Feuille de TD 4 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie
4M024 (Groupes et algèbres de Lie)
M1 de Mathématiques
Printemps 2017
TD n◦ 4. Décomposition polaire
1
Propriétés de base
Exercice 1.
a) On rappelle que On (R) a deux composantes connexes. Grâce à la décomposition polaire, montrer
que GLn (R) a deux composantes connexes.
b) Montrer que On (R) est un sous-groupe compact maximal de GLn (R).
Exercice 2.
iθ
e
0
a) Montrer que toute matrice de SU2 (C) y est conjuguée à
pour un θ dans R.
0 e−iθ
ix
y + iz
b) Soit H =
: (x, y, z) ∈ R3 . Montrer que exp : H → SU2 (C) est surjective.
−y + iz −ix
Exercice 3 (rattrapage 2012). Le groupe orthogonal complexe On (C) est donné par :
On (C) = {M ∈ Mn (C) : t M M = In }
a) Montrer que le groupe On (C) n’est pas connexe.
b) Soit M une matrice dans On (C). Montrer qu’il existe une unique matrice O ∈ On (R) et une unique
matrice antisymétrique A ∈ Mn (R) telles que M = O exp(iA).
c) En déduire que On (C) est homéomorphe à On (R) × R
SOn (C) = {M ∈ On (C) : det(M ) = 1}.
2
n(n−1)
2
, et que sa composante neutre est
Groupe orthogonal généralisé
Exercice 4 (les groupes Op,q ). Soit p, q ≥ 1 deux entiers. Soit q la forme quadratique non dégénérée sur
Rp+q dont la matrice dans la base canonique est :
Ip
0
Jp,q =
0 −Iq
Le groupe orthogonal de signature (p, q) est défini par :
Op,q = M ∈ Mp+q (R) : t M Jp,q M = Jp,q
a) Montrer que Op,q est un sous-groupe fermé de GL(n, R) stable par transposition et que det(M ) =
±1 pour tout M ∈ Op,q .
b) Montrer que Kp,q = Op,q ∩ Op+q est compact et homéomorphe à Op × Oq (on écrira des matrices
par blocs).
c) Montrer que la décomposition polaire sur GLp+q (R) se restreint en un homéomorphisme
++
Op,q −→ Op × Oq × Op,q ∩ Sp+q
++
où Sp+q
est l’espace des matrices symétriques définies positives de Mp+q (R).
d) En utilisant l’exponentielle, en déduire que Op,q est homéomorphe à Kp,q × Rd .
e) Combien Kp,q a-t-il de composantes connexes ? Montrer que SOp,q = {k ∈ Op,q : det(k) = 1} est
un sous-groupe d’indice et de degré 2 contenant la composante neutre (SOp,q )◦ .
A B
f) Montrer que si M =
∈ Op,q , alors tAA ∈ Sp++ . Montrer que det(A) > 0 si M ∈
C D
(SOp,q )◦ et det(A) < 0 sur l’autre composante de SOp,q .
En déduire que l’application SOp,q → Z/2Z définie par M 7→ | det(A)
det(A)| est un morphisme de groupes
◦
de noyau (SOp,q ) . Montrer que Kp,q s’identifie aux matrices de Op,q telles que det(A) = ±1.
1
3
Groupe symplectique
Exercice 5 (partiel 2012). Le but de cet exercice est d’étudier un peu le groupe symplectique réel. Soit
J la matrice de taille 2n ainsi conçue :
0
In
J=
−In 0
où In désigne bien sûr la matrice identité de taille n. On définit alors Sp2n (R) = {M ∈ M2n (R) : t M JM =
J}.
a) Montrer que Sp2n (R) est un sous-groupe fermé de GLn (R), que l’on appelle groupe symplectique.
Montrer que Sp2n (R) est stable par transposition, et que toute matrice symplectique est de déterminant ±1.
++
(R), est la décomposition polaire d’une
b) Montrer que si M = OS, avec (O, S) ∈ O2n (R) × S2n
matrice symplectique M ∈ Sp2n (R), alors O et S sont encore symplectiques.
c) Soit S une matrice symplectique orthogonale : S ∈ Sp2n (R) ∩ O2n (R). Montrer que S est de la
forme :
A B
S=
−B A
où A et B sont des matrices réelles de taille n vérifiant t AA + t BB = In et t (t AB) = t AB (on
pourra faire un calcul par bloc). En déduire que A + iB est une matrice unitaire, c’est-à-dire dans
Un (C). Montrer que S 7→ A + iB est un isomorphisme de groupes de Lie entre Sp2n (R) ∩ O2n (R)
et Un (C).
d) En déduire que Sp2n (R) est homéomorphe à Un (C) × Rn(n+1) , puis enfin que toute matrice symplectique est de déterminant 1.
2