INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES DOCUMENT de TRAVAIL 4,

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES
LATEC C.N.R.S. URA 342
DOCUMENT de TRAVAIL
UNIVERSITE DE BOURGOGNE
FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION
4, boulevard Gabriel
-
21000 DIJON - Tél. 80395430
ISSN
:
0292-2002
-
Fax 80395648
UN MODELE DE CONCURRENCE SPATIALE COMPORTANT
DEUX VARIABLES DE DECISION DES FIRMES :
PRIX ET LOCALISTION
Agnès BASAILLE-GAHITTE*
octobre 1991
* Chercheur à 1’I.M. E.
Ce papier
a fait
l’objet
d ’une
communication
au
colloque
l’A. S. R. D. L. F. "Nouvelles activités, nouveaux espaces".
Montréal, 3 septembre 1991.
Un modèle de concurrence spatiale comportant deux
variables de décision des firmes: prix et localisation
Agnès BASAILLE-GAHITTE
La concurrence spatiale a été analysée en premier lieu par HOTELLING en
1929. Elle a, depuis lors, donné naissance à de nombreuses publications
spécialement dans le cadre de la localisation.
Le but de cette recherche est un approfondissement du modèle de THISSE,
FUJITA, OG AW A de 1988. Les auteurs recherchent la localisation d'équilbre de
firmes vendant des biens à un continuum de consommateurs uniformément
distribués le long d'une droite.
Ils ont posé des conditions mathématiques nécessaires à l'existence de la solution
au problème de maximisation de l'utilité du consommateur sous contrainte de
budget. Nous avons justifié économiquement ces conditions.
Ce modèle permet, selon les auteurs, de faire apparaître une différenciation entre
les biens en fonction du signe de certains paramètres: on obtient ainsi soit des biens
substituts, soit des biens compléments, soit des biens indépendants. Or ils n'ont pas
vérifié cette affirmation.
Par simulation et à partir de données arbitraires, nous avons vérifié que le
modèle permet effectivement de différencier les biens, dans le cas de deux et trois
firmes produisant deux et trois biens. Néanmoins la complexité de l'expression des
fonctions de demande nous obligera à limiter notre exemple au maximum.
Or dans cette étude seule la localisation est une variable de décision des firmes.
Lors d'une recherche parallèle, nous avons décidé de considérer les prix et les
localisations comme variables de décision des firmes. Dans ce cas, envisager deux
types d'analyse doivent être envisagées:
•
le choix simultané des variables prix et localisations par les firmes (c'est le cas
d'un jeu simultané)
* le choix séquentiel des variables prix et localisations par les firmes (c'est à dire
un jeu séquentiel)
Nous avons prouvé qu'il n'existe pas de solution d'équilibre (prix, localisation)
lorsque les entreprises choisissent simultanément ces deux variables. Nous
développerons l'étude mathématique de ce premier pas.
Il faut donc étudier le cas où ces variables sont obtenues selon un processus
séquentiel à deux étapes. Cette séparation est motivée par le fait que le choix de la
localisation est prioritaire par rapport à celui du prix. Bien entendu, dans ce cadre
d'analyse, il faut supposer que les prix sont choisis de telle sorte qu'ils soient des
prix d'équilibre. Ainsi, dans le modèle qui sera développé ultérieurement, les prix
sont des prix d'équilibre et les profits résultant de la seconde étape dépendent des
localisations choisies dans la première étape. Nos recherches futures auront donc
pour but l'élaboration de ce nouveau modèle.
Mots-clés : Concurrence spatiale, localisation des firmes
Introduction
L'introduction de l'espace en analyse économique place la firme dans un cadre
particulier. En effet, comme les firmes sont dispersées dans l'espace, chaque firme
a un nombre réduit de concurrents dans son voisinage immédiat. De même, les
clients s'approvisionnent à une firme qui n'est pas trop éloignée de façon à sup­
porter un coût de transport minimal. Le modèle mathématique qui résume cette
situation est un modèle de concurrence spatiale.
La concurrence spatiale a été analysée en premier lieu par HOTELLING en
1929. Elle a, depuis lors, donné naissance à de nombreuses publications,
spécialement en économie spatiale, dans le cadre de la théorie de la localisation.
Dans ce type de modèle, on suppose que les consommateurs et les firmes sont
dispersés dans l'espace, ces dernières produisent un bien homogène. Ainsi, le
consommateur achète à l'entreprise qui charge le prix C.A.F. le plus faible.
Le nombre de clients que possède une firme dépend de sa localisation, de sa
politique de prix et de celles de ses concurrents localisés dans la même aire de
marché.
L'ensemble de ces éléments correspond à un jeu coopératif dans lequel
•
les joueurs sont les firmes,
•
les stratégies sont les prix et/ou les localisations,
•
les payoffs sont les fonctions de profits.
Le but de ce travail est rélargissement du modèle de THISSE, FUJITA,
O G A W A datant de 1988. Ce modèle ne comporte qu'une variable de décision des
firmes: la localisation.
Les firmes et les consommateurs sont situés dans un même espace, qui spa­
tialement représente une différenciation horizontale du produit.
Le modèle de la "rue principale" élaboré par HOTELLING en 1929 est l'exem­
ple caractéristique des boutiques installées à l'intérieur de l'aire résidentielle, ce qui
correspond à des jeux de localisation intérieurs.
Ainsi, dans un premier temps, sera exposé le modèle utilisé par THISSE,
FUJITA et OGAW A. Ces auteurs recherchent la localisation d'équilibre des fir­
mes vendant des biens à un continuum de consommateurs uniformément distribués
le long d'une droite.
Puis dans un second temps j'examinerai ce modèle dans un autre cadre. En effet,
dans ce cas, les firmes choisissent simultanément les variables prix et localisation
(c'est le cas d'un jeu simultané).
En conclusion, j'exposerai le cas où les firmes choisissent séquentiellement les
variables prix et localisation.
Le modèle
Tout d'abord une présentation succinte du modèle de THISSE FUJITA et
OGAW A (1988) sera donnée, puis l'analyse de la structure de la demande per­
mettra de montrer que ce modèle est capable de différencier les biens ( substituts,
compléments, indépendants ).
Présentation du modèle
Le modèle de FUJITA, THISSE, OGAW A (1988) suppose un segment unitaire
X, X = [0 , 1], sur lequel des consommateurs identiques sont distribués. On ap­
pelle x la localisation d'un consommateur (et la distance de celui-ci relativement à
l'origine), jc e
[0
,
1 ].
Dans cette économie linéaire m biens sont consommés par des individus et sont
offerts par n firmes. Chaque firme est supposée offrir un seul bien i,
i e /, / = {1, 2, ..., n}. Chaque bien i est offert par n( firmes. Soit Ft l'ensemble des
firmes offrant le bien i, on appelle F l'ensemble de toutes les firmes dans l'économie
(économie dans laquelle il existe plus de firmes que de biens, m < n),
F = {1 , 2 ,
La localisation d'une firme k, k e F, est notée xk , x k e X. Le vecteur de locali­
sation de toutes les firmes vendant le bien i est noté Xi = (xk, k e Fi).
Si chaque firme k, k e Fu vend un bien i à un prix d'usine pp donné, alors le prix
de ce bien / localisé en x est donné par:
Pi(x)
=
pf +
Min i(- U - x fc| =
Piix/Xi)
ke Fj
i e I , x e X, où tt est le taux de transport par unité du bien i, I x —xk | la distance
séparant l'offreur du demandeur. Le vecteur prix de tous les biens est noté:
P(x)
=
O i(* W > ••■./’M
) ]
Le problème de la localisation d'un consommateur x peut être décrit comme la
maximisation de son utilité sous contrainte de budget. Les auteurs ont choisi la
fonction d'utilité V:
V =
où
<70
% +
t% i,
-
,
qn)
est le numéraire, qt la quantité consommée du bien i. Cette fonction d'utilité
est quadratique et de la forme (pour deux biens
î% i,< 7 2 )
=
«1^1 +
a 2<72 ~
y < 7 i 2/* ii -
1
et 2 ):
Y < h 2P22 ~
<7l<72/?21
Les auteurs ont considéré une fonction d'utilité strictement concave, hypothèse
classique due à l'hypothèse de décroissance de l'utilité marginale.
Le problème de la localisation d'un consommateur x revient donc à maximiser
son utilité sous contrainte de revenu. L'écriture matricielle de cette expression nous
donne la relation suivante:
Max ([a
q> 0
\
- / > ( * ) ] '< 7
- \q 'B q )
I
/
où B est une matrice symétrique définie positive de taille n , a(l, ri) un vecteur de
constantes, a, > pf, i e /, et:
(i)
Pit > 0
(ii)
XiPjj - dfiij > O i * j
(iii)
/?u/?22 > P n 2 (dans une économie à deux biens).
Ces trois conditions sont nécessaires à l'obtention d'une solution économique, mais
elles n'ont pas été justifiées par les auteurs.
Pour que la fonction d'utilité soit strictement concave, le signe des
(i)
dérivées secondes doit être négatif:
Ainsi les éléments situés sur la diagonale principale de la matrice B doivent
être positifs, Pu >
0
.
( ii)
Cette condition garantit que les quantités <7, consommées sont positives.
(iii)
B est une matrice définie positive, donc toutes les valeurs propres Ai , A2
de B (dans le cas de deux biens) sont strictement positives. On obtient:
1
or Ai > 0 , et A2 >
0
o
PwP22 > Pn2-
Le choix optimal du consommateur est solution du problème de maximisation
sous contrainte dont les variables sont notées <7, , i e I. Dans le cas d'une économie
• à deux biens, on obtient:
+ P22ÍP1 - « 1 )
P 22P 11 ~ P 12
P u («2-P2) + P n i P i - ^ i )
P 2 2 P 1I ~ P \2
Les solutions sont les fonctions de demande de chaque bien i.
L'aire de marché de la firme k est l'ensemble des prix du bien i en fonction de
la localisation x et de celle de la firme k. Elle est notée Mk:
où xk est la localisation de la firme k
Les ventes totales Qk de la firme k sont déterminées étant données les locali­
sations des autres firmes:
Qk — (xkIX-k)
où AL* est le vecteur de localisation de toutes les firmes sauf celle de k, rii(xk) est le
nombre de firmes vendant le bien i en un lieu jc*. Cette relation implique que si en
un même lieu on trouve plus d'une firme vendant le bien i, alors elles se partagent
également les ventes de celui-ci sur leur aire de marché commune. Chaque firme
se comporte de façon à maximiser ses ventes, car dans ce modèle les coûts de pro­
duction sont supposés nuls et chaque firme appartient à un seul agent.
Pour examiner les caractéristiques de la localisation d'équilibre, il faut connaître
la nature des fonctions de demande qh i e I.
Analyse de la structure de la demande.
FUJITA, THISSE, OG AW A (1988) supposent tout d'abord que le prix est
indépendant de la localisation. La solution du problème
existe et est unique, elle est notée J{p) = [f^ .../m(/>)]. f[p) est la fonction de de­
mande non spatiale étant donné p Les auteurs partitionnent ensuite le prix spatial
(en sous ensemble des biens de l'économie) comme suit:
où Pj
0, V/c=/, (J Pj — [Rmf, Pj est l'ensemble des prix de demande de J
Cette condition signifie qu'en chaque point de Pj, seules les biens situés dans le
secteur J sont consommés en quantités positives, sinon la demande de ce bien est
nulle.
En réalisant les conditions de premier ordre pour chaque <7, , on obtient les
fonctions de demande pour le prix du bien i appartenant à l'ensemble des prix de
demande de J données par
=
m
>0,
ieJ
<
0,
i$ J
où on doit avoir:
(i)
at{J) >
0
(ii)
ba(J) >
0
Vérifions que ces conditions sont respectées.
Pour une économie à deux biens, on obtient:
(i)
_
a2^21 ~ a l/^22
P li 2 ~~ P llP l 2
<2,(7) > 0
aiP u ~ aiP ii
P i \ 2 ~ P11P22
Or, nous savons que:
a 1/^22 ~
“ 2/^21 > ®
si
^1
> 0
a2^ n — a i P 2 i > ® sl(Î2> ^ y
donc ûj > 0 , a2 >
P 1 1P 2 2 ~ P 2 1 2 > ®
Cette condition est vérifiée.
P22PM — P2? ’
or P22 >
0
, pu >
0
P22PW — P2I2
, P22P11 ~ P212 >
0
donc bu{J) >
0
.
0
Les deux conditions (i) et (ii) sont respectées compte tenu des hypothèses du
modèle initial.
Dans le but de rattacher les fonctions de demande J]{p) à des fonctions de de­
mande spatiale q^x), les auteurs définissent l'ensemble X]{X) de toutes les locali­
sations pour lesquelles seuls les biens situés dans le secteur J sont consommés en
quantités positives.
Xj(x) est l'aire de demande du secteur J ayant le vecteur de localisation X :
X J{X)
=
{x e X, p{xjX) e Pj},
L'ensemble de toutes ces aires constitue une partition de X.
Si qi(x/X) = f(p(x/X)), Vx e X, alors pour chaque Jczl :
pour chaque x e XJ(x).
Ainsi dans chaque aire de demande
la fonction de demande spatiale garde la
même structure linéaire.
De plus, la nature des biens offerts par les firmes affecte leurs localisations
d'équilibre. Ainsi, en termes de demande compensée f h les auteurs affirment que:
les biens i et j sont substituts si V./c/, Vi, j e J, b^J) < 0, 1
les biens i et j sont compléments si V/c=/, Vi, j e J, b(j(J) > 0,
les biens i et j sont indépendants si V/c:/, Vi, j e /, 6 ÿ(/) = 0.
Ce modèle a été examiné dans le cas d'un exemple d'école (les coefficients /?, et
a, étant arbitrairement choisis); dans le cas de trois biens, il permet de conclure
qu'en fonction de certains paramètres les biens sont soit substituts, soit
compléments, soit indépendants. L'objectif de cet article n'étant pas de détailler cet
exemple, nous nous contenterons de quelques résultats. Mais ce modèle n'inclut
qu'une variable de décision des firmes, à savoir, la localisation. Dans le paragraphe
qui suit, l'introduction de deux variables (prix et localisation) est présentée et le
modèle qui en découle sera donné.
1 Cette condition signifie que la demande du bien i est une fonction croissante du prix
du bien j, quand les biens i et j sont consommés en quantités positives.
Les prix et les localisations sont variables: jeu
simultané
Dans un jeu simultané, une stratégie pour la firme k, k e F, est définie comme
un couple (pk(x), jr*), et un prix-localisation d'équilibre est défini comme une paire
de stratégies (p*(x), x*k) telle que:
V/)^ > 0, Vx^ e X,
Qk[(Pk(x )>xk)IXlk\ =
Max Qk[{pk{x),xk)IXlj
xh eX
V*e F,
La première inégalité impose un prix positif, la deuxième relation suppose que
la firme se situe sur le segment unitaire, et Qk représente les ventes totales de la
firme k.
Rappelons que dans ce modèle, la firme cherche à maximiser son profit, ce qui
revient à maximiser ses ventes, car les coûts de production sont supposés nuls dans
ce type de modèle. De plus, dans le modèle de FUJITA, O G A W A et THISSE
(1988), il n'existe pas de solution au problème, c'est à dire qu'aucun prixlocalisation d'équilibre n'existe dans un modèle de jeu simultané. Comme ces au­
teurs l'ont précédemment fait pour d'autres modèles, examinons le cas d'un jeu
simultané entre deux firmes dans notre cadre d'analyse.
Comme nous l'avons vu précédemment, l'aire de marché est déterminée pour les
firmes
1
et
2
par:
Mi =
pour i =
1
e X,pf +
- xt | = />*(*)}
et 2 , soit:
Mx =
e X, pi + tx |x — jcj | = Pl(x)}
M2 —
e X, P2 + t21x — x 21 =
En effet, la firme 1 offre le bien 1 et la firme 2 le bien 2.
/>i(x) est le prix du bien 1 qui tient compte des coûts de transport. Il en est de
même pour le bien
2
et la firme 2 .
Les ventes totales des firmes 1 et 2 sont notées Qif Q2, telles que:
<?,(•*)
Ôj (•*!/*_,)
dx
•V
Ô 2(* 2 / ^ - 2 )
Dans notre exemple à deux firmes :
X-i est la localisation x 2 de la firme 2 .
X -2 est la localisation x t de la firme 1 .
Comme i = 1 pour la firme 1 il vient:
<i,(•*)
n,(x)
dx
^ rjrd x
Ô iC *i/*2) =
=
”l W
J
qx{x)dx
JAf,
car ft](x) — 1. En effet seule la firme 1 offre le bien 1 dans cette économie à deux
biens.
Et comme i = 2 pour la firme 2 il vient:
— r-rdx
Ql(x 2lx \)
M-,
car n2(x) =
q2{x)dx
J A/f.
"M.
«2W
1.
Une stratégie pour la firme 1 est une paire (/?i(x), Xi), et pour celle-ci, un prixlocalisation d'équilibre est une paire de stratégies
xj) telle que:
V/>j> 0 , Vx, e X,
fii[frî(x),jrî)/*li]
n,(x)
dx
Dans notre exemple, pour la firme 1:
X*.\ = * 2, car la localisation optimale de toutes les autres firmes sauf la firme
1
est la localisation de la firme 2 .
<7¡(*) = <7i(x).
n((x) = m(x) = 1.
Ainsi, l'égalité précédente devient:
Qi[(p¡(x), x¡)/x¡] =
Max Qi[(/>i(x),
Xj €A
=
q{ (x)dx
•W,
Les ventes totales de la firme 1, à l'équilibre, correspondent à la demande du
bien
1
sur l'ensemble de son aire de marché.
On obtient pour la firme 2 le même type de relation. Ainsi un prix-localisation
d'équilibre {pfl, X2) est tel que:
V/>2 > 0, Vx2 6 X,
QiliPii*)’ * 2)/x i] =
Max Q2[(p2(x l x2)lx¡]
x2 eX
q2(x)dx
j m2
A l'équilibre, les ventes de la firme 2 correspondent à la demande du bien 2 sur
l'ensemble de son aire de marché.
A l'équilibre les deux firmes doivent faire des profits positifs, ce qui implique que
/^(x) #
0
et p*2(x)
0
.
Deux cas apparaissent :
z
*
1. Xi* =£
x2 ,
A
2.
*
*
X\ = x 2 .
Etudions ces deux cas successivement.
I . xi ^ ^2.
Ceci signifie que les localisations d'équilibre des deux firmes ne sont pas
confondues.
Sans perte de généralités, nous pouvons supposer que les profits de la firme
2 sont supérieurs à ceux de la firme 1. Alors cette dernière peut accroitre ses
profits en se localisant en 3cTtel que:
et en chargeant un prixpf(x) tel que:
^ 7 (jc) = p*2{x) — e(jc), t >
£ arbitrairement petit.
En fait, on a l'inégalité suivante:
0
C'est à dire que, tant que la firme 1 capture le marché complet au prix
P i{x ) — £, les ventes totales de celle-ci sont supérieures à celles de la firme 2 ;
dans ce cas l'inégalité précédente est vérifiée.
Comme on a par hypothèse l'inégalité
Ô2M *).X2)lx-i] > Q\[(P\(x)>x])lx -i]
Par transitivité on obtient
Ô i[W *),*T )/*li] > Q\[ip\{x), •*!*)/*!,]
ce qui est une contradiction car le membre de droite de l'inéquation
précédente est la solution d'équilibre pour la firme 1 , c'est donc la meilleure
possible.
On peut donc conclure que dans le cas où les localisations d'équilibre ne
sont pas situées au même endroit, il n'existe pas de paire prix-localisation
d'équilibre dans le cas d'un jeu simultané.
Etudions à présent le second cas.
*
*
2. Xi = x 2
Cette égalité signifie que les deux firmes ont la même localisation
d'équilibre. Examinons cette situation.
Dans ce cas, considérons les aires de marché respectives des deux firmes.
Pour i = 1 et 2, il vient:
=
M2 =
{jc e X ,pi + tx\x - x x | =
\ x e X , p 2 + t2 \ x - x 2 \ = />2(*)}
Comme xl = xj1 , les prix des deux biens sont égaux donc pCxÎ) = p(x\) .
Chaque firme va avoir tendance à vendre moins cher que son concurrent, ce
qui est une contradiction.
Nous avons montré que dans le cas d'un choix simultané des variables prix et
localisation il n'existe pas de solution d'équilibre. Il faut donc ensuite considérer le
cas où ces variables sont choisies selon un processus séquentiel à deux étapes.
Cette séparation est motivée par le fait que le choix de la localisation est priori­
taire par rapport à celui du prix. Bien entendu, dans ce cas d'analyse, il faut sup­
poser que les prix sont choisis de telle sorte qu'ils soient des prix d'équilibre.
Explicitons cette démarche.
L'étude de FUJITA, OG AW A et THISSE (1988) montre que l'existence d'un
prix (de concurrence spatiale) d'équilibre n'est pas évidente. Les auteurs annoncent
que contrairement à une opinion largement répandue, l'absence de prix d'équilibre
n'est pas nécessairement liée à l'existence de discontinuités dans la demande. C'est
plutôt la non quasi concavité des fonctions de résultats qui peut poser problème.
Revenons au concept théorique.
Dans la théorie de l'oligopole, une condition suffisante pour s'assurer de la quasi
concavité de la fonction de profit est d'établir la concavité des fonctions de de­
mande.
THISSE et GABSZEW ICZ (1988) donnent des exemples, et considèrent que
même dans le cas d'un continuum de consommateurs, on peut trouver des fonc­
tions de densité, des fonctions de coût de transport pour lesquelles les fonctions de
demande qui en résultent ne sont pas concaves.
Dans leurs articles, FUJITA, OGAW A et THISSE (1988) montrent qu'une
déviation par rapport à la concavité élimine la solution, même si les fonctions de
profit des firmes sont continues. Ils considèrent que la concavité des fonctions de
demande qui implique la quasi concavité des profits est axée sur les propriétés de
la fonction de densité de localisation du consommateur et sur la fonction de coût
de transport. Ils ont montré que même dans le cas le plus simple de deux firmes
et dans le cas d'une densité uniforme des consommateurs localisés sur une droite,
il n'existe pas de prix d'équilibre pour certaine fonctions de coût de transport. Mais
la fonction de demande n'est pas concave s'il existe une paire de prix qui crée une
frontière de marché entre les firmes.
Il
serait possible de lister tous les cas où les prix existent ou n'existent pas, ce qui
permettrait d'identifier les situations où le prix, pour un équilibre non coopératif,
peut être considéré comme une conséquence du processus du marché. On pourrait
aussi identifier les cas où d'autres types de comportement peuvent être attendus
de la part des vendeurs.
Selon THISSE et GABSZEW ICZ (1986), il semble qu'une coordination entre
les firmes tend à stabiliser la concurrence lorsque le prix d'équilibre n'existe pas.
Choix de la localisation puis choix du prix : jeu
séquentiel à deux étapes
Examinons à présent le cas d'un jeu séquentiel. Ce jeu a été introduit par
HOTTELING lui même. Dans ce cas, les stratégies sont supposées suivre un pro­
cessus à deux étapes. Dans ce jeu les stratégies sont les prix et les localisations. La
localisation est choisie prioritairement relativement au prix.
Ainsi, les localisations sont choisies dans la première étape d'un jeu séquentiel
alors que les prix sont choisis dans une deuxième étape. Les prix sont ici pi et p2.
Ce sont les prix d'équilibre d'un sous jeu non coopératif, les joueurs ayant des
stratégies pures. Dans une deuxième étape, les pay-offs d'équilibre correspondant
à ces prix sont définis lorsque le prix d'équilibre existe et est unique, et ils
dépendent de la localisation choisie dans la première étape.
Nous allons tout d'abord rappeler brièvement la définition d'un équilibre non
coopératif (équilibre de Nash).
Le scénario de comportement qui conduit à l'étude des équilibres non
coopératifs n'est justifiable que dans un univers où la décision prise aujourd'hui
dépend de celles qui ont été prises hier. Ainsi les joueurs communiquent entre eux,
ils peuvent également échanger de l'information à condition qu'ils ne conviennent
pas de jouer telle stratégie.
Ainsi M OULIN (1983) définit l'équilibre de Nash comme un contexte non
coopératif où les joueurs se comportent comme s'ils n'avaient pas conscience de
leur interdépendance stratégique. Ils envisagent de changer de stratégie sans pou-
voir anticiper la réaction des autres joueurs à ce changement, donc en supposant
qu'ils ne réagiront pas. Tout se passe comme si les joueurs ne ressentaient pas les
effets externes de leur comportement, ne tenaient pas compte de l'influence qu'ils
pourraient ainsi acquérir sur les autres joueurs. Ils ne forment pas de coalitions
d'intérêt.
Dans le jeu qui nous intéresse, les pay-offs peuvent être utilisé comme des fonc­
tions ,dans la première étape du jeu dans lequel les stratégies sont les localisations
Xi et x2. Donnons la définition formelle du sous-jeu d'équilibre parfait.
Un
prix-localisation
d'équilibre
dans
ce
jeu
est
une
paire
(x^x^) e [0 , 1 ] x [0 , 1 ] et une paire de fonction de prix [/v(xi, x2); p\{x\, x2)] tel
que :
( 1)
V(-Xj, * 2 ) 6 [0 , 1 ] x [0 , 1 ] ;
ntp'i(x,, x2);pj(xl , x2); x, , x2) > n(p-, pAxx, x2); x,, x2),
VPi >
0
,i =
1, 2
et i ^ j
(2 )
n x{p\{x\, xj);p'2{x\, x2); x\, x'2) > nx{ p \ { x xj);p 2{x\, x2)\ x v x2~],
Vxj e [0 , 1 ]
(3)
7i2(pj (xj , x2); p 2(x\
, x2);
Vx2 e [0, 1]
x x, x2) > 7r2(/>, (x! , x2); p2{xx, x2); x,, x2],
On considère que, dans ce contexte de sous-jeu parfait, les firmes choisissent
leurs localisations, elles anticipent les conséquences de leur choix sur la concurrence
en matière de prix. En particulier elles savent que cette concurrrence sera plus
sévère si elles sont proches les unes des autres (plutôt que loin les unes des autres).
Le concept d'équilibre de sous jeu n'est opérationnel que si, pour tous les choix
de localisations possibles fait par les firmes, il n'existe qu'un et un seul de ces choix
qui correspond au prix d'équilibre. Dans le cas contraire, soit les pay-offs n'exis­
tent pas, soit ils sont surévalués.
Considérons le cas d'un modèle ayant des coûts de transport linéaires.
c(x) = Min¿e F ti U —xk I
Ces coûts, de transport correspondent à ceux du modèle étudié ci-avant. Dans le
cas de coûts de transport linéaires, OSBORNE et PITCHICK (1987) ont effectués
des calculs qui suggèrent qu'il existe un équilibre dans le sous jeu parfait dans le­
quel les firmes se localisent symétriquement dans le premier et le troisième quartile
(c'est à dire dans la région qui correspond à leur choix dans le cas d'une décision
aléatoire de leur système de prix). Des calculs analogues seront effectués pour le
modèle modifié de THISSE, FUJITA et OGAW A, et une analyse des résultats
obtenus sera donnée.
GABSZEWICZ et THISSE (1989) analysent d'autres modèles ayant des coûts
de transport quadratiques et linéaire-quadratiques. Ils concluent que les résultats
concernant une prise de décision aléatoire des prix sont très sensibles à la
spécification de l'espace de localisation étudié. Ils donnent des résultats concernant
ces deux types de coûts de transport. Pour ces auteurs, dans le cas de jeu de loca­
lisation intérieur (différenciation horizontale des produits), l'existence de l'équilibre
du sous jeu parfait dépend de l'existence et de l'unicité du prix d'équilibre dans la
seconde étape du sous jeu; ces conditions sont, pour eux, rarement réunies dans ce
cadre.
En conclusion, nous pouvons rappeler que le modèle élaboré par THISSE,
FUJITA et O G A W A permet de différencier les biens en fonction du signe de cer­
tains paramètres. Mais ce modèle ne prend en compte qu'une variable de décision
des firmes: les localisations.
Nous avons prouvé ensuite que dans le cas d'un choix simultané des variables
prix et localisation, il n'existe pas de solution d'équilibre. L'analyse de l'équilibre
dans le cas de jeux simultanés est donc une approche décevante, mais le résultat
était prévisible.
Enfin, dans le cas d'un jeu de localisation intérieur (différenciation horizontale
des produits) GABSZEW ICZ et THISSE affirment que l'existence de l'équilibre
dans le cas d'un jeu séquentiel dépend de l'existence et de l'unicité du prix
d'équilibre dans la seconde étape du sous jeu. Pour ces auteurs, ces conditions sont
rarement réunies dans le cas de jeux de localisation intérieure. Il semble selon ces
auteurs que des jeux de localisation extérieurs ont une stabilité plus importante que
les jeux de localisation intérieure. Ces jeux de localisation extérieure sont des jeux
dans lesquels des produits sont verticalement différenciés. C'est une situation dans
laquelle les vendeurs se localisent à l'extérieur de l'aire résidentielle (comme les
centres commerciaux situés à l'extérieur de la ville), au même prix, tous les
consommateurs préfèrent acheter au centre commercial qui est le plus proche de
la ville. L'espace dans lequel on travaille n'est plus [0, 1] mais [l,oo] car [0 , 1 ]
représente l'espace résidentiel.
Ainsi, dans une recherche parallèle, nous analyserons le modèle modifié de
THISSE, FUJITA et OG A W A dans ce cadre et nous utiliseront une fonction de
coût de transport quadratique. Néanmoins, THISSE et GABSEWICZ (1989)
mettent l'accent sur le fait que l'approche du jeu séquentiel perd quelque peu de
son intérêt en ce qui concerne un résultat important en concurrence imparfaite : le
principe de différenciation minimale.
De plus, ces jeux de localisation extérieur ou intérieur relâchent la concurrence
en matière de prix (au point d'équilibre prix localisation du sous jeu), car elles se
localisent loin les unes des autres. Il serait également intéressant de se situer par
exemple sur un cercle plutôt que sur un segment de droite, et d'analyser les
conséquences de cette modification de l'espace de référence sur le système de prix
(choisi
de
manière
aléatoire)
de
l'entreprise.
Le
passage
de
l'espace
unidimensionnel à l'espace bidimensionnel pose un certain nombre de problèmes
et entraine des complications mathématiques qui ne sont pas négligeables.
Bibliographie
EATON B. C., LIPSEY R. G.:
1975, The Principle of Minimum différenciation
reconsidered some new developments in the theory of spatial competition, Review
of Economic studies, 42, pp 27-49.
HOTELLING
H.:
1929, Stability in competition, Economics Journal 39,
pp.41-57.
OSBORNE C., PITCHIK C.:
1987, Equilibrium in Hotelling's model of spatial
competition, Econometrica 55, pp 911-923.
PONSARD C.:
1983, A History of Spatial Economic Theory, Springer Verlag,
Berlin.
THISSE J.F., OGAWA H. FUJITA M.:
1988, A Spatial Competition approach
to Central Place Theory: some basic principles, Journal of Regional Science, volume
28, numéro 4, 1988, pp 477-495.
THISSE J.F., GABSZEW ICK J.:
1986, Spatial Competition and the Location
of Firms, fundamentals of Pure and Applied Economics 5, pp 1-71.
THISSE J.F., GABSZEW ICK J.:
1989, Location, Core discussion papers n°8928.
THISSE J.F., FUJITA M. ASAMI Y.:
1990, On the design of noncooperative
games supporting optimal spatial allocations, Core discussion papers, numéro 9019.