) Vecteurs colinéaires
Définition 11 : Deux vecteurs u⃗ et ⃗v du plan sont colinéaires si et seulement si il existe un
u =k ×v⃗.
nombre réel k tel que ⃗
Exercice 63,65 p 334 : Colinéarité de deux vecteurs, résolution d'équation du 1er degré.
Propriété 12 : Deux vecteurs ⃗
u x et ⃗
v x ' du plan dans un repère sont colinéaires si et
y
y'
seulement si x× y '−x ' × y =0
()
()
( )
( )
v =k ×u⃗.
Preuve : Si ⃗
u x et ⃗
v x ' sont colinéaires, alors il existe un nombre réel k tel que ⃗
y
y'
Ainsi, x '=k× x et y ' =k × y . On en déduit alors que x× y ' −x ' × y =0.
()
Réciproquement, soit deux vecteurs ⃗
u x
y
x× y '−x ' × y =0, soit x× y ' =x ' × y
( ) du plan dans un repère. Supposons que
et ⃗
v x'
y'
⃗ alors ⃗
u =0,
u et ⃗
v sont colinéaires.
Si ⃗
⃗ alors une de ses coordonnées est non nulle.Supposons que x≠0. Alors y ' = x ' × y .
u ≠0,
Si ⃗
x
x'
Posons k = . Alors y ' =k × y et x ' =k× x , d'où v⃗ =k ×u⃗. En conclusion, les vecteurs
x
u et ⃗
v sont colinéaires.
⃗
Exemple 7 : Les vecteurs ⃗
u 3 et ⃗
v 6 sont-ils colinéaires? Les vecteurs ⃗
v −3 et
5
10
2
sont-ils colinéaires?
w
⃗ 9
−5
()
( )
( )
( )
0 si et seulement si k =0 ou
u un vecteur du plan. k ×⃗u =⃗
Propriété 12 (admise) : Soit k ∈ℝ , ⃗
⃗
u =0
⃗
Exercice 64 p 334 : Application propriété 9
0 est colinéaire à tout vecteur.
Remarque : Le vecteur nul ⃗
2) Un code d'algorithme testant la colinéarité de 2 vecteurs
3) Applications en géométrie
Propriété 13 (admise) : Soit A,B,C,D quatre points du plan. Les droites (AB) et (CD) sont
⃗ et CD
⃗ sont colinéaires.
parallèles si et seulement si les vecteurs AB
⃗ = 1 × BA
⃗ et
Exemple 8 : Soit ABC un triangle, M et S les points définis par AM
2
⃗ = 4 × BC
⃗ − 1 × AC.
⃗ Démontrer que les droites (MS) et (BC) sont parallèles.
AS
3
2
⃗ =MA+
⃗ AS
⃗ , d'où
Rédaction : D'après la relation de Chasles, on a MS
4 ⃗ 1
⃗ =−1 × BA+
⃗ 4 × BC
⃗ − 1 × AC.
⃗ Ainsi, MS
⃗ =−1 ×( BC+
⃗ CA)+
⃗
⃗
MS
× BC − × AC.
2
3
2
2
3
2
⃗ =−1 × BC
⃗ − 1 ×CA+
⃗ 4 × BC
⃗ − 1 × AC.
⃗ En conclusion, MS
⃗ = 5 × BC.
⃗ On en déduit
Alors MS
2
2
3
2
6
donc que les droites (MS) et (BC) sont parallèles.
Propriété 1 (admise) : Trois points du plan A,B,C sont alignés si et seulement si les vecteurs
⃗ et AC
⃗ sont colinéaires.
AB
Exercices 70,71 p 334: Parallélisme, alignement.
Exercices 105,108,112 : Colinéarité, relation de Chasles, milieu d'un segment
DM: Ex 110,118p339