Trigonométrie Chapitre 7 Repérage Exercice no 1 Warm up Exercice no 4 Préciser la mesure de l’angle géométrique correspondant en degré. π π 2π 4π 4π x (rad) π 5 3 5 5 3 Le cercle ci-contre, de centre O et de rayon 1, est appelé cercle trigonométrique. x (degré) Exercice no 5 Donner une mesure en radian des angles géométriques suivants. ⌢ 1. Donner la longueur de l’arc I J. Que vaut la d en degrés ? mesure de IOJ 2. Une mesure en radians d’un angle géomé⌢ d est la longueur de l’arc I M. trique IOM x (degré) Compléter le tableau suivant donnant la correspondance entre la mesure en degré de ⌢ d et la longeur de l’arc I M. l’angle IOM mesure en degré longueur de l’arc 60 90 1 45 75 90 135 150 x (rad) Exercice no 6 Compléter le tableau. π π x en radian ... − 3 4 1 cos x ... − ... 0 √2 3 sin x ... − ... −1 2 180 5π 6 30 π Exercice no 2 On considère les nombres suivants : 7π 6 ... ... ... √ 2 − √2 2 2 Exercice no 7 Placer sur le cercle trigonométrique les pointsimages des nombres réels suivants : 2π 3π 2π π 4π 3π π π ,− , , ,− , , et − . 4 5 4 3 6 3 2 2 1. Ranger ces nombres dans l’ordre croissant. π π 11π 5π 17π − ,− , ,− et . 3 2 4 4 6 2. Quels nombres appartiennent à ] − π ; π ] ? 3. Quels nombres appartiennent à [0 ; 2π [ ? Exercice no 8 Angles associés Placer sur le cercle un angle x i πtrigonométrique h quelconque dans 0; puis les angles associés : 2 Exercice no 3 1. Quelle est la nature du triangle OAI ? π π En déduire cos et sin . 3 3 −x ; x + π ; π − x ; x + π π ; −x 2 2 Exercice no 9 Intervalles Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique, orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspondant aux points-images des nombres réels compris dans i h :π 7π π 5π ∪ 3. ; ; 2π 1. − ; 0 4 2 4 4 h 2π π πi π 3π ; 4. − ; − ∪ 0; 2. 2 4 3 6 2 2. Quelle est la nature du triangle OAB ? π π En déduire cos et sin . 4 4 1 Trigonométrie Chapitre 7 Cosinus et sinus d’un nombre réel Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre réel x tel que : i π h 1. sin x = −0, 8 et x ∈ − ; 0 2 i πh 2. sin x = 1, 2 et x ∈ 0 ; 2 Exercice no 10 Donner des formules pour cosinus et sinus des angles associés vus dans l’exercice 8 en fonction de cos x et sin x. Exercice no 11 Donner les coordonnées des points A, B et C pointsπ 13π 5π images des nombres réels , et − sur le 4 6 3 cercle trigonométrique. Calculette Exercice no 15 Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre réel x tel que : i πh 1. cos x = 2, 1 et x ∈ 0 ; 2 √ i πh 3 et x ∈ −π ; − 2. cos x = − 3 2 Exercice no 12 1 Soit x un nombre réel tel que sin x = et 5 h iπ ; π . Calculer cos x. x∈ 2 Exercice no 16 Calculer quel que soit x réel, l’expression : (cos x + sin x )2 + (cos x − sin x )2 . Exercice no 13 Soit x un nombre réel tel que cos x = x ∈ ]−π ; 0[. Calculer sin x. Exercice no 14 4 et 5 Exercice no 17 Déterminer cos et sin de : Calculette 3π π 13π 2π ;− ; ;− . 4 6 4 3 Mesures d’un angle orienté Exercice no 21 Exercice no 18 On considère les points A , B, C, D et E, respectivement point-images des nombres suivants : 3π π π 2π 5π , , ,− et − . 4 3 6 4 4 Donner une mesure des angles orientés : − −→ − → −→ → 1. OI, OA 4. OD, OB −→ −→ −→ −→ 2. OA, OB 5. OC, OE −→ −→ −→ −→ 3. OC, OA 6. OE, OD π . 6 Donner la mesure principale des angles orientés : 1. (−~u, −~v ) 3. (−~v, −~v ) Soit ~u et ~v deux vecteurs tels que : (~u, ~v ) = 2. (~v, ~u ) 4. (−~v, ~u ) Exercice no 22 SoitA, B et Ctrois points tels que : −→ −→ π AB, AC = − . 5 Donner principale desangles orientés : −→ −→la mesure −→ −→ −→ − → −→ −→ BA, AC ; AC, BA ; AC, AB ; AB, CA Exercice no 19 ABCD (en tournant dans le sens direct) est un carré de centre O. Donner mesure des angles orientés : −une −→ − → −→ → 1. OA, OB 4. AO, AD −→ −→ − → −→ 2. OA, OC 5. CB, CD −→ −→ −→ − → 3. OB, OA 6. CA, CB Exercice no 23 ABCDE est la ligne brisée ci-dessous. C − 3π 4 A π 4 −π 2 B D no Exercice 20 Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : 37π 2π 23π 74π 47π 21π ; ; − ; ; ; − 4 7 3 10 13 6 E Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? 2 Trigonométrie Chapitre 7 −→ −→ OA, OF = −→ −→ DE, OB = −→ −→ AF, DC = −→ − → DC, EF = − → −→ EC, FD = −→ −→ EA, CA = − → − → CE, EF = Exercice no 24 Soit B, C et D des points du plan tels que −→ A, −→ π −→ −→ π AB, AC = et AC, AD = . 6 3 Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A. Exercice no 25 Donnez les mesures principales des angles orientés ci-dessous sachant que ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. × E × F D× ×A O × × C B Équations trigonométriques Exercice no 26 √ 2 cos x = − 2 On considère l’équation : Exercice no 29 3 . 2 1. Représenter sur le cercle trigonométrique les solutions de cette inéquation dans ]−π ; π ]. On considère l’inéquation sin x < − ( E ). 1. Résoudre cette équation dans ]−π ; π ] et placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants. 2. Résoudre cette inéquation dans ]−π ; π ]. 2. En déduire l’ensemble des solutions dans R. Exercice no 30 On souhaite résoudre l’équation suivante dans R : √ √ 4 cos2 x − 2(1 + 3) cos x + 3 = 0 (1) Exercice no 27 π On considère l’équation : sin x = sin − 8 ( E ′ ). 1. On effectue un changement de variable. On pose X = cos x avec x ∈ [−1 ; 1]. 1. Résoudre l’équation ( E′ ) dans R. 2. Résoudre l’équation ( E′ ) √ a. Quelle équation du second degré est équivalente à (1) ? dans ]0 ; 4π ] b. Montrer que √son discriminant s’écrire : 4(1 − 3)2 . Exercice no 28 peut c. Déterminer les solutions de cette équation du second degré. 1 a quatre solu2 tions dans ]−π ; π ] puis placer sur le cercle trigonométrique les quatre points correspondants. Montrer que l’équation cos 2x = 2. En déduire les solutions de l’équation (1) dans ] − π ; π ] puis dans R. Rappels de cours Soit (C) le cercle trigonométrique (de centre O, de rayon 1 muni de son sens de rotation) et x un réel. −−→ • Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de l’angle (~ı , OM ). • On définit alors cos( x ) et sin( x ) comme les coordonnées du point M. cf figure. M(cos x; sin x ). • On utilise le quart de cercle trigonométrique pour mémoriser les valeurs remarquables de cos et sin. • On utilise les angles associés pour trouver ceux de multiples des angles remarquables (3e figure). −−→ • Pour un point donné M du cercle (C) il existe une infinité de mesures d’angles (~ı , OM ) qui correspondent à ce point. On appelle mesure principale celle qui est dans l’intervalle ] − π; π ]. 3 Trigonométrie Chapitre 7 π 2 M √ sin x x O π 3 3 2√ 2 2 1 2 ~ cos x ~ı π 2 π 4 π−x π 6 x 0 π −x π+x O √ √ 2 3 2 2 1 2 0 Méthode : Déterminer la mesure principale d’un angle. pπ −43π . (Exemples : 23π 4 et 6 .) q p ① On calcule le quotient q et on l’arrondit au nombre PAIR le plus proche. On trouve disons 2k. ② On calcule 2k × q puis le reste r = p − 2k × q (qui peut être négatif). Alors : p = 2k × q + r pπ rπ p = 2kπ + ③ On divise par q puis multiplie par π : q = 2k + qr et donc : q q rπ ④ La mesure principale est alors : . q −43π Exemples : 23π 4 et 6 . ① −43/6 ≃ −7, 17. On arrondit à −8. ① 23/4 = 5, 75. On arrondit à 6. ② −8 × 6 = −48. Donc −43 = −8 × 6 + 5. ② 6 × 4 = 24. Donc 23 = 6 × 4 − 1. 1 23π π 23 = −8π + 5π ③ −643 = −8 + 65 donc −43π ③ 4 = 6 − 4 donc 4 = 6π − 4 . 6 6 . 23π π 5π − ④ La mesure principale de 4 est − 4 . est . ④ La mesure principale de 43π 6 6 Énoncé : Déterminer la mesure principale d’un angle de la forme Énoncés d’exercices typiques. −43π 1. On considère les angles de mesures 23π 4 et 6 . Placerles points correspondants sur le cercle trigo. 23π et cos −43π , sin −43π . En déduire cos 23π 4 , sin 4 6 6 2. Résoudre les équations suivantes : a. cos( x ) = − 21 dans ] − π; π ] b. cos( x ) = − 12 dans [0; 2π [ c. sin( x ) = √ 2 2 dans [0; 2π [ Solutions et méthodes. 1. On détermine la mesure principale de ces angles (cf méthode). On place l’angle remarquable associé (ici π/4 et π/6) puis par symétrie on place notre angle. On en déduit que : π π cos( 23π 4 ) = cos(− 4 ) = cos( 4 ) = De même pour −43π 6 , √ 2 2 π π et sin( 23π 4 ) = sin(− 4 ) = − sin( 4 ) = − en remarquant que 5π 6√ π π cos( −43π 6 ) = cos( π − 6 ) = − cos( 6 ) = − 3 2 = 6π − π 6 = π − π6 , donc : √ 2 2 . π π et sin( −43π 6 ) = sin( π − 6 ) = sin( 6 ) = 1 2 2. Méthode : On place d’abord l’angle remarquable qui a le même cosinus (ou sinus) en valeur absolue puis par symétrie on détermine à quels angles associés correspondent ceux dont le cosinus (ou sinus) est celui cherché. On fait alors attention à l’ensemble dans lequel on demande de résoudre. 2π a. S = {− 2π π 2π 3 ; 3 } π π 3π 3 3π 2π 3 b. S = { 4π 4 c. S = { 4 ; 4 } 4 3 ; 3 } −0.5 − 2π 3 0.5 En effet comme − 2π 3 n’est pas dans [0; 2π [ il faut pas prendre la mesure principale ici mais π + π3 = 4π 3 . L’angle dans [0; 2π [ qui a le même sinus que π4 est : π 3π π − π4 = 4π 4 − 4 = 4 4