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DM 06 : Espaces hermitiens (ENS
Saint-Cloud 1969)
Préambule
Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II.
On considère l’espace vectoriel complexe de dimension n, V = Cn . Si x = (x1 , ..., xn ) et
y = (y1 , ..., yn ) sont des vecteurs de V , on pose :
hx|yi =
n
X
xi y i
kxk = hx|xi
i=1
(yi désigne le nombre complexe conjugué de yi ).
On représentera par <(z) la partie réelle d’un nombre complexe z, et par =(z) sa partie
imaginaire.
On notera L(V ) l’ensemble des applications linéaires (ou opérateurs) de V dans luimême, Mn (C) l’ensemble des matrices carrées complexes d’ordre n. On représentera
par le même symbole un élément de L(V ) et la matrice qui lui est associée dans la base
canonique de V .
Partie I : Endomorphismes d’un espace hermitien
1. Si un élément T de L(V ) est tel que hT u|ui = 0 pour tout élément u de V , montrer
que T = 0. (T u représente l’image de u par T .)
2. Pour tout élément T de L(V ), montrer qu’il existe un opérateur unique T ∗ ∈ L(V )
vérifiant hT u|vi = hu|T ∗ vi quels que soient les vecteurs u et v de V .
3. T ∈ L(V ) est dit normal si T T ∗ = T ∗ T . Montrer que T est normal si et seulement
si kT uk = kT ∗ uk pour tout élément u de V .
4. Montrer que pour un opérateur T , il y a équivalence entre les propriétés suivantes :
(a) T ∗ = T −1
(b) ∀u ∈ V, ∀v ∈ V, hT u|T vi = hu|vi
(c) ∀u ∈ V, kT uk = kuk.
Si T vérifie l’une de ces propriétés, alors T est dit unitaire.
5. Soit A un élément de Mn C. Montrer que A est normal si et seulement si il existe
une matrice unitaire U et une matrice diagonale D telles que : A = U DU ∗ . (On
pourra vérifier qu’une matrice triangulaire normale est diagonale.)
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Espaces hermitiens
6. Si T est un opérateur normal, montrer que T est hermitien si et seulement si ses
valeurs propres sont réelles, et que T est unitaire si et seulement si ses valeurs
propres ont un module égal à l’unité.
7. Soit A et B deux éléments normaux de Mn (C). Montrer que A et B commutent
si et seulement si il existe une matrice unitaire U telle que U ∗ AU et U ∗ BU soient
diagonales.
Partie II : Inégalités vérifiées par les valeurs propres
1. Soit A = (aij ) un élément de Mn (C). Si {λi , 1 6 i 6 n} est l’ensemble des valeurs
propres de A, démontrer la relation :
X
X
|λi |2 6
|aij |2 , 1 6 i, j 6 n
i
i,j
(On pourra utiliser la somme des éléments de la diagonale principale de AA∗ .)
Dans quel cas a-t-on l’égalité ? Que peut-on en déduire pour une matrice unitaire ?
2. Soit H un opérateur hermitien.
(a) Montrer que pour tout vecteur unitaire x de V (kxk = 1), hHx|xi est compris
entre deux valeurs propres de H.
(b) Inversement, si c est un nombre réel compris entre deux valeurs propres de
H, montrer qu’il existe un vecteur unitaire y de V tel que hHy|yi = c.
3. Si λ est une valeur propre d’un élément quelconque A de L(V ), montrer que <(λ),
=(λ), |λ|2 sont respectivement compris entre deux valeurs propres de :
A − A∗
,
2i
A + A∗
,
2
A∗ A
4. Montrer qu’un opérateur H est hermitien et a toutes ses valeurs propres positives
ou nulles si et seulement si il existe un opérateur T tel que H = T T ∗ .
Partie III : Localisation des valeurs propres
A = (aij )16i,j6n désigne un élément de Mn (C). On pose :
Li =
n
X
|aij |
Cj =
n
X
j=1
i=1
j6=i
i6=j
|aij |.
1. Si |aij > Li , quel que soit i, montrer que la matrice A est inversible.
2. On suppose A inversible, on pose :
A−1 = (αij )
d=
X
|αij |.
i,j
Montrer que si E = (eij ) est un élément de Mn (C) tel que |eij | <
le couple (i, j), la matrice A + E est inversible.
2
1
d
quel que soit
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3. Si les aij sont réels et si aii > Li quel que soit i, montrer que :
(a) Le déterminant de A est positif. (On pourra considérer les matrices B(t) =
(bij (t)) avec bij (t) = taij pour i 6= j et bii (t) = aii + (t − 1)Li .)
(b) Si λ est une valeur propre de A de module maximum, et <(λ) > 0, alors
mini Li < |λ| 6 maxi (Li + aii ).
4. Quel que soit i, on suppose aii 6= 0, on pose :
si =
Li
|aii |
Si on a s1 > ... > sn , 0 6= s1 s2 < 1, on pose :
r
s1
q=
s2
et on considère la matrice B = (bij ) définie par :
b11 = q 2 a11 ,
b1j = qa1j
pour j 6= 1,
bi1 = qai1
pour i 6= 1,
bij = aij
pour i 6= 1, j 6= 1
Montrer que B est inversible. Que peut-on en déduire pour A ?
5. Montrer que les valeurs propres d’une matrice quelconque A = (aij ) sont contenues
dans la réunion des domaines du plan complexe déterminés par :
|aii − z||ajj − z| 6 Li Lj .
Si la matrice A est telle que aii soit réel positif, et que aii ajj > Li Lj , quels que
soient i et j, i 6= j, montrer que les valeurs propres de A ont des parties réelles
strictement positives. Montrer que si de plus tous les aij sont réels, le déterminant
de A est positif.
Partie IV : Généralisation de la partie III
On conserve les notations de la partie III, on suppose connue l’inéglité de Hölder :
n
X
ak b k 6
k=1
n
X
! p1
|ap |p
n
X
! 1q
|bk |q
,
k=1
k=1
où ak , bk sont des nombres complexes, p, q des nombres réels strictement positifs tels
que :
1 1
+ =1
p q
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1. Soit A = (aij ) un élément de Mn (C), montrer que s’il existe un nombre n compris
entre 0 et 1 tel que |aii | > Lαi Ci1−α quel que soit i, la matrice A est inversible.
(On pourra considérer un vecteur x = (x1 , ..., xn ) tel que Ax = 0 et montrer :
X
Lαi Ci1−α |xi | 6
|aij |α (|aij |1−α |xj |).)
j=1
j6=i
2. A étant quelconque, on pose :
L = max(|aii | + Li ),
i
C = max(|aii | + Ci ),
i
S = max(2|aii | + Li + Ci ).
i
Si λ est une valeur propre de A, montrer que :
|λ| 6
√
LC,
1
|λ| 6 S.
2
3. Montrer que quel que soit le nombre réel α compris entre 0 et 1, les valeurs propres
de A = (aij ) sont contenues dans la réunions des domaines du plan complexe
déterminés par :
|aii − z||ajj − z| 6 Lαi Ci1−α .Lαj Cj1−α .
BONNES VACANCES :)
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