Lois g n rales de l'hydrodynamique

CHAPITRE II
Lois générales de l'hydrodynamique
1- Définition:
L'hydrodynamique est l'étude des relations entre les forces
d'origine moléculaire et les mouvements des liquides.
a- Vitesse:
Au cours de l'écoulement d'un Fluide, chaque particule de
matière, assimilée à un point, possède à chaque instant une vitesse V
et décrit lorsque le temps varie, une courbe appelée trajectoire ou
ligne Fluide.
La vitesse peut:
 Varier d'un point à un autre du fluide.
 En chaque point varier avec le temps.
b- Lignes de courants:
On appelle lignes de courant, des lignes tangentes en chacun de leur
point à la direction des vectrices vitesses d'écoulement à l'instant t.
2
1
3
c- Tube de courant –Filet- veine.
Un tube de courant représente une partie élémentaire du Fluide
en mouvement, limitée par des lignes de courant.
1
dS
dS
Un Filet courant ou filet fluide est tube de courant de section
infiniment petite. La juxtaposition d'une infinité de Filets Fluide ou de
plusieurs tubes de courant donne une veine Fluide.
d- Ecoulement stationnaire (permanent):
Un écoulement est stationnaire ou permanent, lorsque le champ
de vitesse ne dépend pas du tempe. Un tel mouvement n'implique
également que la pression, la température et la masse volumique ne
dépendent pas du temps.
Dans ce mouvement, les vitesses varient seulement d'un point à
un autre du Fluide, mais a chaque point, la vitesse a toujours la même
valeur quelque soit le temps:
La vitesse est Fonction uniquement des coordonnées x,y,z du point
v=f(x,y,z).
2- Débits:
a- débit volumique:
dl=
Soit tube de courant formée de filets de fluides, la vitesse V est
constante en tout point, pendant l'intervalle de temps dt, le liquide se
déplace de dl=Vdt , passant de S à S c-a-d qu'il est passé à travers S
un volume de liquide égal à dV=Sdt et un débit volumique Q égal par
définition à Q= d =S sv Q=S
dt
L'unité du débit volumique dans le système SI est le m3/s.
L'unité du débit volumique dans le système C.G.S. est le cm3/s.
b-Le débit massique:
Le débit massique étant la masse de liquide qui traverse une section
par unité de temps: Qm =
dm =ρdV =ρ S
dt
Qm = ρ S
L'imite du débit massique dans le système SI est le kg/s.
L'imite du débit massique dans le système C.G.S est le kg/s.
3- Principe de base
L'analyse mathématique de l'écoulement d'un fluide, peut
s'effectuer à l'aide de l'application des principes de base suivants:
 Le principe de la conservation de la masse, à partir duquel ou
établit l'équation de la continuité.
 Le principe de la conservation de l'énergie qui permet d'obtenir
l'équation fondamentale de l'écoulement des fluides.
4- Equation de la continuité.
Considérons un fluide s'écoulant en Régine permanent sous la
forme d'un tube de courant; le fluide entre par l'extrémité de section S,
et sort par l'extrémité de section S2. Comme nous avons un régime
permanent, il entre par S, une masse dm, de Fluide et sort
obligatoirement par S2 une masse égale dm2 =dm1 d’où: dV1 = dv2.
Pendant un temps dt, la masse dm1 parcourt une distance dl1 = 1.dt
au niveau de S1 et la masse dm2 parcourt une distance dl2 = 2.dt au
niveau de S2.
On a: dV1 = S1.
1.dt
et
Comme dV1 = dV2 alors: S1
Donc: S1
1
=S2.
2
dV2 = S2.
1dt
= V2.
2.dt
2
dt
c'est l'équation de continuité.
5- Equation Fondamentale de l'écoulement des Fluides.
S'il n'y a pas d'échange de travail et de chaleur, on peut écrire
l'équation Fondamentale de l'écoulement des fluides, en appliquant le
principe de la conservation des énergies.
La somme des énergies entrantes = la somme des énergies
sortantes.
Ec1+Ep1+(F1l) +U1=Ec2+Ep2+(F2l)+U2.
Tell que:
EC1: énergie cinétique.
Ep1: énergie potentielle.
F1l: énergie massique de pression.
U1: énergie interne.
Dynamique des Fluides incompressibles.
1- Définition:
Les fluides incompressibles sont ceux pour les quels le
déplacement a lieu sans chargement sensible de volume ou sans
variation de masse volumique.
2- Ecoulement d'un Fluide parfait.
2-1 Définition:
Un Fluide parfait est un fluide non visqueux, qui n'offre aucune
résistance à un changement de forme quelconque.
2-2 Equation fondamentale (Equation de Bernoulli)
Considérons un tube de courant délimité par deux sections SA et
SB, telles que les vitesses A et B et les pressions PA et PB dans ces
sections soient constantes.
Soit la pression s'exécrant sur la section SA en point A à l'altitude ZA
est PA, celle s'exécrant sur SB en point B à l'altitude ZB est PB.
Pendant un intervalle de temps infiniment petit dt, la masse de liquide
qui s'écule à travers la section SA est:
dm = ρ dV = ρ SAdlA = ρ SA.
A
dt
SA
A
dt =
…. (1)
De même, la masse de liquide qui s'écoule à travers la section SB est:
dm = ρ dV = ρ SB dlB = ρ SB.
B
dt
SB
N
dt =
…. (2)
La variation d'énergie mécanique totale pour cette masse dm
transportée de A en B est égale au travail des forces de pression entre
A et B:
DEmT = FA.dlA –FB.dlB= PA.SA.
A.
dt – PB.SB.
B.
dt … (3)
La variation d'énergie cinétique et l'énergie potentielle
gravitationnelle pour cette masse dm transportée de A en B sont
égales:
DEC= dm (
2
B
–
2
A)
…. (4)
DEp= - dm. g (ZA – ZB) …. (5)
Or:
DEmT = DEC+DEP
PA SA
Tell que: SA
A
A
dt – PB SB
dt = SB
B
B
dt =
dt = (
2
B-
2
A)-
dm g (ZA-ZB).
D’où:
2
A+
ρ g ZA+ PA=
2
B+
ρ g ZB+ PB
On appelle cette équation: l'équation de Bernoulli.
Avec:
V2: pression dynamique.
ρ g z: pression de pesanteur.
P: pression statique.
Le théorème de Bernoulli est valable dans les conditions
suivantes:
-Les liquide est dépourvu de frottement
- L'écoulement est laminaire.
2-3 Application de l'équation de Bernoulli
a- Liquide de au repos:
Dans ce cas les vitesses sont nulles; on aura:
PB– PA= ρ g (ZA-ZB).
Alors, on retrouve l'équation fondamentale de l'hydrostatique.
b- Phénomène de venturi
A
B
C
.
.
.
L'expérience montre que dans les parties rétrécies d'un tuyau
horizontal, la vitesse d'un liquide augmente c'est le phénomène de
venturi.
Considérons un tuyau horizontal de séchions variable, l'équation
de Bernoulli au point A et B s'écrit comme suit:
2
A
+ ρ g ZA+ PA =
2
B+
ρ g ZB + PB.
Or: ZA= ZB d’où: PA - PB = ρ /2 (
2
B-
2
A).
Comme le liquide s'écoule de A vers B, alors PA PB , il s'en suit
alors B
A.
C- Mesure de vitesse d'écoulement: Tube de Pilot
On considère un liquide en mouvement dans une conduite
horizontale, plaçons un tube ouvert dur l'extrémité est perpendiculaire
à la direction d'écoulement.
Au point A, on observe que le liquide monte dans le tube à une
hanteur h1.
On place en un point B voisin de A un autre tube ouvert de
forme différente, on constate que le liquide monte à une hanteur h 2
supérieure à h1.
On peut écrire: h= h2-h1.
Appliquons l'équation de Bernoulli aux points A et B:
2
A+
2
B+
ρ g ZA+ PA =
Comme: ZA = ZB et
Alors: PB - PA =
B
2
A
ρ g ZB + PB.
= 0.
…(1)
Dans les tubes verticaux, le liquide est au repos, donc on lui applique
la relation fondamentale de l'hydrostatique, on aura:
PA-Pat= ρ g h1
PB-PA =ρ g (h2 -h1)= ρ g h … (2)
PB-Pat= ρ g h2
Puisque (1) =(2), alors :
2
a= ρ g h
a=
Cette expression donne la vitesse d’écoulement de liquide dans la
conduite horizontale.
d- Ecoulement d’un liquide par un orifice :
Considérons un bassin muni d’un orifice, l’application de l’équation
de Berouilli aux point A et B, donne :
2
A+
ρ g ZA+ Pat=
2
A+
ρ g ZA =
2
B+
2
B+
ρ g ZB+ Pat
ρ g ZB
D’après l’équation de continuité on a : Q=
alors
A«
B
et comme ZA- ZB= h, alors :
ASA=
B=
B.SB
=
«1,